应用泛函分析-葛显良-习题解答第四章习题提示及解答

1泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

《应用回归分析》部分课后习题答案第一章回归分析概述1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？答：变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另外一个变量的确定关系。

1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。

区别有 a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。

在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。

b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。

而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。

C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。

而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

1.3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。

1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。

2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。

4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.1.5 回归变量的设置理论根据是什么？在回归变量设置时应注意哪些问题？答：理论判断某个变量应该作为解释变量，即便是不显著的，如果理论上无法判断那么可以采用统计方法来判断，解释变量和被解释变量存在统计关系。

1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

泛函分析长安大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.距离函数满足的三个基本条件是正定性，对称性和三角不等式。

（）A:对 B:错答案:A2.距离空间的完备性是指基本列都不是收敛列。

（）A:错 B:对答案:A3.压缩映射原理是设X是一个完备的度量空间，T是映X到自身的压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。

（）A:对 B:错答案:A4.距离空间的可分是指不存在可数稠密子集。

（）A:对 B:错答案:B5.紧集上的连续函数具有什么性质。

（）A:有界 B:达到上、下确界 C:将开集映成开集D:一致连续答案:ABD第二章测试1.设某线性空间中有一组线性无关的向量，则从中任意抽取一部分向量够的向量组一定是线性无关的。

（）A:对 B:错答案:A2.有穷维线性空间上定义的任何两个范数是不等价的。

（）A:错 B:对答案:A3.当空间X是严格凸的赋范线性空间，则任意指定元素在给定有穷维子空间上的最佳逼近元存在唯一。

（）A:错 B:对答案:B4.若赋范线性空间任意有界集是列紧的，则该空间是有穷维的。

（）A:对 B:错答案:A5.Schauder不动点定理：设C是赋范线性空间X中的一个闭凸子集，T是映C到自身的连续映射且T的值域列紧，则T在C上必有一个不动点。

（）A:错 B:对答案:B第三章测试1.为了在赋范线性空间上引入内积，当且仅当范数满足四边形等式。

（）A:对 B:错答案:B2.内积空间X上的两个元素x与y称为是正交的是指x与y的内积为1。

（）A:错 B:对答案:A3.Zorn引理：设X是一个半序集，如果它的每一个全序子集都有一个上界，那么X有一个极大元。

（）A:对 B:错答案:A4.为了Hilbert空间X是可分的，当且仅当存在至多可数的正交规范基。

（）A:错 B:对答案:B5.如果C是Hilbert空间X中的闭凸子集，那么在C上存在唯一元素取到最大模。

（）A:错 B:对答案:A第四章测试1.若线性算子在其定义域的某一点连续则它在定义域上处处连续。

泛函分析答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--泛函分析答案：1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。

子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。

4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x)（3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }Td 2(x,y)=(21||ni i i x y =-∑)1/2d 1(x,y)=1||ni i i x y =-∑d p (x,y) = (1||np i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n?∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n ?x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。

泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k k x （此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1limk k n x x （此时记x 为∑∞=1k k x ，即∑∞==1k k x x ）.证明：令∑==n k kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

第四章习题第一部分(1-18)1. 在 1中令ρ1(x , y ) = (x - y )2，ρ2(x , y ) = | x - y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为 1上的距离？ [解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y = 0, z = 1，则 ρ1(x , z ) = 4 > 2 = ρ1(x , y ) + ρ1(y , z )，所以ρ1不是 1上的距离。

