2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(16)角的概念及任意角的三角函数

6
理解 了解 掌握 理解 掌握
2011课标全国11 2011安徽9 2011山东6
2011浙江6 2011辽宁7 2011天津6 2011辽宁4
8
6
第三单元 │ 高考纵览
题 型 三角 函数 与 三角 恒等 变换 解三 角形
考点统计 任意角的三角函数、同 角三角函数、诱导公式 三角函数的图象与性质 和差的三角函数公式、 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理、 定义
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度 和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理，把求 解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理和余弦 定理加以解决，教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题 时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际应用问题的 本质所在．
图16－1
第16讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题1 角的概念的推广 ) )
(1)小于90° 的角是锐角；(
(2)第一象限的角一定不是负角．(
[答案] (1)错
(2)错
[解析] (1)小于90° 的角也可以是零角或负角；(2)第 一象限的角可以是负角，如α＝－300° 就是第一象限的 角．
第16讲 │ 问题思考
第三单元 │ 高考纵览 高考纵览
题 型
三角 函数 与 三角 恒等 变换 解三 角形
考点统计
任意角的三角函数、同 角三角函数、诱导公式 三角函数的图象与性质 和差的三角函数公式、 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理、 定义
考查 频度
8
考查 要求
了解
考例展示
2011课标全国5 2011山东3

高考数学一轮复习第三章第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数课时作业文（含解析）第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数1．(2013·河南调研)与－525°的终边相同的角可表示为( )A．525°－k·360°(k∈Z) B．165°＋k·360°(k∈Z)C．195°＋k·360°(k∈Z) D．－195°＋k·360°(k∈Z)解析：在α＝195°＋k·360°(k∈Z)中，令k＝－2得α＝－525°，故选C.答案：C2．若α是第二象限的角，则π－α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：π－α＝－α＋π，若α是第二象限角，则－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得π－α是第一象限角．故选A.答案：A3．(2013·福建模拟)下列三角函数值的符号判断错误的是( )A．sin 165°＞0 B．cos 280°＞0C．tan 170°＞0 D．tan 310°＜0解析：∵170°为第二象限角，∴tan 170°<0，选C.答案：C4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是( )A．2 3 B．±2 3 C．－2 2 D．－2 3解析：由cos α＝xx2＋4＝－32，解得x＝－2 3.答案：D5．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A．第二或第四象限B．第一或第三象限C．第二或第四象限或x轴上D．第一或第四象限或x轴上解析：依题意有cos θ≥0，tan θ≤0，即θ的终边在第四象限或x轴正半轴上．所以θ2在第二或第四象限或x轴上．答案：C6．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1B．4C．1或4 D．2或4解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r＋l＝6，12rl＝2.解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.答案：C7．给出下列命题：①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角必是锐角；③不相等的角终边一定不相同；④若β＝α＋k·720°(k∈Z)，则α和β终边相同；⑤点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．其中正确的是( )A．①② B．③④ C．②⑤ D．④⑤解析：①错误.90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角．②错误.390°的角是第一象限角，但它不是锐角．③错误.390°的角和30°的角不相等，但终边相同．④正确．由终边相同的角的概念可知正确．⑤正确．由已知得tan α＜0，cos α＜0，所以α为第二象限角．答案：D8．扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( )A．π B.5π4C.3π3D.239π2解析：因为120°＝2π3，所以扇形面积为12×2π3×(3)2＝π.故选A. 答案：A9．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为__________．解析：该点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，则α是第四象限角．所以角α的最小正值为11π6. 答案：11π610．若cos α＝－35，且 α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝______． 解析：∵sin 2α＝1－cos 2α，cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2， ∴sin α＝－45.∴tan α＝43. 答案：4311．已知点P(3r ，－4r)(r≠0)在角α的终边上，求sin α，cos α，tan α的值． 解析：因为x ＝3r ，y ＝－4r ，所以|OP |＝x 2＋y 2＝5|r |.(1)当r >0时，则|OP |＝5r ，sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43； (2)当r <0时，则|OP |＝－5r ，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43. 综上所述，sin α＝±45，cos α＝±35，tan α＝－43. 12．(2013·包头月考)已知角θ的终边上有一点M(3，m)，且sin θ＋cos θ＝－15，求m 的值．解析：r ＝32＋m 2＝m 2＋9，依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9， ∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15. 即m ＋3m 2＋9＝－15， 解得m ＝－4或m ＝－94， 经检验知m ＝－94不合题意，舍去．故m ＝－4.。

A.135°B.45°C.225°D.-225°2.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α= ()A.-B.-C.-D.-3.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}B.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}4.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P,则sin=()A.1B.C.-D.-5.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ()A. B. C.- D.-6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]7.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=.8.函数f(α)=-的定义域为.9.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sinα+sinβ=.10.若角α与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.11.已知扇形的周长为20 cm,当,它的圆心角的弧度数是多少时，它的面积最大最大值是多少？A.135°B.45°C.225°D.-225°答案.C因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.2.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α= ()A.-B.-C.-D.-=-,故选D.答案.D根据三角函数的定义,tan α==-3.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}B.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}答案.C4.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P,则sin=()A.1B.C.-D.-答案.B∵点P在单位圆上,∴y=±,∴α=+2kπ k∈Z或α=-+2kπ k∈Z.∴sin=cos α=cos=cos=.故选B.5.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ()A. B. C.- D.-答案.A将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的=,即为×2π=.6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]答案.A由cos α≤0 sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有-解得-2<a≤3.7.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=. 答案.因为角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,∴r=5,∴cos α==-,sin α==-,则cos α-sin α=-+=.8.函数f(α)=-的定义域为.答案.-(k∈Z)∵2cos α-1≥0 ∴cos α≥.由三角函数线画出角α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈-(k∈Z).9.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sinα+sinβ=.答案.0∵角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,∴P(1,2).∵角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,∴Q(1,-2).由三角函数的定义可知sin α=,sin β=-,∴sin α+sin β=-=0.10.若角α与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.答案.,,,由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0 2π]所以k=0,1,2,3,相应地有=,,,.11.已知扇形的周长为20 cm,当,它的圆心角的弧度数是多少时，它的面积最大最大值是多少？解答∵扇形的周长为20 cm,∴l+2r=20,即l=20-2r,∴扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,∴当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α==2(rad).。

2020年高考数学一轮复习：16 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、单选题1.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非法半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.2.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.3.若角a=-4，则a的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若p(-，m)是角θ终边上的一点，且sinθ=，则m的值为（）A. B. 6 C. -或 D. -6或65.已知是角的终边上的点，则（）A. B. C. D.6.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（）A. B. C. D.7.设函数，若角的终边经过，则的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 48.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.9.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点，则等于A. B. C. D.10.在直角坐标系中，若角α的终边经过点P（sin，cos），则cos（+α）=（）A. B. ﹣ C. D. ﹣11.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.12.在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则（）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题13.角的终边经过点，则________.14.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则________．15.已知角终边上有一点,且，则________16.若角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，其终边经过点，________．17.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则________.三、解答题18.若点在角的终边上，求的值．19.已知角终边经过点，且，求，，.20.已知角的终边过点，且，求和的值.21.已知角θ的终边经过点P(-3a,4a）．(a≠0）（1）当a=1时，求sinθ-2cosθ的值：（2）若sinθ<0，求3tanθ+5cosθ的值22.在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点．（1）求、；（2）求．答案解析部分一、单选题1. D解析：角的终边与单位圆的交点为，所以，，于是．故答案为：D.【分析】由已知利用任意角的三角函数定义，得到与的值代入，即可得结果.2. D解析：任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，可得与角终边相同的角是，当时，，故答案为：D。

