当前位置：文档之家 › 应用泛函分析-葛显良-习题解答第四章习题提示及解答

应用泛函分析-葛显良-习题解答第四章习题提示及解答

  • 格式：pdf
  • 大小：124.74 KB
  • 文档页数：6

下载文档原格式

  / 6

合集下载

《泛函分析》习题解答(不完全版)

《泛函分析》习题解答(不完全版)

( x1 , y) ( x1 , x2 ) ( x2 , y) , ( x2 , y ) (x2 , x1 ) (x1 , y ).
对两端关于 y A 取下确界, 可以得到 . inf ( x1 , y) ( x1 , x2 ) inf ( x2 , y) , inf (x2 , y ) (x2 , x1 ) inf (x1 ,y )
1 1
f ( x) L1 ([a, b]) , 需要证明: 对于任意的 0 , 存在 g ( x) C[a, b] , 使得
( f , g)
[ a ,b ]
| f ( x ) g ( x) | dx .
事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在 0 , 使得当 E [a, b] , 只要 mE , 就有
x n , 0 x 1, f n ( x ) : 1, 1 x 2.
则 { f n ( x )} C ([0,2]) 在本题所定义的距离的意义下是 Cauchy 列, 因为
( f n , f m ) | f n ( x) f m ( x) | dx

因此, 根据 Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到
( f n , g ) | f n ( x ) g ( x ) | dx
0
1
| x n 0 | dx x n dx
0 0
1
1
1 0. n 1
但 g ( x) C ([0,2]) . (2) C ([a, b]) 的完备化空间是 L ([a, b]) . 因为 (i) 在距离 的意义下, C ([a, b]) 是 L ([a, b]) 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个

《应用泛函分析》习题解答

《应用泛函分析》习题解答

1泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

应用泛函分析-葛显良-习题解答第四章习题提示及解答

应用泛函分析-葛显良-习题解答第四章习题提示及解答
2 i =1 ∞
Tn x = ( 0, " , 0, ξ n +1 , ξ n + 2 , ") =
2 2
sup { Tn : n ∈ N } < ∞ ，同时存在 T ∈ B ( X , Y ) 使得 ∀ x ∈ X ， Tn x − Tx → 0 ，其中
Tx = lim Tn x = 0 ，即 T 是 0 算子．
或开球 B (Tx, ε ) 之外只有有限个 Txn ．否则，存在 ∀ε 0 > 0 ，开球 B (Tx, ε 0 ) 外有无穷 个 Txn ，由于 T 是紧算子，从中可选出收敛子序列 Txnk ，又 Y 是完备的，存在
W S W y0 ∈ Y ， y0 − Tx ≥ ε 0 ，使得 Txnk ⎯⎯ → Tx ， → y0 ，从而 Txnk ⎯⎯ → y0 ．另外 Txn ⎯⎯ W 由 144 页 11.2 定理， Txnk ⎯⎯ → Tx ，矛盾．
有收敛的子序列，所以 T ( M ) 是列紧集，所以 T 是紧算子．
W → x ，由 149 页习题 3， 3、 ⇒) 设 X 中的弱收敛点列 { xn } ， xn ⎯⎯
W S Txn ⎯⎯ → Tx ，下证 Txn ⎯⎯ → Tx ，即证 ∀ε > 0 ，存在 n0 ，当 n ≥ n0 时， Txn − Tx < ε
{ }
⇐) 此处证明需要 X 上任一个有界的序列 { xn } 都有弱收敛的子序列这一结
论．相关的结论是：Banach 空间是自反的当且仅当任一有界序列包含弱收敛的自 序列，具体可以参照著作：[日]吉田耕作（Yosida）．《泛函分析》．吴元恺等 译，北京：人民教育出版社，1981．120 页，Eberlein-Shymulyan 定理． 4、本题修改为证明 R (T ) 是可分的． 对 n = 1, 2, " ，考虑 X 上的有界集 An = { x : x ∈ X , x ≤ n} ， T 是紧算子保证

《应用回归分析》课后题答案

《应用回归分析》课后题答案

《应用回归分析》部分课后习题答案第一章回归分析概述1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？答：变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另外一个变量的确定关系。

