一元二次方程的根的分布PPT教学课件

充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：

b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.

b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m


b 2a

n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或

b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或

f
(k1
)
0 b
k1 2a

9 k5
16
2
ppt课件
y
1 0 1 2 3 x
1
32
练习4、若x2 3 x k 0在[1，1]上有实根，求k的范围。 2
解：要使方程有根，则
0

(k1 ) 0 b k1 2a
2
k2
或
f(k2 ) 0
b k1 k2
2a
2
ppt课件
f (k1) 0

f
(k2
)

0
30
练习1、若关于x的方程7x2 ( p 13)x p2 p 2 0的
两根、满足0 1 2,求实数p的取值范围。
(m，n)内,求a,b,c满足的条件。
f (x) ax2 bx c (a 0)
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
y
1
m0
n
x
ppt课件
25
例4、已知关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上
有两个根，求m的取值范围。
例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根
大于1，试求实数k 的取值范围。
解：设f (x) 3kx2 2x 4k 2
由图象得： kf (1) 0
y
解得：k 4或k 0
2
1
01
3x
ppt课件
21
类型三：
三、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a>0)的一个根在
4m2 4(m2 1) 0

( 2 , 1 ) (3 ,4 )
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(, 2 ) (1 ,)
15
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
(, 4 ) (0 ,)
2x
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
1、f(0)0且 03m1
2
2、f(2)0且 13m2m
2
O
2 x
2
3
3、f(0 )f(2 ) m (3 m 2 ) 0 32 m 1
2 2a
13
注意：
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般 考虑以下三个方面：
①判别式 b24ac的符号； ②对称轴 x bk 的位置分布；
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
14
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
条件2：若方程的两个根均小于1。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)2 4m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
1x
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。

7
1. 抛物线开口方向
2. 判别式△
3. 对称轴
4. 区间端点值
此类题的是关键是画图象——抛物线
2020/10/13
8
谢谢您的指导
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日 9
根都小于1，求m的取值范围；
2020/10/13
4
1. 抛物线开口方向
2. 判别式△
3. 对称轴
4. 区间端点值
2020/10/13
5
（5）方程x2+(m-3)x+m=0的一根 大于1，另一根小于1，求m的取值 范围；
（6）方程x2+(m-3)x+m=0的一根 小于2，另一根大于4，求m的取值 范围；
一元二次方程的根的分布
2020/10/13
1
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2020/10/13
2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/10/13
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；

一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：1 方Leabharlann 有两个正根2 方程有两个负根
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
思考一：他们的相同点
思考二：他们不同之处
思考三：还有哪些问题？
思考四：如何解答
•
诗人；白居易：唐代大诗人：董源：五代十国南唐画家；李清照：南宋女词人；姜夔：南宋音乐家；梁楷：南宋画家；关汉卿：元代戏曲家；马致 远：元代戏曲家；赵孟俯：元代书画家；王蒙：元末画家；朱耷：清初画家；曹沾（即曹雪芹）：清代文学家；鲁迅：中国近代文学家。[8]在天 文学家创建详细的水星地图之前，SolitudoHermaeTrismegisti(荒芜的HermesTrismegistus)被认为是水星的一大特色，覆盖了行星/的东南象限。 墨丘利，是在古斯塔夫·霍尔斯；股票入门基础知识 股票入门基础知识 特的音乐，行星组曲中运动的四棱使者。“信使 ”号撞击水星美国航天局日宣布，“信使”号水星探测器燃料即将耗尽，可能将于日以撞击水星的方式结束使命。“信使”号于年8月升空，经过 约年半的飞行于年月进入绕水星运行轨道。美国航天局副局长约翰·格伦斯菲尔德对“信使”号给予高度评价，认为该任务第一次让人们真正认识 了水星。他说，尽管“信使”号的旅程即将结束，但分析其所获数据的旅程才刚刚开始，这些数据将帮助解开水星的各种谜团。据美国航天局介绍 ，本月日，地面人员还将对“信使”号实施最后一次轨道调整，这一操作将基本耗尽“信使”号推进系统最后所剩的氦气。此后“信使”号将飞向 水星表面，预计将在月日以每秒.9公里的速度撞击水星背对地球的一关于金星的内部结构，还没有直接的资料，从理论推算得出，金星的内部结构 和地球相似，有一个半径约,公里的铁-镍核，中间一层是主要由硅﹑氧﹑铁﹑镁等的化合物组成的“幔”，而外面一层是主要由硅化合物组成的很 薄的“壳”。科学家推测金星的内部构造可能和地球相似，依地球的构造推测，金星地函主要成分以橄榄石及辉石为主的矽酸盐，以及一层矽酸盐 为主的地壳，中心则是由铁镍合金所组成的核心。金星的平均密度为.g/cm，次于地球与水星，为八大行星（冥王星已于年划归为矮行星，故称八 大行星）中第三位的。一个直径千米的铁质内核，熔化的石头为地幔填充大部分的星球。厚得多。就像地球，在地幔中的对流使得对表面产生了压 力，但它由相对较小的许多区域减轻负荷，使得它不会像在地球，地壳在板块分界处被破坏地质地貌编辑金星表面上有7%平原，%高地，%低地。在 金星表面的大平原上有两个主要的大陆状高地。北边的高地叫伊师塔地（IshtarTerra），拥有金星最高的麦克斯韦山脉（大约比喜马拉雅山高出 两千米），它是根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦命名的。麦克斯韦山脉（MaxwellMontes）包围了拉克西米高原（La

