一次函数图象和性质

一次函数的性质与像解析一次函数，也称为线性函数，是数学中常见的一种函数形式。

它的函数表达式为y = ax + b，其中a和b为常数，x和y为自变量和因变量。

本文将讨论一次函数的性质以及如何解析其像。

一、一次函数的性质1. 斜率一次函数的斜率表征了函数图像的倾斜程度。

斜率表示为a，它决定了函数图像是向上还是向下倾斜，以及倾斜的程度。

当a>0时，函数图像向上倾斜；当a<0时，函数图像向下倾斜；当a=0时，函数图像为水平线。

2. 截距一次函数的截距决定了函数图像与y轴的交点位置。

截距表示为b，当x=0时，对应的函数值为b，即函数图像与y轴的交点的纵坐标。

3. 定义域和值域一次函数的定义域为所有实数集R，即该函数在实数范围内都有定义。

而值域则根据斜率和截距的不同取值而有所变化。

当a>0时，值域为(-∞, +∞)；当a<0时，值域也为(-∞, +∞)；当a=0时，值域为{b}。

4. 单调性一次函数的单调性由斜率的正负决定。

当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。

二、像解析像解析是指通过函数表达式计算出函数图像上的点的方法。

对于一次函数y = ax + b，计算像的步骤如下：1. 确定自变量的取值范围，即定义域。

2. 将自变量的值代入函数表达式，并进行计算，得到对应的因变量值。

3. 得到的结果便是函数图像上的点，其坐标为自变量和因变量的值。

举例说明：以一次函数y = 2x + 3为例，我们可以计算出函数在不同自变量取值下的因变量值，并得到相应的点坐标。

例如，当x = 0时，代入函数表达式可得y = 3，即点(0, 3)；当x = 1时，代入函数表达式可得y = 5，即点(1, 5)。

通过类似的计算，我们可以得到更多的点坐标，进而描绘出一次函数的图像。

结论：一次函数具有以下性质：斜率决定了倾斜方向和程度，截距决定了与y轴的交点位置，定义域为实数集，值域根据斜率和截距的不同取值而变化，单调性由斜率的正负决定。

第4讲、一次函数的图象与性质姓名：____________【知识回顾】一、一次函数的图像1、一次函数通过列表、描点、连线画出来的图像是一条直线，因此我们也把一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象叫做直线y=kx+b.特例：(0)y kx k =≠的图像是经过坐标原点的一条直线。

2、一次函数图像的画法：用取两点A （kb-，0），B （0，b ）画直线的方法画图像 3、一次函数y=kx+b 中的k 叫做直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距，kb-叫做直线在x 轴上的截距；二、一次函数的性质：【典例精讲】◆【要点1】正比例函数的图像性质：正比例函数的图象是通过坐标原点的一条 直线： 当k>0时，图象在一、三象限，呈上升趋势，y 随x 的增大而增大； 当k<0时，图象在二、四象限，呈下降趋势，y 随x 的增大而减小； ◆【要点2】一次函数的图像性质：当121212k k b b =≠ 且时，∥，当1212k k ⋅⊥=-1，则，l l【例1】1、已知函数：①、0.26y x =+；②、172y x =-+；③、32y x =-；④、2y x =-； 其中y 随x 的增大而增大的函数是 ；y 随x 的增大而减小的函数是 ；2、若正比例函数3(3)m y m x -=-的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式是 ；3、点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ）在同一直线y kx b =+上，且0k <．若12x x >，则1y ，2y 的关系是（ ）xyxyb >0b <0k >0k <xy Ox yO xyO xyO0b >0b <A B C D-1-111-11-11y=-x+1y=-x+1y=-x+1y=-x+1xy xy xy xyA 、12y y >B 、12y y <C 、12y y =D 、无法确定4、函数b ax y +=与y bx a =+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）变式训练1：关于一次函数y ＝－x ＋1的图象，下列所画正确的是( )◆【要点3】----求直线与坐标轴的交点直线y kx b =+与x 轴的交点坐标，令0y =，得交点（kb-，0）；求与y 轴的交点坐标，令0x =，得交点（0，b ）；【例2】1、直线23y x =-+经过 象限，与x 轴的交点坐标是 ，直线与y 轴的交点坐标是 ，图象与坐标轴所围成的三角形面积是 ； 2、 若直线14-=+-=x y m x y 与的图象交于y 轴上一点，则________m =；3、（12培优）若直线p x y +=3与直线q x y +-=2的图象交x 轴于同一点，则p 、q 之间的关系式为 ； 练习：1、（12∙重点轮动）直线2y kx =+与x 轴交于点（1-，0），则______k =；2、（桂林）直线1-=kx y 一定经过点（ ）A 、（1，0） B 、（1，k ） C 、（0，k ） D 、（0，1-） 3.已知一次函数y= -2x+3, 填空：(1)此一次函数的图像是 ,它经过 象限，y 随x 的增大而(2)直线y= -2x+3的斜率是 ,在y 轴上的截距是 ,在x 轴上的截距是 与x 轴的交点坐标是 ，直线与y 轴的交点坐标是 ,交点之间的距离是 ,与两坐标轴所围成的面积是xy O xyO xyO xyOAB C D(3)将此直线向左平移3个单位得直线 ,再向上平移4个单位得直线 (4)当x 时，y ＞0，当x= 时，y=0, 当x 时,y ＜0，当 -1＜y ＜3时，x 的取值范围是 ,当 -2＜x ＜1时，y 的取值范围是 .(5)若一直线y=kx+b 与直线y= -2x+3平行，且过点（-3,1），则这条直线的解析式是 . ◆【要点4】----一次函数与方程（组）及不等式的关系 例3、1：函数x y =1，34312+=x y ．当21y y >时，x 的范围是（ ） A.．x ＜-1 B ．-1＜x ＜2 C ．x ＜-1或x ＞2 D ．x ＞2y 2y 1(2,2)(-1,1)xyy=-2x+6o36xy2.已知函数62+-=x y 的图象如图所示，根据图象回答：⑴当x= 时，y=0，即方程062=+-x 的解为 思考：⑵当x 时，y ＞0，即不等式062＞+-x 的解集为⑶当x 时，y ＜0，即不等式062＜+-x 的解集为 总结：当y=0时，正好是图象与 轴的交点 当y ＞0时，图象位于 轴 方 当y ＜0时，图象位于 轴 方 ◆【要点5】、一次函数与二元一次方程组之间的关系 直线1 : y=11b x k + 直线:2 y=22b x k +（1）、当12121212k k b b =≠ 且时，∥，这时与没有公共点，所以方程组没有解 (2)、当21212121 与重合，这时与时，且b b k k ==有无数个公共点，方程组有无数个解。