1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。

区别有 a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。

在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。

b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。

而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。

C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。

而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

1.3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。

1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。

2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。

4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.1.5 回归变量的设置理论根据是什么？在回归变量设置时应注意哪些问题？答：理论判断某个变量应该作为解释变量，即便是不显著的，如果理论上无法判断那么可以采用统计方法来判断，解释变量和被解释变量存在统计关系。

泛函分析习题及参考答案

泛函分析习题及参考答案
p p
En
∫x
n
− x dt +
p
Fn
∫x
n
− x dt 。此时，
p
1 1 ⎡ ⎤ p p p p p p x x dt ( x dt ) ( x dt ) − ≤ + ⎢ ⎥ ， ∫ x n − x dt < (b − a ) ⋅ ε 。 n n ∫ ∫ ∫ ⎢ En ⎥ Fn En En ⎣ ⎦
泛函分析习题及参考答案
一、在 R 中定义如下三种距离： x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ) ∈ R ，
2
2
d1 ( x, y ) = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 ， d 2 ( x, y ) = max{ x1 − y1 , x2 − y2 } ，
i =1
= ∑ ξi( n ) − ξi +
p i =1
K
i = K +1∑∞ξi( n ) − ξi
p
≤∑ξ
i =1
K
(n) i
− ξi
p
∞ p 1 ⎛ ∞ p 1 ⎞ + ⎜ ( ∑ ξi( n ) ) p + ( ∑ ξi ) p ⎟ < 2ε p 。 i = K +1 ⎝ i = K +1 ⎠
1
取 δ = min(δ 1 , δ 2 ) ，则 e ⊂ E ， me < δ 时，
∫
e
x n (t ) dt ) p < ε ，对每个自然数 n 成立。
p
即 {x n (t )} 在 [a, b] 上具有等度绝对连续的积分。 充分性证明，对任何 ε > 0 ，令 E n (ε ) = E ( x n − x ≥ ε ) ，则 mE n (ε ) → 0 。由此可知， 对任何 δ > 0 ，存在 N > 0 ，使得 n > N 时， mE n (ε ) < δ 。 令 Fn (ε ) = E ( x n − x < ε ) ，则 ρ ( x n , x ) =

《应用泛函分析》习题解答

《应用泛函分析》习题解答

1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

泛函分析部分课后习题答案

n
T : R n E ，对于 1 , 2 n R n ， 。
下证 T 为同构映射。 显 然 T 为 单 射 ， 容 易 证 T 也 为 满 射 。 事 实 上 ， 对 于 x E ， 令
n
ci x, ei R, i 1, 2, n ，必有 T c1 , c2 cn ci ei x 。
f x 为
n
Cauchy 列 ， 则 f n x , f n1 x 0 n ， 由
f ni x f ni1 x f n , f n 1 0 n 知 f ni x 也为 Cauchy 列。由 Cauchy
由于时间和能力有限，只完成了部分习题，仅供参考，有错误的请指出，大家共同进步！——陈建军
习题 1 1、解： C a,b 按 是非完备的。
n1
令函数列 Pn x
i 0
b

xi ，显然 Pn C a,b ，且有 2i
b
Pn , Pn1 Pn1 Pn dx
T x1 , x2 , xn 0, x1 , x2 , xn 1 , S x1 , x2 , xn 0, x2 , xn 。易证 T，S 为线性算
子。取点 1,0, 0 R n ，显然有 TS 1, 0, 0 T 0,0, 0 0, 0, 0 ，
n k 1
fi x f ek ，显然 f X 且 fi i 1 为 X 的基。令 T : X X ，使得
f f e1 , f e2 , f en ，易证 T 为双射。命题得证。

泛函分析智慧树知到答案2024年长安大学

泛函分析长安大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.距离函数满足的三个基本条件是正定性，对称性和三角不等式。

（）A:对 B:错答案:A2.距离空间的完备性是指基本列都不是收敛列。

（）A:错 B:对答案:A3.压缩映射原理是设X是一个完备的度量空间，T是映X到自身的压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。

（）A:对 B:错答案:A4.距离空间的可分是指不存在可数稠密子集。

（）A:对 B:错答案:B5.紧集上的连续函数具有什么性质。

（）A:有界 B:达到上、下确界 C:将开集映成开集D:一致连续答案:ABD第二章测试1.设某线性空间中有一组线性无关的向量，则从中任意抽取一部分向量够的向量组一定是线性无关的。