课时作业一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6C [将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16. 即为－16×2π＝－π3.]2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．8A [设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎨⎧l ＝4r ＝1或⎩⎨⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.]3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12 D.12D [因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.]4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．]5．(2014·聊城模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4B [因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin (90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.]6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由已知得(sin θ－cos θ)2>1，1－2sin θcos θ>1， sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ， 所以角θ的终边在第二象限．] 二、填空题7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3， 即B (－1，3)． 答案 (－1，3)8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________．解析 因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限． 所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案 22或－22 －19．如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________．解析 由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限， 故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75. 答案 －75 三、解答题10．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解析 设圆的半径为r cm ， 弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．11．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形． (1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解析 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310.12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ， cos θ.解析 (1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝± 3.∵90°<α<180°，∴x<0，因此x＝－ 3.故r＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tan θ＝－1 x，又tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sin θ＝－22，cosθ＝22；当x＝－1时，sin θ＝－22，cosθ＝－22.。

第16讲 │ 备用例题
tancosθ>0， (2)由题知 tansinθ>0 0<cosθ<1， ∴ 0<sinθ<1
tancosθ<0， 或 tansinθ<0，
－1<cosθ<0， 或 －1<sinθ<0，
即 θ 在第一或第三象
第16讲 │ 角的概念及任意角的三角函数
第16讲 角的概念及任意角 的三角函数
第16讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1需对m分类讨论，是对探究点3的补充；例 2，补充角所在的象限与角的三角函数值的符号之间的关系．
第16讲 │ 备用例题
例 1 已知角 α 的终边过点 P(－4m,3m)(m≠0)， 则 2sinα＋cosα 的值为________．
2 [答案] ± 5
第16讲 │ 备用例题
[解析] 当 m>0 时，点 P 在第二象限，|OP|＝5m，则 2sinα 3m －4m 2 ＋cosα＝2× ＋ ＝ ； 5m 5m 5 当 m<0 时，点 P 在第四象限，|OP|＝－5m，则 3m －4m 2 2sinα＋cosα＝2× ＋ ＝－ . 5 －5m －5m
限； θ 若 θ 在第一象限，则 终边所在的范围如图①所示；若 θ 在 2 θ 第三象限，则 终边所在的范围如图②所示(见阴影部分，不含 2 边界)．
第16讲 │ 备用例题
第16讲 │ 备用例题
例2 解答下列问题：
(1)若 θ 在第四象限，试判断 sin(cosθ)· cห้องสมุดไป่ตู้s(sinθ)的符号； (2)若 tan(cosθ)· tan(sinθ)>0，试指出 θ 所在象限，并用图形 θ 表示出 终边所在的范围． 2

第三章三角函数、解三角形第1课时任意角、弧度制及任意角的三角函数1. 任意角(1) 角的概念的推广①按旋转方向不同分为 ________ 、 ________ 、________ .②按终边位置不同分为 ________ 和 ________ .(2) 终边相同的角终边与角a相同的角可写成_2. 弧度与角度的互化(1) 1弧度的角长度等于 ________ 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.⑵角a的弧度数如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么角a的弧度数的绝对值是I a |=.(3) 角度与弧度的换算①1° = _______ rad;② 1rad = .(4) 扇形的弧长、面积公式设扇形的弧长为l ,圆心角大小为a (rad),半径为r,则l=r a ,扇形的面积为S=3. 任意角的三角函数(1) 定义：设角a的终边与单位圆交于____________ P(x, y),则sin a= ,COS a= ___________________________ ,tan a =1. ( 教材改编) 下列与系式中正确的是( ) .的终边相同的角的关2. (教材改编)若sin a<0且tan a>0,则a是().A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 已知角 a 的终边上一点A(2,2), 则 a 的大小为( ).4. (教材改编)已知角a 的终边经过点P(-X,-6), 且,则X的值为 ________ .5. _____________________________________________ 弧长为3 n ,圆心角为135°的扇形半径为,面积为______________________________________________ .♦一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.♦两个技巧(1) 在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r - -定是正值.(2) 在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧•♦三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角•(2) 角度制与弧度制可利用180°=n rad进行互化,在同一个式子中致,不可混用,不可写a=2k n +60°, k € Z.(3) 注意熟记0° ~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.♦四个公式(1) 与a终边相同的角度公式(2) 角的弧度数(弧长公式)(3) 扇形面积公式(4) 三角函数定义公式考点透析考向一角的概念及表示例1 (1)如果a是第三象限的角,那么-a ,2 a的终边落在何处？(2)写出终边在直线【审题视点】利用象限角及终边相同的角的表示方法求角【课堂记录】,采用的度量制度必须一上的角的集合【方法总结】⑴利用终边相同的角的集合S=｛卩| B=k n +a, k€ Z｝判断一个角卩所在的象限时,只需把这个角写成[0,2 n )范围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角a的象限.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角•1.若角e的终边与角的终边相同，求在[0,2 n )内终边与角的终边相同的角考向二三角函数的定义例 2 已知角0 的终边经过点P( -, m)( m工0) 且sin 0= ,试判断角0所在的象限，并求cos 0和tan 0 的值.【审题视点】根据三角函数定义求m，再求cos0 和tan 0.方法总结】1. 三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中,设P(x,y)是角 a 终边上任意一点,且|PO|=r ,则2. 定义法求三角函数值的两种情况⑴已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解•(2) 已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题•若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值•2.角 a 终边上一点F(4n)-3n)( 0),贝U 2sin a+cos a 的值为___________ .考向三弧度制的应用例3 已知半径为10的圆0中，弦AB的长为10.(1) 求弦AB所对的圆心角a的大小；(2) 求a所在的扇形弧长I及弧所在的弓形的面积S.【审题视点】△ AOB是等边三角形，/ AOB60°, S弓=S扇-S△ AOB【方法总结】(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r| a|,扇形面积公式：S=lr=r 2| a|,求弧长和扇形的面积•⑵应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示•利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.3. 已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大考向四三角函数线及应用例4在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围.并由此写出角a的集合：【审题视点】作出满足的角的终边，然后根据已知条件确定角a终边的范围【方法总结】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是(1) 用边界值写出角的终边位置；(2) 根据不等式(组)定出角的范围；(3) 求交集,找单位圆中公共的部分；(4) 写出角的关系式.4. 求函数y=lg(3 -4sin x)的定义域.1. （2014 •全国大纲）已知角a的终边经过点（-4,3）,则COS a等于（）.2.（2014 •全国新课标I ）若tan a>0,则（）.A. sin a>0B. cos a>0C. sin2 a >0D. cos2 a >0参考答案与解析1. (1)①正角负角零角②象限角轴线角(2) a +k • 360°( k€ Z)或 a +k • 2n ( k € Z)2. (1) 半径MP OM AT3. (1) y x (2)1. C2. C3. C4.5.4 6 n所以角-a的终边在第二象限所以角2a的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴上的角是⑵在（0, n）内终边在直线所以终边在直线上的角的集合为【例4】⑴作直线交单位圆于A B两点,连接OA 0B则OA与0B围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角a的终边的范围，故满足条件的角a 的集合为⑵作直线交单位圆于C D 两点琏接oc OD 则OC 与OD 围成的区域（图⑵中阴影部分）即为角a 终边的范围，故满足条件的角 a 的集合为变式训练224. (1) 因为3- 4sin 2x>0, 所以sin 2x<以利用三角函数线画出X满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）,(k € Z).经典考题真题体验（第4题）所以1. D 解析:根据题意,2. C 解析: 因为, 所以选C.。

