一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象与性质（提高）责编：杜少波【学习目标】y?kx?by?kx的图象之间的关系； 1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数y?kx?b的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函能正确画出一次函数2. 数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数的定义y?kx?b kbk≠0）的函数，叫做一次函数是常数，（.，一般地，形如y?kx?by?kx b，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一即要点诠释：当0＝时，kb的要求，一次函数也次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质y?kx?b kbk≠函数1.0）的图象是一条直线为常数，且；（、y?kx?by?kx bb个单位长度得到的；是由直线向上平移当＞0时，直线y?kx?by?kx bb|个单位长度得到的向下平移时，直线0是由直线|. 当＜y?kx?b kbk）的图象与性质：0≠为常数，且、（一次函数2.k、3.y?kx?b b的图象和性质的影响：对一次函数ykbkb by?kx?一起决定直线决定直线从左向右的趋势，轴交点的位置，决定它与、y?kx?b经过的象限．y?kx?by?kx?bll的位置关系可由其系数确定：和 4. 两条直线：：211212k?kk?kb?bllll??平行；与））1相交；（2，且与（2112211122【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式】要点三、待定系数法求一次函数解析式y?kx?b kbkkb，需要两个独立条件确0（）中有两个待定系数，一次函数，是常数，≠y x bk 的值.定两个关于，，的方程，这两个条件通常为两个点或两对要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式y?kx?b kb两个待定系数，所以用待定系数子的方法，叫做待定系数法中有和.由于一次函数kb为未知数）和法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以，解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，.因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数表示，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式y x2y?b(k?0)y?kx??2），平行，且与，与直线，则1、（1）已知直线轴的交点是（0直线解析式为___________________．y?kx?b(k?0)y?3x?1平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的2）若直线与（纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．k相同，再找一个条件求）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则比例系数（1【思路点拨】bbk2?相同，注2）点，可用待定系数法求）题同样比例系数.即可，而题中给了图象过（0，（意同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差一个单位长度有两种情况，都要考虑到. y?2x?2y?3x?2y?3x.（2））或；【答案】（1y?2xy?2x?b b＝－2，【解析】（1）因为所求直线与，－2）代入，解得，将（平行，所以0y?2x?2.所以y?3x?1k上面，那么点（1，5）或（2）由题意得）在＝3，假设点（1，4y?3x?by?3x?2y?3x bb.所求直线为3（1，）在直线0.＝2或或上，解得＝k值相同. 【总结升华】互相平行的直线举一反三：【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例2】y轴于点A（0，3）【变式1】一次函数交，与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式. 【答案】??,∴OA3?A3.0,解：1S?OA?OB,AOB△21OB??3∴6?24?∴OB????.?或B∴B4,04,0y?kx?3.??4,0B??k∴0?3?k4时，；当过43??4,0B????k4?3k∴0时，设一次函数的解析式为3当过；4．33x?3y?xy???3. 或所以，一次函数的解析式为44【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例3】y3)?2,0)B(1,xOyA(?轴上求作一点，P【变式2】在平面直角坐标系，使中，已知两点，在AP＋BP最短，并求出点P的坐标.【答案】????,0A1yyBA轴交于点P解：作点A关于，连接轴的对称点为，点P即为所求，与.?b?y?kx BA，的解析式为设直线??????2,31,0?A,BBA过直线，1?k?k?b?0??∴∴??1b??b?3k?2???y1?y??x BA∴.1）（0，它与，的解析式为：轴交于P 类型二、一次函数图象的应用家小明后出发．?四川南充）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，2、（2016 ）的函数图象．（minm，如图是小明和爸爸所走的路程s（）与步行时间t到公园的距离为2500m的函数关系式；s与时间t （1）直接写出小明所走路程（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？到达公园，则小明在步行过程中停留）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min（3 的时间需作怎样的调整？的t与时间t≤60时，小明所走路程s＜＜）根据函数图形得到【思路点拨】（10≤t≤20、20t≤30、30 函数关系式；的函数关系式，列出二元一次方t与步行时间（2）利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s 程组解答即可；3）分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可．（．50t(0≤t≤20)??1000(20＜t≤30)?；【答案与解析】解：（1）s=?60)≤t-500(30＜t50?（2）设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为：s=kt+b，25k?b?1000??，则250b??k?30??，解得，250b??则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250，当50t﹣500=30t+250，即t=37.5min时，小明与爸爸第三次相遇；（3）30t+250=2500，解得，t=75，则小明的爸爸到达公园需要75min ，∵小明到达公园需要的时间是60min ，∴20min5min ．小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少【总结升华】本题考查的是一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式、读懂函数图象是解题的关键．类型三、一次函数的性质【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例4】??b?xy?a x的图象经过第二、三、四象限，则（3、已知自变量为的一次函数 ? ）aaaa bbbb＞，0 ＞＜0，0＜ A．＞0，0 D＜0 B．＜0，．＞0 C．【答案】C；aaab?ax?y ab?＜0，解得【解析】原函数为0，，＜，因为图象经过二、三、四象限，则0＜b＜0.y?kx?b的图象有四种情况：【总结升华】一次函数y xb?y?kx bk的值增大的图象经过第一、二、三象限，的值随＞0，函数①当，＞0而增大；y xb?y?kx bk的值增大②当0＞，0＜，函数的值随的图象经过第一、三、四象限，而增大；y xb??ykx bk的值增的值随的图象经过第一、二、四象限，时，函数0＞，0＜③当．大而减小；y xb?y?kx bk的值增＜0时，函数0，的值随④当的图象经过第二、三、四象限，＜大而减小．举一反三：【高清课堂：391659 一次函数的图象和性质，例5】ll y?bxb?ky?kx?在同一坐标系中的大致位置是（与直线【变式1】直线：：）．12A． B． C． D．【答案】C；ll bkbkbk的取值自相矛盾，所以，，＞0，0＜0，从，看0提示：对于A，从看＜＜12ll bkkbkb 的取值自相矛，＞0＜0，从，所以看0＞排除掉A.对于B，从看，＞0，12盾，排除掉B. D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求.【变式2】（2015?宿迁）在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C．解：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，∴直线y=bx+k不经过第三象限，故选C．类型四、一次函数综合4、（2015春?东莞期末）在平面直角坐标系xOy中，将直线y=2x向下平移2个单位后，与一﹣x+3的图象相交于点A次函数y=．（1）将直线y=2x向下平移2个单位后对应的解析式为；（2）求点A的坐标；的坐标．P是等腰直角三角形，直接写出点OAP轴上一点，且满足△x是P）若3（．【思路点拨】（1）根据将直线y=2x向下平移2个单位后，所以所对应的解析式为y=2x﹣2；（2）根据题意，得到方程组，求方程组的解，即可解答；（3）利用等腰直角三角形的性质得出图象，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）根据题意，得，y=2x﹣2；故答案为：y=2x﹣2．（2）由题意得：解得：∴点A的坐标为（2，2）；（3）如图所示，∵P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，P点的坐标为：（2，0）或（4，0）．【总结升华】此题主要考查了一次函数平移变换以及等腰直角三角形的性质等知识，得出A点坐标是解题关键．。