（）A:对 B:错答案:A2.有穷维线性空间上定义的任何两个范数是不等价的。

（）A:错 B:对答案:A3.当空间X是严格凸的赋范线性空间，则任意指定元素在给定有穷维子空间上的最佳逼近元存在唯一。

（）A:错 B:对答案:B4.若赋范线性空间任意有界集是列紧的，则该空间是有穷维的。

（）A:对 B:错答案:A5.Schauder不动点定理：设C是赋范线性空间X中的一个闭凸子集，T是映C到自身的连续映射且T的值域列紧，则T在C上必有一个不动点。

（）A:错 B:对答案:B第三章测试1.为了在赋范线性空间上引入内积，当且仅当范数满足四边形等式。

（）A:对 B:错答案:B2.内积空间X上的两个元素x与y称为是正交的是指x与y的内积为1。

（）A:错 B:对答案:A3.Zorn引理：设X是一个半序集，如果它的每一个全序子集都有一个上界，那么X有一个极大元。

（）A:对 B:错答案:A4.为了Hilbert空间X是可分的，当且仅当存在至多可数的正交规范基。

（）A:错 B:对答案:B5.如果C是Hilbert空间X中的闭凸子集，那么在C上存在唯一元素取到最大模。

（）A:错 B:对答案:A第四章测试1.若线性算子在其定义域的某一点连续则它在定义域上处处连续。

泛函分析答案

泛函分析答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--泛函分析答案：1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。

子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。

4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x)（3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }Td 2(x,y)=(21||ni i i x y =-∑)1/2d 1(x,y)=1||ni i i x y =-∑d p (x,y) = (1||np i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n?∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n ?x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。

