压轴题冲刺 代数综合题 第五讲 函数与方程、不等式综合题

全国各地中考数学压轴题精选讲座四函数与方程、不等式【知识纵横】函数与方程、不等式在初中数学中具有重要地位，是近年来中考的热点之一。

函数、方 程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了i 般到 特殊的观念。

也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一 般通过函数解析式组成的方程组来解决。

这类问题主要采用以函数为主线,将函数图像、性质, 方程及不等式的相关知识的综合运用，利用数形结合的思想解决相应的实际问题。

函数综合题 从题设到结论、从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题过程的复杂性和解题 设计的多样性。

在审题过程中，要明确解题结果正确的终极目标和每一步骤分项目标，注意 题设条件的隐蔽性。

并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图 像来解决。

【填空、选择题】x 二5 ~ 是方程组的解； ②当沪・2时，x 、y 的值互为相反数；③当沪1时，方程组的解 y 二一1也是方程- a 的解；④若xWl,则1 ©W4.其屮正确的是【A.①②B.②③C.②③④D.①③④2. （山东潍坊）己知一元二次方程ax 2^bx + c = 0的两个实数根 x r X 2=3,那么二次函数y = ax 2 +bx + c （a >0）的图彖可能是.L （浙江杭州）己知关于乳y 的方程组x+3y=4-a ,其中日W1,给出下列结论:x - y=3a 禺满足x i+兀2=4和3.（内蒙古呼和浩特）已知一元二次方程H+加_3 = 0的一根为-3,在二次函数y =加-3的图D ・ >i < y 3 < y 2<x 2 （x _1） —1 （兀<3） 6.（湖北黄冈）己知函数y = V \ 7 ,若使y = k 成立的无值恰好有三个，则R 的（x-5） -1 （x>3）值为A 、 0B 、 1C 、 2D 、3【典型试题】 1. （江苏南京）已知函数y = mx 2 -6x4-1 （加是常数）.⑴求证：不论加为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点;⑵若该函数的图象与兀轴只有一个交点，求加的值.A. B. C.4.（浙江义乌）如图, 已知抛物线尸-2#+2,直线府2卅2,当/任取一值时, /对应的函 数值分别为口、Y2.若戸工乃，収口、％中的较小值记为财；若必二乃，记萨口二刃.例如：当吋，门=0,乃二4, pV-陀，此吋萨0.下列判断:①当/>0时，yi>y 2； ②当才V0时，/值越大，〃值越小；③使得〃大于2的；H 直不存在；④使得庐1的才值是-丄或返.2 2其中正确的是【 】A.①②B.①④C.②③D.③④5.（四川绵阳）若是方程（X —a ） （x —b ） = 1 （a<b ）的两个根,则实数Xi, X2, a, b 的大小关系为A. Xi<X2<a<bB. Xi<a<X2<bC. Xi<a<b<X2D. a<Xi<by } > y 2、y 3的大小关系是 B.力 < )1 < >‘3【考点】幣数图彖上点的坐标与方程的关系，二次函数与一元二次方程的关系。

中考复习之方程、不等式和函数的综合一、选择题：1.下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x- ④2y=3x A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个2.已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =-B. 1y x =C. 2y x =D. 2y x=- 3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D4.二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过【 】 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 5. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-二、解答题1.一辆警车在高速公路的A 处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y （升）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象如图所示的直线l 上的一部分． （1）求直线l 的函数关系式；（2）如果警车要回到A 处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可2.“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？3.在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B 村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？4.温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。

中考复习之函数、方程、不等式综合应用专题(doc 22页)变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。

两条直线的位置关系与二元一次方程组的解：（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。

三、考点精讲考点一：函数与方程（组）综合应用例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x 轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x ＝2时，y ＝0，∴关于x 的方程2x +b ＝0的解是x ＝2。

【解答】2【评注】本题考察的灵活运用所学的一次函数知识解决问题的能力，方法可以不同，但直接把函数转化为方程，理解它们之间的对应关系，无需求b 值，就会加快解题速度。

例2．（2010青海）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【分析】（1）根据利润的等量关系，列出方程，再根据题意，舍掉x 1（2）代入-=x a b 2即可【解答】解：（1）设每千克应涨价x 元，列方程得：(5+x)(200－x)=1500解得：x 1=10 x 2=5 因为顾客要得到实惠，5＜10所以 x=5答：每千克应涨价5元．（2）设商场每天获得的利润为y 元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x 2+150x －500当x=5.7)10(21502=-⨯-=-a b 时,y 有最大值. 因此，这种水果每千克涨价7.5元时，能使商场获利最多【评注】（1）中列方程解应用题关键是找出相等关系, 根据实际情况，解答的取舍很关键，这是个易错点（2）中二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的最值即可解题．考点二：函数与不等式（组）综合应用 例1．（2010江苏镇江）深化理解对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x >即：当n 为非负整数时，如果11,22nx n ≤<则<x >＝n如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…试解决下列问题：（1）填空：①<π>＝ （π为圆周率）； ②如果<2x －1>＝3，则实数x 的取值范围为 ；（2）①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时；②举例说明><+>>=<+<y x y x 不恒成立；（3）求满足43x x 的所有非负实数x 的值；（4）设n 为常数，且为正整数，函数y ＝x 2－x ＋14的自变量x 在n ≤x ≤n ＋1范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ；满足k n 的所有整数k 的个数记为b .求证：a ＝b ＝2n .【分析】(1)第一空：π≈3，所以填3；第二空：根据题中的定义得3-12≤2x －1＜3+12，解这个不等式组，可求得x 的取值范围；（2）根据定义进行证明和举反例；（3）用图象法解，可设y ＝<x >，y ＝43x ，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x 的值．（4）根据在12＜n ≤x ≤n ＋1范围内y 随x 的增大而增大，所以可得出y 的取值范围，从而求出y 的整数解的个数，同样地由定义得，1122n k n ，把此式两边平方可得2211()(),22n k n k 与y 的取值范围一致．所以a ＝b.【解答】（1）①3；②x 79≤<44 2211()(),22n k n（2）①证明：[法一]设<x >＝n ，则n －12≤x ＜n ＋12，n 为非负整数；又(n ＋m )－12≤x ＋m ＜(n ＋m )＋12，且m ＋n 为非负整数，∴<x ＋m >＝n ＋m ＝m ＋<x >[法二]设x ＝k ＋b ，k 为x 的整数部分，b 为其小数部分1）当0≤b ＜0.5时，<x >＝km ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分<x ＋m >＝m ＋k∴<x ＋m >＝m ＋<x >2）当b ≥0.5时，<x >＝k ＋1则m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分<x ＋m >＝m ＋k ＋1∴<x ＋m >＝m ＋<x >综上所述：<x ＋m >＝m ＋<x >②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>，∴<x >＋<y >＝ <x ＋y >不一定成立．（3）[法一]作x y x y 34,=>=<的图象，如图 （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）y＝<x>的图象与y＝43x图象交于点(0，0)、3(,1)4、3(,2)2∴x＝0，33,42[法二]∵x≥0，43x为整数，设43x＝k，k为整数则x＝34k，∴＜34k＞＝k，∴131,0242k k k k-≤<+≥∵0≤k≤2，∴k＝0，1，2 ∴x＝0，33,42（4）∵函数y＝x2－x＋14＝(x－12)2，n为整数，当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，∴(n－12)2≤y＜(n＋1－12)2即(n－12)2≤y＜(n＋－0.5 O 0.5y32.521.5112)2， ①∴n 2－n ＋14≤y ＜n 2 ＋n ＋14，∵y 为整数 ∴y ＝ n 2－n ＋1，n 2－n ＋2，n 2－n ＋3，…，n 2－n ＋2n ，共2n 个y .∴a ＝2n ② （8分） 则,)21()21(,212122+<≤-∴+<≤-n k n n k n ③比较①，②，③得：a ＝b ＝2n【评注】这是一道创新题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，学生要在短时间解决此问题，要求平时的学习要有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要．就这题而言，对不等式组，及不等式组的整数解的应用要掌握得非常熟练，还有二次函数式的变形能力也要求较高．例2．（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价y 1（万元）之间满足关系式y 1=170-2x ，月产量x （套）与生产总成本y 2（万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出．．．．y 2与x 之间的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？【分析】（1）用待定系数法，根据图形容易求解；（2）根据题意列不等式组，可求得月产量x 的范围；（3）利用利润=总售价-总成本，根据二次函数的性质求解.【解答】解：（1）y 2=500+30x.（2）依题意得：⎩⎨⎧≥-≤+.902170,5030500x x x解得：25≤x ≤40（3）∵W =xy 1-y 2=x (170-2x )-(500+30x )=-2x 2+140x -500,∴W=-2(x-35)2+1950.而25<35<40, ∴当x=35时，1950W.最大即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．【评注】本题是一次函数、二次函数的综合运用的最优方案设计问题，是中考的热点题型，也是代数知识部分的核心知识.考点三：方程（组）与不等式（组）综合应用例1．（2010四川内江）已知非负数a，b，c满足条件a＋b＝7，c－a＝5，设S＝a＋b＋c 的最大值为m，最小值为n，则m－n ＝.【分析】把a＋b＝7和c－a＝5两式相加，即可得b＋c＝12，所以S＝a＋b＋c＝a＋12，故确定S的最大值和最小值的关键就是确实a的取值范围.由a＋b＝7得b＝7－a，根据a≥0，b≥0,有7－a≥0，所以0≤a≤7；由c－a＝5，得c＝5＋a，因为c≥0，所以5＋a≥0，即a≥－5，由于a≥0，所以一定有a≥－5，所以0≤a≤7，所以m＝7＋12＝19，n＝0＋12＝12，从而m－n＝7－0＝7.【解答】7【评注】代数式的最值问题是中学数学中比较常见的问题，这类问题解法多样，灵活性较强，常用的方法有：配方法、计算法、消元法、构造法、换元法、利用基本不等式法，等等.例2．（2010福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于l OO元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?【分析】利用购买3个书包和2本词典的总价及二者单价间的关系可用一元一次方程求出书包和词典的单价；而在（2）中，根据购买书包和词典的价格范围列一元一次不等式组求出书包的范围，再根据书包的取值为正整数求出方案．【解答】（1）解：设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x －8)元．根据题意得： 3 x +2(x －8)＝124解得：x ＝28．∴ x －8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．（2）解：设昀买书包y 个，则购买词典(40－y )本．根据题意得：1000[232040]1001000[282040]120y y y y -+-⎧⎨-+-⎩（），（）．≥≤解得：10≤y≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12． 所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．【评注】利用一元一次方程（或二元一次方程组）与一元一不等式组结合来设计方案问题是中考的热点．解答这类问题关键是根据题意列出不等关系，再根据实际问题求出不等式（或组）的整数解来确定方案考点四：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用例1．（2010湖南衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。