一次函数的图象与性质（基础）【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：y kx b =+y kx =y kx b =+y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =k b y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =b b y kx b =+y kx =b y kx b =+k b k3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交； （2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的k b y kx b =+k y kx b =+b y k b y kx b =+1l 11y k x b =+2l 22y k x b =+12k k ≠⇔1l 2l 12k k =12b b ≠⇔1l 2l y kx b =+k b k k b k b x y y kx b =+k b k b解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此＝2，可以设函数的解析式为，再利用过点（1.5，0），求出相应的值.【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.解：设函数的解析式为.它的图象过点（1.5，0），（0，2）∴该函数的解析式为. 【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.举一反三：【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．【答案】 ；提示：设一次函数的解析式为，它的图象与的图象平行，则，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋．解得． ∴ 一次函数解析式为．b 2y kx =+k y kx b =+41.50322k b k b b ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩∴∴423y x =-+k b 2y x =23y x =-y kx b =+2y x =2k =b 3b =-23y x =-【变式2】已知函数y1=2x﹣3，y2=﹣x+3．（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象．（2）求出函数图象与x轴围成三角形的面积．【答案】解：（1）函数y1=2x﹣3与x轴和y轴的交点是（1.5，0）和（0，﹣3），y2=﹣x+3与x轴和y轴的交点是（3，0）和（0，3），其图象如图：（2）设y1=2x﹣3，y2=﹣x+3的交点为点A，可得：，可得：，S△ABC=BC•1=×（3﹣1.5）×1=．类型二、一次函数图象的应用2、电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解答下列问题．（1）分别写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x之间的函数关系式；（2）若该用户某月用电80度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少度电？【思路点拨】（1）对0≤x≤100段，列出正比例函数y=kx，对x≥100段，列出一次函数y=kx+b；将坐标点代入即可求出．（2）根据（1）的函数解析式以及图标即可解答即可．【答案与解析】解：（1）当0≤x≤100时，设y=kx，则有65=100k，解得k=0.65．∴y=0.65x ．当x ＞100时，设y=ax +b ，则有，解得∴y=0.8x ﹣15．（2）当用户用电80度时，该月应缴电费0.65×80=52（元）．当用户缴费105元时，由105=0.8x ﹣15，解得x=150．∴该用户该月用电150度．【总结升华】本题主要考查一次函数的应用，关键考查从一次函数的图象上获取信息的能力． 举一反三：【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校C ，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟【答案】D ；提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.类型三、一次函数的性质3、已知一次函数．（1）当、是什么数时，随的增大而增大；（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.【答案与解析】解：（1），即＞－2，为任何实数时，随的增大而增大；()()243y m x n =++-m n y x m n m n 240m +>m n y x（2）当、是满足即时，函数图象经过原点； （3）若图象经过一、二、三象限，则，即． 【总结升华】一次函数的图象有四种情况：①当＞0，＞0时，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；②当＞0，＜0时，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；③当＜0，＞0时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；④当＜0，＜0时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．4、已知点A （4，0）及在第一象限的动点P （x ，y ），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数解析式；（2）求x 的取值范围；（3）当S=4时，求P 点的坐标．【思路点拨】（1）根据题意画出图形，由x+y=5可知y=5﹣x ，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）由点P （x ，y ）在第一象限，且x+y=5得出x 的取值范围即可；（3）把S=4代入（1）中的关系式求出x 的值，进而可得出y 的值．【答案与解析】解：（1）如图所示，∵x+y=5，∴y=5﹣x ，∴S=×4×（5﹣x ）=10﹣2x ；（2）∵点P （x ，y ）在第一象限，且x+y=5，∴0＜x ＜5；（3）∵由（1）知，S=10﹣2x ，∴10﹣2x=4，解得x=3，∴y=2，∴P（3，2）．m n 24030m n +≠⎧⎨-=⎩23m n ≠-⎧⎨=⎩24030m n +>⎧⎨->⎩23m n >-⎧⎨<⎩y kx b =+k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x k b y kx b =+y x【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．举一反三：【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．【答案】B ；提示：不论为正还是为负，都大于0，图象应该交于轴上方,故选B.【巩固练习】一.选择题1. 已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于一次函数y=﹣2x+3，下列结论正确的是（ ）A ．图象过点（1，﹣1）B ．图象经过一、二、三象限C ．y 随x 的增大而增大D ．当x ＞时，y ＜03. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4．点P （x ，y ）在第一象限内，且x+y=6，点A 的坐标为（4，0）．设△OPA 的面积为S ，则下列图象中，能正确反映面积S 与x 之间的函数关系式的图象是（ ）(0)y kx k k =+≠k k x (1)y a x b =-+a 1a >1a <0a >0a<k x k y +-=)21(k 0>k 0<k 210<<k 21<kA ．B ．C ．D ．5．已知直线和直线相交于点(2，)，则、的值分别为（ ）． A ．2，3 B ．3，2 C ．，2 D ．，3 6. 如图弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，则不挂物体时，弹簧长度为（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．10二.填空题7. 如果直线经过第一、二、三象限，那么 0．8.已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数y=﹣2x +1图象上的两点，则a 与b 的大小关系是 ．9. 已知一次函数的图象与直线平行, 则＝ .10. 一次函数的图象与轴的交点坐标是_____，与轴的交点坐标是______． 11.已知一次函数y=kx+b （k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的解析式为 ．12.一次函数与两坐标轴围成三角形的面积为4，则＝________.三.解答题13.已知直线y=kx+3经过点A （﹣4，0），且与y 轴交于点B ，点O 为坐标原点．（1）求k 的值；（2）求点O 直线AB 的距离；（3）过点C （0，1）的直线把△AOB 的面积分成相等的两部分，求这条直线的函数关系式．14.已知与成正比例，且当＝1时，＝ 5y x =12y x b =-+c b c 12-12-cm cm cmcm y ax b =+ab 2y kx =-34y x =+k 113y x =-+x y 2y x b =+b 1-y 1+x x y（1）求与之间的函数关系式；（2）若图象与轴交于A 点，与交于B 点，求△AOB 的面积.15.某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过部分每人10元．（1）写出应收门票费（元）与游览人数（人）之间的函数关系式；（2）利用（1）中的函数关系计算：某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了多少元？【答案与解析】一.填空题1. 【答案】A ；【解析】由题意知．2. 【答案】D ；【解析】解：A 、当x=1时，y=1．所以图象不过（1，﹣1），故错误；B 、∵﹣2＜0，3＞0，∴图象过一、二、四象限，故错误；C 、∵﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故错误；D 、画出草图．∵当x ＞时，图象在x 轴下方，∴y ＜0，故正确．故选D ．3. 【答案】C ；【解析】由题意知，且＞0，解得4. 【答案】C ；【解析】∵点P （x ，y ）在第一象限内，且x+y=6，∵y=6﹣x （0＜x ＜6，0＜y ＜6）． ∵点A 的坐标为（4，0），∵S=×4×（6﹣x ）=12﹣2x （0＜x ＜6）．5. 【答案】B ；【解析】点(2，)在直线上，故＝2．点(2，2)在直线上，故，解得＝3．6. 【答案】D ；【解析】5＋＝12.5，20＋＝20，解得＝0.5，＝10.二.填空题7. 【答案】＞【解析】画出草图如图所示，由图象知随的增大而增大，可知＞0；图象与轴的交点在轴上方，知＞0，故＞0．y x x y y x 10,1a a ->>∴120k ->k 210<<k c y x =c 12y x b =-+12b -+=b k b k b k b y x a y x b ab8. 【答案】a ＞b ；【解析】∵一次函数y=﹣2x +1中k=﹣2，∴该函数中y 随着x 的增大而减小，∵1＜2，∴a ＞b ．故答案为：a ＞b ．9. 【答案】3；【解析】互相平行的直线相同.10.【答案】,【解析】令＝0，解得＝1；令＝0，解得＝3.11.【答案】y=x+2或y=﹣x+2．【解析】解：∵一次函数y=kx+b （k≠0）图象过点（0，2），∴b=2，设一次函数与x 轴的交点是（a ，0），则×2×|a|=2，解得：a=2或﹣2．把（2，0）代入y=kx+2，解得：k=﹣1，则函数的解析式是y=﹣x+2； 把（﹣2，0）代入y=kx+2，得k=1，则函数的解析式是y=x+2． 故答案是：y=x+2或y=﹣x+2．12.【答案】；【解析】一次函数与轴交点为，与轴交点为（0，）,所以，解得＝±4.三.解答题13. 【解析】解：（1）依题意得：﹣4k+3=0，解得k=；（2）由（1）得y=x+3，当x=0时，y=3，即点B 的坐标为（0，3）．如图，过点O 作OP ⊥AB 于P ，则线段OP 的长即为点O 直线AB 的距离． ∵S △AOB =AB•OP=OA•OB，∴OP===；k ()3,0()0,1x y y x 4±x ,02b ⎛⎫-⎪⎝⎭y b 1||||422b b -=b（3）设所求过点C（0，1）的直线解析式为y=mx+1．S△AOB=OA•OB=×4×3=6．分两种情况讨论：①当直线y=mx+1与OA相交时，设交点为D，则S△COD=OC•OD=×1×OD=3，解得OD=6．∵OD＞OA，∴OD=6不合题意舍去；②当直线y=mx+1与AB相交时，设交点为E，则S△BCE=BC•|x E|=×2×|x E|=3，解得|x E |=3，则x E =﹣3，当x=﹣3时，y=x+3=，即E 点坐标为（﹣3，）．将E （﹣3，）代入y=mx+1，得﹣3m+1=，解得m=．故这条直线的函数关系式为y=x+1．14.【解析】解：（1）∵与成正比例，∴当＝1时，＝5解得＝2∴(2)A()，B(0，3) ＝. 15.【解析】解：（1）由题意，得1-y 1+x ()11y k x -=+x y k 23y x =+3,02-12AOB S OA OB ∆=⨯1393224⨯⨯=25(020,)252010(20)(20,x x x y x x x <≤⎧=⎨⨯+->⎩且为整数且为整数）化简得： （2）把＝54代入＝10＋300，＝10×54＋300＝840（元）. 所以某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了840元.甲由B 地到A 地所用时间是：20÷＝20分钟， 设甲由B 地到A 地的函数解析式是：，∵点（24，20）与（44，0）在此函数图象上，∴，解得：，∴甲由B 地到A 地函数解析式是：，（2）乙由A 地到B 地的函数解析式是：，即； 根据题意得：， 解得：， 则经过分钟相遇．25(020,)10300(20,x x x y x x x <≤⎧=⎨+>⎩且为整数且为整数）x y x y 1111212⎛⎫+ ⎪⎝⎭y kx b =+2420440k b k b +=⎧⎨+=⎩144k b =-⎧⎨=⎩44y x =-+711212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12y x =4412y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩883x =883。

一次函数图象与性质知识点一次函数知识点〔 1〕、一次函数的形式：形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当 b=0 时， y=kx ＋ b 即 y=kx ，所以说正比率函数是一种特其他一次函数.〔 2〕一次函数的图象是一条直线- b， 0〕〔 3〕一次函数与坐标轴的交点：与Y 轴的交点是〔0， b〕与X 轴的交点是〔k〔 4〕增减性： k>0 ， y 随 x 的增大而增大；k<0， y 随 x 增大而减小 .〔 5〕图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .〔 6〕一次函数y=kx ＋ b 的图象的画法 .依照几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先采用它与两坐标轴的交点：〔0，b〕，.即横坐标或纵坐标为0 的点 .〔 7〕一次函数图象及性质b>0b<0b=0k>经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k<图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小〔 8〕待定系数法求一次函数的剖析式例题精讲 :1、做一做，画出函数 y=-2x+2 的图象 ,结合图象答复以下问题。

