高数多元函数微分学教案 第五讲 隐函数的求导公式

隐函数求导方法
隐函数求导方法是一种用于求解非显式函数的导数的技巧。

与显式函数不同，隐函数没有直接的形式来表示其自变量和因变量之间的关系。

因此，为了求解其导数，我们需要使用一种特殊的方法。

隐函数求导的基本思路是通过对该隐函数进行微分，然后利用链式法则来进行推导。

下面是具体的步骤：
1. 首先，将隐函数表示为一个等式，例如：
F(x, y) = 0
2. 对上述等式两边关于x进行求导，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
3. 根据求导法则，我们知道∂F/∂x 表示 F 关于x的偏导数，而∂F/∂y 表示 F 关于y的偏导数。

4. 我们希望求得 dy/dx，可以通过移项得到：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
通过上述步骤，我们可以得到隐函数的导数。

需要注意的是，这种方法只适用于能够将隐函数表示为一个等式的情况，并且可以通过求导来解出 dy/dx。

在一些复杂的情况下，可能需要更多的推导和技巧来求解。

第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。

求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。

本文将介绍隐函数的求导公式。

隐函数求导的关键在于使用链式法则。

链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。

在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。

设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。

我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。

首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。

这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。

首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。

换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。

其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。

以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。

首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。

例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。

e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。

例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。

第五节 隐函数的求导公式要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。

重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。

难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法. 作业：习题8－5（43P ）**1)3)2,4,7,8,10,11一．一个方程的情形在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程0),(=y x F ，求它所确定y 是x 的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．例如，方程y e xy e +=确定隐函数的偏导数为y Fdy yx F dx e xy∂∂=-=-∂+∂．如果0≠∂∂yF，则方程0))(,(=x f x F 两边对x 求导，有0=∂∂+∂∂=dx dyy F x F dx dF ，从中解出 yF x F dxdy ∂∂∂∂-=． 1．隐函数存在定理1 设函数),(y x F 满足条件(1）在点000(,)P x y 的某一邻域内具有连续的偏导数； （2）0),(00=y x F ； (3）0),(00≠y x F y ,则方程0),(=y x F 在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有导数公式yx F F dx dy-=． 说明：求偏导数x F 时，将函数),(y x F 中y 视为常数，对x 求偏导数； 求偏导数y F 时，将函数),(y x F 中x 视为常数,对y 求偏导数．例1．验证方程1+=yxe y 在点)1,0(的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时1=y ，并求这函数的一阶与二阶导数在0=x 的导数值．解 设函数1),(+-=y xe y x F y,则 yx e F =，1-=yy xe F ，显然偏导数连续，且0)1,0(=F ，又01)1,0(≠-=y F ,因此由定理1可知方程1+=yxe y 在点)1,0(的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时，1=y ．有导数12y yx yy F dy e e dx F xe y =-==--，e dxdy x ==0| 二阶导数为 222223(2)'(3)(3)'(2)(2)(2)y y y y d y e y y e y e y e y y dx y y y '-+--===--- 222023(31)|2(21)x d y e e dx =-==-． 如果函数),(y x F 的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式dx dy F F y F F x dxy d y x y x )()(22-∂∂+-∂∂=)(22yxyxyy y xy yxyx y xx F F F F F F F F F F F F -----= 3222yxyy y x xy y xx F F F F F F F F +--=．2．隐函数存在定理2 设函数),,(z y x F 满足条件（1）在点0000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数； (2）0),,(000=z y x F ； （3）0),,(000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续,且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有偏导数公式z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 公式的推导：由于0),,(=z y x F 确定二元函数),(y x f z =，将其代入方程0),,(=z y x F 中,得0)),(,,(=y x f y x F ,方程两边分别对x 和y 求偏导数得0=∂∂+xzF F zx ，0=∂∂+y z F F zy ， 由上面两式分别解出偏导数z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 说明：求偏导数x F 时，将函数(,,)F x y z 中,y z 视为常数，对x 求偏导数; 求偏导数y F 时，将函数(,,)F x y z 中,x z 视为常数，对y 求偏导数;求偏导数z F 时，将函数(,,)F x y z 中,x y 视为常数,对z 求偏导数．例2．设方程04222=-++z z y x ，求,z zx y ∂∂∂∂，yx z ∂∂∂2．解 方法1：设函数z z y x z y x F 4),,(222-++=．则x F x 2= ，42-=z F z ,y F y 2= 于是 z xz x x z -=--=∂∂2422，z y z y yz -=--=∂∂2422． 