一元二次方程根的分布

布2023-11-07•定义和公式•根的分布情况•图像表示目录•实例分析•解题技巧和注意事项•练习题与答案01定义和公式定义一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。

说明一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法可以将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情况。

一元二次方程的标准形式一元二次方程的解是满足方程的根，记作$x_{1}, x_{2}$。

定义根据判别式的性质，一元二次方程的解的情况分为三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根。

判别式$b^2 - 4ac$是判断一元二次方程解的分布情况的依据。

说明一元二次方程的解02根的分布情况当判别式Δ大于0时，一元二次方程有两个不相等的实根。

两根不等实根与系数关系图像表示两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

在实数平面上表示为两个不相交的直线。

030201当判别式Δ等于0时，一元二次方程有两个相等的实根。

两根相等两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

实根与系数关系在实数平面上表示为一条直线。

图像表示当判别式Δ小于0时，一元二次方程有两个不相等的虚根。

两根不等且虚根两个虚根的实部为0。

实部为0两个虚根的虚部为√(-Δ)/a。

虚部与系数关系在复数平面上表示为两个相交的直线。

图像表示当Δ < 0时，方程的根的分布03图像表示图像表示一元二次方程的解实数根对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果 $a > 0$，那么该方程有两个实数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。

虚数根如果 $a < 0$，那么该方程有两个共轭虚数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况 两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象结论()00200ba f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f分布情况 两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<< 大致图象结 论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩k kk函数与方程思想：（1）方程f (0x )=0有根⇔y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔函数y=()f x 有零点0x （2）若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。

2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。

3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。

一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。

判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。

在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。

它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。

求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。

因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。

二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。

牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。

在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。

一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布设一元二次方程（）的两个实根为，，且。

1. 两根都是正数，【例1】若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。

2. 两根都是负数，【例2】 若一元二次方程的两根都是负数，求的取值范围。

3. 两根一正一负【例3】在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？二．一元二次方程的非零分布——分布1. 两根都大于【例1】若一元二次方程的两根都大于2，求的取值范围。

2. 两根都小于【例2】若一元二次方程的两根都小于1，求的取值范围。

3. 一根大于，一根小于【例3】若一元二次方程的一根大于1，一根小于1，求的取值范围。

4. 两根都或【例4】是否存在实数，使方程的两根都在（2,4）内？5. 一根，另一根或【例5】为何值时，方程的一根大于且小于0，另一根大于1且小于3？6. 有且仅有一根【小结】三．闭区间问题1. 两根都2. 有且仅有一根【例1】 方程有且仅有一根，求的取值范围。

作业：1. 已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。

2. 一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。

3. 一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。

4. 方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。

5. 方程的较小实根在0和1之间，求实数的取值范围。

6. 方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。

7. 方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。

8. 关于的方程的两根为且满足，求的取值范围。

9. 已知关于x的方程x2+2mx+2m+1=0，(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.10. 若方程有两个不相同的实根，求的取值范围。

第九讲 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

知识点：1.为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号"f(x)".例如二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0)， x=1时的函数值记作f(1)， 即f(1)=a+b+c. 2.韦达定理： 1212,b c x x x x a a+=-= 3.一元二次方程根的分布函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0下面我们将主要结合二次函数图象的性质，系统地介绍一元二次方程实根的分布（1）开口方向； （2）对称轴位置； （3）判别式； （4）端点函数值符号。

例题：例1.若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

例2.若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。

变式：k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？例3．已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。

变式（1）方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是 ( )A 、△≥0且f (1)>0B 、f (1)>0且－ab >2C 、△≥0且－a b >2，ca>1D 、△≥0且f (1)>0，－ab>2变式（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

变式（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。

例4.已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。

一元二次方程根的分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的一元二次函数为=)(x f ax 2＋bx ＋c ，一元二次方程的根即为相应一元二次函数图象与x 轴的交点的横坐标，它们的分布情况可以分为以下三类：一．一元二次方程根的零分布：一元二次方程根的0分布，指的是方程的根相对于0的关系。

0分布的情况如下表所示：对于一元二次方程有两正根、两负根、一正一负根这三种情况，还可以用韦达定理解决如下，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则（1）x 1、x 2＞0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－b a ＞0x 1x 2＝c a ＞0；（2）x 1、x 2＜0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＜0x 1x 2＝c a＞0；（3）x 1＜0＜x 2 ⇔ c a＜0。

二．一元二次方程根的k分布：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实根为x1，x2，且x1<x2。

k为常数,则一元二次方程根的非12kk km n分布：二．一元二次方程根的(,)补充：对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1.两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时0)()(<n f m f 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值．如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；2.对于方程有两个相等实根的情况，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．3.总之，讨论一元二次方程根的分布问题实际上就是利用相应一元二次函数的图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布，因此必须从以下五个方面入手：①开口方向；②对称轴的位置；③判别式；④端点处的函数值；⑤与坐标轴（y 轴）的交点。