(1)随着 x 的增大， y 将〔填“增大〞或“减小〞〕(2)它的图象从左到右〔填“上升〞或“下降〞〕(3) 图象与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是(4) 这个函数中 ,随着 x 的增大 ,y 将增大还是减小 ?它的图象从左到右怎样变化 ? (5) 当 x 取何值时 ,y=0?(6) 当 x 取何值时 ,y ＞ 0?1： .正比率函数 y (3m 5) x ，当 m时， y 随 x 的增大而增大 .2.假设 y x 23b 是正比率函数，那么 b 的值是〔〕2C.2 3B.3D.323.函数 y=( k-1) x ，y 随 x 增大而减小，那么k 的范围是 ( )A. k0 B. k 1 C. k1 D. k14：假设关于 x 的函数 y (n1)x m 1是一次函数，那么m=， n.5.函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大体地址正确的选项是〔 〕6 将直线 y ＝ 3x 向下平移 5 个单位，获取直线；将直线 y ＝ - x- 5 向上平移 5 个单位，获取直线 .7 函数 y ＝ 3x+1，当自变量增加 m 时，相应的函数值增加〔〕Ａ． 3m+1 Ｂ． 3m Ｃ． m Ｄ． 3m －18 假设 m ＜ 0, n ＞ 0,那么一次函数 y=mx+n 的图象不经过 〔 〕A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限10、一次函数 y ＝3x ＋ b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是 24，求 b.一次函数图象和性质练习与反应 :1、函数 y=3x －6 的图象中：〔 1〕随着 x 的增大， y 将〔填“增大〞或“减小〞 〕〔 2〕它的图象从左到右〔填“上升〞或“下降〞 〕〔 3〕图象与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是2、函数 y=(m-3)x- 2.3(1) 当 m 取何值时 ,y 随 x 的增大而增大 ?(2) 当 m 取何值时 ,y 随 x 的增大而减小 ?3、直线 y=4x －2 与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是4、直线 y= 2x 2 与 x 轴的交点坐标是，与 y 轴的交点坐标是35、写出一条与直线 y=2x-3 平行的直线6、写出一条与直线 y=2x-3 平行，且经过点〔 2，7〕的直线7、直线 y=－ 5x+7 可以看作是由直线 y=－5x －1 向 平移个单位获取的8. 函数y kx b 的图象与 y 轴交点的纵坐标为5 ，且当 x 1时， y 2 ，那么此函数的剖析式为．9. 在函数 y2x b 中，函数 y 随着 x 的增大而，此函数的图象经过点(2， 1) ，那么b．10. 如图，表示一次函数y mx n 与正比率函数 y mnx 〔 m ， n 为常数，且 mn0 〕图象的是〔〕yyyyＯＯxＯxＯxxＡ．Ｂ．C ．D ．11. 在以下四个函数中，y 的值随 x 值的增大而减小的是〔〕Ａ． y 2x Ｂ． y3x 6Ｃ． y2x 5Ｄ． y 3x 712. 一次函数 y kxk ，其在直角坐标系中的图象大体是〔〕ｙｙｙ ｙＯ ｘ Ｏ ｘＯｘＯｘ13. 在以下函数中， 〔〕的函数值先到达 100．A ．B ． Ｃ．Ｄ．Ａ． y 2x 6Ｂ． y 5xＣ． y 5x 1Ｄ． y 4x 214. 一 次函数y 3x 5 与一次函 数 y ax 6 ，假设它们 的图象是两 条互相同样 的直线， 那么a．15.一次函数 y x 3 与 y2x b 的图象交于y 轴上一点，那么 b．16.一次函数 y kx b 的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k、 b 的取值范围是〔〕Ａ． k0 且 b 0Ｂ． k0 且 b 0Ｃ． k0 且 b 0Ｄ． k0 且 b 017.以以下图，正比率函数y kx(k 0) 的函数值y随 x 的增大而增大，那么一次函数 yx k 的图象大体是〔〕y y y yＯxＯxＯxＯxA ．B．Ｃ． D ．18.假设函数 y(m21)x m 2 与y轴的交点在 x 轴的上方，且m 10，m 为整数，那么吻合条件的m有〔〕Ａ．8 个Ｂ．7个Ｃ．9个Ｄ．10个19.函数 y 34x ，y随 x 的增大而．20.一次函数 y(m3)x2m 1 的图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围．21. 一次函数y (m 3) x m216 ，且y的值随 x 值的增大而增大．〔 1〕m的范围；〔 2〕假设此一次函数又是正比率函数，试求m 的值．。

一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。

注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小4．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：①利用一次函数的定义构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

二、例题举例：例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。

例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。

一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。

2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。

①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。

②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。

3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。

第九讲 一次函数的图象与性质一.考点分析考点一.一次函数的图象和性质例题1.一次函数24y x =-的图象与x 轴，y 轴分别交于点A.B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积是（ ）A.2B.4C.6D.8例题2.若实数a ，b 满足ab ＜0，且a ＜b ，则函数y ax b =+的图象可能是（ ）A B C D例题3.已知点A （11,x y ），B （22,x y ）是一次函数25y x =-+图象上的两点，当12x x ＞时，1y 2y .（填“＞”，“=”或“＜”）例题4.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（m ，3），（3m-1,3），若线段AB 与直线21y x =+相交，则m 的取值范围为 .考点二.一次函数解析式的确定（待定系数法）例题1.一次函数图象经过（3, 5）和（-4，-9）两点.求（1）求此一次函数的解析式；（2）若点（a ，2）在函数图象上，求a 的值.例题2.已知一次函数的图象与12y x =-的图象平行，且与y 轴交点（0，-3），求此函数关系式.例题3.已知点A（3，0），B（0，-3），C（1，m）在同一条直线上，求m的值.考点三.一次函数图象的平移例题1.直线y kx b=+是由直线2y x=-平移得到的，且经过点P（2，0），求k+b的值.例题2.将直线8y x=-+向下平移m个单位后，与直线36y x=+的交点在第二象限，求m的取值范围.考点四.一次函数与方程（组）、不等式的关系例题1.直线3y kx=+与3y x=-+的图象如图所示，则方程组33y kxy x=+⎧⎨=-+⎩的解为 .例题2.已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是 .例题3.若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为 .例题4.如图，函数12y x=-与23y ax=+的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式23x ax-+＞的解集是（）A.x＞2B.x＜2C.x＞-1D.x＜-1例题5.如图，已知直线l1：24y x=-+与直线l2：(0)y kx b k=+≠在第一象限交于点M，若直线l2与x轴的交点为A（-2，0），则k的取值范围是（）A.-2＜k＜2B.-2＜k＜0C.0＜k＜4D.0＜k＜2二.同步练习1.已知y 与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y 与x 之间的函数关系式为（ ） A.y=8x B.y=2x+6 C.y=8x+6 D.y=5x+32.若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ） A.一象限 B.二象限 C.三象限 D.四象限3.已知直线y=kx+b 经过点(-5，1)和点(3，4)，那么k 和b 的值依次是（ ）A.323,88k b ==B.323,88k b =-=C.323,88k b ==-D.323,88k b =-=-4.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A.4 B.6 C.8 D.165.若甲，乙两弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数解析式分别为y=k 1x+a 1和y=k 2x+a 2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y 1，乙弹簧长为y 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ）A.y 1＞y 2B.y 1=y 2C.y 1＜y 2D.不能确定6.设b ＞a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）A B C D7.若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（ ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四8.函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范是( )A.34m <B.314m -<< C.1m <- D.1m >-9.一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ） A.y 随x 的增大而增大 B.y 随x 的增大而减小 C.图像经过原点 D.图像不经过第二象限10.无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.要得到3-42y x =-的图像，可把直线3=-2y x （ ）A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向上平移4个单位D.向下平移4个单位 12.如果21(1)a a y a x--=+是正比例函数，那么a 的值是（ ）A.-1B.2C.-1或2D.0或113.已知一次函数211()()2k k y k xk +-=+为整数. (1)k 为 时，函数是正比例函数；(2)k为时，正比例函数的图象经过第二、四象限；(3)k为时，正比例函数值y随着x的增大而减小.14.已知一次函数y=-3x+6.(1)直线与x，y轴交点坐标分别为，；(2)求出直线与坐标轴所围成的三角形的面积是；(3)x 时，y＜0；x 时，y=0；x 时，y＞0；(4)若-3≤x≤3,则y的范围是；(5)若-2≤y≤2，则x的范围是 .15.当b为时，直线y=2x+b与直线y=3x-4的交点在x轴上.16.若三点(1，3)，(2，p)，(0，6)在同一直线上，则p的值是 .17.已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是 .18．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 .19.已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是 .20．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P到x轴的距离等于3，•则点P的坐标为 .21.过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为 .22.23y x=与y=-2x+3的图像的交点在第象限.23.如图，若一次函数2y x b=-+的图象与y轴交于点A（0，3），则不等式组的解集-23 -20x bx b+⎧⎨+⎩≤＞的解集为 .24.如图，点A的坐标为(-2,0)，点B在直线y x=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 .（第23题图）（第24题图）25.已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内，求相应的y的值在什么范围内．26.已知y=p+z ，这里p 是一个常数，z 与x 成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果x 的取值范围是1≤x ≤4，求y 的取值范围.27.正比例函数2y x =的图象与一次函数y kx b =+（k ≠0）的图象交于点A （m ，2），一次函数的图象经过点B （-2，-1）.（1）求一次函数的解析式；（2）求不等式-1＜kx+b ＜2x 的解集.28.求直线y=2x+6，y=-2x-8与y 轴所围成图形的面积.29.已知一次函数()0y kx b k =+≠图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式.30.已知一次函数的图象，交x 轴于A （-6，0），交正比例函数的图象于点B ，且点B 在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．31.如图，一束光线从y 轴上的点A （0，1）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点B （3，3），求光线从A 点到B 点经过的路线的长．三.拓展提高一.选择题1.若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）A.k ＜13B.13＜k ＜1C.k ＞1D.k ＞1或k ＜132.若一次函数()()2122236y m x m m y m x m =++-=++-与的图象与y 轴交点的纵坐标互为相 反数，则m 的值为（ ）A.-2B.3C.-2或3D.-33.过点P （-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（ ） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条4.已知abc ≠0，而且a b b c c ac a b+++===p ，那么直线y=px+p 一定通过（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 5.当-1≤x ≤2时，函数y=ax+6满足y ＜10，则常数a 的取值范围是（ ） A.-4＜a ＜0 B.0＜a ＜2 C.-4＜a ＜2且a ≠0 D.-4＜a ＜26.在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7.在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x-3与y=kx+k 的交点为整点时，k 的值可以取（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个8.如图，正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按照如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线(0)y kx b k =+＞和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标是（ ）A.1(21,2)n n --B.-11(21,2)n n -+C.(21,21)n n --D.(21,)n n -9.若k ，b 是一元二次方程x 2+px-│q │=0的两个实根（kb ≠0），在一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（ ） A.第一、二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限10.若一次函数y=kx+b ，当-3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为 .11.设直线kx+(k+1)y-1=0（k 为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k （k=1，2，3，……，2008），那么S 1+S 2+…+S 2008= . 12.如图，一次函数1y x =-+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点M 在x 轴上要使△ABM 是以BM 为底边的等腰三角形，那么点M 的坐标是 .13.在直角坐标系x0y 中，一次函数223y x =+的图象与x 轴，y 轴，分别交于A ，B 两点，点C 坐标为（1，0），点D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图象经过B ，D 两点的一次函数的解析式．14.已知，如图一次函数y=12x-3的图象与x 轴，y 轴分别交于A.B 两点，过点C （4，0）作AB 的垂线交AB 于点E ，交y 轴于点D ，求点D ，E 的坐标．15.已知直线y=43x+4与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，又P ，Q 两点的坐标分别为P （•0，-1），Q （0，k ），其中0＜k ＜4，再以Q 点为圆心，PQ 长为半径作圆，则当k 取何值时，⊙Q 与直线AB 相切？16.画出函数32y x x =+-的图象，利用图象回答： (1)x 在哪个范围，y 随着x 的增大而减小？(2)函数图象上最低点的坐标是什么？函数y 的最小值是多少？17.由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？。

