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点集拓扑学拓扑是英文Topology 的译音，Topology 一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科. 第一个使用此名称的是姜立夫（1890—1978. 1911年赴美，1918年获哈佛大学博士学位，留校任教，后回国，1920年南开大学教授，1934—1936在德国访问，后一直在中山大学任教. 他培养了陈省身等世界著名数学家.）. 而topology是由希腊语topos（位置）和logos（学问）合成. 发明此词的是德国人Listing（1828—1882，Gauss的学生和助手），即表示形状和位置关系的数学（位置分析）.拓扑学是新三基之一（泛函分析、近世代数、拓扑学）. （旧三基：数学分析、高等代数、解析几何）.拓扑学是一门综合学科（即包含有分析、代数和几何的内容）.分析：分析中有三大问题：1）连续性；2）介值定理；3）有限覆盖定理. 在拓扑学中将1）连续性推广到一般集合；2）是连通集的特性；3) 推广为紧致性.代数：在拓扑学有很多代数概念，如群、同态、同构等.几何：以前称拓扑学为橡皮（弹性）几何学.按德国数学家Klein（1849—1925）关于几何分类的变换群观点知：欧氏几何是研究图形在刚体运动下不变的性质（或量）的数学（图形大小和形状不变）.解析几何是研究图形在坐标变换下不变的性质（或量）的数学.仿射几何是研究图形在仿射变换下不变的性质（或量）的数学.射影几何是研究图形在射影变换下不变的性质（或量）的数学.而拓扑学是研究拓扑空间及其子集在拓扑变换（同胚变换）下不变的性质（或量）的数学.故拓扑学属几何范畴（橡皮膜上的几何）.拓扑学是数学的一个重要分支. 起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支. 拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支. 即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学、直观拓扑学和模糊拓扑学等. 目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用.拓扑学对近代数学的学习起着很大的作用，有人甚至说：“不懂得拓扑，就不懂得现代数学”.研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，或基础拓扑学. 它是拓扑学的基础. 本课程介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识.第 0章拓扑学的直观例子§0.1 七座问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥.如图1所示：河中的小岛A与河的对岸B、C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结.当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题（有7！=5040种走法）. 此七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注. 1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告. 在报告中，他把具体七桥布局化归为图1所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图1是不能一笔画出的图形.这就是说，七桥问题是无解的. 虽然使人们感到失望，但由此创立了一门新的数学分支—拓扑学.著名数学家欧拉图1§0.2 网络的一笔画问题定义由有限个点和有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点.这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点.由顶点出发的弧的条数叫做此顶点的次数，若一顶点次数为偶数或奇数，则称此顶点为偶顶点或奇顶点. 网络中互相衔结的一串弧叫做一条路.如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的.可以证明定理1在任一网络中奇顶点个数之和必为偶数.定理2 任一网络若有两个以上的奇顶点，则不能一笔画成.定理3 若一连通网络没有奇顶点，则可由任一点任一弧开始一笔画成.定理4若一连通网络有两个奇顶点，则它可被从某一奇顶点出发到另一奇顶点终止一笔画成.注1）定理2否定了七桥问题可一次走完.2）现在在B,D之间加了一座桥，那么八桥一次走完就可能了. 又在B,C之间加了一座铁路桥，九桥问题又如何？3）如图：§0.3 平面网络的Euler公式Euler定理在连通平面网络中，若顶点数，边数和网络分平面所得的区域数（即面数）分别为,,V E F. 则有Euler公式-+=.V E F2§0.4 凸多面体的Euler公式这是Euler在1750年写信给好友Goldbach(德1690-1764)时提出来的，并于1752年发表了一个证明.即Euler定理若一凸多面体的顶点数，棱数和面数分别为V E F，则有Euler公式2,,V E F-+称为多面体的-+=.其中V E FEuler示性数（或Euler特征数）.§0.5 正多面体定义 若一凸多面体的各面都是全等的正多边形，且所有多面角都相等，则这样的凸多面体称为正多面体（或正多面形、或柏拉图（Platonic) 多面体）.有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体.定理 有且只有五种正多面体.即只有正4，6，8，12，20多面体，证明 设正多面体顶点数，棱数和面数分别为,,V E F ，且正多面体的每个面是正n 边形，每个顶点有m 条棱. 棱数E 应是面数F 与n 的积的一半（每两面共用一条棱），即2nF E =（1）同时，E 应是顶点数V 与m 的积的一半，即2m V E =（2）由（1）、（2）得2E F n =，2E V m =代入欧拉公式2V E F -+=，得222E E E m n+-=，即11112m n E +=+，由于E 是正整数，所以10E >. 故1112m n +> （3）说明,m n 不能同时大于3，否则（3）不成立。
什么是泛函分析在几何中的应用在数学的广袤领域中，泛函分析与几何的结合为我们打开了一扇洞察世界的新窗口。
泛函分析作为现代数学的一个重要分支，它在几何中的应用不仅丰富了我们对几何现象的理解，还为解决几何问题提供了强大的工具和方法。
让我们先来简单了解一下什么是泛函分析。
泛函分析主要研究的是无穷维空间上的函数、算子和泛函。
它将函数视为空间中的元素，关注这些函数的性质、运算以及它们之间的关系。
而几何，是研究空间和形状的学科，包括点、线、面、体等基本元素及其性质和相互关系。
那么，泛函分析是如何在几何中发挥作用的呢？一个重要的应用领域是微分几何。
在微分几何中，我们常常需要研究曲面和流形的性质。
例如，通过泛函分析中的变分法，我们可以找到具有特定性质的曲面或曲线。
比如，在给定边界条件下，找到面积最小的曲面，这就是所谓的极小曲面问题。
泛函分析在几何度量理论中也有着关键的应用。
几何度量理论关注的是空间的度量结构和几何性质之间的关系。
通过运用泛函分析中的算子理论和函数空间的性质，我们能够更深入地理解和刻画空间的度量特征。
比如，对于一些复杂的几何对象，我们可以定义合适的距离函数，并利用泛函分析的方法来研究这些距离函数的性质，从而揭示几何对象的内在结构。
在黎曼几何中，泛函分析同样扮演着重要的角色。
黎曼几何研究的是具有黎曼度量的流形。
利用泛函分析中的 Sobolev 空间理论，我们可以研究流形上的函数的正则性和可微性。
这对于理解流形的拓扑结构和几何性质非常有帮助。
此外，泛函分析在几何不等式的证明中也大有用处。
几何不等式是描述几何对象之间大小关系的数学表达式。
通过巧妙地运用泛函分析中的工具，如算子的谱理论和泛函的极值原理，我们能够给出简洁而有力的证明。
再来看一个具体的例子，在研究曲线和曲面的弯曲程度时，我们会用到曲率的概念。
而利用泛函分析中的方法，可以对曲率进行更精细的分析和计算，从而帮助我们更好地理解几何形状的变化。
另一个应用是在几何分析中的 PDE（偏微分方程）方法。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