函数、导数与方程、不等式综合问题经典回顾开篇语导数的综合问题主要指导数与函数、方程、不等式的交汇问题，这类问题是近年来高考命题的一个热点．求解这类问题的主要工具是：导数的概念及其几何意义、基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则、简单的复合函数的导数、导数与函数的单调性、导数与函数的极大值、极小值、最大值和最小值、导数在实际问题中的应用．开心自测题一：32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）．(A)2- (B) 0 (C) 2 (D) 4题二：设函数2()ln(23)f x x x =++，讨论()f x 的单调性．金题精讲题一：将边长为 1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长梯形的面积），则S 的最小值是______ __．题二：已知函数323()1()2f x ax x x R =-+∈，其中0a >． （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 题三：已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.题四：已知m 为非零常数，并且满足221()3ln 2x m e dx e e x-=-+⎰，求实数m 的值．名师寄语在本专题中，我们主要研究了导数与函数、方程、不等式的交汇问题的求解，例题中涉及的利用导数求函数的单调区间问题、极值或最值问题、切线方程问题、等式或不等式的证明问题，都具有一定的典型性和综合性．上述知识网络交汇点已经成了高考命题的一个新视角．因此，在高三第二轮复习中，我们应当充分关注相关知识的内在联系，重视上述类型问题的求解训练，熟练掌握这些问题的求解方法，逐步提高求解导数综合问题的能力．函数、导数与方程、不等式综合问题经典回顾讲义参考答案开心自测题一：C ．题二：()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞上为增函数，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上为减函数． 金题精讲题一：3．题二：（I ）690x y --=.（Ⅱ）02a <≤或25a <<.题三：（I ）当a ≥0时，()f x '＞0，此时()f x 在(0,+∞)上是增函数．当a ≤－1时，()f x '＜0，此时()f x 在(0,+∞)上是减函数．当－1＜a ＜0时()f x 在上是增函数，在)+∞上是减函数． (Ⅱ)略题四：3m =-．。

中考数学压轴题破解策略专题2《函数与方程、不等式的关系》中考数学压轴题破解策略专题2《函数与方程、不等式的关系》破解策略1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．。