初二数学下册：【一次函数】性质，6大考点＋例题解析，抓紧记！考纲要求：1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式．2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质，平移的方法．3．体会一次函数与一元一次方程不等式的关系。

4.一次函数的与三角形面积的问题.命题趋势：一次函数是中考的重点，主要考查一次函数的定义、图像、性质及其实际应用，有时与方程、不等式相结合．题型有选择题、填空题、解答题.中考数学一次函数知识梳理：一、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．二、一次函数的图像与性质1．一次函数的图像(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-b/k,0)的一条直线．(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图像是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．2．一次函数图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．三、利用待定系数法求一次函数的解析式四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx ＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．2．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．3.一次函数的平移y＝kx＋b遵循左加右减原则如果向左平移a个单位，可得y＝k(x+a)＋b如果向上平移a个单位，可得y＝kx＋b+a 通过以上对一次函数的整体了解和综合的学习，快速掌握一次函数，就从下面的六大考点出发，每个考点的精髓和解题的技巧唐老师都在例题的下方给大家进行了总结，记得一定要牢记。

一次函数考点分析及典型试题【专题综述】一次函数的图象和性质正比例函数的图象和性质【方法解读】1．一次函数的意义及其图象和性质⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x 的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b 的图象是经过点()(0,,0)bkb -，的一条直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．⑶．一次函数的性质：y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．⑷．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系． ①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；2．一次函数表达式的求法⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序 函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。

⑶．一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x 与y 的值，确定一次函数表达式，需要两对x 与y 的值。

类型1：正比例函数和一次函数的概念【例1】若函数(1)my m x =-是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．类型2：一次函数的图像【例2】（2017上海市）如果一次函数y =kx +b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）类型3：正比例函数和一次函数解析式的确定基础知识归纳：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ．确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b ．解这类问题的一般方法是待定系数法．基本方法归纳：求正比例函数解析式只需一个点的坐标，而求一次函数解析式需要两个点的坐标． 注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．【例3】（2017天津）用A 4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x （x 为非负整数）． （1）根据题意，填写下表：一次复印页数（页） 5 10 20 30 … 甲复印店收费（元） 0.52… 乙复印店收费（元）0.62.4…（2）设在甲复印店复印收费y 1元，在乙复印店复印收费y 2元，分别写出y 1，y 2关于x 的函数关系式； （3）当x ＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．类型4：一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积基础知识归纳：直线y =kx +b 与x 轴的交点坐标为（bk-，0），与y 轴的交点坐标为（0，b ）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S△=12｜bk｜·｜b｜=22||bk．基本方法归纳：直线与两坐标轴交点是关键．注意问题归纳：对于k不明确时要分情况讨论，否则容易漏解．【例4】（2017怀化）一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积是（）A．12B．14C．4D．8【例5】（2017浙江省台州市）如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）．（1）求b，m的值；（2）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．类型5：一次函数的应用基础知识归纳：主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．基本方法归纳：利用函数知识解应用题的一般步骤：（1）设定实际问题中的变量；（2）建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）利用函数的性质解决问题；（5）写出答案．．注意问题归纳：读图时首先要弄清横纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义．【例6】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：篮球排球进价（元/个）8050售价（元/个）10570（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【强化训练】1．（2017内蒙古呼和浩特市）一次函数y=kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2017内蒙古赤峰市）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5B．y=2x+5C．y=2x+8D．y=2x﹣83. （2017枣庄）如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（32-，0）D．（52-，0）4.（2017山东省菏泽市）如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣15.（2017山东省泰安市）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x 的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0B．k＜2，m＜0C．k＞2，m＞0D．k＜0，m＜0 6. （2017四川省南充市）小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为km．7. （2017吉林省长春市）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．8. （2017宁夏）某商店分两次购进A．B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）A B购进所需费用（元）第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．9. （2017黑龙江省龙东地区）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的18在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？10. （2017四川省广安市）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是．。

一次函数考点归纳及例题详解 考点1：一次函数的概念.相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 【例题】1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3xC ．y=2x 2D ．y=-2x+1 2.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________．3.已知一次函数kxk y )1(-=+3,则k = .4.函数n m x m y n +--=+12)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ，n 时为一次函数．考点2：一次函数图象与系数相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0<k 直线必经过二、四象限，0>b 直线与y 轴的交点在正半轴上，0<b 直线与y 轴的交点在负半轴上.【例题】1. 直线y=x －1的图像经过象限是( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限 2. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 一次函数y = -3 x + 2的图象不经过第 象限.4. 一次函数2y x =+的图象大致是（ ）5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图像可能是（ ）6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.27.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ．8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ）A.m ＞0,n ＜2B. m ＞0,n ＞2C. m ＜0,n ＜2D. m ＜0,n ＞29．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __.10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。

八年级数学《一次函数》知识点归纳与例题一、知识点总结1、一次函数与正比例函数的定义：例如：y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）那么y 叫做x 的一次函数，特别地当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx （k 是常数，k ≠0）这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数的图象与性质（形状、位置、特殊点、增减性）①、形状：一次函数的图象是一条 ；画法：确定两个点就可以画一次函数图象。

②、位置：直线的位置是由k 、b 当k 0时，图象经过一、三象限； 当k 0时，图象经过二、四象限。

当b 0时，图象与y 轴相交于正半轴； 当b 0时，图象与y 轴相交于负半轴； 当b 0时，图象经过坐标原点。

x 轴和y 轴交点分别是④、性质：一次函数)0(≠+=k b kx y ，当k 0y 的值随x 值的增大而增大；当k 0y 的值随x 值的增大而减小。

3、待定系数法求函数解析式在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩⎨⎧b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b ，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做__________．4、一次函数与方程、方程组及不等式的关系 ①、y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标． ②、y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围． ③、一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点． 【知识拓展】1、两条直线的位置关系设直线 1和 ２的解析式为y ＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2则它们的位置关系由系数关系确定：① k 1≠k 2⇔ 1与 ２相交；② k 1＝k 2，b 1≠b 2⇔ 1与 ２平行；＋b一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象 如图，判断k 、b 符号。

