08硕士生应用泛函分析试题

山东师范大学试题（时间：120分钟 共100分）课程编号： 4081331 课程名称：数学分析方法 适用年级： 2004学制: 四 适用专业：数学与应用数学 试题类别： 补考考生注意事项1、全题三个大题，22个小题。

判断正确（√）与错误（×）（本题10个小题，每题3分，共30分）：1、 （ ）距离空间X 中的序列{}n x 收敛于X x ∈*的充要条件是{}n x 的任意子列收敛于*x ；t P311 22、 （ ）任一离散空间必是完备的；t 311 93、 （ ）全有界集不一定可分；f 312 214、 （ ）相对紧集的闭包是紧集； t 313 345、 （ ）完备距离空间的闭子空间可能是完备的；f 313 296、 （)X 是完备距离空间，闭X F F T ⊂→:，如果存在[)1,0∈α，使()()F y x y x Ty Tx ∈∀<,,,,ρρ，则 F x ∈∃*!使得**x Tx =；f 280 Th17、 （ ）有界数列空间m 不是可分的；t 292 7.6.5 8、 （ ）函相对紧集未必是有界的；f 294 系19、 （ ）紧有界线性算子T 连续⇔T 有界； t318 Th210、 （ ）在空间[)[]3,21,0 =X ，()y x y x -=,ρ中，[)1,0=F 是相对紧集。

f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n 11不收敛（本题共五个小题，每小题14分，共70分）：1、证明：连续函数空间[]b a C ,在范数()x f f bx a ≤≤=max 下构成一Banach 空间。

证1 显然[]b a C ,为一线性空间；2 ()()()00max 0;0max ≡⇔=⇔=≥=≤≤≤≤x f x f f x f f bx a bx a ；()()f x f x f f bx a bx a αααα===≤≤≤≤max max()()()()g f x g x f x g x f g f bx a bx a bx a +=+≤+=+≤≤≤≤≤≤max max max因而[]b a C ,为一赋范线性空间3 下证[]b a C ,的完备性设{}n f 是[]b a C ,的一基本列，及0>∀ε，0>∃N ，使得N n m >,时，有()ερ<-=n m n m f f f f ,。

1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。

以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。

以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。

答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。

答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。

答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。

如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。

答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。

范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。

它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。

- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。

(完整word 版)泛函分析试题B试卷第 1 页 共 1 页 泛函分析期末考试试卷 （B ）卷一、填空题（每小题3分，共15分）1.设X =(,)X d 是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果____________________________, 则称{}n x 是X 中的收敛点列。

2. 设X 是赋范线性空间，f 是X 上线性泛函，那么f 的零空间()N f 是X 中的闭子空间的充要条件为_____________________________。

3. T 为赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子， 如果_________________, 则称T 是同构映射。

4. 设X 是实Hilbert 空间，对X 中任何两个向量,x y X ∈满足的极化恒等式公式为：___________________________________________。

5. 设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果_______________________________________________,则称点列{}n f 强收敛于f 。

二、计算题（共20分）叙述(1)p l p <<+∞空间的定义，并求p l 的共轭空间。

三、证明题（共65分）1、（12分）叙述并证明空间(1)p l p >中的Holder 不等式。

2、（15分）设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间，证明M M ⊥⊥=。

3、（14分）Hilbert 空间X 是可分的，证明X 任何规范正交系至多为可数集。

4、（12分） 证明Banach 空间X 自反的充要条件是X 的共轭空间自反。

5、（12分）叙述l ∞空间的定义，并证明l ∞空间是不可分的。

《应⽤泛函分析》习题解答以下所有题⽬来⾃科学出版社许天周的《应⽤泛函分析》。

1. 设1≤p≤q≤+∞，证明l p⊂l q。

证明：∀x=(x1,x2,…)∈l p，∀ε>0，恒存在⾃然数N，使得∑+∞k=N||x k||p<εp，那么可得||x k||p<εp⇒||x k||<ε，p≥1，进⽽∑+∞k=N||x k||q≤εq−p∑+∞k=N||x k||p<+∞所以x∈l q2. 设[a,b]是有界闭区间，证明L2([a,b])⊂L1([a,b])。

证明：∀x∈L2([a,b])，有[∫b a|f(t)|2dt]12<+∞，那么∫b a|f|dt≤[∫b a|f(t)|2dt]12[∫ba1dt]12<+∞因此，x∈L1([a,b])3. 设(X,d)是⼀个距离空间，中⼼在x0，半径为r的开球定义为B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}集合A⊂X是开集是指对于任意的x0∈A，恒存在以x0为中⼼的开球包含在A中。

（1）证明开球是开集；（2）开集全体构成的集合是X上的⼀个拓扑。

证明：（1）对于任意开球B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}，存在B(x0,r/2)⊂B(x0,r)，所以开球是开集。

（2）显然，开集全体构成的集合满⾜拓扑的定义。

4. 证明d(x,y)=|arctanx−arctany|是R上的距离。

证明：(1)⾮负性：d(x,y)=|arctanx−arctany|≥0，d(x,y)=|arctanx−arctany|=0⇔x=y因为arctanx是⼀个单调函数；(2)交换性：显然d(x,y)=d(y,x)；(3)三⾓不等式：∀x,y,z∈R,d(x,y)=|arctanx−arctany|=|arctanx−arctanz+arctanz−arctany|≤|arctanx−arctanz|+|arctanz−arctany|=d(x,z)+d(y,z)5. 设(X,d)是距离空间，对于任意的x∈X，定义f(x)=inf y∈A d(x,y)，证明f(x)是连续函数。

1泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

莆期末考试一试卷（A）卷2010—— 2011 学年第1学期课程名称：泛函剖析合用年级 / 专业07数学试卷类型：开卷（√）闭卷（）学历层次：本科考试用时：120 分钟《考生注意：答案要所有抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、填空题（每题 3 分，共 15 分）%是胸怀空间， T 是 X 到 Y 中的映照，x0X ,1. 设 X = ( X , d)， Y = (Y, d)假如 _________________________________________________则,称 T 在x0连续。

2.设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 到 Y 中的线性算子，假如 _______________, 则称 T 是 X 到 Y 中的无界限性算子。

3.设 X 是赋范线性空间，称为 X 的 Hilbert 空间。

4.设 M 是 Hilbert 空间 X 中的规范正交系，若___________________________________则称 M 是 X 中的完整规范正交系。

5.设 X 是赋范线性空间， X 是 X 的共轭空间，泛函列 f n X (n1,2,L ) ，假如则,称点列 f n弱*收敛于f。

二、计算题（ 20 分）表达 l1空间的定义，并求 l 1上连续线性泛函全体所成的空间？。

三、证明题（共65 分）1 、（ 14分）设 C[0,1] 表示闭区间 [0,1] 上连续函数全体，对任何 x, y C[0,1]，令d ( x, y)1y(t ) | dt , 证明 ( x, d ) 成为胸怀空间。

| x(t)n2、（12 分）证明R n按范数|| x || max |i|构成的赋范线性空间X与R n按范数|| x ||| i |i i1试卷第 1 页共 2 页构成的赋范线性空间Y 共轭。

3、（ 15 分）设X是可分Banach空间，M是X中的有界集，证明M中每个点列含有一个弱 * 收敛子列4、（ 12 分）设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。