《中考压轴题》专题14：代数和函数综合问题一、选择题1. 定义符号min{a ，b}的含义为：当a≥b 时min{a ，b}=b ；当a ＜b 时min{a ，b}=a ．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x 2+1，﹣x}的最大值是【 】A.512- B. 512+ C. 1 D. 0 2. 已知直线y=kx+b ，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过【 】A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知点A 在双曲线2y x=-上，点B 在直线y x 4=-上，且A ，B 两点关于y 轴对称，设点A 的坐标为()m,n ，则m nn m+的值是【 】 A ．10- B ．8- C ．6 D ．4 4. 已知函数1y x=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c ＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的两根x 1，x 2判断正确的是【 】 A ．x 1 ＋ x 2 >1，x 1·x 2 > 0 B ．x 1 ＋ x 2 < 0，x 1·x 2 > 0C ．0 < x 1 ＋ x 2 < 1，x 1·x 2 > 0D ．x 1 ＋ x 2与x 1·x 2 的符号都不确定5. 二次函数的图象如图，对称轴为x 1=．若关于x 的一元二次方程2x bx t 0+-=（t 为实数），在1x 4-<<的范围内有解，则t 的取值范围是【 】A. t 1≥-B. 1t 3-≤<C. 1t 8-≤<D. 3t 8<< 6.对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：2a b a ab 2⊗=+-，有下列命题：①1⊗3=2； ②方程x ⊗1=0的根为：x 1=－2，x 2=1；③不等式组()2x 401x 30<<⎧-⊗-⎪⎨⊗-⎪⎩的解集为：﹣1＜x ＜4；④点1522⎛⎫⎪⎝⎭ ，在函数()y x 1=⊗-的图象上． 其中正确的是【 】 A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④7.已知m ，n ，k 为非负实数，且m ﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k 2﹣8k+6的最小值为【 】 A 、2- B 、0 C 、 2 D 、2.58.如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （﹣2，0），B （0，3）两点，则不等式kx+b ＞0的解集是【 】A ．x ＞3B ．﹣2＜x ＜3C ．x ＜﹣2D ．x ＞﹣29.如图，直线y kx b =+与y 轴交于点（0，3）、与x 轴交于点（a ，0），当a 满足30a -≤<时，k 的取值范围是（ ）A ．10k -≤<B ．13k ≤≤C ．1k ≥D ．3k ≥10.若函数y kx b =-的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜5D ．x ＞511.如图，在一次函数6y x =-+的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且矩形PBOA 的面积为5，则在x 轴的上方满足上述条件的点P 的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12.已知1m x =+，2n x =-+，若规定1 ()1 ()m n m n y m n m n +-≥⎧=⎨-+<⎩，则y 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．213.如图，把RI △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°， BC =5．点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．8214.若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．15.如图，直线y kx b =+经过A （2，1），B （﹣1，﹣2）两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为（ ）A ．x ＜2B ．x ＞﹣1C ．x ＜1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜216.同一直角坐标系中，一次函数11y k x b =+与正比例函数22y k x =的图象如图所示，则满足12y y ≥的x 取值范围是（ ）A ．2x ≤-B ．2x ≥-C ．2x <-D ．2x >-17.如图，一次函数1y x b =+与一次函数24y kx =+的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式4x b kx +>+的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＞0C ．x ＞1D ．x ＜118．一次函数3y x b =+和3y ax =-的图象如图所示，其交点为P （﹣2，﹣5），则不等式33x b ax +>-的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．19.若点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图象上，则代数式ab ﹣4的值为（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．2 D ．﹣6 20.反比例函数1my x=（0x >）的图象与一次函数2y x b =-+的图象交于A ，B 两点，其中A （1，2），当21y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜1或x ＞2 21.在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与反比例函数1y x=的图象有唯一公共点，若直线y x b =-+与反比例函数1y x=的图象有2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞2B ．﹣2＜b ＜2C ．b ＞2或b ＜﹣2D ．b ＜﹣222.若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x = 23已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，记2m a b c a b c =-++++，2n a b c a b c =+++--．则下列选项正确的是（ ）A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．m 、n 的大小关系不能确定24.如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ．则下列结论：①abc ＜0；②2404b ac a ->；③ac ﹣b +1=0；④OA •OB =ca-． 其中正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题1. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为23，延长BA ，EF 交于点O ．以O 为原点，以边AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则直线DF 与直线AE 的交点坐标是（ ， ）．2. 若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．3.关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ．4.当x m =或x n =（m n ≠）时，代数式322+-x x 的值相等，则n m x +=时，代数式322+-x x 的值为 ．5.如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2015的坐标是 ．6.如图，已知点A 1，A 2，…，A n 均在直线1y x =-上，点B 1，B 2，…，B n 均在双曲线1y x=-上，并且满足：A 1B 1⊥x 轴，B 1A 2⊥y 轴，A 2B 2⊥x 轴，B 2A 3⊥y 轴，…，A n B n ⊥x 轴，B n A n +1⊥y 轴，…，记点A n 的横坐标为a n （n 为正整数）．若11a =-，则a 2015= ．三、解答题1. 黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x （x ＞0）件甲种玩具需要花费y 元，请你求出y 与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．2. 已知某厂现有A 种金属70吨，B 种金属52吨，现计划用这两种金属生产M 、N 两种型号的合金产品共80000套，已知做一套M 型号的合金产品需要A 种金属0.6kg ，B 种金属0.9kg ，可获利润45元；做一套N 型号的合金产品需要A 种金属1.1kg ，B 种金属0.4kg ，可获利润50元．若设生产N 种型号的合金产品大数为x ，用这批金属生产这两种型号的合金产品所获总利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）在生产这批合金产品时，N 型号的合金产品应生产多少套，该厂所获利润最大？最大利润是多少？3. 某工厂有甲种原料69千克，乙种原料52千克，现计划用这两种原料生产A，B两种型号的产品共80件，已知每件A型号产品需要甲种原料0.6千克，乙种原料0.9千克；每件B型号产品需要甲种原料1.1千克，乙种原料0.4千克．请解答下列问题：（1）该工厂有哪几种生产方案？（2）在这批产品全部售出的条件下，若1件A型号产品获利35元，1件B型号产品获利25元，（1）中哪种方案获利最大？最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，工厂决定将所有利润的25%全部用于再次购进甲、乙两种原料，要求每种原料至少购进4千克，且购进每种原料的数量均为整数．若甲种原料每千克40元，乙种原料每千克60元，请直接写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案．4. 某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）5. 我市为改善农村生活条件，满足居民清洁能源的需求，计划为万宝村400户居民修建A、B两种型号的沼气池共24个．政府出资36万元，其余资金从各户筹集．两种沼气池的型号、修建费用、可供使用户数、占地面积如下表：沼气池修建费用（万元/个）可供使用户数（户/个）占地面积（平方米/个）A型 3 20 10B型 2 15 8政府土地部门只批给该村沼气池用地212平方米，设修建A型沼气池x个，修建两种沼气池共需费用y万元．（1）求y与x之间函数关系式．（2）试问有哪几种满足上述要求的修建方案．（3）要想完成这项工程，每户居民平均至少应筹集多少钱？6. 某地实行医保制度，并规定：一、每位居民年初缴纳医保基金70元；二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗发票为准，年底按表一的方式结算）报销看病的医疗费用．表一：居民个人当年看病的医疗费用医疗费用报销办法不超过n元的部分全部由医保基金承担（即全额报销）超过n元但不超过6000元的部分个人承担k%，其余由医保基金承担超过6000元的部分个人承担20%，其余由医保基金承担设一位居民当年看病的医疗费用为x元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．（1）当0≤x≤n时，y=70；当n<x≤6000时，y= ▲ (用含n、k、x的代数式表示）（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年看病的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n、k的值．表二：居民 A B C 个人看病所花费的医费用x（元）400 800 1500个人实际承担的医疗费用y（元）70 190 470（3）该地居民周大爷2013年看病的医疗费用共32000元，那么他这一年个人实际承担的医疗费用是多少元？7. 设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）若12111x x +=，求132m -的值； （2）求21212mx mx m 1x 1x +---的最大值．8. 湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A 、B 、C 三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆部不少于3辆．（1）设装运A 种椪柑的车辆数为x 辆，装运B 种椪柑车辆数为y 辆，根据下表提供的信息，求出y 与x 之间的函数关系式；（2）在（1）条件下，求出该函数自变量x 的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案； （3）为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴．若要使该外地运销客户所获利润W （元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W （元）的最大值？9. 某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量；（2）求y关于x的函数关系式；（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？10. 某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装，专卖店又缺少资金. “中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）.已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示. 该店支付员工的工资为每人每天82元，每天还应该支付其它费用为106元（不包含债务）.（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入=支出），求该店员工的人数；（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元11. 经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米／小时）是车流密度x（辆／千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为O千米/小时；当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为80千米／小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆／千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米／小时且小于60千米／小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆／小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．12. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？13．某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分别从出口A和经典C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分.探究：设行驶时间为t分（1）当0≤t≤s时，分别写出1号车，2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过点C？，并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数.发现：如图，游客甲在BC上一点K（不与点B,C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米.情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车；比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分，当行进到DA上一点P（不与D,A 重合）时，刚好与2号车相遇.（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；（2）设PA=s（0<s<800）米，若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？14．如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A，B两地相距千米；（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）客、货两车何时相遇？15.“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示．（1）求a的值．（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？16.某校举办八年级数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后计入总分。