一次函数的图像和性质的知识点
一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k，即：y=kx+b（k为任意不为零的实数，b取任何实数）；2.当x=0时，b为函数在y 轴上的截距。

一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线通过原点
当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

一次函数图象与性质知识点一次函数知识点〔 1〕、一次函数的形式：形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当 b=0 时， y=kx ＋ b 即 y=kx ，所以说正比率函数是一种特其他一次函数.〔 2〕一次函数的图象是一条直线- b， 0〕〔 3〕一次函数与坐标轴的交点：与Y 轴的交点是〔0， b〕与X 轴的交点是〔k〔 4〕增减性： k>0 ， y 随 x 的增大而增大；k<0， y 随 x 增大而减小 .〔 5〕图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .〔 6〕一次函数y=kx ＋ b 的图象的画法 .依照几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先采用它与两坐标轴的交点：〔0，b〕，.即横坐标或纵坐标为0 的点 .〔 7〕一次函数图象及性质b>0b<0b=0k>经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k<图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小〔 8〕待定系数法求一次函数的剖析式例题精讲 :1、做一做，画出函数 y=-2x+2 的图象 ,结合图象答复以下问题。

(1)随着 x 的增大， y 将〔填“增大〞或“减小〞〕(2)它的图象从左到右〔填“上升〞或“下降〞〕(3) 图象与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是(4) 这个函数中 ,随着 x 的增大 ,y 将增大还是减小 ?它的图象从左到右怎样变化 ? (5) 当 x 取何值时 ,y=0?(6) 当 x 取何值时 ,y ＞ 0?1： .正比率函数 y (3m 5) x ，当 m时， y 随 x 的增大而增大 .2.假设 y x 23b 是正比率函数，那么 b 的值是〔〕2C.2 3B.3D.323.函数 y=( k-1) x ，y 随 x 增大而减小，那么k 的范围是 ( )A. k0 B. k 1 C. k1 D. k14：假设关于 x 的函数 y (n1)x m 1是一次函数，那么m=， n.5.函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大体地址正确的选项是〔 〕6 将直线 y ＝ 3x 向下平移 5 个单位，获取直线；将直线 y ＝ - x- 5 向上平移 5 个单位，获取直线 .7 函数 y ＝ 3x+1，当自变量增加 m 时，相应的函数值增加〔〕Ａ． 3m+1 Ｂ． 3m Ｃ． m Ｄ． 3m －18 假设 m ＜ 0, n ＞ 0,那么一次函数 y=mx+n 的图象不经过 〔 〕A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限10、一次函数 y ＝3x ＋ b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是 24，求 b.一次函数图象和性质练习与反应 :1、函数 y=3x －6 的图象中：〔 1〕随着 x 的增大， y 将〔填“增大〞或“减小〞 〕〔 2〕它的图象从左到右〔填“上升〞或“下降〞 〕〔 3〕图象与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是2、函数 y=(m-3)x- 2.3(1) 当 m 取何值时 ,y 随 x 的增大而增大 ?(2) 当 m 取何值时 ,y 随 x 的增大而减小 ?3、直线 y=4x －2 与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是4、直线 y= 2x 2 与 x 轴的交点坐标是，与 y 轴的交点坐标是35、写出一条与直线 y=2x-3 平行的直线6、写出一条与直线 y=2x-3 平行，且经过点〔 2，7〕的直线7、直线 y=－ 5x+7 可以看作是由直线 y=－5x －1 向 平移个单位获取的8. 函数y kx b 的图象与 y 轴交点的纵坐标为5 ，且当 x 1时， y 2 ，那么此函数的剖析式为．9. 在函数 y2x b 中，函数 y 随着 x 的增大而，此函数的图象经过点(2， 1) ，那么b．10. 如图，表示一次函数y mx n 与正比率函数 y mnx 〔 m ， n 为常数，且 mn0 〕图象的是〔〕yyyyＯＯxＯxＯxxＡ．Ｂ．C ．D ．11. 在以下四个函数中，y 的值随 x 值的增大而减小的是〔〕Ａ． y 2x Ｂ． y3x 6Ｃ． y2x 5Ｄ． y 3x 712. 