上式2z xx z∂=∂-再对y 求偏导数，得 2223()2(2)(2)(2)z yxx z xy y x x y z z z ∂∂∂-===∂∂---． 方法2：方程04222=-++z z y x 两边对x 求偏导，得 2240z z x z x x ∂∂+-=∂∂,解得zxz x x z -=--=∂∂2422， 通理得zy z y y z -=--=∂∂2422练习：设方程ln xz y z=+，求y x z ∂∂∂2．(用两种方法求一阶导(1)z z x x z ∂=∂+，1z z y z ∂=∂+）例3．设方程0),(=zyz x G 确定函数),(y x z z =，且),(v u G 偏导数存在,求y z x z ∂∂∂∂,．解 令(,,)(,)(,)x y F x y z G G u v z z ==，其中,x yu v z z==，z G F x 11⋅=，z G F y 12⋅= ，)()(2221z y G z x G F z -+-=)(1212yG xG z+-=，则2112121)(11yG xG zG yG xG z G z F F x z z x +=+=-=∂∂． 2122122)(11yG xG zG yG xG z G z F F y z z y +=+=-=∂∂． 也可以用方法2求偏导数．练习题 设方程(,,)0G xy y z xz +=确定函数),(y x z z =，而(,,)G u v w 偏导数存在,且230G xG +≠,求yz x z ∂∂∂∂,． 二．方程组的情况1．方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ⑴这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数),(),,(y x v v y x u u ==,将其代入⑴中，得(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ==，将上式两边分别对x 求偏导数，得00x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,这是关于x v x u ∂∂∂∂,的线性方程组，可以从中解出x vx u ∂∂∂∂,，也可用行列式求解．见下面定理3． 隐含数存在定理3设函数),,,(v u y x F ，),,,(v u y x G 满足下列条件（1）在点00000(,,,)P x y u v 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2）0),,,(0000=v u y x F ,0),,,(0000=v u y x G ；（3）函数v u G F ,,对的偏导数所组成的函数行列式（或雅可比行列式)0),(),(≠=∂∂=vu vuG G F F v u G F J ,在点00000(,,,)P x y u v 则方程组0),,,(=v u y x F ,0),,,(=v u y x G 在点0P 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==,满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v = 并有偏导数公式),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂ ,),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂ ， ),(),(1y u G F J x v ∂∂-=∂∂．例4．设方程0=-yv xu ，1=+xv yu ，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,． 解 将所给方程的两边对x 求偏导数并移项,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂v x u x x u y u xu y x ux在022≠+=-=y x xyy x F 条件下，2222y x yv xu y x x v yu x u ++-=+---=∂∂;2222y x xvyu y x v y ux x v +--=+--=∂∂． 同理,方程的两边对y 求偏导数，解方程组得22y x yu xv y u +-=∂∂， 22yx yvxu y v ++-=∂∂． 2．由方程组0),,(=z y x F ,0),,(=z y x G 可确定两个一元函数)(),(x z z x y y ==， 的导数公式．方程 0))(),(,(=x z x y x F ，0))(),(,(=x z x y x G 两边对x 求导,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++x z y x z y z y x z y x G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dyF dx dzG dx dy G G dx dz F dx dy F F 00，从中解出zyz y z xz xG G F F G G F F dxdy-= ，zyz y x y x y G G F F G G F F dxdz -=．例5．设0=++z y x ,1222=++z y x ,求dxdz dx dy ,． 解 方程0=++z y x ，1222=++z y x 两边对x 求导,得102220dy dz dx dx dy dz x y z dx dx ⎧++=⎪⎪⇒⎨⎪++=⎪⎩ 1dy dz dx dxdy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩， 因为011≠-==y z zy J ， 于是z y x z y z zx dx dy --=---=11 ， zy yx y z xy dx dz --=---=11． 例6．若函数)(u F z =可微，又12sin ()x yu u t dt ϕ+=+⎰，ϕ为连续函数,求xz∂∂． 解 因为x u u F x z ∂∂'=∂∂)(, 又)(cos 2y x x u u x u ++∂∂=∂∂ϕ， 所以 u y x x u cos 2)(-+=∂∂ϕ, 于是 uy x u F x z cos 2)()(-+'=∂∂ϕ，（2cos 0u -≠）． 例7．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,函数，其中F f ,都具有一阶连续偏导数，试证明tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=．(完整)第五节 隐函数的求导公式解 因为))((dxdy y t x f t f x f dx dy ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=,从中解出yt t f x t t f x f dxdy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 ，又因为),(y x t t =由方程0),,(=t y x F 确定,所以tF x F xt ∂∂∂∂-=∂∂,t F y F y t ∂∂∂∂-=∂∂于是 y F t f t F x F t f t F x f tFy F t f t F x Ftfx f dxdy ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂=)(1)(． 例8．设函数),(y x z z =由方程组v u e x +=,v u e y -=，uv z =确定,求,z zx y∂∂∂∂． 解 函数uv z =对x 求偏导数，得x v u x u v x z ∂∂+∂∂=∂∂, 方程v u e x +=对x 求偏导数得)(1xv x u e v u ∂∂+∂∂=+， 方程v u e y -=对x 求偏导数得)(0xv x u e v u ∂∂-∂∂=-, 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂--0x v x u e xv x u vu ,得 v u e x v x u --=∂∂=∂∂21，于是)(21v u e x z v u +=∂∂--．(完整)第五节 隐函数的求导公式同理 )(21u v e y z vu -=∂∂--．思考题1．若方程0),,(=z y x F 确定了z 为y x ,的函数，那么如何求二阶偏导数yx z∂∂∂2?。