2014高考数学终极冲刺押题卷：函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分)1．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )．A.13 B ．－13C.73D ．－13或532．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )．A ．1 B.12 C.52 D.223．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，324．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．0 D. 25．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )．A ．a ＞－3B ． a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13二、填空题(每小题5分，共15分)6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．7．函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________．8．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12x 2＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值．10．(12分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m ＜M )，使得对每一个t ∈[m ， M ]，直线y ＝t与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．11．(12分)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切的x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x.参考答案1．D [∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，若图象不过原点，则a ＝0时，f (－1)＝53，若图象过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.] 2．D [|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22.] 3．A [因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.]4．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1, 2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]5．B [令f (x )＝e ax＋3x ，可求得f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当f ′(x )＝3＋a e ax＝0成立时，显然有a ＜0，此时x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .由x ＞0，解得a ＜－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3)．]6．解析 由题得f ′ (x )＝12x 2－2ax －2b ＝0，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.∴a ＋b ≥2ab ，∴6≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取到最大值． 答案 97．解析 ∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴ f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或f ′(－1)＝3＋a ≤0且f ′(2)＝a ≤0，∴a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)． 答案 (－3,1)8．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝0，x 2＝2，当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)9．解 由已知，得f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋b .由f ′(0)＝0，得b ＝0，f ′(x )＝x (x －a －1)．(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－x 2＋1，f ′(x )＝x (x －2)，f (3)＝1，f ′(3)＝3.所以函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程为y －1＝3(x －3)， 即3x －y －8＝0.(2)存在x ＜0，使得f ′(x )＝x (x －a －1)＝－9， －a －1＝－x －9x＝(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ≥2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ＝6，a ≤－7，当且仅当x ＝－3时，a ＝－7.所以a 的最大值为－7. 10．解 (1)由f (e)＝2，得b ＝2.(2)由 (1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x . 从而f ′(x )＝a ln x . 因为a ≠0，故①当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞1，由f ′(x )＜0得， 0＜x ＜1； ②当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得，x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .由(2)可得，当x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又2－e＜2，所以函数f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点；并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点． 11．(1)解 f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 则①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，t 无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，[f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增．所以[f (x )]min ＝f (t )＝t ln t .所以[f (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t ＜1e ，t ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥1e .(2)解 2f (x )≥g (x )，即2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，h ′(x )＝x ＋x －x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以[h (x )]min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤[h (x )] min ＝4.故实数a 的取值范围是(－∞，4]．(3)证明 问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e，x ∈(0，＋∞)．由(1)可知f (x )＝x ln x ，x ∈(0，＋∞)的最小值为－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m (x )＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m ′(x )＝1－xex ，易得[m (x )]max ＝m (1)＝－1e.从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x 成立．。

2015中考压轴题代数之方程和不等式综合问题专题试题（附答案）中考压轴题中方程和不等式综合问题，主要是解答题，并且以方案型问题主，它的重点和难点在于找出等量关系和不等关系，列出方程和不等式求解。

原创模拟预测题1. 某学校为了绿化校园，决定从某苗圃购进甲、乙、丙三种树苗共80株，其中甲种树苗株树是乙种树苗株树的2倍，购买三种树苗的总金额不超过1320元，已知乙种树苗的单价是16元/株，乙种树苗的单价是甲种树苗的单价的，购买丙种树苗12株的金额等于购买甲种树苗20株的金额。

（1）甲、丙两种树苗的单价分别是多少元？（2）若要求甲种树苗的株树不超过丙种树苗的株树，请你帮助设计共有哪些购买方案？【答案】（1）设甲种树苗的单价是x元/株，丙种树苗的单价是y元/株，则根据题意，得，解得。

答：甲、丙两种树苗的单价分别是12元/株和20元/株。

（2）设至少购进乙种树苗z株，则根据题意，得，解得14≤x≤16。

∵z为整数，∴z＝14，15，16。

当z＝14时，2z ＝28，；当z＝15时，2z＝30，；当z＝16时，2z＝32，。

∴共有3种购买方案：购进乙14株，甲28株，丙80-14×3=38株；购进乙15株，甲30株，丙80-45=35株；购进乙16株，甲32株，丙80-48=32株。

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的整数解。

原创模拟预测题2. 郑州市花卉种植专业户王有才承包了30亩花圃，分别种植康乃馨和玫瑰花，有关成本、销售额见下表：种植种类成本（万元/亩）销售额（万元/亩）康乃馨 2.4 3 玫瑰花 2 2.5 （1）2012年，王有才种植康乃馨20亩、玫瑰花10亩，求王有才这一年共收益多少万元？（收益=销售额-成本）（2）2013年，王有才继续用这30亩花圃全部种植康乃馨和玫瑰花，计划投入成本不超过70万元.若每亩种植的成本、销售额与2012年相同，要获得最大收益，他应种植康乃馨和玫瑰花各多少亩？（3）已知康乃馨每亩需要化肥500kg,玫瑰花每亩需要化肥700kg，根据（2）中的种植亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载化肥的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输全部化肥比原计划减少2次.求王有才原定的运输车辆每次可装载化肥多少千克？【答案】（1）17万元；（2）康乃馨25亩，玫瑰花5亩；（3）4000千克【解析】答：要获得最大收益，应养殖康乃馨25亩，玫瑰花5亩；（3）设王有才原定的运输车辆每次可装载饲料a�K 由（2）得，共需要饲料为500×25+700×5=16000（�K），根据题意得，解得a=4000，把a=4000代入原方程公分母得，2a=2×4000=8000≠0，故a=4000是原方程的解．答：王有才原定的运输车辆每次可装载饲料4000�K．考点：一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用点评：解题的关键是列不等式求x的取值范围，再表示出函数关系求最大值，再列分式方程求解．原创模拟预测题3. 在“老年节” 前夕，某公司工会组织323名退休职工到浙江杭州旅游，旅游前，工会确定每车保证有一名随团医生，并为此次旅游请了8名医生，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客50人，乙种客车每辆载客20人。