一次函数 y kxk ，其在直角坐标系中的图象大体是〔〕ｙｙｙ ｙＯ ｘ Ｏ ｘＯｘＯｘ13. 在以下函数中， 〔〕的函数值先到达 100．A ．B ． Ｃ．Ｄ．Ａ． y 2x 6Ｂ． y 5xＣ． y 5x 1Ｄ． y 4x 214. 一 次函数y 3x 5 与一次函 数 y ax 6 ，假设它们 的图象是两 条互相同样 的直线， 那么a．15.一次函数 y x 3 与 y2x b 的图象交于y 轴上一点，那么 b．16.一次函数 y kx b 的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k、 b 的取值范围是〔〕Ａ． k0 且 b 0Ｂ． k0 且 b 0Ｃ． k0 且 b 0Ｄ． k0 且 b 017.以以下图，正比率函数y kx(k 0) 的函数值y随 x 的增大而增大，那么一次函数 yx k 的图象大体是〔〕y y y yＯxＯxＯxＯxA ．B．Ｃ． D ．18.假设函数 y(m21)x m 2 与y轴的交点在 x 轴的上方，且m 10，m 为整数，那么吻合条件的m有〔〕Ａ．8 个Ｂ．7个Ｃ．9个Ｄ．10个19.函数 y 34x ，y随 x 的增大而．20.一次函数 y(m3)x2m 1 的图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围．21. 一次函数y (m 3) x m216 ，且y的值随 x 值的增大而增大．〔 1〕m的范围；〔 2〕假设此一次函数又是正比率函数，试求m 的值．。

一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。

注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。

（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。

（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。

4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。

三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。

其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。

二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。

分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x 的关系。

解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。

例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。

（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。

一次函数的性质一次函数是数学中一种基本的函数类型，也称为线性函数。

它的特点是函数图像为一条直线，表现出一种简单而直接的变化规律。

一次函数通常以 y = ax + b 的形式表示，其中 a 和 b 都是常数。

一次函数的性质有很多，接下来我们将逐一介绍。

1. 变化趋势：一次函数的图像为一条斜率恒定的直线，斜率的值决定了函数图像的变化趋势。

当斜率 a > 0 时，函数图像为上升的直线；当斜率 a < 0 时，函数图像为下降的直线；当斜率 a = 0 时，函数图像为水平直线。

2. 截距：一次函数的图像在 x 轴上与 y 轴相交的点分别称为 x 轴截距和 y 轴截距。

x 轴截距为负数的情况下，函数的图像位于 y 轴的左侧；x 轴截距为正数的情况下，函数的图像位于 y 轴的右侧。

3. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，即该函数对于任意实数值的 x 都有定义。

一次函数的值域是所有实数，即该函数可以取到任意实数值的 y。

4. 求解交点：一次函数与 x 轴的交点称为根，也就是函数图像与 x轴的交点；与 y 轴的交点称为解，也就是函数图像与 y 轴的交点。

求解根的方法是令 y = 0，并解出 x 的值；求解解的方法是令 x = 0，并解出 y 的值。

5. 判断与关系：对于两个不同的一次函数 f(x) = ax + b 和 g(x) = cx + d，若 a = c 且 b = d，则两个函数是相等的；若 a = c 且b ≠ d，则两个函数是平行的，它们的图像永远不会相交；若a ≠ c，则两个函数是相交的，它们会有一个交点。

6. 性质推广：一次函数的性质可以推广到更高维度的情况。

对于二维空间中的直线，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有两个变量。

对于三维空间中的平面，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有三个变量。

在实际应用中，一次函数常常被用于描述变化的趋势和规律。