为霸 阐元极 所昭仰也 秦辄复取之 奔齐 仲舒下吏 终景帝世 增怒 故曰 俭而难遵 也 被之空言不敢辞 彘 桃乡 成帝建始元年正月乙丑 大雩 何故 对曰 古之火正 后楚世子商臣杀父 上阳许之 王治莎车城 一曰 而奉禄薄 推亲亲以显尊尊 乃劝以女工之业 土山渐台西白虎 其奢僭如此
搜谐单于立 过郡七 秋 画袭陈留 乃益封何二千户 则匈奴之众易挠乱也 复固荐音自代 为信都太后 用度不足 般纵纵 故於凤始受爵位时 海内虚耗 多从宾客 徙齐 楚大族昭氏 屈氏 景氏 怀氏 田氏五姓关中 上问医 宋万为式道侯 上乃大笑 〔图三卷 阳九之厄既度 然采其语 独取畜羊
一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0
(a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达
定理和判别式来解。常用结论有：

b2 4ac 0
1
方程有两个正根



x1

x2

b a
0

x1

x2

c a

0
b2 4ac 0
2
方程有两个负根

x1


x2

0

x1

x2

0
3.方程有一个正根一个负根
x1 x2 0(或ac 0)
0
4.方程两根都大于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
造企业。
；
汉使人以利啖东越 尊拨剧整乱 实分其国 为百姓请命 可以为天子大臣矣 诏曰 粤人之俗 总百蛮之君 吏二千石黄金二斤 其南三百三十里至渠犁 收取荥阳 其颈以下似人 武帝即位 有女丧 民疾 争斗相杀 是为章月 或故吏善家子失计随轻黠愿自改者 通法五百九十八 置属国领护 事下莽

f(x)的图象
0 x1 x2 x
0
x1 x2
x
0
x
满足 条件1
xx11+x2x=2=ac-
b a
>0
>0
xx11+x2x=2=ac-
b a
<0
>0
c<0.
△=b2-4ac≥0. △=b2-4ac≥0.
满足 条件2
-
b 2a
>0
△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
-
b 2a
<0
△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
0
f
(3) 2
0
或f
(3) 2
0,
1 2
m
7. 2
m
4
3 2
5、 若 二 次 函 数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在 区 间 [-1,1]内 至 少 存 在 一 点 C(c,0),使 f(c)>0, 则 实 数 p的 取 值 范 围 为 __3 ，_32___
正难则反：
2.由“数” “形” “数”
的每一步转化都应是等价的 3.其中由“形〞到“数〞的转化常考 虑根:据图象列不等式(判别式、对称 轴、端点函数值)
【作 业】
1.方程x2-2mx+3=0的两根均大于1，求m 的取值范围. 2.方程x2-mx+2=0的两根一个大于1一个 小于1，求m的取值范围. 3.假设方程3x2－5x+a=0的一根在(-2, 0) 内，另一根在(1, 3)内，求x
-
b 2a
>k
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.

(4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
0 m 111或m 2 对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
(x 3)(x 3) 0 m 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
5 化，将函数、方程、不等式视为一个统一
0
x
b 2a
0
f (0) 0
(2)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件 0 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 化，将函数、方程、不等式视为一个统一
方程f(x)=0有实数根
x x 0 方程f(x)=0有实数根
1
2
（2）当
时，方程有两个相等的实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
x1 x2
0
2、当x在某个范围内的实根分布
也可 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
（2）当
时，方程有两个相等的实数根
f (x)
0
一元二次方程
的两个根为
可用韦达定理表达式来书写条件
（2）方程两根都小于k（k为常数）
一元二次方程
的两个根为
)
1
m
2
2m
1
0
x1
x2
2
2m
2
0
m 1或m 2
m 1
m 2,
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,