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品 专题5 代数之方程和不等式综合问题专题5：代数之方程和不等式综合问题一、选择题1．（2016山东省泰安市）当x 满足24411(6)(6)32x x x x <-⎧⎪⎨->-⎪⎩时，方程2250x x --=的根是（ ） A ．16± B ．61- C ．16- D ．16+ 【答案】D ．【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x 的值．【解析】24411(6)(6)32x x x x <-⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得：2＜x ＜6，∵方程2250x x --=，∴x =16±，∵2＜x ＜6，∴x =16+．故选D ．考点：解一元一次不等式；一元二次方程的解． 2．（2016重庆市）从﹣3，﹣1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组1(27)330x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，且使关于x 的分式方程2133x a x x --=---有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣D ．12【答案】B ．【分析】根据不等式组1(27)330x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，求得a ≤1，解方程得x =52a -，于是得到a =﹣3或1，即可得到结论．【解析】解1(27)330x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩得1x x a ≥⎧⎨<⎩，∵不等式组1(27)330x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，∴a ≤1，解方程2133x a x x --=---得x =52a -，∵x =52a-为整数，a ≤1，∴a =﹣3或1，∴所有满足条件的a 的值之和是﹣2，故选B ． 考点：解分式方程；解一元一次不等式组；含待定字母的不等式（组）． 3．（2016重庆市）如果关于x 的分式方程1131+-=-+x xx a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9 【答案】D ．【分析】把a 看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a 的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a 的值，即可求出之积．【解析】2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩①②，由①得：x ≤2a +4，由②得：x ＜﹣2，由不等式组的解集为x ＜﹣2，得到2a +4≥﹣2，即a ≥﹣3，分式方程去分母得：a ﹣3x ﹣3=1﹣x ，把a =﹣3代入整式方程得：﹣3x ﹣6=1﹣x ，即72x =-，符合题意； 把a =﹣2代入整式方程得：﹣3x ﹣5=1﹣x ，即x =﹣3，不合题意； 把a =﹣1代入整式方程得：﹣3x ﹣4=1﹣x ，即52x =-，符合题意； 把a =0代入整式方程得：﹣3x ﹣3=1﹣x ，即x =﹣2，不合题意； 把a =1代入整式方程得：﹣3x ﹣2=1﹣x ，即32x =-，符合题意； 把a =2代入整式方程得：﹣3x ﹣1=1﹣x ，即x =1，不合题意； 把a =3代入整式方程得：﹣3x =1﹣x ，即12x =-，符合题意； 把a =4代入整式方程得：﹣3x +1=1﹣x ，即x =0，不合题意，∴符合条件的整数a 取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9，故选D ．考点：解一元一次不等式组；解分式方程．4．（2016山东省潍坊市）若关于x 的方程3333x m mx x++=--的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92 B ．m ＜92且m ≠32 C ．m ＞94- D ．m ＞94-且m ≠34-【答案】B ．【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x 的取值范围，进而得出答案．考点：分式方程的解．5．（2016广西贺州市）若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1 C ．a ≥1且a ≠4 D ．a ＞1且a ≠4 【答案】C ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a 的范围即可．【解析】去分母得：2（2x ﹣a ）=x ﹣2，解得：x =223a -，由题意得：223a -≥0且223a -≠2，解得：a ≥1且a ≠4，故选C ． 考点：分式方程的解．6．（2016黑龙江省齐齐哈尔市）若关于x 的分式方程222x mx x=---的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ）A ．1，2，3B ．1，2C ．1，3D ．2，3 【答案】C ．【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解析】等式的两边都乘以（x ﹣2），得：x =2（x ﹣2）+m ，解得x =4﹣m ，x =4﹣m ≠2，由关于x 的分式方程222x mx x=---的解为正数，得：m =1，m =3，故选C ． 考点：分式方程的解．7．（2016黑龙江省龙东地区）关于x 的分式方程231x mx -=+的解是正数，则字母m 的取值范围是（ ） A ．m ＞3 B ．m ＜3 C ．m ＞﹣3 D ．m ＜﹣3 【答案】D ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可．【解析】分式方程去分母得：2x ﹣m =3x +3，解得：x =﹣m ﹣3，由分式方程的解为正数，得到﹣m ﹣3＞0，且﹣m ﹣3≠﹣1，解得：m ＜﹣3，故选D ． 考点：分式方程的解．8．（2015枣庄）关于x 的分式方程211x ax -=+的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ） A ．1a ≥- B ．1a >- C ．1a ≤- D ．1a <- 【答案】B ．【考点】分式方程的解． 【解析】试题分析：分式方程去分母得：2x ﹣a =x +1，解得：x =a +1，根据题意得：a +1＞0且a +1+1≠0，解得：a ＞﹣1且a ≠﹣2．即字母a 的取值范围为a ＞﹣1．故选B ．9．（2015南宁）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号Max {a ，b }表示a 、b 中的较大值，如：Max {2，4}=4，按照这个规定，方程{}21x Max x x x+-=，的解为（ ） A ．21- B ．22- C ．12+或21- D ．12+或﹣1 【答案】D ．【考点】1．解分式方程；2．新定义；3．综合题．10．（2014年内蒙古包头、乌兰察布3分）关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 0+-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2＞0，x 1x 2＞0，则m 的取值范围是（ ）A ． 1m 2≤B ． 1m 2≤且m ≠0 C ． m ＜1 D ． m ＜1且m ≠0 【答案】B ．【考点】1．一元二次方程根的判别式；2．一元二次方程根与系数的关系；3．解一元一次不等式组． 【分析】∵关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 0+-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2＞0，x 1x 2＞0，∴()()22122122m141m0x x2m1>0x x m>0⎧∆=⎡-⎤-⋅⋅≥⎣⎦⎪⎪+=--⎨⎪⋅=⎪⎩，解得1m2m<1m0⎧≤⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩.∴m的取值范围是1m2≤且m≠0．故选B．11．（2014年四川德阳3分）已知方程3a1aa44a--=--，且关于x的不等式组x ax b≥⎧⎨≤⎩只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤3B．2＜b≤3C．8≤b＜9 D．3≤b＜4 【答案】D．【考点】1．解分式方程；2．一元一次不等式组的整数解．【分析】分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即（a﹣4）（a+1）=0，解得：a=4或a=﹣1，经检验a=4是增根，分式方程的解为a=﹣1．∴已知不等式组的解为：﹣1＜x≤b．∵不等式组只有4个整数解，即0，1，2，3，∴3≤b＜4．故选D．二、填空题12．（2016四川省内江市）任取不等式组30250kk-⎧⎨+⎩≤＞的一个整数解，则能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的概率为．【答案】13．【分析】首先求得不等式组30250kk-⎧⎨+⎩≤＞的一个整数解，关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数时，k的整数解，继而求得答案．考点：概率公式；一元一次不等式组的整数解． 13．（2016四川省攀枝花市）已知关于x 的分式方程111k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ＞12-且k ≠0． 【分析】先去分母得到整式方程（2k +1）x =﹣1，再由整式方程的解为负数得到2k +1＞0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到x ≠±1，即2k +1≠1且2k +1≠﹣1，然后求出几个不等式的公共部分得到k 的取值范围．【解析】去分母得k （x ﹣1）+（x +k ）（x +1）=（x +1）（x ﹣1），整理得（2k +1）x =﹣1，因为方程111k x kx x ++=+-的解为负数，所以2k +1＞0且x ≠±1，即2k +1≠1且2k +1≠﹣1，解得k ＞12-且k ≠0，即k 的取值范围为k ＞12-且k ≠0．故答案为：k ＞12-且k ≠0． 考点：分式方程的解．14．（2016河南省）若关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ＞94-． 【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解析】∵关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△=9﹣4×1×（﹣k ）=9+4k ＞0，解得：k ＞94-．故答案为：k ＞94-． 考点：根的判别式；解一元一次不等式．15．（2016浙江省杭州市）已知关于x 的方程2m x =的解满足325x y n x y n-=-⎧⎨+=⎩（0＜n ＜3），若y ＞1，则m 的取值范围是 ． 【答案】2253m <<． 【分析】先解方程组325x y n x y n-=-⎧⎨+=⎩，求得x 和y ，再根据y ＞1和0＜n ＜3，求得x 的取值范围，最后根据2m x =，求得m 的取值范围．【解析】解方程组325x y n x y n -=-⎧⎨+=⎩，得：221x n y n =+⎧⎨=-⎩．∵y ＞1，∴2n ﹣1＞1，即n ＞1．又∵0＜n ＜3，∴1＜n ＜3．∵n =x ﹣2，∴1＜x ﹣2＜3，即3＜x ＜5，∴11153x <<，∴22253x <<．又∵2m x=，∴2253m <<．故答案为：2253m <<． 考点：分式方程的解；二元一次方程组的解；解一元一次不等式．16．（2015重庆市）从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a ，则使关于x 的不等式组21162212x x a -⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩有解，且使关于x 的一元一次方程32123x a x a -++=的解为负数的概率为 ． 【答案】35． 【解析】试题分析：∵使关于x 的不等式组21162212x x a -⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩有解的a 满足的条件是a ＞32-，使关于x 的一元一次方程32123x a x a -++=的解为负数的a 的a ＜65，∴使关于x 的不等式组21162212x x a-⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩有解，且使关于x 的一元一次方程32123x a x a-++=的解为负数的a 的值为﹣1，0，1，三个数，∴使关于x 的不等式组21162212x x a-⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩有解，且使关于x 的一元一次方程32123x a x a -++=的解为负数的概率为35，故答案为：35． 考点：1．概率公式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题；5．压轴题．三、解答题17．（2016四川省泸州市）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？【答案】（1）A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元；（2）有两种方案：方案（1）：m=12，2m﹣4=20即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m﹣4=22即购买A 商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【分析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．18．（2016四川省资阳市）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【答案】（1）A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；（2）购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．【分析】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案；（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．19．（2016四川省达州市）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）500元餐桌 a 270餐椅a﹣110 70已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？【答案】（1）a=150；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元；（3）20．【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x 的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出结论．