课时规范练27 任意角、弧度制及三角函数的概念基础巩固练1.概念是数学的重要组成部分,弄清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要.现有如下三个集合,A={钝角},B={第二象限角},C={小于180°的角},则下列说法正确的是( )A.A=BB.B=CC.A⊆BD.B⊆C2.(浙江丽水模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,若角α终边上有一点P(2,y),且sin α=-√55,则y=( )A.1B.-1C.±1D.23.(河南许昌模拟)已知扇形的半径为1,圆心角θ为30°,则扇形的面积为( )A.30B.π12C.π6D.π34.设α是第二象限角,P(x,1)为其终边上一点,且cos α=x3,则tan α=()A.-2√2B.-√22C.-√24D.-√285.角α的终边落在区间-3π,-5π2内,则角α的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(四川宜宾模拟)已知角α的终边上一点的坐标为(a,2),其中a是非零实数,则下列三角函数值恒为正的是( )A.cos αtan αB.sin αcos αC.sin αtan αD.tan α7.(河北邢台模拟)已知α∈[0,2π),点P(1,tan 2)是角α终边上一点,则α=()A.2+πB.2C.π-2D.2-π8.(浙江东阳中学模拟)集合α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )9.(浙江七彩阳光新高考联盟模拟)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为1 cm)的圆周上爬动,且两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁以π4rad/s 的速度爬行,黑蚂蚁以π12rad/s 的速度爬行,则2 s 后,两只蚂蚁之间的直线距离为( ) A.1 B.√2-√3 C.π3D.π610.(多选题)下列结论正确的是( ) A.-7π6是第三象限角B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2C.若α为锐角,则2α为钝角D.若角α的终边过点P(-3,4),则cos α=-3511.(湖南常德模拟)在0°~180°范围内,与-930°终边相同的角是 .12.已知扇形的圆心角为2π3,扇形的面积为3π,则该扇形的周长为 .13.设θ∈0,π2,且9θ的终边与θ的终边相同,则sin θ= .综合 提升练14.(多选题)(云南昆明模拟)如图,A,B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻,质点A 在(1,0)处,质点B 在第一象限,且∠AOB=π6.质点A 以π6rad/s 的角速度按顺时针方向运动,质点B 同时以π12rad/s 的角速度按逆时针方向运动,则( )A.经过1 s 后,扇形AOB 的面积为5π12B.经过2 s 后,劣弧AB⏜的长为2π3C.经过6 s 后,质点B 的坐标为-√32,12D.经过223s 后,质点A,B 在单位圆上第一次相遇15.(北京,14)若点A(cos θ,sin θ)关于y 轴对称的点为B (cos (θ+π6),sin (θ+π6)),写出θ的一个取值为 .创新 应用练16.(浙江稽阳联谊学校模拟)我国魏晋时期的数学家刘徽创造性地提出了“割圆术”,刘徽认为圆的内接正n 边形随着边数n 的无限增大,圆的内接正n 边形的周长就无限接近圆的周长,并由此求得圆周率π的近似值.如图,当n=6时,圆内接正六边形的周长为6r,故π≈6r2r ,即π≈3.运用“割圆术”的思想,下列估算正确的是( )A.n=12时,π≈12sin 15°B.n=12时,π≈6sin 15°C.n=12时,π≈12cos 15°D.n=12时,π≈24cos 15°17.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π,则其面积是( )+√3 B.2π+2√3A.2π3−√3 D.2π-2√3C.2π318.(浙江慈溪中学模拟)杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成,其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上,历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示,经测量,上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧,.若某几何体的侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心,且圆心角为2π3侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致,则该几何体的高为.课时规范练27 任意角、弧度制及三角函数的概念1.C 解析钝角是大于90°,且小于180°的角,一定是第二象限角,故A⊆B;第二象限角α的取值范围是90°+k·360°<α<180°+k·360°,k ∈Z,即第二象限角不一定小于180°,故A,B,D错误,C正确.2.B 解析由题意得sinα=√22+y2=-√55,解得y=-1.3.B 解析已知扇形圆心角θ为30°,即θ=π6,扇形的半径为1,所以扇形的面积S=12θr2=12×π6×1=π12.4.C 解析依题意有cosα=√1+x2=x3,且x<0,解得x=-2√2,所以tanα=1x =-√24.5.C 解析-3π的终边在x轴的非正半轴上,-5π2的终边在y轴的非正半轴上,故角α为第三象限角.6.A 解析因为角α的终边上一点的坐标为(a,2),且a是非零实数,可知角α是第一或第二象限角.结合选项,只有cosαtanα恒为正值.7.A 解析∵π2<2<π,∴tan2<0,∴P在第四象限内,∴α是第四象限角.又tanα=tan2=tan(π+2),α∈[0,2π),∴α=π+2.8.C 解析当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,n∈Z,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,n ∈Z,此时α表示的范围与π4+π≤α≤π2+π表示的范围一样.故选C. 9.A 解析如图所示,红蚂蚁以π4rad/s 的速度爬行,黑蚂蚁以π12rad/s 的速度爬行,则2s 后,红蚂蚁绕圆的角度为π2,到达B 处,黑蚂蚁绕圆的角度为π6,到达C 处,此时∠BOC=π2−π6=π3,即△BOC 为正三角形,故BC=OB=1.10.BD 解析因为-7π6=-2π+5π6,5π6是第二象限角,故-7π6是第二象限角,A 错误;圆心角为π3的扇形的弧长为π,则扇形的半径r=ππ3=3,故扇形面积为12×π×3=3π2,B 正确;若α为锐角,不妨取α=π6,则2α=π3也为锐角,C 错误;角α的终边过点P(-3,4),则|OP|=√(-3)2+42=5,则cosα=-35,D 正确.故选BD.11.150° 解析与-930°终边相同的角是-930°+k·360°,k∈Z,当k=3时,-930°+k·360°=150°,所以在0°~180°范围内,与-930°终边相同的角是150°.12.6+2π 解析设扇形的半径为R,所以扇形面积S=12×23πR 2=3π,可得R=3,所以该扇形的弧长l=23π×3=2π,所以周长为l+2R =6+2π.13.√22解析由题意9θ=θ+2kπ,k∈Z,则θ=kπ4∈0,π2,k ∈Z,所以k=1,θ=π4,故sinθ=√22.14.BD 解析对于A,由题意可知,经过1s 后,∠AOB=π6--π6+π12=5π12,此时扇形AOB 的面积为12α·r 2=12×5π12×12=5π24,故A 错误;对于B,经过2s 后,∠AOB=π6-2×-π6+2×π12=2π3,所以此时劣弧AB⏜的长为αr=2π3,故B 正确;对于C,经过6s 后,质点B 转过的角度为6×π12=π2,结合题意,此时质点B 为角π6+π2=2π3的终边与单位圆的交点,所以质点B 的坐标为-12,√32,故C错误;对于D,经过223s 后,质点B 转过的角度为223×π12=11π18,质点A 转过的角度为223×-π6=-11π9,因为11π18--11π9+π6=2π,所以经过223s 后,质点A,B在单位圆上第一次相遇,故D 正确.故选BD. 15.5π12满足θ=5π12+kπ,k∈Z 即可 解析∵A(cosθ,sinθ)与B cosθ+π6,sin θ+π6关于y 轴对称,∴{cos(θ+π6)=-cosθ,sin(θ+π6)=sinθ,即{cos(θ+π6)=cos (π-θ),sin(θ+π6)=sin (π-θ),∴θ+π6=π-θ+2kπ,k∈Z,则θ=5π12+kπ,k∈Z,当k=0时,θ=5π12.16.A 解析设圆的内接正十二边形被分成12个如图所示的等腰三角形,其顶角为30°,即∠AOB=30°,作OH ⊥AB 于点H,则H 为AB 的中点,且∠AOH=15°.因为OA=OB=r,在Rt △AOH 中,sin ∠AOH=AH OA,即sin15°=AH r,所以AH=rsin15°,则AB=2AH=2rsin15°,所以正十二边形的周长为L=12×2r×sin15°=24rsin15°,所以π≈L 2r=24rsin15°2r=12sin15°.17.D 解析如图,因为莱洛三角形的周长为2π,所以AB⏜,BC ⏜,AC ⏜的长度均为2π3.又因为∠ABC=π3,所以由扇形的弧长公式可得π3·AB=2π3,解得AB=2,同理BC=AC=2,于是每个扇形的面积均为12×2π3×2=2π3.(方法一)由于弓形AB 的面积为2π3−√34×22=2π3−√3,因此所求面积为3×2π3−√3+√34×22=2π-2√3,故选D.(方法二)依题意,所求面积为扇形ABC 面积的3倍减去三角形ABC 面积的2倍,因此所求面积为3×2π3-2×√34×22=2π-2√3,故选D.18.12√2解析一个圆锥的侧面展开图是半径为30,圆心角为2π3的扇形,设该圆锥的底面半径为r,高为h,所以2πr=2π3×30,可得r=10,因此,该圆锥的高为h=√302-102=20√2.一个圆锥的侧面展开图是半径为12,圆心角为2π3的扇形,设该圆锥的底面半径为r1,高为h1,所以2πr1=2π3×12,可得r1=4,因此,该圆锥的高为h1=√122-42=8√2.因此,若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致,则该几何体的高为20√2-8√2=12√2.。