实变函数与泛函分析基础第四章习题答案


k→∞
n
E0 = E2[sup | fn |≤ k0], c = k0. E0
n
k0
Å mE2 − mE2[sup | fn |≤ k0] < ǫ.
¦ ±n n, | fn(x) |≤ c,
m(E − E0) = m(E − E2) + m(E2 − E0) < ǫ.
6. f (x) (−∞, ∞)
¯À¡
∞
E − En
n=0
Í ¾ 10. « ­ fn(x)
E fn(x) ⇒ f (x), f (x).
fn(x) ≤ fn+1(x)
¯À n = 1, 2, · · · ,
¾
³ ¬¨Ù ¡ ¨ fni(x)
fn(x) ⇒ f (x), f (x)
{fni} ⊂ {fn}, fni (x) E a.e. En = E[fn < fn+1], mE0 = 0, mEn = 0.
n=1
» Ã ¤­ 9.
{fn} E
¾ ¯À¡ f(x) ≤ g(x) E
­ Í ­ f , fn(x) ≤ g(x)a.e. E,n = 1, 2, · · · .
³ ¨Ù fn(x) ⇒ f(x),
 {fni } ⊂ {fn}, fni(x) E a.e.
f (x). E0
¬ Â fni(x)
4. E [0, 1]
Ù ¢ E[ lim fn n→∞
=
+∞]
∪
E[ lim
n→∞
fn
=
−∞]
∪
E[ lim
n→∞
fn
>
lim
n→∞
fn]
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
*
L2 (0, 1) 的映射．再注意对任意 z ∈ L2 (0, 1) ， z 确定 L2 (0, 1) 上的线性泛函为 z ( x ) = x, z ， x ∈ L2 (0, 1) ．
对任意 z ∈ L2 (0, 1) （ = ( L2 (0, 1) ) ），对任意 x ∈ L2 (0, 1) ，计算
2
∑ξ η
i =1 i
∞
2 n +i
≤ ∑ ξi
i =1
∞
2
∑η
i =1
∞
2 n +i
= x
2
i = n +1
∑η
∞
2
i
→ 0 （收敛级数的余项趋于
0 ）．又 n > m ， Tn e1 − Tm e1 = 2 ，所以 Tn 不强算子收敛．
第 2 节习题
1、注意因为 (lபைடு நூலகம்p )* = l q ， S × 是从 l q 到 l q 的映射，
*
1 1 t z (Tx ) = Tx, z = ∫ (Tx ) (t ) z ( t ) dt = ∫ ⎡ ∫ x ( s ) ds ⎤ z ( t ) dt ⎥ 0 0⎢ 0 ⎣ ⎦
=∫
计算
1
0 0
z t dt ⎤ x ( s ) ds ∫ x ( s ) z ( t ) dsdt = ∫ ⎡ ⎢∫ ( ) ⎦ ⎥ ⎣
第 3 节习题
1、 ⇒) 由定义，显然．
{kxn } 是 kA 中的任一序列，则 { xn } 是 A 中的序列，存在收敛的自序列 { xn } ，这样
k
⇐) 首先证明：如果 A 是列紧集， k > 0 ，则 kA = {kx : x ∈ A} 也是列紧集．如果
{kx } 就是 kA 中的收敛的自序列，所以 kA 列紧． A 是 X 中的有界集， S 是 X 中的
⎧ ⎛ ε ε ⎞⎫ ⎪ ⎪ − + A = ⎨ xs = yr + sx0 : s ∈ ⎜ r , r ⎟ ⎬， ⎜ ⎟ x0 x0 ⎠ ⎪ ⎪ ⎝ ⎩ ⎭ 计算 xs − xr = s − r x0 < ε ，所以 A ⊂ B ( xr , ε ) ⊂ G ． ⎧ ⎫ ⎛ ε ε ⎞⎪ ⎪ f ( A ) = ⎨ f ( yr + sx0 ) : s ∈ ⎜ ⎜α r − x , α r + x ⎟ ⎟⎬ ⊂ f (G ) 0 0 ⎠⎪ ⎪ ⎝ ⎩ ⎭ ⎛ ε ε ⎞ 即存在 r 的一个邻域 ⎜ ⎜r − x , r + x ⎟ ⎟ ，其中的每一个点都是 G 内某一点 xs 的函数 0 0 ⎠ ⎝ 值．证毕．（注意 f 不一定是连续的）
{ }
⇐) 此处证明需要 X 上任一个有界的序列 { xn } 都有弱收敛的子序列这一结
论．相关的结论是：Banach 空间是自反的当且仅当任一有界序列包含弱收敛的自 序列，具体可以参照著作：[日]吉田耕作（Yosida）．《泛函分析》．吴元恺等 译，北京：人民教育出版社，1981．120 页，Eberlein-Shymulyan 定理． 4、本题修改为证明 R (T ) 是可分的． 对 n = 1, 2, " ，考虑 X 上的有界集 An = { x : x ∈ X , x ≤ n} ， T 是紧算子保证
7、只需证明对 X 中的任意有界点列 { xn } ， {(T1 + T2 ) xn } 有收敛的子序列．首先
{ f ( x ) z} 也是一个收敛的子序列，即 {T ( x )} 是收敛子序列，证毕（习题
(1) n (1) n
2）．（也可以模仿 158 页例 1） 9、 P 是 H 到 M 上的正交投影， P = 1 ，即 P 是有界的线性算子，且其值域为
第四章习题提示及解答
第 1 节习题
1、 Tn 是线性的． x ∈ l 2 保证 ∑ ξi 收敛，其余项趋于 0 ，所以
2 i =1 ∞
Tn x = ( 0, " , 0, ξ n +1 , ξ n + 2 , ") =
2 2