（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，设本次成套销售量为m套．依题意得：（500﹣160﹣4×50）m+（30﹣m）×（270﹣160）+（170﹣4m）×（70﹣50）=7950﹣2250，即6700﹣50m=5700，解得：m=20．答：本次成套的销售量为20套．考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；最值问题．20．（2016山东省东营市）东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？【答案】（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；（2）18．【分析】（1）设购买一个甲种足球需x 元，则购买一个乙种足球需（x +20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设这所学校再次购买y 个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可．考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题．21．（2016山东省日照市）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A 型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知，A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？【答案】（1）2000；（2）当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．【分析】（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【解析】（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得：8000080000(110%)200x x -=-，解得：x =2000． 经检验，x =2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由题意，得y =（1800﹣1500）a +（2400﹣1800）（60﹣a ），y =﹣300a +36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a ≤2a ，∴a ≥20．∵y=﹣300a+36000，∴k=﹣300＜0，∴y随a的增大而减小，∴a=20时，y最大=30000元，∴B型车的数量为：60﹣20=40辆，∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题．22．（2016山东省烟台市）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本12 8销售单价18 12生产提成 1 0.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）【答案】（1）甲型号的产品有10万只，则乙型号的产品有10万只；（2）安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，可获得最大利润91万元．【分析】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据销售收入为300万元列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W与y的一次函数，根据y的范围确定出W的最大值即可．考点：一元一次方程的应用；应用题；最值问题；一元一次不等式的应用．23．（2016广东省茂名市）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：（1）陈经理查看计划数时发现：A 类图书的标价是B 类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买A 类图书的数量恰好比单独购买B 类图书的数量少10本，请求出A 、B 两类图书的标价；（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A 类图书每本标价降低a 元（0＜a ＜5）销售，B 类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？【答案】（1）A 类图书的标价为27元，B 类图书的标价为18元；（2）当A 类图书每本降价少于3元时，A 类图书购进800本，B 类图书购进200本时，利润最大；当A 类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A 类图书购进600本，B 类图书购进400本时，利润最大．【分析】（1）先设B 类图书的标价为x 元，则由题意可知A 类图书的标价为1.5x ，然后根据题意列出方程，求解即可．（2）先设购进A 类图书t 本，总利润为w 元，则购进B 类图书为（1000﹣t ）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t 的取值范围，然后根据总利润w =总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案．【解析】（1）设B 类图书的标价为x 元，则A 类图书的标价为1.5x 元，根据题意可得：54054010 1.5x x -=，化简得：540﹣10x =360，解得：x =18，经检验：x =18是原分式方程的解，且符合题意，则A 类图书的标价为：1.5x =1.5×18=27（元）．答：A 类图书的标价为27元，B 类图书的标价为18元；（2）设购进A 类图书t 本，总利润为w 元，A 类图书的标价为（27﹣a ）元（0＜a ＜5），由题意得：1812(1000)16800600t t t +-≤⎧⎨≥⎩，解得：600≤t ≤800，则总利润w =（27﹣a ﹣18）t +（18﹣12）（1000﹣t ）=（9﹣a ）t +6（1000﹣t ）=6000+（3﹣a ）t ；故当0＜a ＜3时，3﹣a ＞0，t =800时，总利润最大；当3≤a ＜5时，3﹣a ＜0，t =600时，总利润最大；答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．24．（2016广西玉林市崇左市）蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．（1）昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？青菜西兰花进价（元/市斤） 2.8 3.2售价（元/市斤） 4 4.5（2）今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？（精确到0.1元）【答案】（1）250；（2）给青菜定售价为不低于4.1元/市斤．【分析】（1）设批发青菜x市斤，西兰花y市斤，根据题意列出方程组，解方程组青菜青菜和西兰花的重量，即可得出老王一共能赚的钱；（2）设给青菜定售价为a元；根据题意列出不等式，解不等式即可．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．25．（2016广西来宾市）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】（1）100；（2）1190元．【分析】（1）设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；（2）设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．【解析】（1）设该商家第一次购进机器人x个，依题意得：1100024000102x x+=，解得x=100．经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．答：该商家第一次购进机器人100个．（2）设每个机器人的标价是a元．则依题意得：（100+200）a﹣11000﹣24000≥（11000+24000）×20%，解得a≥1190．答：每个机器人的标价至少是1190元．考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．26．（2016广西河池市）某校需购买一批课桌椅供学生使用，已知A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套．（1）该校购买了A，B型课桌椅共250套，付款53000元，求A，B型课桌椅各买了多少套？（2）因学生人数增加，该校需再购买100套A，B型课桌椅，现只有资金22000元，最多能购买A型课桌椅多少套？【答案】（1）购买A型桌椅100套，B型桌椅150套；（2）66．【分析】（1）设购买A型桌椅x套，B型桌椅y套，根据“A，B型课桌椅共250套”、“A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套，付款53000元，”列出方程组并解答（2）设能购买A型课桌椅a套，则根据“最多能购买A型课桌椅多少套”列出不等式并解答即可．【解析】（1）设购买A型桌椅x套，B型桌椅y套，依题意得：25023020053000x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：100150xy=⎧⎨=⎩．答：购买A型桌椅100套，B型桌椅150套；（2）设能购买A型课桌椅a套，依题意得：230a+200（100﹣a）≤22000，解得a≤2003．∵a是正整数，∴a最大=66．答：最多能购买A型课桌椅66套．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；最值问题．27．（2016广西贵港市）为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．（1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；（2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a万元，请求出a的取值范围．【答案】（1）20%；（2）720＜a≤828．【分析】（1）等量关系为：2014年投入科研经费×（1+增长率）2=2016年投入科研经费，把相关数值代入求解即可；（2）根据：201720162016年的科研经费年的科研经费年的科研经费×100%≤15%解不等式求解即可．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用；增长率问题．28．（2016广西钦州市）某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：价格类型进价（元/箱）售价（元/箱）A 60 70B 40 55（1）若该商行进贷款为1万元，则两种水果各购进多少箱？（2）若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的13，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？【答案】（1）A种水果进货100箱，B种水果进货100箱；（2）进货A种水果50箱，B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元．【分析】（1）根据题意可以得到相应的方程，从而可以得到两种水果各购进多少箱；（2）根据题意可以得到利润与甲种水果的关系式和水果A 与B 的不等式，从而可以解答本题．【解析】（1）设A 种水果进货x 箱，则B 种水果进货（200﹣x ）箱，60x +40（200﹣x ）=10000，解得，x =100，200﹣x =100，即A 种水果进货100箱，B 种水果进货100箱；（2）设A 种水果进货x 箱，则B 种水果进货（200﹣x ）箱，售完这批水果的利润为w ，则w =（70﹣60）x +（55﹣40）（200﹣x ）=﹣5x +3000，∵﹣5＜0，∴w 随着x 的增大而减小，∵x ≥13（200-x ），解得，x ≥50，当x =50时，w 取得最大值，此时w =2750，即进货A 种水果50箱，B 种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；最值问题．29．（2016北京市）关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）m ＞54-；（2）m =1，10x =，23x =-． 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m =1，将m =1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个不相等的实数根，∴△=22(21)41(1)m m +-⨯⨯-=4m +5＞0，解得：m ＞54-． （2）m =1，此时原方程为230x x +=，即x （x +3）=0，解得：10x =，23x =-．考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式．30．（2016宁夏）某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．（1）求每行驶1千米纯用电的费用；（2）若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？【答案】（1）0.26；（2）74．【分析】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；（2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式即可解答本题．【解析】（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，76260.5x x=+解得，x=0.26．经检验，x=0.26是原分式方程的解，即每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，0．26y+（260.26﹣y）×（0.26+0.50）≤39，解得，y≥74，即至少用电行驶74千米．考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．31．（2016四川省凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【答案】（1）A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）共有三种方案，详见解析，购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．【分析】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．【解析】（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，则：3640231080x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：240200xy=⎧⎨=⎩．即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，则：1210(20)230 240200(20)4500 x xx x+-≤⎧⎨+-≥⎩，。