最全一次函数图像专题(带解析)完整版.doc最全一次函数图像专题(带解析)完整版一次函数也称为一次方程或线性方程，是数学中的重要概念。

在本专题中，我们将详细讨论一次函数的图像及相关概念和性质。

一、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k和b为常数，k 称为斜率，b称为截距。

一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

二、一次函数的图像特征1. 斜率k的正负决定了直线的倾斜方向。

当k为正数时，直线向右上方倾斜；当k为负数时，直线向右下方倾斜。

2. 斜率k的绝对值决定了直线的倾斜程度。

绝对值越大，倾斜程度越大。

3. 当k为0时，直线为水平线；当k不存在时，直线为竖直线。

三、一次函数图像的基本形状1. 当k>0时，直线从左下方向右上方倾斜。

2. 当k=1时，直线为45°斜线。

3. 当k=-1时，直线为水平斜线。

4. 当k=0时，直线为水平线。

5. 当k不存在时，直线为竖直线。

四、一次函数的图像平移1. 沿x轴平移的结果：将y = kx + b中的b替换为b'，则得到的函数为y = kx + b'。

平移后的直线与原直线平行，斜率不变，但截距发生了变化。

2. 沿y轴平移的结果：将y = kx + b中的k替换为k'，则得到的函数为y = k'x + b。

平移后的直线与原直线平行，截距不变，但斜率发生了变化。

五、一次函数的图像伸缩1. 垂直伸缩的结果：将y = kx + b中的k替换为ak，其中a 为正数。

当a>1时，直线变得更陡峭；当0<a<1时，直线变得更平缓。

2. 水平伸缩的结果：将y = kx + b中的x替换为x/a，其中a为正数。

当a>1时，直线变得更平缓；当0<a<1时，直线变得更陡峭。

六、一次函数的解析法与图像的关系1. 斜率k的正负决定了图像的倾斜方向。

专题5.3 一次函数的图象与性质-重难点题型【浙教版】函数图像一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

