第六讲 函数与方程

函数与方程知识点总结资料函数与方程是数学中的重要概念，是许多其他数学分支的基础。

本文将对函数与方程的知识点做一个总结，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。

一、函数的基本概念1. 函数定义函数是一种特殊的关系，即将一个自变量映射到一个因变量上的过程。

函数的定义方式可以有多种，最常见的定义方式是：f(x)=y\qquad y=f(x)其中，x 是自变量，f 是函数名，y 是因变量。

2. 函数的图像函数的图像是指函数在直角坐标系中的表现形式，即以自变量x 为横坐标，对应的因变量 y 为纵坐标所构成的图形。

函数的图像可以用数学软件绘制，也可以手绘出来。

3. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，是使函数有意义的自变量的集合。

函数的值域是函数在定义域内的所有可能输出值的集合。

函数的定义域和值域可以用数学符号表示，例如：\text{定义域：}D(f)=\{x\mid x\text{ 是实数}\}\text{值域：}R(f)=\{y\mid y\text{ 是实数}\}4. 奇偶性、单调性和周期性函数的奇偶性指函数图像相对于 y 轴的对称性，分为偶函数和奇函数。

偶函数满足 f(-x)=f(x)，奇函数满足 f(-x)=-f(x)。

函数的单调性指函数图像在定义域内是否单调递增或单调递减。

如果对于任意 x_1<x_2，都有 f(x_1)<f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递增的；如果对于任意 x_1<x_2，都有f(x_1)>f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递减的。

函数的周期性指函数在定义域内是否有重复的输出值。

如果存在一个正数 T，使得对于任意 x\in D(f)，都有 f(x+T)=f(x)，则称函数 f 是周期函数，T 称为函数的周期。

5. 复合函数和反函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并得到新函数的过程。

反函数是指对于一个函数 f，存在一个函数g，使得 g(f(x))=x 在定义域内成立。

初中数学函数与方程函数与方程是初中数学中的重要内容，它们在数学中起着重要的作用。

本文将详细介绍函数和方程的概念、性质以及其在解决数学问题中的应用。

一、函数的概念函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。

在数学中，我们用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是与之对应的因变量。

函数可以用图像、表格、公式以及文字描述等形式来表示。

1.1 函数的定义函数就是一种映射关系，它使得每一个自变量x都对应唯一的因变量f(x)。

用数学语言描述就是：对于一个定义域D中的每一个x，都有一个唯一的函数值f(x)。

其中，D表示自变量的取值范围。

1.2 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

（2）单调性：函数的单调性可以分为增函数和减函数两种。

增函数表示随着自变量的增大，因变量也增大；减函数则表示随着自变量的增大，因变量减小。

（3）奇偶性：函数的奇偶性根据函数关于y轴对称性来判断。

奇函数表示关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数表示关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。

1.3 函数的图像函数的图像是表示函数关系的一种形式。

通过绘制函数的图像，可以更直观地了解函数的性质和特点。

函数的图像可以通过手绘或者利用计算机绘图软件来实现。

二、方程的概念方程是含有未知数的等式，需要找到使得等式成立的未知数的值。

方程是数学问题中解决未知数的重要工具。

2.1 线性方程线性方程是一个未知数的一次方程，可表示为ax + b = 0。

其中，a 和b是已知数，x是未知数。

2.2 二次方程二次方程是一个未知数的二次方程，可表示为ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c是已知数，x是未知数。

2.3 方程的解方程的解即使能够使得等式成立的未知数的值。

对于线性方程，解可以用一次函数来表示；对于二次方程，解可以用二次函数来表示。

三、函数与方程的应用函数与方程在数学问题中有广泛的应用。

函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。

从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。

事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。

另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。

2、连续函数的零点存在性定理。

如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。

【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。

3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。

例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内 【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。

函数与方程的基本概念函数与方程是数学中两个重要的概念，它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍函数与方程的基本概念，包括定义、特点以及它们在实际问题中的应用。