第五章三角函数高考导航知识网络5.1 任意角的三角函数的概念典例精析题型一 象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、2α的终边所在的象限.【解析】因为α是第二象限角，所以k ∙360°＋90°＜α＜k ∙360°＋180°(k ∈Z ).因为2k ∙360°＋180°＜2α＜2k ∙360°＋360°(k ∈Z )，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴的负半轴上.因为k ∙180°＋45°＜α2＜k ∙180°＋90°(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，n ∙360°＋45°＜α2＜n ∙360°＋90°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ∙360°＋225°＜α2＜n ∙360°＋270°.所以α2是第一或第三象限角.【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( )A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角【解析】由题意2k π＜2α＜2k π＋π，k ∈Z ， 得k π＜α＜k π＋π2，k ∈Z .当k 是奇数时，α是第三象限角. 当k 是偶数时，α是第一象限角.故选C. 题型二 弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值. 【解析】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，因为α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝10π3 cm ，S 弓＝S 扇－S Δ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm 2.(2)因为C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，所以R ＝C2＋α，S 扇＝12αR 2＝12α(C 2＋α)2＝C 22∙αα2＋4α＋4＝C 22∙1α＋4α＋4≤C 216，当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C 216.【点拨】用弧长公式l ＝ |α| R 与扇形面积公式S ＝12lR ＝12R 2|α|时，α的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值.【解析】因为S ＝12Rl ，所以Rl ＝2S ，所以周长C ＝l ＋2R ≥22Rl ＝24S ＝4S ， 当且仅当l ＝2R 时，C ＝4S ，所以当α＝lR＝2时，周长C 有最小值4S .题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x ≤32的角x 的集合. 【解析】(1)由⎩⎨⎧=+=1222y x x y ⇒交点为(－55，－255)或(55，255)， 所以sin α＝±255.(2)①找终边：在y 轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x 轴的平行线与单位圆分别交于P 1、P 2两点，连接OP 1、OP 2，则为角x 的终边，并写出对应的角.②画区域：画出角x 的终边所在位置的阴影部分.③写集合：所求角x 的集合是{x |2k π－4π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }.【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为 .【解析】⇒2k π＜x ≤2k π＋π3，k ∈Z .所以函数的定义域为{x |2k π＜x ≤2k π＋π3，k ∈Z }.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k ·360°＋π3的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.5.2 同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一 三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f (x )＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f (sin 2θ)＋f (－sin 2θ)＝ .【解析】f (sin 2θ)＋f (－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ. 题型二 三角函数式的求值问题【例2】已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ的值.【解析】(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.【变式训练2】已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos 2α等于( )A.45B.85C.65D.2【解析】原式＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋11＋tan 2α＝85.故选B.题型三 三角函数式的简单应用问题【例3】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin 3(π2－x )＋cos 3(π2＋x )的值.【解析】(1)由已知得2sin x cos x ＝－2425，且sin x ＜0＜cos x ，所以sin x －cos x ＝－(sin x －cos x )2＝－1－2sin x cos x ＝－1＋2425＝－75. (2)sin 3(π2－x )＋cos 3(π2＋x )＝cos 3x －sin 3x ＝(cos x －sin x )(cos 2x ＋cos x sin x ＋sin 2x )＝75×(1－1225)＝91125. 【点拨】求形如sin x ±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x ±cos x 取值符号. 【变式训练3】化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.【解析】原式＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－[(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α＋sin 4α－sin 2αcos 2α)]＝2sin 2αcos 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3sin 2αcos 2α]＝23. 总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin 2(－2α)＋cos 2(－2α)＝1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.5.3 两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一 三角函数式的化简【例1】化简θθθθθ cos 22)2 cos 2 )(sin cos sin 1(+-++(0＜θ＜π). 【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝2cos 2)2 cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+ ＝2cos 2)2 cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-＝－cos θ. 【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin 2θ2－cos 2θ2＝－cos θ.【变式训练1】化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x ).【解析】原式＝12(2cos 2x －1)22tan(π4－x )cos 2(π4－x )＝cos 22x 4cos(π4－x )sin(π4－x )＝cos 22x 2sin(π2－2x )＝12cos 2x .题型二 三角函数式的求值【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos(π4＋x )sin x的值.【解析】(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x 2＝2，所以tan x ＝2tan 12tan 22x x ＝2×21－22＝－43. (2)原式＝cos 2x －sin 2x2(22cos x －22sin x )sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )sin x＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.题型三 已知三角函数值求解 【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.【解析】因为tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan 2(α－β)＝43， 所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4. 【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( ) A.α＝β B.α＜βC.α＞βD.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以sin α＜sin β.又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”； (3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.5.4 三角恒等变换典例精析题型一 三角函数的求值【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值.【解析】由4tan α2＝1－tan 2α2，得tan α＝2tan 12tan 22αα-＝12. 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又因为α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1322C.723D.318【解析】因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.故选C.题型二 等式的证明【例2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2co s(α＋β).【证明】证法一：右边＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左边.证法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0. 【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]， 所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β， 所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0. 即tan(α－β)＋4tan β＝0. 题型三 三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；(2)若A ＞B 且tan A ＝－2tan B ，求证：tan C ＝sin 2B3－cos 2B ；(3)在(2)的条件下，求tan C 的最大值. 【解析】(1)因为C ＝π－(A ＋B )，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－(tan A ＋tan B )1－tan A tan B，所以tan C －tan A tan B tan C ＝－tan A －tan B ， 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .(2)由(1)知tan C ＝－(tan A ＋tan B )1－tan A tan B ＝tan B 1＋2tan 2B ＝sin B cos Bcos 2B ＋2sin 2B ＝)2cos 2(22 sin B B-∙ ＝sin 2B 2(2－1＋cos 2B 2)＝sin 2B3－cos 2B .(3)由(2)知tan C ＝tan B1＋2tan 2B＝12tan B ＋1tan B≤122＝24， 当且仅当2tan B ＝1tan B ，即tan B ＝22时，等号成立.所以tan C 的最大值为24. 【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识. 【变式训练3】在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状.【解析】由已知得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )， 3(tan A ＋tan B )＝－(1－tan A tan B )，即tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3，tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33.所以tan(B ＋C )＝3，tan(A ＋B )＝－33. 因为0＜B ＋C ＜π，0＜A ＋B ＜π，所以B ＋C ＝π3，A ＋B ＝5π6.又A ＋B ＋C ＝π，故A ＝2π3，B ＝C ＝π6.所以△ABC 是顶角为2π3的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.5.5 三角函数的图象和性质典例精析题型一 三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断g (x )的奇偶性.【解析】(1)f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x 2＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)g (x )＝f (x ＋π3)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.所以g (x )为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T 等于( )A.2πB.πC.π2D.π3【解析】y ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝22(22sin 2x －22cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12，所以T ＝2π2＝π.故选B. 题型二 求函数的值域 【例2】求下列函数的值域： (1)f (x )＝sin 2x sin x1－cos x ；(2)f (x )＝2cos(π3＋x )＋2cos x .【解析】(1)f (x )＝2sin x cos x sin x 1－cos x ＝2cos x (1－cos 2x )1－cos x＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，当cos x ＝1时，f (x )max ＝4，但cos x ≠1，所以f (x )＜4，当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－12，所以函数的值域为[－12，4).(2)f (x )＝2(cos π3cos x －sin π3sin x )＋2cos x＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)，所以函数的值域为[－23，23].【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键. 【变式训练2】求y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域.【解析】令t ＝sin x ＋cos x ，则有t 2＝1＋2sin x cos x ，即sin x cos x ＝t 2－12.所以y ＝f (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1.又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，所以－2≤t ≤ 2.故y ＝f (t )＝12(t ＋1)2－1(－2≤t ≤2)，从而f (－1)≤y ≤f (2)，即－1≤y ≤2＋12.所以函数的值域为[－1，2＋12].题型三 三角函数的单调性【例3】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求ω，φ的值；(2)设g (x )＝f (x )f (x －π4)，求函数g (x )的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T ＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.又由f (π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f (0)＝－1，所以sin φ＝－1.因为|φ|＜π，所以φ＝－π2.(2)f (x )＝sin(2x －π2)＝－cos 2x .所以g (x )＝(－cos 2x )[－cos(2x －π2)]＝cos 2x sin 2x ＝12sin 4x .所以当2k π－π2≤4x ≤2k π＋π2，即k π2－π8≤x ≤k π2＋π8(k ∈Z )时g (x )单调递增.故函数g (x )的单调增区间为[k π2－π8，k π2＋π8](k ∈Z ).【点拨】观察图象，获得T 的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法. 