A．B．C．D．【解题思路】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．【解答过程】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，∵a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），∵﹣a＞0，﹣c＜0，∵函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．故选：B．【变式1-1】函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数的图象的性质确定a和b的符号，进而解答即可．【解答过程】解：由函数y＝ax+b﹣2的图象可得：a＜0，b﹣2＝0，∵a＜0，b＝2＞0，所以函数y＝﹣ax﹣b的大致图象经过第一、四、三象限，故选：C．【变式1-2】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．【解答过程】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；C、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＜0，∵直线y2＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．【变式1-3】函数y＝|x﹣2|的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】由绝对值的性质知，该图象的函数值y≥0，且函数图象经过点（2，0），由此得到正确的函数图象．【解答过程】解：∵y＝|x﹣2|≥0．∵选项A、D错误．又∵函数图象经过点（2，0），∵选项B错误，选项C正确．故选：C．【题型2 正比例函数的图象】【例2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：∵y＝ax，∵y＝bx，∵y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解题思路】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．【解答过程】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，即a＜c＜b．故选：D．【变式2-1】（2020秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx ﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 【解题思路】根据一次函数图象的性质分析．【解答过程】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a＞b，c＞d，故选：B．【变式2-2】（2021秋•茂名期中）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据正比例函数t＝2kx的图象可以判断k的正负，从而可以判断k﹣2与1﹣k的正负，从而可以得到y＝（k﹣2）x+1﹣k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．【解答过程】解：由题意知2k＜0，即k＜0，则k﹣2＜0，1﹣k＞0，∵y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象经过第一，二，四象限，故选：A．【变式2-3】（2021春•新田县期末）如图，直线l1∵x轴于点（1，0），直线l2∵x轴于点（2，0），直线l3∵x轴于点（3，0），…直线l n∵x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点A1，A2，A3，…，A n；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点B1，B2，B3，…，B n，如果∵OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形A n﹣1A n B n B n﹣1的面积记作S n，那么S2021＝4041．【解题思路】四边形A n﹣1A n B n B n﹣1是梯形，算出梯形的下底A n B n，上底A n﹣1B n﹣1，高是1，取n ＝2021，用梯形的面积公式即可．【解答过程】解：由题意得：A n （n ，n ），B n （n ，3n ）， ∵A n B n ＝3n ﹣n ＝2n ，同理：A n ﹣1B n ﹣1＝2（n ﹣1），∵S 四边形A n−1A n B n B n−1=12×1×[2n +2(n −1)]=2n −1， ∵S 2021＝2×2021﹣1＝4041， 故答案为4041．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解题思路】由y ﹣3与x +5成正比例，可设y ﹣3＝k （x +5），整理得：y ＝kx +5k +3．把x ＝﹣2代入得不等式，可解得k ＜﹣1，再判断5k +3的符号即可． 【解答过程】解：∵y ﹣3与x +5成正比例， ∵设y ﹣3＝k （x +5），整理得：y ＝kx +5k +3． 当x ＝﹣2时，y ＜0，即﹣2k +5k +3＜0，整理得3k +3＜0， 解得：k ＜﹣1． ∵k ＜﹣1， ∵5k +3＜﹣2，∵y ＝kx +5k +3的图象经过第二、三、四象限． 故选：D ．【变式3-1】（2021•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y ＝ax +b （a ≠0）不经过第四象限，设s ＝a ﹣2b ，则s 的取值范围是（ ） A ．32≤s ＜6B ．﹣3＜s ≤3C ．﹣6＜s ≤32D ．32≤s ≤5【解题思路】根据题意得出a ＞0，b ≥0，即可推出得0＜a ≤32，从而求得s 的取值范围．【解答过程】解：∵过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，∵a＞0，b≥0，将（2，3）代入直线y＝ax+b，3＝2a+b，b＝3﹣2a∵{a＞03−2a≥0，解得0＜a≤3 2，s＝a﹣2b＝a﹣2×（3﹣2a）＝5a﹣6，a＝0时，s＝﹣6，a=32，s=32，故﹣6＜s≤3 2．故选：C．【变式3-2】（2021春•忠县期末）已知一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，且关于x的分式方程102−x =2−axx−2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】由一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限求出a的取值范围，把分式方程解出，再根据式方程有整数解，a的取值范围确定a的值，最后算出结果．【解答过程】解：∵y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，∵{5−a＞0a+1≥0，∵﹣1≤a＜5．10 2−x =2−axx−2，整理得，102−x =2+ax2−x，10＝2（2﹣x）+ax，（2﹣a）x＝﹣6，x=−62−a，∵分式方程有整数解，﹣1≤a＜5，∵a＝﹣1、0、1、3、4，∵（﹣1）+0+1+3+4＝7．故选：B．【变式3-3】（2021•渝中区模拟）若关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，且一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【解题思路】根据关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限，可以得到a 的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a 的取值范围，从而可以写出满足条件的a 的整数值，然后相加即可．【解答过程】解：由不等式组{23x ＞x −14x +1≥a ，得a−14≤x ＜3，∵关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，∵﹣1＜a−14≤0， 解得﹣3＜a ≤1，∵一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限， ∵a ﹣2＜0且a +1≥0， ∵﹣1≤a ＜2， 又∵﹣3＜a ≤1， ∵﹣1≤a ≤1，∵整数a 的值是﹣1，0，1，∵所有满足条件的整数a 的值之和是：﹣1+0+1＝0， 故选：C ．【题型4 一次函数图象与系数的关系】【例4】（2021春•鄢陵县期末）已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y ＝（2﹣m ）x +3图象上两点，且（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，则m 的取值范围为 m ＞2 ．【解题思路】根据（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，得出y 随x 的增大而减小，再根据2﹣m ＜0，求出其取值范围即可．【解答过程】解：（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0， 即：{x 1−x 2＞0y 1−y 2＜0或{x 1−x 2＜0y 1−y 2＞0，也就是，y 随x 的增大而减小， 因此，2﹣m ＜0，解得，m ＞2，故答案为：m＞2．【变式4-1】如图，平面直角坐标系中，若点A（3，0）、B（4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，则k的值为k＝±1．【解题思路】根据一次函数y＝kx+4（k≠0）图象一定过点（0，4），点A（3，0）、B （4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，可分为两种情况进行解答，即，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB平行时，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB不平行时分别进行解答即可．【解答过程】解：一次函数y＝kx+4（k≠0）图象一定过（0，4）点，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB平行时，如图1，设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（3，0），B（4，1）代入得，{3k+b=04k+b=1，解得，k＝1，b＝﹣3，∵一次函数y＝kx+4（k≠0）中的k＝1，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB不平行时，如图2，则：直线y＝kx+4（k≠0）一定过点C，点C的坐标为（4，0），代入得，4k+4＝0，解得，k＝﹣1，因此，k＝1或k＝﹣1．故答案为：k＝±1．【变式4-2】（2020•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与直线x＝﹣k，y＝﹣k分别交于点A，B．直线x＝﹣k与y＝﹣k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．（1）当k＝﹣2时，区域W内的整点个数为6；（2）若区域W内没有整点，则k的取值范围是0＜k≤1或k＝2．【解题思路】（1）将k＝﹣2代入解析式，求得A、B、C三点坐标，并作出图形，便可求得W区域内的整数点个数；（2）分三种情况解答：当k＜0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当0＜k≤1时，W内点的横坐标在k到0之间，无整点，进而得0＜k≤1时，W内无整点；当1＜k≤2时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为（﹣1，﹣k）和（﹣1，﹣k﹣1），当k不为整数时，其上必有整点，但k＝2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；当k＞2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k﹣1），线段长度为k+1＞3，故必有整点．【解答过程】解：（1）直线l：y＝kx﹣1＝﹣2x﹣1，直线x＝﹣k＝2，y＝﹣k＝2，∵A（2，﹣5），B（−32，2），C（2，2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），故答案为6；（2）当k＜0时，则x＝﹣k＞0，y＝﹣k＞0，∵区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当0＜k ≤1时，W 内点的横坐标在﹣1到0之间，不存在整点，故0＜k ≤1时W 内无整点； 当1＜k ≤2时，W 内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M （﹣1，﹣k ）和N （﹣1，﹣k ﹣1），MN ＝1，此时当k 不为整数时，其上必有整点，但k ＝2时，只有两个边界点为整点，故W 内无整点；当k ＞2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k ）和（﹣2，﹣2k ﹣1），线段长度为k +1＞3，故必有整点．综上所述：0＜k ≤1或k ＝2时，W 内没有整点．故答案为：0＜k ≤1或k ＝2．【变式4-3】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？（2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出∵AOB 的面积（O 为坐标原点）【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m 、n 的一元一次不等式，解不等式即可得出m 、n 的取值范围；（2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m 、n 的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）代入m 、n 的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A 、B 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方，∵6+3m ＜0，解得m ＜﹣2，n ﹣2＜0，解得n ＜2；（2）∵此一次函数也是正比例函数，∵n ﹣2＝0且6+3m ≠0，解得n ＝2且m ≠﹣2；（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，一次函数的解析式为y ＝3x ﹣4，当x ＝0时，y ＝﹣4，∵点B 的坐标为（0，﹣4）；当y ＝0时，x =43，∵点A 的坐标为（43，0）．∵S ∵AOB =12OA •OB =12×43×4=83．【题型5 一次函数图象上点的坐标特征】【例5】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？（2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出∵AOB 的面积（O 为坐标原点）【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m 、n 的一元一次不等式，解不等式即可得出m 、n 的取值范围；（2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m 、n 的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）代入m 、n 的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A 、B 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方，∵6+3m ＜0，解得m ＜﹣2，n ﹣2＜0，解得n ＜2；（2）∵此一次函数也是正比例函数，∵n ﹣2＝0且6+3m ≠0，解得n ＝2且m ≠﹣2；（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，一次函数的解析式为y ＝3x ﹣4，当x ＝0时，y ＝﹣4，∵点B 的坐标为（0，﹣4）；当y ＝0时，x =43，∵点A 的坐标为（43，0）．∵S ∵AOB =12OA •OB =12×43×4=83．【变式5-1】如图，直线y ＝2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．（1）求∵AOB 的面积；（2）过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，∵ABP 的面积是92，求点P 的坐标．【解题思路】（1）把x ＝0，y ＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y 、x 的值，则易得点OA 、OB 的值，然后根据三角形面积公式求得即可；（2）由B 、A 的坐标易求：OB ＝3，OA =32．然后由三角形面积公式得到S ∵ABP =12AP •OB =92，则AP ＝3，由此可以求得m 的值【解答过程】解：（1）由x ＝0得：y ＝3，即：B （0，3）．由y ＝0得：2x +3＝0，解得：x =−32，即：A （−32，0），∵OA =32，OB ＝3，∵∵AOB 的面积：12×3×32=94；（2）由B （0，3）、A （−32，0）得：OB ＝3，OA =32，∵S ∵ABP =12AP •OB =92，∵32AP =92，解得：AP ＝3．∵P 点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）．【变式5-2】如图，直线y ＝kx +6与x 轴y 轴分别相交于点E ，F ．点E 的坐标（8，0），点A 的坐标为（6，0）．点P （x ，y ）是第一象限内的直线上的一个动点（点P 不与点E ，F 重合）．（1）求k 的值；（2）在点P 运动的过程中，求出∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式．（3）若∵OP A 的面积为278，求此时点P 的坐标．【解题思路】（1）直接把点E 的坐标代入直线y ＝kx +6求出k 的值即可；（2）过点P 作PD ∵OA 于点D ，用x 表示出PD 的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；（3）把∵OP A 的面积为278代入（2）中关系式，求出x 的值，把x 的值代入直线y =−34x +6即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵直线y ＝kx +6与x 轴交于点E ，且点E 的坐标（8，0） ∵8k +6＝0，解得k =−34，∵y =−34x +6；（2）过点P 作PD ∵OA 于点D ， ∵点P （x ，y ）是第一象限内的直线上的一个动点∵PD =−34x +6．∵点A 的坐标为（6，0）∵S =12×6×（−34x +6）=−94x +18；（3）∵∵OP A 的面积为278，∵−94x +18=278，解得x =132，将x =132代入y =−34x +6得y =98，∵P （132，98）．【变式5-3】（2021春•青县期末）如图，直线y ＝﹣x +10与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，点A 的坐标为（8，0），P （x ，y ）是直线y ＝﹣x +10在第一象限内一个动点．（1）求∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量的x 的取值范围；（2）当∵OP A 的面积为10时，求点P 的坐标．【解题思路】（1）根据三角形的面积公式S ∵OP A =12OA •y ，然后把y 转换成x ，即可求得∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式；（2）把s ＝10代入S ＝﹣4x +40，求得x 的值，把x 的值代入y ＝﹣x +10即可求得P 的坐标．【解答过程】解（1）∵A （8，0），∵OA ＝8，S =12OA •|y P |=12×8×（﹣x +10）＝﹣4x +40，（0＜x ＜10）．（2）当S ＝10时，则﹣4x +40＝10，解得x =152，当x =152时，y =−152+10=52，∵当∵OP A 的面积为10时，点P 的坐标为（152，52）．【题型6 一次函数图象与几何变换】【例6】已知一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣4，﹣2）和点B （2，4）（1）求直线AB 的解析式；（2）将直线AB 平移，使其经过原点O ，则线段AB 扫过的面积为 12 ．【解题思路】（1）将A 、B 两点的坐标代入y ＝kx +b ，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）先利用平移规律求出直线AB 平移后的解析式，进而求出线段AB 扫过的面积．【解答过程】解：（1）∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣4，﹣2）和点B （2，4），∵{−4k +b =−22k +b =4，解得{k =1b =2，∵直线AB 的解析式为y ＝x +2；（2）设直线AB 平移后的解析式为y ＝x +n ，将原点（0，0）代入，得n ＝0，∵直线AB 平移后的解析式为y ＝x ，∵将直线AB 向下平移2个单位得到直线A ′B ′，如图，则A ′（﹣4，﹣4），B ′（2，2），∵平行四边形AA ′B ′B 的面积＝2×（4+2）＝12．即线段AB 扫过的面积为12．故答案为12．【变式6-1】若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【解题思路】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．【解答过程】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），∵点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），代入直线y＝2x+b，可得4+b＝3，解得b＝﹣1，一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），代入直线y＝kx+3，可得2k+3＝﹣1，解得k＝﹣2．故选：D．【变式6-2】（2018春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y=13x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【解题思路】（1）构建方程组即可解决问题；（2）求出A、C两点坐标，根据S四边形ABCO＝S∵OCB+S∵AOB计算即可；（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．由题意可知点C′在直线CD上，求出点C ′坐标，利用待定系数法即可解决问题；【解答过程】解：（1）由{y =13x +2y =3x −6，解得{x =3y =3，∵B （3，3）．（2）由题意A （0，2），C （2，0），∵S 四边形ABCO ＝S ∵OCB +S ∵AOB =12×2×3+12×2×3＝6．（3）如图，将线段BC 绕点B 逆时针旋转90得到C ′．∵∵BCC ′是等腰直角三角形，∵BCD ＝45°，∵点C ′在直线CD 上，由（2）可知，C （2，0）．∵B （3，3），由旋转的性质可知，C ′（6，2），设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，则有{6k +b =22k +b =0，解得{k =12b =−1， ∵直线CD 的解析式为y =12x ﹣1．【变式6-3】（2018•沙坪坝区模拟）如图，正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象过点A （2，﹣3）．直线y ＝x +b 沿y 轴平行移动，与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，与直线OA 交于点D ．（1）若点D 在线段OA 上（含端点），求b 的取值范围；（2）当点A 关于直线BC 的对称点A '恰好落在y 轴上时，求∵OBD 的面积．【解题思路】（1）将O 点和A 点的坐标分别代入y ＝x +b ，即可求得b 的值，从而求得b 的取值范围；（2）根据直线y ＝x +b 易求得OB ＝OC ，即可得出∵OCB ＝45°，根据轴对称的性质易求得∵ACD ＝45°．即可求得∵ACO ＝90°，从而求得C 的纵坐标为﹣3，得出C 的坐标为（0，﹣3），即可求得直线y ＝x ﹣3，然后联立方程求得交点D 的坐标，根据三角形面积公式即可求得∵OBD 的面积．【解答过程】解：（1）当点D 和点O 重合时，将点O （0，0）代入y ＝x +b 中，得b ＝0，当点D 和点A 重合时，将点A （2，﹣3）代入y ＝x +b 中，得﹣3＝2+b ，即b ＝﹣5，∵b 的取值范围是﹣5≤b ≤0；（2）将点A （2，﹣3）代入y ＝kx 中，得﹣3＝2k ，即k =−32，∵直线OA 的解析式为y =−32x ，在y ＝x +b 中，令y ＝0，则x ＝﹣b ，∵B （﹣b ，0），即OB ＝|b |，∵OB ＝OC ，又∵∵BOC ＝90°，∵∵OCB ＝∵OBC ＝45°，∵点A 关于直线BC 的对称点A '恰好落在y 轴上，∵CD 垂直平分AA ′，∵CA ＝CA ′，∵∵ACD ＝∵OCB ＝45°，∵∵ACO ＝90°，∵OC ＝|y A |＝3，∵OB ＝OC ＝3，即C （0，﹣3），将点C （0，﹣3）代入y ＝x +b 中，得﹣3＝0+b ，∵b ＝﹣3，∵直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，由{y =−32xy =x −3得{x =65y =−95，∵D （65，−95），∵S ∵OBD =12OB •|y D |=12×3×95=2710．。