一、函数的基本概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

具体来说，对于集合A和B，如果存在一个映射f，它将A中的每个元素映射到B中唯一的元素上，则称f为从A到B的函数。

1.2 函数的特点函数具有以下特点：（1）每个元素都有且只有一个对应元素；（2）对于集合A中没有的元素，其在B中也没有对应元素；（3）函数的定义域和值域决定了其有效的输入和输出范围。

1.3 函数的表示方法函数可以用多种方式进行表示，包括：（1）显式定义：例如，y = 2x + 1表示了一个线性函数；（2）隐式定义：例如，x² + y² = 1表示了一个圆的方程；（3）图表表示：函数可以通过绘制图像来进行表示，直观地展示函数的性质。

二、方程的基本概念2.1 方程的定义方程是数学中表示等式的一种方式。

它由未知数、已知数、运算符和等号组成。

方程的解是使得等式成立的未知数的值。

2.2 方程的特点方程具有以下特点：（1）方程中包含一个或多个未知数；（2）方程中使用运算符和等号进行数学运算；（3）方程的解是使得等式成立的未知数的值。

2.3 方程的类型方程可以分为各种类型，如一次方程、二次方程、线性方程组等。

每种类型的方程都有其独特的解法和特点。

三、函数与方程的应用3.1 函数的应用函数在实际问题中具有广泛的应用，一些常见的应用包括：（1）物理学中的运动学公式：例如位置函数、速度函数和加速度函数；（2）经济学中的成本函数和收益函数：用于计算成本和收益的关系；（3）生物学中的生长模型：用于描述生物体在不同条件下的生长规律。

3.2 方程的应用方程在实际问题中也有着广泛的应用，常见的应用有：（1）物理学中的力学方程：例如牛顿第二定律和万有引力定律；（2）化学中的反应方程：用于描述化学反应的物质转化过程；（3）工程学中的电路方程：用于分析电路中的电流和电压关系。

函数与方程知识点总结函数与方程是数学中重要的概念，在数学学习过程中起着重要的作用。

本文将对函数与方程的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。

一、函数函数是数学中一个非常基础且重要的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。

通常情况下，我们将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以以不同的形式和方式进行表示，例如数学公式、图表、表格等。

1. 定义与符号函数的定义可以简单表示为：给定一个自变量x的集合，对于这个集合中的每一个x，都存在这样一个唯一的因变量f(x)与之对应。

函数的符号一般使用小写字母f(x)表示。

2. 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域与值域：定义域是自变量x的取值范围，值域是因变量f(x)的取值范围。

（2）奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴对称（偶函数）或关于原点对称（奇函数）。

（3）单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的递增或递减特性。

（4）周期性：周期函数是指函数在一定区间内重复出现的函数。

3. 常见函数类型（1）线性函数：线性函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

（2）二次函数：二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

（3）指数函数：指数函数的表达式为f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。

（4）对数函数：对数函数的表达式为f(x) = loga(x)，其中a为大于1的常数。

二、方程方程是描述等式的数学语句，它通常包含未知数和已知数，并以等号连接。

方程的解是使得方程成立的未知数的值。

1. 一元一次方程一元一次方程是一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的基本思路是通过移项和化简，将方程转化为x的形式。