sup { Tn : n ∈ N } < ∞ ，同时存在 T ∈ B ( X , Y ) 使得 ∀ x ∈ X ， Tn x − Tx → 0 ，其中
2、 ⇐) 设 ( x, y ) 是 Gr T 的接触点，则存在 xn ∈ X ，使得 ( xn , Txn ) → ( x, y ) ，即
xn → x ， Txn → y ，转化为 xn − x → 0 和 T ( xn − x ) → y − Tx ，利用已知可得出
y − Tx → 0 ，即 y = Tx ．于是 ( x, y ) = ( x, Tx ) ∈ Gr T ， Gr T 是闭集．
或开球 B (Tx, ε ) 之外只有有限个 Txn ．否则，存在 ∀ε 0 > 0 ，开球 B (Tx, ε 0 ) 外有无穷 个 Txn ，由于 T 是紧算子，从中可选出收敛子序列 Txnk ，又 Y 是完备的，存在
W S W y0 ∈ Y ， y0 − Tx ≥ ε 0 ，使得 Txnk ⎯⎯ → Tx ， → y0 ，从而 Txnk ⎯⎯ → y0 ．另外 Txn ⎯⎯ W 由 144 页 11.2 定理， Txnk ⎯⎯ → Tx ，矛盾．
∞
ε
的线性泛函， f (Tn x ) → 0 （ f ( 0( x) ) = 0 ）． l 2 是 Hilbert 空间，利用 Riesz 表示，
i =1
存在 z ∈ l 2 ， z = (η1 , " , ηk , ") ，使得 f (Tn x ) = Tn x, z = ∑ ξiηn +i ．利用 Holder 不等 式， f (Tn x ) =
1 × 1 1 0 0 s
× 1 s × 1 t
任意的 x ∈ X ， g (Tx ) = (T * g ) ( x ) = 0 ，根据 R (T ) ⊥ 的定义， g ∈ R (T ) ⊥ ．反之，对任 意 g ∈ R (T ) ⊥ ，对任意的 x ∈ X ，首先 Tx ∈ T ( X ) ，所以 (T * g ) ( x ) = g (Tx ) = 0 ，推出
T × g = 0 ， T × g ∈ ker T × ． 7、直接验证 ⊥ M 是线性的．直接验证 ⊥ M 是闭的（用接触点）． 8、模仿 6 题的证明．
5、直接验证 M ⊥ 是线性的．直接验证 M ⊥ 是闭的（用接触点）． 6、注意 ker T × 是 Y * 上子空间， R (T ) ⊥ 也是 Y * 上子空间．对任意 g ∈ ker T × ，对
B ( r , ε r ) 内的每一点，都是 G 内某一点的函数值．证明需要利用泛函 f 的表示，即
132 页习题 4 的结论：取定 x0 ∈ X \ ker ( f ) ，满足 f ( x0 ) = 1 ，对任意 x ∈ X 都可以唯
一表示为 x = y + α x0 ，这里 α = f ( x ) ． 对任意 r ∈ f ( G ) ，存在 xr ∈ G 使得 f ( xr ) = r ，由于 G 是开集，存在 xr 的开球 邻域 B ( xr , ε ) 使得 B ( xr , ε ) ⊂ G ． xr 可以表示为 xr = yr + rx0 ．考虑
Tx = lim Tn x = 0 ，即 T 是 0 算子．
n →∞
i = n +1
∑ξ
∞
2 i
→ 0 ．利用 Banach-Steihaus 定理，
Tn − Tn −1 = sup
{ (T
n
− Tn −1 ) x : x = 1 ≥ (Tn − Tn −1 ) en = 1 ，这里 en 表示只有第 n 个
}
分量为 1 ，其余分量全部为零的向量，这时 Tn en = 0 ， Tn −1en = en ，所以 Tn 不会强收 敛． 2、 A 是 X 的有界集， sup { x : x ∈ A} = M < ∞ ． Tn − T → 0 ，所以 ∀ε > 0 ，存 在 n0 = n0 ( ε ) ，当 n ≥ n0 时， Tn − T ≤ ，进而 Tn x − Tx ≤ Tn − T x < ε ． M 3、验证 Tn 是线性的，验证 Tn 是有界的．证明算子弱收敛只需验证对任意 l 2 上
∞
1 1 + = 1 ．同时注意对任意 p q
η ∈ l q ，其对应与 l p 上的有界线性泛函为 η (ξ ) = ∑ ξiηi ．计算
i =1
η ( Sξ ) = ∑ ξiηi +1 ．
如 S ×η = ζ = (ζ 1 , ζ 2 , " , ζ n , ") ，计算
×
i =1
∞
(i)
( S η ) ξ = ζ (ξ ) = ∑ ξ ζ
i =1 i
∞
i
(ii)
取 ξ = en 比较 ( S ×η ) ξ = η ( Sξ ) ，得到 ζ n = ηn +1 ，所以 S ×η = (η2 , η3 , " , ηi , ") ．
2、 0, I ∈ B ( X , Y ) ．对任意 x ∈ X ，对任意 g ∈ Y * ， ( 0× g ) ( x ) = g ( 0 x ) = 0 ，所以 0× g 是零泛函，由于 g 是任意的，所以 0× 是 0 算子．同理计算 I × ． 3、 T ∈ B ( X ) = B ( X , X ) ，归纳利用 155 页伴随算子性质 2。即可． 4、注意 L2 (0, 1) 是 Hilbert 空间， ( L2 (0, 1) ) = L2 (0, 1) ，所以 S × 是从 L2 (0, 1) 到
t 1 1 0 s
比较 (T z ) ( x ) = z (Tx ) ，得出