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题5 一次函数的图象和性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）概念1、一次函数：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数.正比例函数：特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）.这时，y 叫做x 的正比例函数.（二）函数的图象1.一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线（三）函数图象的主要特征一次函数b kx y +=的图象是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点（0，0）的直线；|k|越大，直线越陡，|k|越小直线越缓.（四）函数的性质1.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小.2.一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大（2）当k ＜0时，y 随x 的增大而减小（五）函数解析式的确定待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.二讲题型——题型解析（一）对一次函数图象与系数的关系的考查.例1、如图，直线m ⊥n ，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为（－4，2），点B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 4 （二）对一次函数图象与几何变换的考查.例2、如图示直线33y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为 ．（三）对两条直线相交或平行的考查例3、如图，已知直线l 1：y =﹣2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （﹣2，0），则k 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜k ＜2B ．﹣2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜2（四） 对点的坐标规律的考查例4、如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线33y x=-上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O1的位置，使点O1的对应点O2落在直线33y x=-上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为．例5如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线32y x=于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线32y x=于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．（五）对函数图象上线段、距离最短的考查例6如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A ．（﹣3，0）B ．（﹣6，0）C ．（32-，0）D ．（52-，0） （六）对线段、面积计算的考查例7、如图，过点A （2，0）作直线l ：33y x =的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（ ）A ．20153()2B ．20163()2C ．20173()2D ．20183()2 （七）一次函数与几何的综合问题例8如图，已知一次函数443y x =-+的图象是直线l ，设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ． （1）求线段AB 的长度；（2）设点M 在射线AB 上，将点M 绕点A 按逆时针方向旋转90°到点N ，以点N 为圆心，NA 的长为半径作⊙N ．①当⊙N 与x 轴相切时，求点M 的坐标；②在①的条件下，设直线AN 与x 轴交于点C ，与⊙N 的另一个交点为D ，连接MD 交x 轴于点E ，直线m 过点N 分别与y 轴、直线l 交于点P 、Q ，当△APQ 与△CDE 相似时，求点P 的坐标．三讲方法——方法点睛（一）解决有关函数的问题主要要结合图象进行（1）正比例函数图象上点的纵坐标y与横坐标x之比，是固定不变的，等于常量k.图象在横轴上方的部分都有y>0；在横轴下方的部分都有y<0；与横轴的交点都有y=0.（2）直线y=kx+b（k≠0)与直线y=kx平行，是由直线y=kx平移不|b|个单位得到的，平移的方向，当b>0时，向上；当b<0时，向下.（3）对于一次函数的一次项系数k，当k>0时，y随x的增大而增大，从左向右看，直线呈上升趋势，当k<0时，y随x的增大而减小，从左向右看，直线呈下降趋势．（二）运用待定系数法时，常用的方法是：按所求的函数类型，设也解析式；把题目中提供的坐标代入所设解析式中；解这个方程或者方程组；解这个方程或方程组，得到待定系数的值；将求出的结果代入所设的解析式中，得到函数解析式.通常，有几个待定系数，就要列几个方程，也就需要几个点的坐标.（三）解决两个函数图象在同一坐标系中表示的时候，要注意相同字母的取值是一样的，解选择题时，通常用排除法.四练实题——随堂小练1.已知点A在函数11yx=-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2.当12≤X≤2时，函数y=2x+b的图象上到少有一个点在函数1yx=的图象下方，则b的取值范围为（）A．b≥22B．b＜92C．b＜3D．22＜b＜923.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是A. B.C. D.4.规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．5.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将沿直线AB翻折，得，则点C的坐标为________．6.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是．7.如图，在平面直角坐标系中，直线l：33y x=与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结P A，PC，若∠CP A=∠ABO，则m的值是．9．如图，一次函数364y x=+的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．五练原创——预测提升1．已知函数y=ax+b 经过（2，4），（1，﹣1），则a ﹣b=（ ）A ．1B ．﹣5C ．5D ．112．如图，函数y=x 和y=ax+3的图象相交于点A （m ，4），则不等式x≥ax+3的解集为（ ）A ．x≥4B ．x≤4C ．x≤2D ．x≥23． 已知直线l 1：y =﹣3x +b 与直线l 2：y =﹣kx +1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组31x y b kx y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A ．12x y =⎧⎨=-⎩ B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．12x y =-⎧⎨=⎩ 4．如图，已知直线l ：y =2x ，分别过x 轴上的点A 1（1，0）、A 2（2，0）、…、A n （n ，0），作垂直于x 轴的直线交l 于点B 1、B 2、…、B n ，将△OA 1B 1，四边形A 1A 2B 2B 1、…、四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n =（ ）A ．n 2B ．2n +1C ．2nD ．2n ﹣15. 如图所示，已知点C （1，0），直线y =﹣x +7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是 ．6. 如图，点A 的坐标为（﹣4，0），直线3y x n =+与坐标轴交于点B 、C ，连接AC ，如果∠ACD =90°，则n 的值为 ．7. 直线y =kx +b 与抛物线214y x =交于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，当 OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，直线()y kx 4k 0=+≠与y 轴交于点A.（1）如图，直线y 2x 1=-+与直线()y kx 4k 0=+≠交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 横坐标为1-.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y 2x 1=-+与直线y kx 4=+与y 轴所围成的△ABC 的面积等于 ；（2）直线()y kx 4k 0=+≠与x 轴交于点E （0x ，0），若02<x <1--，求k 的取值范围．9. 已知点P （0x ，0y ）和直线y =k x +b ，则点P 到直线y =kx +b 的距离证明可用公式d 0021kx y b k -++计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离．解：因为直线y =3x +7，其中k =3，b =7．所以点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离为：d =0021kx y b k -++=23(1)271k ⨯--++=210=105． 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y =x ﹣1的距离； （2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线39y x =+的位置关系并说明理由； （3）已知直线y =﹣2x +4与y =﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．。