【变式训练3】使函数y ＝sin(π6－2x )(x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.[0，π3]B.[π12，7π12]C.[π3，5π6]D.[5π6，π]【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.5.6 函数y ＝A sin (ωx ＋ )的图象和性质典例精析题型一 “五点法”作函数图象【例1】设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把y ＝sin x 图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象，再把y ＝sin(x ＋π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象，然后把y＝sin(2x ＋π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)形式，再令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x 值及相应的y 值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则( )A.k ＝12，ω＝12，φ＝π6B.k ＝12，ω＝12，φ＝π3C.k ＝12，ω＝2，φ＝π6D.k ＝－2，ω＝12，φ＝π3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k ＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T ＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y ＝2sin(12x ＋φ)，得12×5π3＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－5π6，k ∈Z .结合各选项可知，选项A 正确.题型二 三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω＞0)在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间.【解析】(1)f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32. 令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32，当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数g (x )取得最大值52.令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋32π，即[4k π＋4π3，4k π＋103π](k ∈Z )为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( )A.π4B.π3C.π2D.3π4【解析】将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π4)＋φ]＝2sin(3x －3π4＋φ)的图象.因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，故有π4＋φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝k π－π4(k ∈Z ).当k ＝0时，|φ|取得最小值π4，故选A.题型三 三角函数的综合应用【例3】已知函数y ＝f (x )＝A sin 2(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ的值；(2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008).【解析】(1)y ＝A sin 2(ωx ＋φ)＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)，因为y ＝f (x )的最大值为2，又A ＞0， 所以A 2＋A2＝2，所以A ＝2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0， 所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.所以f (x )＝22－22cos(π2x ＋2φ)＝1－cos(π2x ＋2φ)，因为y ＝f (x )过点(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.所以π2＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.(2)方法一：因为φ＝π4，所以y ＝1－cos(π2x ＋π2)＝1＋sin π2x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4， 又因为y ＝f (x )的周期为4,2 008＝4×502. 所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝4×502＝2 008. 方法二：因为f (x )＝2sin 2(π4x ＋φ)，所以f (1)＋f (3)＝2sin 2(π4＋φ)＋2sin 2(3π4＋φ)＝2，f (2)＋f (4)＝2sin 2(π2＋φ)＋2sin 2(π＋φ)＝2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，又因为y ＝f (x )的周期为4,2 008＝4×502. 所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝4×502＝2 008.【点拨】函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π，可得x ＝k π－φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f (x )＝A cos 2ωx ＋2(A ＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (20)＝ .【解析】f (x )＝A cos 2ωx ＋2＝A ×1＋cos 2ωx 2＋2＝A cos 2ωx 2＋A 2＋2，则由题意知A ＋2＝6，2π2ω＝8，所以A ＝4，ω＝π8，所以f (x )＝2cos π4x ＋4，所以f (2)＝4，f (4)＝2，f (6)＝4，f (8)＝6，f (10)＝4，…观察周期性规律可知f (2)＋f (4)＋…＋f (20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.总结提高1.用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx ＋φ的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x 本身而言的，无论沿x 轴平移还是伸缩，变化的总是x .3.在解决y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关性质时，应将ωx ＋φ视为一个整体x 后再与基本函数 y ＝sin x 的性质对应求解.5.7 正弦定理和余弦定理典例精析题型一 利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求sin A 的值；(2)求BC ∙CA 的值.【解析】(1)由cos C ＝34得sin C ＝74.所以sin A ＝BC sin C AB ＝1×742＝148.(2)由(1)知，cos A ＝528.所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C＝－15232＋7232＝－24.所以BC ·CA ＝BC ·(CB ＋)＝BC ∙CB ＋BC ∙ ＝－1＋1×2×cos B ＝－1－12＝－32.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在△ABC 中，已知a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为a 2＋b 2－c 24，则∠C ＝ .【解析】S ＝a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C .所以tan C ＝1，又∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π4.题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC 是锐角三角形，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边长，并且sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B .(1)求角A 的值；(2)若AB ∙AC ＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c ). 【解析】(1)因为sin 2A ＝(32cos B ＋12sin B )(32cos B －12sin B )＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3.(2)由∙＝12可得cb cos A ＝12.① 由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.②由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入得c 2＋b 2＝52.③ ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10.因此，c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根. 又b ＜c ，所以b ＝4，c ＝6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝ b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C ∙cos B ， 即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 在△ABC 中，sin A ＞0,2cos B ＝1， 因为∠B 是三角形的内角，所以B ＝60°.(2)在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ∙cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ∙cos B ，将b ＝7，a ＋c ＝4代入整理，得ac ＝3. 故S △ABC ＝12ac sin B ＝32sin 60°＝334.题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D 点需要多长时间？【解析】由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，所以DB ＝ADBDAB AB ∠∠∙sin sin ＝︒︒+∙105 sin 45 sin )33(5＝︒︒+︒︒︒+∙60 sin 45 cos 60 cos 45 sin 45 sin )33(5＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里， 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ∙BC ∙cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时).所以，救援船到达D 点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是： (1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系； (3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解； (4)给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件 时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM ＝m cos αsin(α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin(α－β)＞n .所以α与β的关系满足m cosαcos β＞n sin(α－β)时，船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A＞B与sin A ＞sin B 是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一 利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在上，相邻两边CQ 、CR分别落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP ，过P 作PM ⊥AB 于M .设∠P AM ＝α，0≤α≤π2，则PM ＝90sin α，AM ＝90cos α，所以PQ ＝100－90cos α，PR ＝100－90sin α， 于是S 四边形PQCR ＝PQ ·PR ＝(100－90cos α)(100－90sin α)＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000. 设t ＝sin α＋cos α，则1≤t ≤2，sin αcos α＝t 2－12.S 四边形PQCR ＝8 100·t 2－12－9 000t ＋10 000＝4 050(t －109)2＋950 (1≤t ≤2).当t ＝2时，(S 四边形PQCR )max ＝14 050－9 000 2 m 2； 当t ＝109时，(S 四边形PQCR )min ＝950 m 2.【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t ，把sin θcos θ用t 表示，从而把问题转化成关于t 的二次函数的最值问题.注意t 的取值范围.【变式训练1】若0＜x ＜π2，则4x 与sin 3x 的大小关系是( )A.4x ＞sin 3xB.4x ＜sin 3xC.4x ≥sin 3xD.与x 的值有关【解析】令f (x )＝4x －sin 3x ，则f ′(x )＝4－3cos 3x .因为f ′(x )＝4－3cos 3x ＞0，所以f (x )为增函数.又0＜x ＜π2，所以f (x )＞f (0)＝0，即得4x －sin 3x ＞0.所以4x ＞sin 3x .故选A. 题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t ).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期T ＝12，所以ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5，由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0， 所以A ＝0.5，b ＝1，所以振幅为12.所以y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放， 所以12cos π6t ＋1＞1，所以cos π6t ＞0，所以2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3.①因为0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用y ＝A sin(ωx ＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式. 【变式训练2】如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d m(P 在水面下则d 为负数)，则d (m)与时间t (s)之间满足关系式：d ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.其中正确结论的序号是 .【解析】①②④.题型三 正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：①测AB 间的距离a ；②测俯角∠MAB ＝φ，∠NAB ＝θ，∠MBA ＝β，∠NBA ＝γ.(2)在△ABM 中 ，∠AMB ＝π－φ－β，由正弦定理得BM ＝AB sin φsin ∠AMB ＝a sin φsin(φ＋β)， 同理在△BAN 中，BN ＝AB sin θsin ∠ANB ＝a sin θsin(θ＋γ)， 所以在△BMN 中，由余弦定理得MN ＝MBN BN BM BN BM ∠-+∙cos 222 ＝a 2sin 2φsin 2(φ＋β)＋a 2sin 2θsin 2(θ＋γ)－2a 2sin θsin φcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ). 【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB ＝10，∠OCB ＝60°，∠OCA ＝75°.我们只需计算出OC 的长，即可得出船速.在直角三角形OCA 和OCB 中，显然有OB OC＝tan ∠OCB ＝tan 60°且OA OC ＝tan ∠OCA ＝tan 75°， 因此易得AB ＝OA －OB ＝OC (tan 75°－tan 60°)，即有OC ＝AB tan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°＝10tan(30°＋45°)－tan 60° ＝10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13－3＝5. 由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函数的综合题时应注意：(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx ＋φ视为一个整体X ；(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ；(3)换元方法在解题中的运用.。

