优选--一元二次方程根的分布.doc

布2023-11-07•定义和公式•根的分布情况•图像表示目录•实例分析•解题技巧和注意事项•练习题与答案01定义和公式定义一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。

说明一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法可以将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情况。

一元二次方程的标准形式一元二次方程的解是满足方程的根，记作$x_{1}, x_{2}$。

定义根据判别式的性质，一元二次方程的解的情况分为三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根。

判别式$b^2 - 4ac$是判断一元二次方程解的分布情况的依据。

说明一元二次方程的解02根的分布情况当判别式Δ大于0时，一元二次方程有两个不相等的实根。

两根不等实根与系数关系图像表示两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

在实数平面上表示为两个不相交的直线。

030201当判别式Δ等于0时，一元二次方程有两个相等的实根。

两根相等两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

实根与系数关系在实数平面上表示为一条直线。

图像表示当判别式Δ小于0时，一元二次方程有两个不相等的虚根。

两根不等且虚根两个虚根的实部为0。

实部为0两个虚根的虚部为√(-Δ)/a。

虚部与系数关系在复数平面上表示为两个相交的直线。

图像表示当Δ < 0时，方程的根的分布03图像表示图像表示一元二次方程的解实数根对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果 $a > 0$，那么该方程有两个实数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。

虚数根如果 $a < 0$，那么该方程有两个共轭虚数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$。

专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线． （1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。

一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。

2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。

3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。

一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。

判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。

在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。

它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。

求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。

因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。

二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。

牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。

在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。

一元二次方程根的分布典型例题（原创版）目录一、一元二次方程根的分布概念二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系三、一元二次方程根的分布的求解方法四、典型例题解析五、总结正文一、一元二次方程根的分布概念一元二次方程根的分布是指一元二次方程的实根在数轴上的位置分布。

一元二次方程的根与二次函数图象与 x 轴的交点横坐标相对应，因此，研究一元二次方程根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来探究。

二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系一元二次方程的根的分布情况与二次函数图象的开口方向、顶点位置以及与 x 轴的交点个数有关。

根据二次函数图象的特点，可以将一元二次方程根的分布分为以下三种情况：1.当二次函数图象开口向上时，一元二次方程有两个实根，且两根分别位于顶点两侧；2.当二次函数图象开口向下时，一元二次方程没有实根；3.当二次函数图象与 x 轴相切时，一元二次方程有一个实根。

三、一元二次方程根的分布的求解方法求解一元二次方程根的分布，需要先确定二次函数图象的顶点位置和开口方向。

具体步骤如下：1.根据一元二次方程的系数，确定二次函数的关系式；2.求解二次函数的顶点横坐标；3.根据顶点位置和开口方向，判断一元二次方程的根的分布情况。

四、典型例题解析例题：已知一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0，求其根的分布。

解：首先，根据方程的系数，得到二次函数的关系式为 y = x^2 - 3x - 10。

然后，通过配方法或公式法求解得到顶点横坐标为 x = -b / 2a = 3 / 2。

由于二次函数图象开口向上，且与 x 轴有两个交点，因此，一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0 有两个实根，且两根分别位于顶点两侧。

五、总结一元二次方程根的分布是初中数学一元二次函数的基础内容。

通过研究一元二次方程根的分布问题，我们可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来更好地理解和掌握一元二次方程的性质。