泛函分析练习题
一•名词解释：
1.范数与线性赋范空间
2.无处稠密子集与第一纲集
3.紧集与相对紧集
4.开映射
5.共貌算子
6.内点、内部：
7.线性算子、线性范函：
8.自然嵌入算子
9.共貌算子
10.内积与内积空间：
11.弱有界集：
12.紧算子：
13.凸集
14.有界集
15.距离
16.可分
17.Cauchy 列
18.自反空间
二、定理叙述
1、压缩映射原理
2.共鸣定理
3.逆算子定理
4.闭图像定理
5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理
6、Bai re纲定理
7、开映射定理
8、Riesz表现定理
三证明题：
1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。
1 + Q
证明：Vx,y,zcX
显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x =
(2) d(x9y) = d(y,x)
(3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得
1+，1+r
d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z)
匕Q（x，）'） | Q（）'，z）
一1 + Q（3）1+ /?（），, z）
= d（x,y） + d（y,z）
故』也是X上的度量。
2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。
证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\
己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。
故有I ，以）一（x, y）『—。
即Cw〃）T（x,y）。
5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从
ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。
解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。
取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*.
所以||T||>-^e
故有11『11=±・
（2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时
||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2
Vn,(!--
取崩)=< n，贝MiiEly 插(J，,以)" = i。
0,0n
1 — (1 - )5
11片,11广右(]温顿度=右[—]，/2
1—(1 -- )5]一(1 -- )5
又lim || Tx n ||2=limV^[ ------------ ]l/2 =lim[ ----------- ]IZ2 = 1
〃—8 8 5 〃T8 1
5•-
n
故有叮||=1.
6.若|| • ||是C[a,b]±的另一完备范数(原范数记为||・|L )，并且当||x z,-x|H0时必有IQ)-x(r)HO,(V/G ",b])，则||• ||与||• IL等价.
证明：定义r：(C"”],ll ll) — (C[Q/],l|・IL)，Tx = xyxeC[a.b].
因为(C[。,切,||・||)与(C[o/],|| • IL)完备，显然T是一一的到上的线性算子，故只须证明T是
连续算子.
V||x〃f ||T0,||7\riLT。
由己知\\x n一X||-> 0时，必有|Q)-xQ)|-» O,(Vre [a.b]).
II Tx n-y— 0,即%(，)一致收敛到y(z).由收敛的唯一性知x(t) = >所以T为闭算子，又(C"/],|| • ||)与(CS,8],|| • IL)完备，由闭算子定理得,T是连续算子.
四论述题:
1、证明C[a y b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。
2、证明||x||= inaxx(r)为爪展]上范数，并论述证明范数的一般步骤。te[a.b]