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2013年高考会这样考】1．考查三角函数的定义及应用．2．考查三角函数值符号的确定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．有向线段OM有向线段AT 为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫β| β＝π2＋k π，k ∈Z ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝k π2，k ∈Z. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案 C2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案 A3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sin α＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案 C4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－12 解析 由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55. 答案 A5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析 根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y2＝－255⇒y ＝－8. 答案 －8考向一 角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角； (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限． [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． 解 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3， ∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z. (2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )． 依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21. (3)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z .∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上． ∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°； 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°； ∴α2为第一或第三象限角．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z . 【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A ．α＝－β B ．α＝180°＋β C ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )解析 对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k ·360°±180°(k ∈Z )． ∴α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )． 答案 D考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24 m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．[审题视点] 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ.解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴m 3＋m2＝24m ，∵m ≠0， ∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153. 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3＝153.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45解析 取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值； (2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40， S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100.当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.[审题视点] 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．【训练4】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34， ∴－32＜sin x ＜32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r(r＝x2＋y2＞0)，则sin α＝yr、cos α＝xr、tan α＝yx分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝36x，求sin α、tan α的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．[解答示范] ∵P(x，－2)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝x2＋2，(2分)又cos α＝36x，∴cos α＝xx2＋2＝36x，∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝2 3.(6分)当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－55；(9分)当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，∴sin α＝－66，tan α＝55.(12分)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．【试一试】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α. [尝试解答]取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，则|OP1|＝5，则sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34，故sin α＋cos α＋45tan α＝－35＋45＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－25；取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)，则sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.故sin α＋cos α＋45tan α＝35－45＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，sin α＋cos α＋45tan α的值为－25或－45.。