2. 二元一次方程二元一次方程是包含两个未知数和一次方程的方程。

一般形式为ax + by + c = 0，其中a、b、c为已知数，x和y为未知数。

初中数学教案：函数与方程的关系解析函数与方程的关系解析一、引言函数与方程是初中数学中的重要概念，它们之间有着紧密的联系与关系。

本文将解析函数与方程的关系，探讨它们的性质与应用，帮助学生更好地理解和掌握这两个概念。

二、函数与方程的定义1. 函数的定义函数是一个特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

2. 方程的定义方程是一个包含一个或多个变量的等式。

通过解方程，可以找到使等式成立的变量的值。

三、函数与方程的关系函数与方程是密不可分的。

函数可以描述方程的解集，而方程可以描述函数的性质。

1. 函数描述方程的解集对于一个以x为自变量、f(x)为因变量的函数，可以通过方程f(x) = y来描述函数中使等式成立的解集。

例如，对于函数f(x)=2x+1，方程2x+1=y可以描述函数中使等式成立的解集。

2. 方程描述函数的性质可以通过方程来描述函数的性质。

例如，对于函数f(x)=2x+1，可以通过解方程2x+1=0来求得函数的零点，即使f(x)=0的x的值。

这个零点对应了函数图像上的横坐标值，反映了函数与x轴的交点。

四、函数与方程的性质1. 函数的性质函数具有一些重要的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

这些性质可以通过方程来求解，帮助我们对函数有更深入的理解。

2. 方程的性质方程也有一些重要的性质，包括根的个数、根的性质等。

这些性质与函数的图像有密切的关系，通过解方程可以了解函数图像的特点。

五、函数与方程的应用函数与方程在现实生活中具有广泛的应用。

以下是一些典型的应用案例：1. 函数的应用函数可以用来描述各种自然现象和数学模型，例如，上抛运动中物体的高度随时间的变化、人口增长模型等。

通过解方程可以求解出其中的未知量，帮助我们预测和分析现象。

2. 方程的应用方程用于解决各种实际问题。

例如，在商业领域中，可以通过建立方程模型来解决成本、收益等问题。

函数与方程知识点总结一、函数的基本概念及性质1.什么是函数函数是一种特殊的关系，它将一个数集的每个元素对应到另一个数集的唯一元素上。

通常用f(x)表示函数，表示自变量x经过函数f(x)的映射后得到的因变量。

2.定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的输出值。

3.函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的关系在坐标系中的几何表示。

4.常用函数的特点常用函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

线性函数：函数的图像是一条直线。

二次函数：函数的图像是抛物线。

指数函数：函数的图像呈现上升或下降的曲线。

对数函数：函数的图像也是上升或下降的曲线。

三角函数：函数的图像是周期性的波形。

5.奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量为x和-x时的对称性。

奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。

偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称。

6.函数的单调性单调递增：对于自变量x1<x2，有f(x1)<f(x2)。

单调递减：对于自变量x1<x2，有f(x1)>f(x2)。

7.函数的周期性如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T称为函数的周期。

二、方程的基本概念及性质1.什么是方程方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，并且要求找出未知数满足等式的关系。

2.方程的解方程的解就是使方程成立的未知数的取值。

3.一元一次方程一元一次方程是未知数的最高次数为 1 的代数方程，通常采用ax+b=0 的形式。

4.一元二次方程一元二次方程是未知数的最高次数为 2 的代数方程，通常采用ax^2+bx+c=0 的形式。

它的解可以通过求根公式来求得。

5.二元一次方程组二元一次方程组是包含两个未知数的一次方程的集合，通常采用ax+by=c 和 dx+ey=f 的形式。

6.三元一次方程组三元一次方程组是包含三个未知数的一次方程的集合，通常采用ax+by+cz=d、ex+fy+gz=h 和 ix+jy+kz=l 的形式。

函数与方程知识点随着数学的不断发展，函数与方程成为中学数学学习中重要的知识点之一。

在解决实际问题时，我们常常需要运用函数与方程知识点进行分析和计算。

本文将从函数和方程的定义、基本性质以及应用等方面进行探讨。

一、函数的定义与基本性质函数是数学中的基本概念之一。

简单来说，函数就是一种数值之间的对应关系。

数学家高斯曾经说过：“数学在本质上，是为了研究变化的。

”函数的定义就是反映这种变化规律的重要工具。

函数的定义通常用公式表示，形如：$y=f(x)$。

其中，$y$是函数的值，$x$是自变量，$f(x)$表示函数。

函数可以是一次函数、二次函数、指数函数等。

它们的表达式和图像形状各不相同，但都遵循函数的定义原则。

函数具有以下重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，值域是函数可能的输出值范围。

对于一次函数来说，定义域和值域往往是整个实数集；而对于指数函数来说，定义域通常是无穷大至零之间。

2. 奇偶性：函数的奇偶性用于描述函数在坐标系中的对称性。

若函数满足$f(-x)=-f(x)$，则称该函数为奇函数；若函数满足$f(-x)=f(x)$，则称该函数为偶函数。

3. 单调性：函数的单调性用于描述函数的增减规律。

若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数为递增函数；若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称函数为递减函数。