而∀x , y , z ∈ 1，ρ2(x , y ) =||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -⋅-+-+-≤-+-≤-||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==ρ2(x , z ) + ρ2(z , y )； 所以ρ2是 1上的距离．2. 设(X , ρ)是距离空间，令ρ1(x , y ) =ny x ),(ρ，∀x , y ∈X ．证明(X , ρ1)也是距离空间．[证明] 显然ρ1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明ρ1满足三角不等式即可． 实际上∀x , y , z ∈X ，nny z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤=nnnn ny z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=．3. 设(X , ρ)是距离空间，证明| ρ(x , z ) - ρ(y , z ) | ≤ ρ(x , y )，∀x , y , z ∈X ；| ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )，∀x , y , z , w ∈X ．[证明] ∀x , y , z , w ∈X ，由三角不等式有- ρ(x , y ) ≤ ρ(x , z ) - ρ(y , z ) ≤ ρ(x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式：| ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ | ρ(x , y ) - ρ(y , z ) | + | ρ(y , z ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )．4. 用Cauchy 不等式证明(| ζ1 | + | ζ1 | + ... + | ζn | )2 ≤ n (| ζ1 |2 + | ζ1 |2 + ... + | ζn |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | ζi |，b i = 1，∀i = 1, 2, ..., n 即可．5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做．6. 设(X , d )是距离空间，A ⊆ X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集．[证明] 若A = ∅，则int(A ) = ∅，结论显然成立． 若A ≠ ∅，则∀x ∈ A ，∃r > 0使得S (x , r ) ⊆ A ．对∀y ∈ S (x , r )，令s = r - d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) ⊆ S (x , r ) ⊆ A ； 所以y ∈ int(A )．故S (x , r ) ⊆ int(A )，从而int(A )是开集．7. 设(X , d )是距离空间，A ⊆ X ，A ≠ ∅．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并． [证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集．若A 是开集，∀x ∈A ，存在r (x ) > 0，使得S (x , r (x )) ⊆ A ． 显然A = ⋂x ∈A S (x , r (x ))．8. 举例说明对于一般的距离空间X ，并不是总有),(),(r x S r x S =，∀x ∈X ，r > 0． [例] 设X = {a , b }，定义d : X ⨯ X → 为d (a , a ) = d (b , b ) = 0，d (a , b ) = 1． 则(X , d )是距离空间．当r = 1时，不论x 为a 还是b ，总有),(}{),(r x S X x r x S =≠=．9. 设(X , d )是距离空间，X B A ⊆,．证明：B A B A ⋃=⋃，B A B A ⋂⊆⋂． [证明] 由于A A ⊆，B B ⊆，故B A B A ⋃⊆⋃．由于A 和B 都是闭集，所以B A ⋃也是闭集，所以B A B A ⋃⊆⋃．另一方面，由B A B A ⋃⊆,，得B A B A ⋃⊆,，所以B A B A ⋃⊆⋃； 这样就证明了第一个等式．由B A B A ,⊆⋂得B A B A ,⊆⋂，所以B A B A ⋂⊆⋂。

第四章赋范空间中的基本定理1. 设p 是赋范空间X 上的次线性泛函，满足(0)0p =，且在0处连续。

求证：p 是连续映射。

证明：由p 在0处连续，且满足(0)0p =可得：0,0εδ∀>∃>使得满足||x ||||0||x δ=-<的x 都有||(x)(0)||||p(x)||p p ε-=<。

从而h ∀满足||h ||δ<则||(h)||p ε<任取0,x x X ≠∈令z x h X =+∈，且满足||||||||z x h δ-=<，由p 是x 的次线性泛函可以得到：(h)p(x h)p(x)p(x)p(h)p(x)p(h)p --≤+-≤+-=即||(x h)(h)||max{||p(h)||,||p(h)||}p p +-≤-注意到||||,||||h h δδ<-< 从而||(h)||,||p(h)||p εε<-<即得到||(x h)(x)||p p ε+-<即p 在x 处连续，由x 的任意性可知，p 处处连续，为连续映射。

2. 设X 为线性空间，:p X → 使得任取,,x y X λ∈∈K ，有(x y)p(x)p(y),p(x)||p(x)p λλ+≤+=求证：p 是X 上的半范数证明：=0λ∈K 取，则由条件(x)||p(x)p λλ=得到(0)0p =。

由X 是线性空间，其中存在零元和负元。

任取,,0x x X x -∈≠则有：0(0)p(x x)(x)p(x)p(x)p(x)2(x)p p p ==-≤+-=+=即(x)0p ≥从而得证半范数的三个条件。

即p X 是上的半范数。

3. 设12,a a ∈ 固定，考虑3 的线性子空间31233{(x ,x ,x ):x 0}Z =∈=及Z 上的线性泛函1231122(x ,x ,x )a f x a x =+。

求出所有f 到3 上的线性延拓及其相应的线性泛函的范数。