3.1三角函数的概念【考纲要求】1、任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.（3）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 【基础知识】 1、角的分类按旋转的方向分为正角、负角和零角；按角的终边所在的位置分为象限角（四个象限）和轴线角。

①与α终边相同的角β=0360k ⋅+α 其中k z ∈ ②第一象限的角：2k π<α<2k π+2π其中k z ∈，其他象限依此类推。

③x 轴上的角：α= k π y 轴上的角：α= k π+2π其中k z ∈2、角的度量①角的度量有角度制和弧度制两种，角度制就是以度为度量单位，弧度制就是以弧度为度量单位。

②当弧长和半径相等时，该弧长所对的圆心角的度数就是1弧度。

③圆心角α的弧度数：∣α∣=rl其中l 代表弧长, r 代表圆的半径. ④π弧度=180o, 1弧度=57.30o，l r α= S 扇形=lr 21=2360n r π，其中l 代表弧长, r代表圆的半径，n 代表圆心角的角度数。

3、任意角的三角函数点p(x,y)是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，r =则sin α=r y cos α=r x tan α=x y，cot x yα= 注意：上述比值不会随着p 点位置的变化而变化。

4、三角函数的符号5、温馨提示（1）不要掉了“k z ∈” （2）引入弧度制后，角的表示可以用弧度制，也可以用角度制，但是不能混合使用，如0360,6k k z πα=⋅+∈全 sin α正 tan α、cot α正 cos α 正【例题精讲】例1 已知α＝π3. (1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则β2是第几象限的角？解：(1)所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ＝2k π＋π3，k ∈Z}．(2)由(1)令－4π<2k π＋π3<2π(k ∈Z)，则有－2－16<k <1－16.又∵k ∈Z，∴取k ＝－2，－1,0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－11π3、－5π3、π3.(3)由(1)有β＝2k π＋π3(k ∈Z)，则β2＝k π＋π6(k ∈Z)．∴β2是第一、三象限的角． 例2 一扇形的周长为20 cm.当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则 l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r (0<r <10)．扇形的面积S ＝12lr ，将上式代入，得S ＝12(20－2r )r ＝－r 2＋10r＝－(r －5)2＋25，所以当且仅当r ＝5时，S 有最大值25， 此时l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2 rad.所以当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值，最大值为25 cm 2.3．1三角函数的概念强化训练【基础精练】1．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2 2．若α为第一象限角，那么sin2α，cos2α，sin α2，cos α2中必定为正值的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．45．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－46．已知0≤α≤2π，点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则α的取值范围是________．7．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角β3的终边相同的角为________．8.已知角α的终边经过点P (x ，－ 6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．9．已知点P (3r ，－4r )(r ≠0)在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值． 10．若|sin α|sin α＋cos α|cos α|＝0，试判断tan(sin α)·tan(cos α)的符号．11．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对弧长。

课时作业(十六) 第16讲 角的概念及任意角的三角函数时间：35分钟 分值：80分基础热身1．下列命题正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角2．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．2或44．点P 从点(0,1)开始沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针第一次运动到点⎝⎛⎭⎪⎫22，－22时，转过的角是________弧度．能力提升5．下列说法正确的是( )A ．第二象限的角比第一象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关6．使lg(sin θ·cos θ)＋－cos θ有意义的θ为( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角7．2011·烟台联考 若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48．一段圆弧的长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D. 2 9．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在0,2π内终边与θ4角的终边相同的角是________．10．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．11．已知扇形的面积为2 cm 2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________．12．(13分)(1)确定tan(－3)cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．难点突破13．(12分)如图K16－1所示，动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长．课时作业(十六)【基础热身】 1．C 解析 终边相同的角不一定相等，它们可以相差360°的整数倍；第一象限角不一定是锐角，例如390°是第一象限的角，但不是锐角；锐角一定是第一象限角；小于90°的角也可以是零角或负角，故选C .2．A 解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2·cos 3·tan 4<0，∴选A .3．C 解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22 1.4．－34π 解析 点P 转过的角的绝对值为34π，顺时针旋转应为负角，所以转过的角是－34π.【能力提升】5．D 解析 排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A 错误；当sin α＝12时，也可能α＝5π6，所以B 错误；当三角形内角为π2时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角．6．C 解析 由题意知sin θ·cos θ>0且－cos θ≥0，由sin θ·cos θ>0，知θ为一、三象限角，又由－cos θ≥0，即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或在x 轴的负半轴上．所以可知θ为第三象限角．7．A 解析 由题意，tan α＝3，又sin α<0，则α是第三象限角，∴⎩⎨⎧ m 2＋n 2＝10，n ＝3m<0，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 8．C 解析 设圆半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R. ∴圆弧长为3R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3. 9.2π5，9π10，7π5，19π10 解析 由已知θ＝2k π＋8π5(k ∈Z )， ∴θ4＝k π2＋2π5(k ∈Z )， 由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165，∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3，∴与θ4终边相同的角依次为2π5，9π10，7π5，19π10.10．10 解析 根据题意知tan α＝－6x ＝－35x ＝10.11．6 解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6.12．解答 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.于是有sin α－cos α>0. 【难点突破】13．解答 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝4cos 4π3＝－2，y C ＝4sin 4π3＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)，P 点走过的弧长为43π·4＝163，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。