函数的单调性在研究函数的最值以及问题求解等方面具有重要的意义。

二、方程的定义与基本性质方程是数学中另一个重要的概念。

简单来说，方程就是具有等号的等式。

通过方程可以求解未知数的值，解方程是数学中的重要问题。

方程有多种形式。

常见的方程有一元一次方程、一元二次方程、直线方程等。

每种方程都有自己的解法和应用。

方程具有以下重要性质：1. 方程的解：解就是使得方程成立的未知数的值。

初中数学函数与方程在初中数学的学习中，函数与方程是两个极为重要的概念，它们不仅是数学知识体系中的关键组成部分，也是解决实际问题的有力工具。

函数，简单来说，就是两个变量之间的一种对应关系。

比如，当我们研究汽车行驶的路程与时间的关系时，路程会随着时间的变化而变化，我们就可以用一个函数来描述这种关系。

再比如，气温随日期的变化、身高随年龄的增长等等，生活中这样的例子数不胜数。

函数通常用数学表达式来表示，比如常见的一次函数 y ＝ kx ＋ b （其中 k 和 b 是常数，k 称为斜率，b 称为截距），二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。

通过这些表达式，我们可以清晰地看出变量之间的关系。

方程呢，则是含有未知数的等式。

例如，2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个简单的方程，我们的任务就是求出未知数 x 的值。

方程的种类也有很多，像一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等。

函数与方程之间存在着密切的联系。

从某种程度上说，函数中的解析式可以看作是一个方程，而方程的解则可以看作是函数图像与坐标轴交点的横坐标。

举个例子，对于一次函数 y ＝ 2x 1，当 y ＝ 0 时，我们得到方程2x 1 ＝ 0，解这个方程 x ＝ 1/2，这就是函数图像与 x 轴交点的横坐标。

同样，对于二次函数 y ＝ x² 2x 3，令 y ＝ 0，得到方程 x² 2x 3 ＝ 0，通过求解这个方程，我们可以得到函数图像与 x 轴的交点坐标。

在解决实际问题时，函数和方程常常能发挥巨大的作用。

比如，商家要根据成本和销售价格来确定最大利润，就可以通过建立函数模型来分析；而在计算两个物体相遇的时间、求解几何图形中的边长等问题时，往往需要建立方程来求解。

函数的图像也是理解函数性质的重要工具。

以一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 为例，它的图像是一条直线。

当 k ＞ 0 时，直线是上升的，这意味着函数值随着自变量的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线是下降的，函数值随着自变量的增大而减小。

《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座—函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。