《第四章3 一次函数的图象》讲解与例题1．函数的图象关于一个函数，咱们把它的自变量x与对应的变量y的值别离作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系(1)函数图象上的任意点P(x，y)必知足该函数关系式．(2)知足函数关系式的任意一对x，y的值，所对应的点必然在该函数的图象上．(3)判定点P(x，y)是不是在函数图象上的方式是：将点P(x，y)的坐标代入函数表达式，若是知足函数表达式，那个点就在函数的图象上；若是不知足函数的表达式，那个点就不在函数的图象上．【例1】判定以下各点是不是在函数y＝2x－1的图象上．A(2,3)，B(－2，－3)．分析：将x的值代入函数表达式，若是等于y的值，那个点就在函数的图象上；不然，那个点不在函数的图象上．解：∵当x＝2时，y＝2×2－1＝3，∴A(2,3)在函数y＝2x－1的图象上；∵当x＝－2时，y＝－2×2－1＝－5≠－3，∴B(－2，－3)不在函数y＝2x－1的图象上．2．函数图象的画法画函数图象的一样步骤：(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量x的值放在表的第一行，其对应函数值放在表的第二行，其中x的值从小到大．(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一样把关键的点准确地描出，点取得越多，图象越准确．(3)连线：依照自变量从小到大的顺序，把所描的点用滑腻的曲线连接起来．释疑点滑腻曲线的特点所谓的“滑腻曲线”，现时期可明白得为符合图象的进展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平”“滑”的线，事实上有时是直线．【例2】作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可．解：列表： x … －2 －1 0 1 … y … 3 1 －1 －3 …描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在座标系中描出相应的点．连线：把这些点连起来．注：一次函数y ＝－2x －1的图象是直线，连线时，两头要露头．3.一次函数的图象和性质(1)一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线．由于两点确信一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫通常求出与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0和与y 轴的交点(0，b )，过这两点作一条直线就好了．咱们常常把这条直线叫做“直线y ＝kx ＋b ”．②一次函数中常量k ，b (k ≠0)：直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与y 轴的交点是(0，b )，当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b ＜0时，直线与y 轴的负半轴相交；当b ＝0时，直线通过原点，现在一次函数即为正比例函数．一次函数y ＝kx ＋b 中的k ，决定了直线的倾斜程度，k 的绝对值越大，那么直线越接近y 轴，反之，越靠近x 轴．③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右上升，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，函数y 的值随自变量x 的增大而减小．(2)正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一样地，正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象是一条通过原点的直线，咱们称它为直线y ＝kx .在画正比例函数y ＝kx 的图象时，一样是通过点(0,0)和(1，k )作一条直线．②正比例函数y ＝kx 的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx 通过第一、三象限，从左往右上升，即y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx 通过第二、四象限，从左往右下降，即y 随x 的增大而减小．【例3－1】 作出一次函数y ＝－3x ＋3的图象．分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可．解：列表：x 0 1y＝－3x＋330描点，连线．【例3－2】假设一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x增大而减小，那么m的取值范围是________．解析：当咱们明白函数的增减性后，就明白了k的取值范围，因为y随x增大而减小，因此k就小于0，即2m－6＜0，m＜3.因此m的取值范围是m＜3.答案：m＜3析规律k与b的作用在一次函数解析式中，k确信函数的增减性，b确信函数图象与y轴的交点．【例3－3】以下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx(k，b是常数，且k≠0)图象的是( )．解析：关于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确信k，b的符号，然后再依照k或b的符号判定另一函数图象是不是与k，b的符号相符合．观看A中一次函数图象可知k＞0，b＜0，而正比例函数的图象通过第二、四象限，现在k＜0，因此A不正确，用一样的方式可确信B，C不正确．应选D.答案：D点技术同一坐标系中多函数图象问题解答这种问题一样第一依照正比例函数和一次函数的图象别离先确信k的符号，对照k的符号，假设k符号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确信最终正确答案．4．k，b的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y＝kx＋b(k≠0)，咱们明白一次函数图象通过哪些象限是由k，b的符号决定的．一样分为四种情形：(1)k＞0，b＞0时，图象过第一、二、三象限；(2)k＞0，b＜0时，图象过第一、三、四象限；(3)k＜0，b＞0时，图象过第一、二、四象限；(4)k＜0，b＜0时，图象过第二、三、四象限．析规律k，b的符号与直线的关系依照一次函数y＝kx＋b中k，b的符号能够确信图象所通过的象限；依照函数图象所通过的象限，能够确信k，b的符号．解决有关问题，应熟练把握k，b的符号与函数图象所通过象限的几个类型，并能灵活应用．【例4－1】一次函数y＝kx＋b的图象通过第二、三、四象限，那么正比例函数y＝kbx的图象通过哪个象限？分析：要确信函数y ＝kbx 的图象通过哪些象限，那么需要确信kb 的符号，而kb 的符号由k 的符号和b 的符号决定，因此只要依照已知条件确信k ，b 的符号即可解决问题．解：因为y ＝kx ＋b 的图象通过第二、三、四象限，因此k ＜0，b ＜0，因此kb ＞0.因此函数y ＝kbx 的图象通过第一、三象限．【例4－2】 如图是一次函数y ＝kx ＋b 的图象的大致位置，试别离确信k ，b 的正负号，并判定一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象所通过的象限．分析：由函数y ＝kx ＋b 的图象可知，函数的图象通过第一、三、四象限，因此k ＞0，b ＜0，由此可得－k －1＜0，－b ＞0，从而确信一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象通过第一、二、四象限．解：观看图象可得k ＞0，b ＜0，因此－k －1＜0，－b ＞0，因此一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象通过第一、二、四象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线，这条直线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0，与y 轴交于点(0，b )．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：(1)判定直线所过的象限，一样给出函数关系式，判定直线通过哪几个象限或确信不通过哪个象限．(2)求直线的解析式，一样先设出函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把已知的两点的坐标别离代入，求出k ，b 的值即可．(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于那个三角形是直角三角形，利用面积公式即可．【例5】 如图，已知直线y ＝kx －3通过点M (－2,1)，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围的三角形的面积．分析：先将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，确信一次函数解析式，再别离令x ＝0和y ＝0，即可求出此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．解：将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，得1＝－2k －3，解得k ＝－2，因此y ＝－2x －3.又当x ＝0时，y ＝－3，当y ＝0时，x ＝－32，因此此直线与x 轴，y 轴的交点坐标别离为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－3)． 因此所围三角形的面积为12×32×3＝94. 点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解．6．关于一次函数的最值问题关于一样的一次函数，由于自变量的取值范围能够是全部实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，因此就有可能显现最大值或最小值．求解这种问题，先分析问题中两个变量之间的关系是不是适合一次函数模型，再在自变量许诺的取值范围内成立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是依照一次函数的性质来解答．除正确确信函数表达式外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．“在生活中学数学，到生活顶用数学”，是新课标所提倡的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题，考查同窗们利用所学知识求解实际问题的能力．【例6】某报刊销售亭从报社订购晚报的价钱是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸能够以每份0.2元的价钱退回报社，假设每一个月按30天计算，有20天天天可卖出100份报纸，其余10天天天只能卖出60份，但天天报亭从报社订购的份数必需相同，报亭天天从报社订购多少份报纸，才能使每一个月所取得的利润最大？分析：假设报亭天天从报社订购x份报纸，每一个月取得的利润为y，那么y是x的一次函数，且自变量的取值范围是60≤x≤100，并依照函数的性质来确信订多少份报纸．解：依照题意，得y＝(1－0.7)×(20x＋10×60)－(0.7－0.2)(x－60)×10，即y＝x＋480(60≤x≤100)．∵此函数是一次函数，且一次项的系数大于0，函数y随x的增大而增大，∴当x＝100时，y有最大值，其最大值为100＋480＝580(元)．订购方案：天天从报社订100份报纸，如此取得利润最大，最大利润为580元．。

《一次函数》复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②如图11－18（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③如图11－18（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④如图11－18（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．知识点3 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大； （3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小． 知识点4 点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ； （2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （1，2）必在函数的图象上．例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．知识点6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b ； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0）， 由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交；当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点；当k ，b 同号时，即-kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ；（4）y=-5x 2； （5）y=6x-21（6）y=x(x-4)-x 2.例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32m+（m-4）是一次函数？基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M例7 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式．例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例9 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？例10 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例11 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．例12 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？例13 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．学生做一做判断三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例14 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？例15 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．例16 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .基础训练习题：1．某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？2．已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．（1）求这个函数的解析式。

《一次函数及图像》相关知识与方法班级 姓名知识方法 1 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图像及图像上的点（1）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）图像是一条直线，所以称为直线y=kx+b ． （2）点P （x P ，y P ）在直线y=kx+b 的图象上 x p ,y p 的值满足解析式y=kx+b ；（3）点P （x P ，y P ）为两直线 ， 的交点，P 点坐标同时满足两个解析式（4）直线与x 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.一条直线与两坐标轴构成的三角形面积S 坐标⊿=知识方法2 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）及图像的k 、b 性质（4）k 的正负决定直线的倾斜方向① 当k ＞0 y 的值随x 值递增(增大而增大)，即 ，则 ② 当k ﹤O y 的值随x 值递减（增大而减小），即 ，则 （5）|k|=图像上两点的竖直距离图像上两点的水平距离, |k|大小决定直线的倾斜程度（斜率）|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（陡）；|k|越小，与x 轴相交的锐角度数越小（缓） 特别地：①当k=直线与x 轴所成锐角为30︒②当k= 直线与x 轴所成锐角为45︒ ③当k= 直结与x 轴所成锐角为60︒（6）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置①当b ＞0 直线与y 轴交于正半轴上 ②当b ＜0 直线与y 轴交于负半轴上 ③当b=0 直线经过原点，是正比例函数．知识方法4 直线上任意两点之间的距离（线段长）(7)直线上任意两点A 、B 的距离等于两点水平距离与竖直距离的平方和的算术平方根公式：AB=①平行或重合于x 轴的直线（y=b ）上两点之间的距离：AB= ②平行于或重合于y 轴的直线（x=b ）上两点之间的距离：AB=知识方法5 线段中点的坐标（8）线段AB 中点C 的坐标（横坐标和的一半，纵坐标和的一半），即： （，）知识方法6 确定一次函数的解析式（关系式、表达式）的方法（9）知道两点的坐标运用“待定系数法”①知道与y 轴的交点(0，b)，直接写出b 值，代入一个点的坐标求出k 值 ②知道任意两点，求解析式法一：代入两点坐标，得关于k 、b 的方程组，求出k 、b 值； 法二：用斜率公式直接求出k=，再代点求b ；在图像应用中，可在图像选两点，求|k|=图像上两点的竖直距离图像上两点的水平距离，再在|k|前加上符号（上坡为正，下坡为为负）即为k 值（10）知道两直线位置关系，直接写出k 或b 值，不能直接写出的代入一个点的坐标解方程求得①两直线平行 k 1 k 2 ，b 1 b 2 ②两直线垂直 k 1 k 2 =-1 ③两直线关于y 轴对称 k 1+k 2 =0，b 1 b 2 ④两直线关于x 轴对称 k 1+k 2 =0；b 1 b 2 =0⑤两直线交于y 轴上的同一点 ⑥两直线交于 轴上的同一点（11）一次函数图像平移，则k 值不变,b 值发生改变 ①向上或向下平移a 个单位 b 值相应加上或减去a②向左或向右平移a 个单位 b 值相应加上或减去ka (k ﹥0), b 值相应减去或加上ka(k 0)知识方法7 求两直线的交点坐标（12）直线 与直线 （ ）交的交点坐标就是方程组的解，因此，求两直线的交点就是把两直线解析式联立求方程组的解。