角的概念及任意角的三角函数导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．自主梳理1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按____时针方向旋转所形成的角叫做正角，按____时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个____角．(1)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是________________角．(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为__________________；终边在y轴上的角表示为________________________；终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或_____________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．(4)弧度制把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．(5)度与弧度的换算关系360°＝______ rad；180°＝______ rad；1°＝________ rad；1 rad＝____________≈57.30°.(6)弧长公式与扇形面积公式l＝__________，即弧长等于____________________．S扇＝________＝________.2．三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，|OP|＝r，我们规定：①比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；②比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr；③比值________(x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx .(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)三角函数线下图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示____________，__________和__________．自我检测1．“α＝π6”是“cos 2α＝12”的________条件．2．与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．3．(2010·山东青岛高三教学质量检测)已知sin α<0且tan α>0，则角α是第________象限角．4．若α＝n ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(m ，n ∈Z )，则α，β终边关于直线________对称． 5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________．探究点一 角的概念例1 (1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限； (2)写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合；(3)若θ＝168°＋k ·360° (k ∈Z )，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．变式迁移1 若α是第二象限的角，试分别确定2α，α2的终边所在位置．探究点二 弧长与扇形面积例2 已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2 (1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三 三角函数的定义例3 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．变式迁移3 已知角α的终边经过点P (－4a,3a ) (a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯，象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q ，则Q 的坐标为________．2．(2011·汕头模拟)若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用β表示为________． 3．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________． 4．已知α为第三象限的角，则α2在第________象限．5．(2011·南京模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________________．6．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于________． 7．(2011·淮安模拟)已知角α的终边落在直线y ＝－3x 上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.8．阅读下列命题：①若点P (a,2a ) (a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；②同时满足sin α＝12，cos α＝32的角有且只有一个；③设tan α＝12且π<α<3π2，则sin α＝－55；④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0 (θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)二、解答题(共42分)9．(14分)已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的弧长； (2)求弓形OAB 的面积．10．(14分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.11．(14分)已知角α终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．答案 自主梳理1．始边 顶点 终边 逆 顺 零 (1)第几象限 (2){α|α＝k π，k ∈Z } ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z (3){β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } {β|β＝α＋2k π，k ∈Z } (4)半径 圆心角 弧度制 rad 弧度 (5)2π π π180 ⎝⎛⎭⎫180π° (6)|α|·r 弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积 12lr 12|α|r 2 2.③y x(2)α的正弦线 α的余弦线 α的正切线 自我检测1．充分而不必要 2.210° －150° 3.三 4.x 轴 5.11π6课堂活动区例1 解题导引 (1)一般地，角α与－α终边关于x 轴对称；角α与π－α终边关于y轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k 赋值来求得所需角．解 (1)π＋2k π<α<3π2＋2k π (k ∈Z )，∴－3π2－2k π<－α<－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π<－α<π＋2k π (k ∈Z )．① ∴－α角终边在第二象限． 又由①各边都加上π，得 3π2＋2k π<π－α<2π＋2k π (k ∈Z )． ∴π－α是第四象限角． 同理可知，π＋α是第一象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z .(3)∵θ＝168°＋k ·360° (k ∈Z )， ∴θ3＝56°＋k ·120° (k ∈Z )． ∵0°≤56°＋k ·120°<360°，∴k ＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是56°，176°，296°.变式迁移1 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180° (k ∈Z )． (1)∵2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360° (k ∈Z )，∴2α的终边在第三或第四象限，或角的终边在y 轴的非正半轴上． (2)∵k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90° (k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°.∴α2是第一或第三象限的角． ∴α2的终边在第一或第三象限． 例2 解题导引 本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起．确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解．解 (1)设扇形的弧长为l ，该弧所在弓形的面积为S ，如图所示，当α＝60°＝π3，R ＝10 cm 时， 可知l ＝αR ＝10π3cm.而S ＝S 扇－S △OAB ＝12lR －12R 2sin π3＝12×10π3×10－12×100×32 ＝⎝⎛⎭⎫50π3－253 cm 2. (2)已知2R ＋l ＝C ，即2R ＋αR ＝C ， S 扇＝12αR 2＝12·αR ·R ＝14·αR ·2R≤14·⎝⎛⎭⎫αR ＋2R 22＝14·⎝⎛⎭⎫C 22＝C 216. 当且仅当αR ＝2R ，即α＝2时，等号成立，即当α为2弧度时，该扇形有最大面积116C 2. 变式迁移2 解 设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l . (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12θR 2＝4，θR ＋2R ＝10，∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.∵8>2π，舍去，∴θ＝12.(2)扇形的周长为40，即θR ＋2R ＝40，S ＝12lR ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝⎛⎭⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.例3 解题导引 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解．解 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t ) (t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，t >0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；t <0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.变式迁移3 解 r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |. 若a >0，则r ＝5a ，α角在第二象限， sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a <0，则r ＝－5a ，α角在第四象限， sin α＝y r ＝3a －5a ＝－35，cos α＝x r ＝－4a －5a ＝45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.课后练习区 1．(－12，32)解析 依题意得Q (cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，32)．2．α＝2k π－β(k ∈Z ) 3.74π 解析 由三角函数的定义， tan θ＝yx ＝cos3π4sin3π4＝－1.又∵sin3π4>0，cos 3π4<0， ∴P 在第四象限，∴θ＝7π4.4．二或四解析 ∵α是第三象限角，∴180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°(k ∈Z )． ∴90°＋k ·180°<α2<135°＋k ·180°(k ∈Z )．①当k ＝2m (m ∈Z )时可得90°＋m ·360°<α2<135°＋m ·360°，故α2的终边在第二象限． ②当k ＝2m ＋1 (m ∈Z )时可得270°＋m ·360°<α2<315°＋m ·360°，故α2的终边在第四象限． 综上，可知α2是第二或第四象限的角．5.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0，∴π4＋2k π<α<π2＋2k π或π＋2k π<α<5π4＋2k π，k ∈Z . ∵0≤α≤2π，∴当k ＝0时，π4<α<π2或π<α<5π4.6.1sin12解析 设圆的半径为r ，∴r ·sin 12＝1.∴r ＝1sin 12.∴弧长l ＝α·r ＝1sin12.7．2或－2解析 ∵角α终边落在直线y ＝－3x 上， ∴α为第二或第四象限角． 当α为第二象限时，|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2. 若α为第四象限时，|sin α|sin α－|cos α|cos α＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.8．③解析 ①中，当α在第三象限时， sin α＝－255，故①错．②中，同时满足sin α＝12，cos α＝32的角为α＝2k π＋π6 (k ∈Z )，不只有一个，故②错．③正确．④θ可能在第一象限或第四象限，故④错．综上选③.9．解 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB 的弧长为l ＝αr ＝2π3×6＝4π.……………………………………………………(4分)(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，……………………………………………………(8分)S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×32＝93，…………………………………………………(12分)∴S 弓形OAB ＝S扇形OAB －S △ABO ＝12π－93.………………………………………………(14分)10．解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .………………………………………(7分)(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .…………………………………………………………(14分) 11．解 ∵P (x ，－2) (x ≠0)，∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2.…………………………………………………………(2分)又cos α＝36x ， ∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.…………………………………………………………………………………(6分)当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义， 有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；……………………………………………(10分)当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.……………………………………………………(14分)。