函数与不等式综合题摘要：1.函数与不等式的概念和基本知识2.函数与不等式的综合应用3.函数与不等式综合题的解题技巧和方法4.函数与不等式综合题的实例分析正文：一、函数与不等式的概念和基本知识函数是一种将输入值（自变量）映射到输出值（因变量）的数学关系。

在数学中，函数通常表示为一个数的集合（函数的定义域）到另一个数的集合（函数的值域）的映射。

不等式是数学中表示不等关系的一种表达方式，它由不等号（如“>”、“<”、“≤”、“≥”等）连接两个数或表达式。

二、函数与不等式的综合应用在实际问题中，函数与不等式常常综合在一起，形成一种综合性的数学问题。

这类问题不仅需要对函数的性质和不等式的解法有深入的了解，还需要运用逻辑思维和数学分析能力，找出问题的关键所在，进行有效的求解。

三、函数与不等式综合题的解题技巧和方法1.确定问题的主要矛盾：在解决函数与不等式综合题时，首先要明确题目所求，找出问题的主要矛盾，是求函数的极值、最值，还是解不等式。

2.分析函数的性质：根据函数的性质，如单调性、凸性、周期性等，可以快速排除一些不可能的情况，缩小问题的求解范围。

3.运用不等式的解法：不等式的解法有很多种，如解不等式的基本步骤、符号法、数轴法、韦达定理等，可以根据题目的特点，灵活运用合适的解法。

4.代换和化归：在解决函数与不等式综合题时，可以尝试将问题进行代换，将复杂问题化归为简单问题，或将未知量表示为已知量的函数，从而简化问题。

5.数形结合：函数与不等式综合题的解题过程中，可以尝试将函数的图形和不等式的解集进行结合，通过直观的图形，更好地理解问题的性质和解的情况。

四、函数与不等式综合题的实例分析例：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求解不等式|f(x)|>1 的解集。

解：首先，求出函数f(x) 的导数f"(x)=3x^2-6x+2，并令其等于0，解得x=1 或x=2/3。

然后，根据函数的单调性和极值，可以得出f(x) 在(-∞,1) 和(2/3,+∞) 上单调递增，在(1,2/3) 上单调递减。

专题05代数之方程和不等式综合问题-决胜2024中考数学压轴题全揭秘资料决胜2024中考数学压轴题是一道涵盖了代数中方程和不等式的综合问题。

下面我们来揭秘这道压轴题的全过程。

题目：学校举办了一场图书捐赠活动，献爱心小组计划邀请各班同学自愿捐赠图书，每本捐赠的图书为5元。

最终，该学校共收到了35份捐赠表，其中一部分同学表示愿意捐赠1本图书，其余同学表示愿意捐赠2本图书。

已知捐赠1本图书的同学共计x名，捐赠2本图书的同学共计y名。

假设每个班的人数一样多，且每个班都有至少5名同学参加了捐赠活动。

经过统计，共捐赠了95本图书。

通过分析问题，回答以下问题：1.数学老师发现，每个班的人数最多有多少人？2.经过统计，捐赠图书的同学占比不超过全校总人数的50%，求全校最多有多少名学生？3.参加图书捐赠活动的同学占全校人数的40%，求全校学生人数的范围。

解答过程如下：1.数学老师发现，每个班的人数最多有多少人？我们假设每个班的人数为n。

已知捐赠1本图书的同学共计x名，捐赠2本图书的同学共计y名。

根据题意，每个班都有至少5名同学参加了捐赠活动。

因此，我们可以列出不等式：x+2y≥5又题目中表示共有35份捐赠表，因此有方程：x+y=35我们将这两个方程联立求解。

首先，将方程x+y=35变为x=35-y。

将这个值代入到不等式x+2y≥5中，得到：35-y+2y≥5化简得到：y≤30所以，每个班的人数最多有30人。

2.经过统计，捐赠图书的同学占比不超过全校总人数的50%，求全校最多有多少名学生？我们假设全校学生人数为s。

根据题意，捐赠图书的同学共计95人，且占比不超过全校总人数的50%。

因此，我们可以列出不等式：95≤0.5s化简得到：s≥190所以，全校最多有190名学生。

3.参加图书捐赠活动的同学占全校人数的40%，求全校学生人数的范围。

我们假设全校学生人数为s。

根据题意，参加图书捐赠活动的同学占全校人数的40%。

因此，我们可以列出不等式：95≤0.4s化简得到：s≥237.5所以，全校学生人数的范围是大于等于238人。

初中数学关于函数与不等式的综合题型练习在初中数学的学习中，函数与不等式是两个重要的知识点，而将它们综合起来的题型更是对我们知识掌握和运用能力的一种考验。

通过练习这类综合题型，能够帮助我们更好地理解和掌握这两个关键概念，提高我们的数学思维和解题能力。

函数是描述两个变量之间关系的数学工具，它可以用解析式、图像或表格等形式来表示。

常见的函数类型有一次函数、二次函数等。

一次函数的一般式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0），其图像是一条直线。

二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），图像是一条抛物线。

不等式则是用不等号（大于＞、小于＜、大于等于≥、小于等于≤ ）连接两个表达式的式子。

当函数与不等式结合在一起时，通常需要我们根据函数的表达式、图像等信息来求解不等式，或者根据不等式的条件来确定函数的取值范围等。

让我们来看一道典型的综合题型：已知一次函数 y ＝ 2x 1，当 y ＜ 3 时，求 x 的取值范围。

首先，因为 y ＝ 2x 1 且 y ＜ 3，所以我们可以得到不等式 2x 1 ＜3。

接下来解这个不等式：2x 1 ＜ 32x ＜ 4x ＜ 2所以，当 y ＜ 3 时，x 的取值范围是 x ＜ 2。

再看一个二次函数与不等式结合的例子：已知二次函数 y ＝ x² 2x 3，求当－1 ≤ x ≤ 3 时，y 的取值范围。

先将二次函数化为顶点式：y ＝（x 1)² 4，可知其顶点坐标为（1, －4) 。

当 x ＝－1 时，y ＝（－1 1)² 4 ＝ 0当 x ＝ 3 时，y ＝（3 1)² 4 ＝ 0因为抛物线开口向上，所以在－1 ≤ x ≤ 1 上，y 随 x 的增大而减小；在 1 ＜x ≤ 3 上，y 随 x 的增大而增大。

所以，当－1 ≤ x ≤ 3 时，y 的取值范围是－4 ≤ y ≤ 0 。

在解决函数与不等式的综合题型时，绘制函数图像往往能给我们带来很大的帮助。

函数与不等式综合题【原创实用版】目录1.函数与不等式的概念2.函数与不等式的关系3.函数与不等式综合题的解题方法4.函数与不等式综合题的实例解析5.总结与展望正文一、函数与不等式的概念函数是数学中描述一种特定关系的方法，通常表示为一个数的集合（自变量）与另一个数的集合（因变量）之间的对应关系。

不等式是数学中表示大小关系的一种符号，它反映了两个数或者代数式之间的大小关系。

二、函数与不等式的关系函数和不等式在数学中有着密切的关系，它们经常一起出现在各种数学问题中。

函数可以看作是一种特殊的不等式，即当自变量取某个值时，因变量的值大于或小于某个数。

而不等式则可以看作是函数在某个特定值下的取值范围。

三、函数与不等式综合题的解题方法解函数与不等式综合题，通常需要结合函数的性质和不等式的解法。

首先，要正确理解题意，找出题目中的函数关系和不等式关系。

然后，利用函数的性质，如单调性、奇偶性等，将问题进行转化。

最后，结合不等式的解法，如解不等式组、求不等式的解集等，求解出题目的答案。

四、函数与不等式综合题的实例解析例如，已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求解不等式 f(x) > 0 的解集。