第六讲函数与方程2020年5月一、课标解读：1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．二、知识梳理：方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数()()y f x x D =∈把使()0f x =成立的实数x 叫做函()()y f x x D =∈的零点.2.函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标.即方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3.二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．0∆>时，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．0∆=，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．0∆<，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．三、方法归纳：1、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理.四、课堂例题精讲：1.若函数()2f x x ax b =--的两个零点是2和3，则函数()21g x bx ax =--的零点是________．答案：12-和13-解析：由题意，得22220330a b a b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得56a b =⎧⎨=-⎩.∴()2651g x x x =---，令()0g x =，很容易得到其零点为12-和13-.2.求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为.答案：3解析：因332()2312212(1)(1)f x x x x x x x x x =-+=--+=---2(1)(221)x x x =-+-，又22210x x +-=显然有两个实数根，故132)(3+-=x x x f 共三个零点.3.已知()()11y x x x =-+的图象如图所示，今考虑()()()110.01f x x x x =-++，则方程()0f x =①有三个实根；②当1x <-时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；③当10x -<<时，恰有一实根；④当01x <<时，恰有一实根；⑤当1x >时，恰有一实根．则正确结论的编号为.答案：①②解析：∵()()()22310.01 5.990f -=⨯-⨯-+=<，()10.010f -=>，即()()210f f --<，∴在()2,1--内有一个实根．由图中知，方程()0f x =在(),1-∞-上只有一个实根，所以②正确；又∵()00.010f =>，由图知()0f x =在()1,0-上没有实数根，所以③不正确；又∵()()0.50.50.5 1.50.010.3650f =⨯-⨯+=-<，()10.010f =>，即()()0.510f f <，所以()0f x =在()0.5,1上必有一个实根，又()()0.500f f <，∴()0f x =在()0,0.5上也有一个实根．∴()0f x =在()0,1上有两个实根，④不正确；由()10f >且()f x 在()1,+∞上是增函数，∴()0f x =在()1,+∞上没有实根．∴⑤不正确．并且由此可知①也正确．4.若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是.答案：1>a解析：设函数(0,xy a a =>且1a ≠）和函数y x a =+，则由函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，知函数(0,xy a a =>且1a ≠）与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点，不符合，当1>a 时，函数(1)xy a a =>的图象过点()0,1，而直线y x a =+所过的点一定在点()0,1的上方，所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a .5.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：（1）方程2340ax x a ++=的两根都小于1；（2）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．解析：（1）当0a =时，0x =满足题意．当0a ≠时，设2()34f x ax x a =++.若要方程两根都小于1，只要2339160443310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤⎪⎧∆=-≥⎪⎪⎪⎪-<⇒><-⎨⎨⎪⎪>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或304a ⇒<≤综上，方程的根都小于1时，304a ≤≤（2）设2()2f x x ax =++，若方程的两个实根都小于1-，则有2801223(1)0a a a aa a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩3a ⇒≤<若方程的两个根一个大于1-，另一个小于1-，则有(1)30f a -=-<，∴3a >．若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-，∴12a -=--，∴3a =．综上，方程至少有一实根小于1-时，a ≥6.已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =，（1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围．解析：（1）∵(1)0f a b c =++=，a b c >>，∴0a >，0c <．由2y ax bx c y ax b⎧⎨⎩＝＋＋＝＋得2()0ax b a x c b +-+-=，因为2()40b a ac ∆=+->，所以两函数()f x 、()g x 的图象必交于不同的两点；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则211||A B =2212()(2)4c x x a-=--．∵0a b c ++=，a b c >>，∴122c a -<<-，∴11||A B ∈（23，32）．7.关于x 的二次方程()2110x m x +-+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．解析：设()()211f x x m x =+-+，[]0,2x ∈，①若()0f x =在区间[]0,2上有一解，∵()010f =>，则应有()20f ≤，又∵()()222121f m =+-⨯+，∴解得32m ≤-.②若()0f x =在区间[]0,2上有两解，则()0102220m f ∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎨⎪⎪≥⎩，即()()21403141210m m m ⎧--≥⎪⎪-≤≤⎨⎪+-⨯+≥⎪⎩，解得312m -≤≤-由①②可知1m ≤-.五、课堂训练：1.已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．答案：(],2ln 22-∞-解析：设()x g x e =，()2h x x a =-，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案.2.设全集为R ，集合{|sin(2),}642A y y x x πππ==-≤≤，集合{|R B a =∈关于x 的方程012=++ax x 的根一个在()0,1上，另一个在()1,2上}.求（R A ）∩（R B ）.解析：由2422x x ππππ≤≤≤≤得，512,sin(2)136626x x ππππ≤-≤∴≤-≤，即1{|1}2A y y =≤≤，∴R A 1{|1}2y y y =<>或又关于x 的方程012=++ax x 的根一个在()0,1上，另一个在()1,2上，设函数1)(2++=ax x x f ，则满足(0)0,20(1)0,520(2)0,f a f a f >⎧+<⎧⎪<⎨⎨+>⎩⎪>⎩即，∴522a -<<-．∴5{|2}2RB a a a =≤-≥-或∴（R A ）∩（R B ）15{|21}22x x x x =-≤<>≤-或或．3.设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且1212,0,0x x x x ≠≠≠，求证：方程202a x bx c ++=有且仅有一根介于1x 和2x 之间.解析：令2(),2a f x x bx c =++由题意可知2211220,0ax bx c ax bx c ++=-++=故221122,,bx c ax bx c ax +=-+=则2222111111(),222a a a f x x bx c x ax x =++=-=-22222222223(),222a a a f x x bx c x ax x =++=+=因为120,0,0a x x ≠≠≠∴12()()0f x f x <，即方程202a x bx c ++=有且仅有一根介于1x 和2x 之间.4.已知函数()421x x f x m =+⋅+有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解析：∵()421x x f x m =+⋅+有且仅有一个零点，即方程()22210x x m +⋅+=仅有一个实根．设()20x t t =>，则210t mt ++=.当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴2m =±，当m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1（不合题意，舍去），∴2x ＝1，解得x ＝0符合题意．当Δ>0时，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f （x ）有两个零点或没有零点．∴这种情况不符题意．综上可知：m ＝－2时，f （x ）有唯一零点，该零点为x ＝0.六、课后检测：1.如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是.2.若函数f （x ）＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af （－2x ）>0的解集是__________．3.若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______.4.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：（1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（3）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；5.已知a 是实数，函数f （x ）＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f （x ）在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．参考答案：1.6m >或2m <-2.|－32<x解析：∵f （x ）＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3.∴－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，2＋3＝－a 2×3＝b＝－1＝－6，∴f （x ）＝x 2－x －6.∵不等式af （－2x ）>0，即－（4x 2＋2x －6）>0⇔2x 2＋x －3<0，|－32<x3.答案：3解析：作出函数24y x x =-与函数4y =的图象，发现它们恰有3个交点.4.解析：（1）设22()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <，即24270a a -+-<，∴13a -<<．（2）设22()(4)253f x x a x a a =-+-++则方程两个根都在[1,3]-上等价于：222(1)0340(3)004136224(32)0()02f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩∴01a ≤≤．（3）设22()7(13)2f x x a x a a =-++--，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价22220(0)0(1)0280(2)030a a f f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩122403a a a a a <->⎧⎪⇒-<<⎨⎪<>⎩或或21a -<<-或34a <<．5.解析：当0a =时，()23f x x =-，显然在[]1,1-上没有零点，所以0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=，解得372a -±=①当372a -=时，()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上；②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时，则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或352a --<.综上所求实数a 的取值范围是1a >或352a --≤.。