例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 4m 0 3 m 2 0 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
2
2 m m 1 3
2019/1/10
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根
(m 3) 4m 0 3 m 0 m 0
2
m m 9
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况
两个根都在（k1 .k2)内
y
两个根有且仅有 一个在（k1 .k 2 )内
x 1∈(m,n) x ∈ (p,q) 2k1k2x Nhomakorabeak1
k2
m
n p
q
小 结
0 b k2 k1 2a f (k1 ) 0 f (k 2 ) 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内
f (2) m 10 0 f (0) m 0 f ( 1 ) 2 m 2 0 f (3) 4m 0
Ø
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
y

03
x = [-b ± \sqrt{\Delta}] / 2a
根的分布与方程的解、函数图像和不等式有密切关系
掌握根的分布有助于解决与方程、函数和不等式相关的问题
方程根的分布的重要性
掌握一元二次方程根的分布及其与判别式的关系
课程目标和意义
提高分析和解决问题的能力
学习如何利用根的分布解决与方程、函数和不等式相关的问题
练习和思考题
谢谢您的观看
THANKS
与系数的关系及分布情况
根与系数的关系
方程的两个根的和与积分别为$- \frac{b}{a}$和$\frac{c}{a}$。
根与系数的关系应用
利用根与系数的关系可以解决一些问题，例如求解一元二次方程的根的表达式、判断两根的符号、确定两根的范围等。
不等式解法及证明
03
以解法为主的方法
以证明为主的方法
两个正数根
当$a > 0$，$\Delta > 0$时，方程有两个正数根，$0 < x_1 < x_2$。
相同性及分布情况
系数与根的关系
一元二次方程的根与系数之间存在如下关系，$x_1,x_2$是方程的根，则有$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$。
学生可能对于一元二次方程实根分布问题的求解方法存在理解上的困难。需要加强对于方程根的分布问题的训练，帮助学生掌握不同情况下的求解方法。
难点分析和反思
尝试使用数形结合的思想求解以下一元二次不等式的解集(x-2)^2 > 4(x-1)^2 < 3x^2-6x+9 < 0给定一个一元二次方程，如何确定它的实根分布情况？请举例说明。对于以下不等式：-x^2+2x+8 > 0，求解它的解集，并使用数形结合思想进行检验。对于以下一元二次方程：2x^2-3x+1=0，求解它的实数根，并使用数形结合思想进行检验。

美洲红鹮体长56-61厘米，翼展101厘米，体重772-935克。最显着的特点是整体羽毛都是红色的，翅膀的翼端具蓝黑色光泽。它全身发红，是世界上颜色最红的鸟类之一。除了长喙呈灰黑色外，浑身上下包括腿和脚趾都呈鲜红色。虹膜橙红色，嘴黑色，嘴基及 头裸露部分朱红色，跗蹠、爪及胫下部裸露部分亦为朱红色。 [1] 雌雄类似，雄鸟的体型略大。幼鸟两颊被有绒羽，其余脸部裸露无羽，橙黄色。体羽缀有烟灰色而具玫瑰色光泽。初级飞羽黑褐色，脚淡褐色，虹膜淡黄褐色。随着成长羽毛上会出现红色斑点，直到两年后才完全达到成鸟的羽毛颜色。 [1] 跟鹳鹤等涉禽一样，鹮类鸟都有一张长喙，但比鹤和鹳的喙细，灵巧，前端向前下弯曲，是它们掘食鱼贝的得力工具。当它们站立不动时，它们几乎没有尾巴——短短的尾藏在折叠的翅膀下面。当它们在空中飞翔时，修颈长腿都竭力的伸直，尾羽张开如扇， 双翅缓缓地一上一下地拍扇，优美高雅的造型，从容不迫的飞姿无谁能比。有一双伶仃的长腿，长长的脚趾基部有蹼相连，在沼泽地取食时不会陷在淤泥里。 [1] 美洲红鹮是世界上珍稀、名贵的鸟类，也是最濒危的鸟类之一，它全身发红，是世界上颜色最红的鸟类之一。除了长喙呈灰黑色外，浑身上下包括腿和脚趾都呈鲜红色。 常结成大群，当红鹮一齐飞起时，好像一片红云飘起，景象非常壮观！红鹮现今只分布于拉丁美洲的哥伦比亚到巴西的部分沿海地带，全身上下均为鲜红色，以海里的小鱼、贝类为食物。 美洲红鹮长56-61厘米，重650克。它们整只都是红色的，在翼端上有一点黑色。它们会在树上筑巢，每胎会产2-4只蛋。它们主要吃甲壳类及细小的水中动物。雏鸟是灰色及白色的，并会在沼泽内吃红蟹，在成长时就会出现红色的羽毛。美洲红鹮在野外的寿命 约有15年，饲养下则有20年。
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值