首先，将不等式 f(x) > 0 转化为 x^2 - 3x + 2 > 0 的形式。

然后，通过求解该二次不等式的解集，得到 x < 1 或 x > 2。

因此，不等式 f(x) >0 的解集为{x | x < 1 或 x > 2}。

五、总结与展望函数与不等式是数学中常见的两个概念，它们在实际问题中经常一起出现。

对于函数与不等式综合题，我们需要熟练掌握函数的性质和不等式的解法，以便能够正确理解和解决这类问题。

特定函数1. 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。

具体而言，给定两个集合X和Y，如果对于X中的每个元素x，都有唯一确定的Y中元素y与之对应，则称这个规则为函数。

通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

特定函数指的是一类特殊的函数，其定义域和值域都是特定的集合。

根据定义域和值域的不同特点，特定函数可以分为多种类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

2. 函数的用途特定函数在数学和应用领域中有广泛的应用。

它们可以描述各种实际问题，并提供解决问题的方法和工具。

•线性函数：线性函数描述了两个变量之间呈现线性关系的规律。

它们在经济学、物理学、工程学等领域中被广泛使用。

例如，在经济学中，成本与产量之间通常存在线性关系；在物理学中，速度与时间之间也常常呈现线性关系。

•二次函数：二次函数描述了一个变量与其平方之间的关系。

它们在几何学、物理学和金融学中有重要应用。

例如，在几何学中，二次函数可以描述抛物线的形状；在物理学中，二次函数可以描述自由落体运动的轨迹；在金融学中，二次函数可以用来建模股票价格的变化。

•指数函数：指数函数描述了一个变量的指数增长或指数衰减规律。

它们在生物学、经济学和计算机科学等领域中被广泛使用。

例如，在生物学中，指数函数可以描述细菌或病毒的增长；在经济学中，指数函数可以用来建立复利计算模型；在计算机科学中，指数函数可以用于分析算法的时间复杂度。

•对数函数：对数函数是指数函数的逆运算。

它们在概率论、信息论和密码学等领域具有重要作用。

例如，在概率论中，对数函数可以将乘法转化为加法，简化计算过程；在密码学中，对数函数可以用来加密和解密信息。

3. 函数的工作方式特定函数的工作方式取决于其具体形式和性质。

•线性函数：线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。

通过改变a和b的值，可以改变直线的斜率和位置。

全国各地中考试题压轴题精选讲座五函数、方程、不等式问题【知识纵横】函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。

也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。

又如例4复合了一次函数、二次函数，并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。

【典型例题】【例1】（天津市）已知抛物线c bx ax y ++=232，（1）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（2）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （3）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．【思路点拨】（Ⅰ）令y=0，求方程的两根；（2）考虑判别式；（3）由不等式及结合图像解之。

【例2】（黄石市）如图，已知抛物线与x 轴交于点(20)A -，，(40)B ，，与y 轴交于点(08)C ，．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得点P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F其对称轴平移，使抛物线与线段EF 单位长度？【思路点拨】（2）设(2)P t ，,建立关于t 的方程； （3）考虑抛物线向上平移、向下平移两种情况。

【例3】（吉林长春）已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时，217y =；且二次函数2y 的图象的对称轴是直线1x =-．222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，（1）求k 的值；（2）求函数12y y ，的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由． 【思路点拨】（1）2y ＝（y 1 + y 2）—1y ；（2）由对称轴的方程，求出a 的值；（3）考虑方程根的判别式。

点及函数综合题优秀版一、函数自变量取值范围(二次根式有意义、分式有意义、分式值为零)1．分式型函数21xy x =+中，自变量x 的取值范围是________。

2．根式型函数y =的自变量x 的取值范围是_______。

3．组合型在函数y =中，自变量x 的取值范围是____。

二、代数式化简、求值已知12x y =，求2222222x x y yx xy y x y x y -⋅+-++-的值。

三、解不等式组解不等式组()2452213x x x x ⎧++⎪⎨-<⎪⎩≤，把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解。

四、一次函数与反比例函数1．待定系数法求解析式与直线平移 2．特殊直线已知：如图，一次函数33y x m =+与反比例函数3y x=的图象在第一象限的交点为A (1，n )。

⑴求m 与n 的值；⑵设一次函数的图像与x 轴交于点B ，连接OA ，求∠BAO 的度数。

3．简单函数与不等式和方程结合已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)与反比例函数(0)my m x=≠的图象交于A 、B 两点，且点A 的坐标为(2，3)。

⑴求正比例函数及反比例函数的解析式；⑵在所给的平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据图象直接写出点B 的坐标及不等式mkx x>的解集。

4．直线分图形面积5．直线翻折五、二次函数3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象C 1经过点A (-1，0)，B (2，0)，顶点为P 。

⑴若二次函数的图象C 1向右平移2个单位恰好经过点(3，-2)，求平移后的图象的解析式。

⑵直线y ＝2x 先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到的直线与图象C 1恰好有一个交点，求a 的值。

⑶若将二次函数的图象C 1向上平移b 个单位得到图象C 2，C 1和C 2的组合图象与x 轴恰好有三个交点；若将二次函数的图象C 1向右平移b 个单位得到图象C 3，C 1和C 3的组合图象与x 轴恰好也有三个交点，求a 的值。

中考数学冲刺班复习资料 代数部分第五章 不等式及不等式组一、基础知识：一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。

（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。

2、不等式的性质：（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b （2）a – b=0⇔a=b （3）a –b ＜0⇔a ＜b 4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >（2）a ＞b ＞0⇔22b a <二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。

三、不等式（组）的类型及解法 1、一元一次不等式：（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

二、例题讲解类型一：不等式的基本性质例1：1）如果b a <，那么下列不等式中成立的是（ ）A 、11-<-b aB 、b a -<-C 、33ba > D 、bc ac < 2）若不等式a x a ->-1)1(的解集为1-<x ，则a 的取值范围是 类型二：一元一次不等式的解 例2：解不等式 :312-≥x x类型三：一元一次不等式组的解例3：解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+3122423x x x x 的自然数解类型四：一元一次不等式（组）解的应用例4：1）不等式64-x ≥157-x 的正整数解是 . 2）不等式－1≤x 23-＜6的所有整数解的和是 。

函数与不等式综合题一、引言在数学中，函数与不等式是两个非常重要的概念。

函数是一种映射关系，它可以将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

而不等式则描述了数值之间的大小关系。

本文将探讨函数与不等式的综合题，旨在理解和掌握函数与不等式的运用。

二、函数综合题2.1 一元函数综合题一元函数综合题指的是只有一个自变量的函数题目。

在解决一元函数综合题时，我们需要了解函数的性质和运算规则，并灵活运用函数的概念，例如函数的定义域、值域、单调性、极值等。

2.1.1 例题1：给定函数f(x)=x2−3x+2，求f(x)的零点或根。

解析：我们知道，函数的零点或根就是使函数取零值的自变量值。

对于给定的函数f(x)=x2−3x+2，我们需要解方程f(x)=0。

将函数代入方程，得到x2−3x+2=0。

通过因式分解或求根公式，我们可以得到两个根，分别为x=1和x=2。

所以f(x)的零点或根为x=1和x=2。

，求g(x)的定义域。

2.1.2 例题2：给定函数g(x)=2x+1x−3解析：函数的定义域为使函数有意义的自变量的取值范围。

对于给定的函数g(x)=2x+1，我们首先要寻找函数在哪些点不可取。

由于分母不能为零，所以要x−3使分母x−3不为零，即x≠3。

又由于分式的定义需要满足有理数的要求，所以我们得到定义域D(g)={x|x∈ℝ,x≠3}。

2.2 多元函数综合题多元函数综合题指的是含有多个自变量的函数题目。

在解决多元函数综合题时，我们需要了解多元函数的性质和运算规则，并运用函数的概念和相关知识，例如偏导数、最值等。

2.2.1 例题3：给定函数 f (x,y )=x 2+y 2 ，求函数 f (x,y ) 的最小值和最小值点。

解析：对于给定的函数 f (x,y )=x 2+y 2 ，我们要找到函数取得最小值的点。

首先，我们计算函数的偏导数 ∂f ∂x 和 ∂f ∂y 。

由于这两个偏导数都等于 2 ，所以函数 f (x,y ) 的偏导数为常数。