函数与方程教案教案：函数与方程一、教学内容：1. 函数概念及性质；2. 方程概念及求解方法；3. 函数与方程的关系。

二、教学目标：1. 了解函数的定义及性质；2. 掌握方程的概念及求解方法；3. 理解函数与方程的关系，能够在实际问题中应用函数和方程进行求解。

三、教学过程：1. 导入：通过提问引导学生回顾线性方程的概念及求解方法。

2. 讲解函数的概念及性质：（1）引导学生思考函数的含义。

函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量与唯一的一个因变量对应起来。

例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，其中x是自变量，y是因变量。

（2）介绍函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

b. 单调性：函数的单调性是指函数曲线的上升与下降方向。

可以分为增函数和减函数。

c. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关系在对称中的表现。

奇函数的函数图象关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，偶函数的函数图象关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。

d. 图象和方程：函数的图象是函数关系在坐标系中的表示，函数的方程是表示函数关系的代数式。

3. 讲解方程的概念及求解方法：（1）引导学生思考方程的含义。

方程是一个等式，含有一个或多个未知数，通过求解可以得到未知数的值。

（2）介绍方程的求解方法：a. 方程的转化：可以通过变形、移项等方法将方程转化为更简单的形式。

b. 方程的解法：可以通过列方程、联立方程等方法求解方程。

4. 讲解函数与方程的关系：（1）引导学生思考函数与方程的关系。

函数是一个特殊的方程，它是自变量与因变量之间的关系。

（2）举例说明函数与方程的关系。

例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，也可以写成2x + y - 3 = 0的方程。

5. 练习与巩固：（1）通过练习题，让学生巩固函数与方程的概念及性质。

（2）设计实际问题，让学生应用函数和方程进行求解。

四、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数和方程的概念有了更深入的理解。