一元二次方程及根的分布

布2023-11-07•定义和公式•根的分布情况•图像表示目录•实例分析•解题技巧和注意事项•练习题与答案01定义和公式定义一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。

说明一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法可以将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情况。

一元二次方程的标准形式一元二次方程的解是满足方程的根，记作$x_{1}, x_{2}$。

定义根据判别式的性质，一元二次方程的解的情况分为三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根。

判别式$b^2 - 4ac$是判断一元二次方程解的分布情况的依据。

说明一元二次方程的解02根的分布情况当判别式Δ大于0时，一元二次方程有两个不相等的实根。

两根不等实根与系数关系图像表示两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

在实数平面上表示为两个不相交的直线。

030201当判别式Δ等于0时，一元二次方程有两个相等的实根。

两根相等两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

实根与系数关系在实数平面上表示为一条直线。

图像表示当判别式Δ小于0时，一元二次方程有两个不相等的虚根。

两根不等且虚根两个虚根的实部为0。

实部为0两个虚根的虚部为√(-Δ)/a。

虚部与系数关系在复数平面上表示为两个相交的直线。

图像表示当Δ < 0时，方程的根的分布03图像表示图像表示一元二次方程的解实数根对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果 $a > 0$，那么该方程有两个实数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。

虚数根如果 $a < 0$，那么该方程有两个共轭虚数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$。

一元二次方程根的分布情况归纳总结一元二次方程ax+bx+c=0的根的分布情况可以通过二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标来确定。

设方程的不等两根为x1和x2，且x1<x2.下面分别讨论根的分布情况。

表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况两个负根即x1<x2<0 两个正根即0<x1<x2 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象结论Δ>0，b0，b>0 f(x)>0 x1和x2都是正数f(0)>0 x1<0<x2表二：两根与k的大小比较(a>0)分布情况两根都小于k即x1x2>k 一个根小于k，一个大于k即x1<k<x2大致图象结论Δ>0，b0 x1<k<x2Δ>0，b>k f(k)>0 x1>x2>kf(k)>0 x1<k<x2表三：根在区间上的分布(a>0)分布情况两根都在(m,n)内一根在(m,n)内，另一根在(p,q)内两根有且仅有一根在(m,n)内，m<n<p<q（图象有两种情况，只画了一种）大致图象结论Δ>0，f(m)>0，f(n)>0 m<n<x1<x2<p<qΔ>0，f(m)>0，f(n)0 x1<m<n<x2<p<qΔ>0，f(m)0，f(p)>0，f(q)<0 m<n<x1<p<q<x2 或x1<m<n<q<p<x2函数与方程思想：1) 方程f(x)=0有根⇔y=f(x)与x轴有交点x⇔函数y=f(x)有零点x2) 若y=f(x)与y=g(x)有交点(x,y)⇔f(x)=g(x)有解x根的分布练题例1、已知二次方程(2m+1)x^2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况 两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象结论()00200ba f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f分布情况 两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<< 大致图象结 论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩k kk函数与方程思想：（1）方程f (0x )=0有根⇔y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔函数y=()f x 有零点0x （2）若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

一元二次方程根的分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042。

【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af 。

推论1 210x x <<⇔0<ac 。

推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a 。

【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b三、例题与练习【例1】 已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。

（412912<<m ）（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。

2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。

3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。

一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。

判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。

在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。

它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。

求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。

因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。

二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。

牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。

在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。

一元二次方程根的分布表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k例题选讲（1）两个根在实数k 的同一侧例1．已知方程)(0)32()1(242R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．变式1：已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

变式2：已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求m 的取值范围．（2）两个根在实数k 的异侧例2：已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

变式1：已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

变式2：求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （３）至少有一个正根．变式3：如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.（3）在区间),(n m 有且只有一个实根例3．已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

变式：已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.（4）在区间),(n m 有两个实根例4： 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.变式1：已知方程2x 2 – 2(2a -1)x + a +2=0的两个根在-3与3之间，求a 的取值范围．变式2：已知方程x 2 + (3m -1)x + (3m -2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围．（5）在区间],[n m 有实根例5．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例6.1．求函数y =x +1x 2-3x +2(1<x <2)的值域．例6.2．已知抛物线y = 2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 的取值范围．例6.3．设关于x 的方程∈=--+b b x x(0241R ）， （1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

一元二次方程根的分布典型例题（原创版）目录一、一元二次方程根的分布概念二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系三、一元二次方程根的分布的求解方法四、典型例题解析五、总结正文一、一元二次方程根的分布概念一元二次方程根的分布是指一元二次方程的实根在数轴上的位置分布。

一元二次方程的根与二次函数图象与 x 轴的交点横坐标相对应，因此，研究一元二次方程根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来探究。

二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系一元二次方程的根的分布情况与二次函数图象的开口方向、顶点位置以及与 x 轴的交点个数有关。

根据二次函数图象的特点，可以将一元二次方程根的分布分为以下三种情况：1.当二次函数图象开口向上时，一元二次方程有两个实根，且两根分别位于顶点两侧；2.当二次函数图象开口向下时，一元二次方程没有实根；3.当二次函数图象与 x 轴相切时，一元二次方程有一个实根。

三、一元二次方程根的分布的求解方法求解一元二次方程根的分布，需要先确定二次函数图象的顶点位置和开口方向。

具体步骤如下：1.根据一元二次方程的系数，确定二次函数的关系式；2.求解二次函数的顶点横坐标；3.根据顶点位置和开口方向，判断一元二次方程的根的分布情况。

四、典型例题解析例题：已知一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0，求其根的分布。

解：首先，根据方程的系数，得到二次函数的关系式为 y = x^2 - 3x - 10。

然后，通过配方法或公式法求解得到顶点横坐标为 x = -b / 2a = 3 / 2。

由于二次函数图象开口向上，且与 x 轴有两个交点，因此，一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0 有两个实根，且两根分别位于顶点两侧。

五、总结一元二次方程根的分布是初中数学一元二次函数的基础内容。

通过研究一元二次方程根的分布问题，我们可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来更好地理解和掌握一元二次方程的性质。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x <<两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f 大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f 综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a kkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

二次方程()200axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况【一元二次方程根的分布的类型：】 1、零分布（1）有两正根 （2）有两负根 （3）一正一负2、k 分布（1）有两个大于k 的根 （2）有两个小于k 的根 （3）一个大于k,一个小于k, （4）有一个根在区间（k 1,k 2）内 （5）区间（k 1,k 2）有两个根 【引例】设方程的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩一元二次方程根的分布题型例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。