高数隐函数求导公式好嘞，以下是为您生成的关于“高数隐函数求导公式”的文章：在咱们学习高等数学的这个大“战场”上，隐函数求导公式就像是一把神秘又厉害的武器。

我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这隐函数求导咋就这么难理解呢？”当时我就笑了，跟他说：“别着急，咱们一步步来，你会发现它其实也没那么可怕。

”咱们先来说说啥是隐函数。

比如说，方程$x^2 + y^2 = 1$，你没法直接把$y$写成关于$x$的显式表达式，但它确实确定了$x$和$y$之间的关系，这就是隐函数。

那隐函数求导公式到底是啥呢？假设我们有一个隐函数$F(x, y) = 0$，对$x$求导的时候，要记住$y$是$x$的函数。

就拿方程$x^2 + y^2 - 1 = 0$来说吧。

对$x$求导，左边就是$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，然后就能解出$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。

在实际做题的时候，大家可别被那些复杂的式子给吓住。

比如说有个题是这样的：$e^{xy} + \sin(xy) = 0$，要求对$x$求导。

这看起来是不是有点让人头疼？但别慌，咱们一步步来。

先对左边求导，$e^{xy}$的导数要用链式法则，先对整体求导是$e^{xy}$，再乘以$y + x\frac{dy}{dx}$；$\sin(xy)$的导数是$\cos(xy)\times (y + x\frac{dy}{dx})$。

整理一下，就能得出$\frac{dy}{dx}$的表达式。

学习隐函数求导公式的时候，大家一定要多动手练。

就像学骑自行车，刚开始可能会摇摇晃晃，但练得多了，自然就熟练了。

我曾经有个学生，一开始做隐函数求导的题目总是出错，但是他不气馁，每天都找我要几道题回去练，没过多久，他就掌握得特别好了，考试的时候这部分的题目几乎都没丢分。

总之，隐函数求导公式虽然有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就一定能把它拿下。

隐函数求导法则公式隐函数求导法则是微积分中的一个重要概念，它用于求解含有隐式变量的函数的导数。

隐函数求导法则公式可以帮助我们更方便地求解这类函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。

下面我们将详细介绍隐函数求导法则公式及其应用。

隐函数求导法则公式的表述如下：设有方程 F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数，即 y = f(x)，则 y 对 x 的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中∂F/∂x 表示对 F 进行偏导数运算，∂F/∂y 也是类似的意思。

这个公式是隐函数求导法则的核心，通过它我们可以求解含有隐式变量的函数的导数。

接下来我们将通过一个具体的例子来说明隐函数求导法则公式的应用。

假设有方程 x^2 + y^2 = 1，我们需要求解 y 对 x 的导数。

首先，我们将这个方程表示为 F(x, y) = 0 的形式，即 F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。

然后，我们对 F(x, y) 分别对 x 和 y 求偏导数，得到∂F/∂x = 2x，∂F/∂y = 2y。

最后，代入隐函数求导法则公式，得到 dy/dx = - (2x) / (2y) = -x/y。

通过这个例子，我们可以看到隐函数求导法则公式的应用过程，它可以帮助我们求解含有隐式变量的函数的导数，从而更加灵活地应用微积分知识。

除了上述的基本公式，隐函数求导法则还有一些特殊情况的应用，比如当方程 F(x, y) = 0 不易直接求导时，我们可以先对 x或 y 求导，然后再应用隐函数求导法则公式。

此外，隐函数求导法则还可以应用于求解高阶导数、求解参数方程等问题。

总之，隐函数求导法则公式是微积分中的一个重要工具，它可以帮助我们更方便地求解含有隐式变量的函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。

希望通过本文的介绍，读者能对隐函数求导法则有更加深入的理解，并能够灵活运用到实际问题中。

第五节 隐函数的求导公式一、 一个方程的情形在一元函数微分学中我们提出了隐函数的概念，并给出了一元隐函数的求导方法，下面我们继续这个问题，讨论在什么条件下，方程0),(=y x F 可以唯一地确定函数)(x y y =，并且)(x y y =是可导的。

隐函数存在定理（情形１） 设二元函数),(y x F 在区域D 内是)1(C类函数，点D y x ∈),(00且满足：0),(00=y x F ，0),(00≠y x F y ，则方程0),(=y x F 在点),(00y x 的某一邻域内唯一确定了一个)1(C 类一元函数)(x y y =，它满足条件)(00x y y =，且有yx F F dx dy-=。

该定理中函数)(x y y =的存在性由于基础知识所限，无法证明我们只能给出后面公式的证明。

由定理的前半部分的结论，在),(00y x 的某邻域内确定了一个具有连续导数的函数)(x y y =，将)(x y y =代入0),(=y x F ，得0)](,[=x y x F两边对x 求导，由链式求导法，有0=+dxdy F F yx 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在),(00y x 的某邻域，在该邻域内0≠y F ，两边除以y F 即得。

例1 验证方程01sin =--+xy e y x在)0,0(的某邻域能唯一确定一个)1(C类的隐函数)(x y y =，并求)0('y 与)0("y 。

解 1sin ),(--+=xy e y y x F x是)1(C 类函数，且0)0,0(=F ，01)0,0(≠=y F ，所以在点)0,0(的某邻域内能唯一确定一个单值)1(C 类隐函数)(x y y =，且xy ye F F x y x y x ---=-=cos )(' 1)0('-=y2)(cos )'sin )(())(cos '()("x y x y y y e x y y e x y x x --⋅------= 3)(cos )'sin )(())(cos '()0("1)0('002-=--⋅------=-===y y x x x x y x y y y e x y y e y例2 设00y x ，为方程0333=-+xy y x 的任一解且00y x 、不全为零。