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泛函分析作业（二）BY0807112 吴耀第一题试举出一个无穷维Hilbert 空间，并指出它的一个正规正交基 解答：考虑2l ，定义内积：∞==∀1}{j j x ξ,+∞<∑∞=21j j ξ,∞==1}{j j y η,+∞<∑∞=21j jη,2,l y x ∈ ∑∞==1),(j jjy x ηξ首先验证满足内积的四条假设. 1)==∑∞=1),(j j j x x ξξ021≥∑∞=j j ξ,且00),(=⇔=x x x ;2)),(),(),(z y z x z y x +=+显然成立;3)K ∈∀α,=),(y x α),(11y x j j j j jjαηξαηαξ==∑∑∞=∞=;4)=),(x y ==∑∑∞=∞=11j jjj jjηξξη),(y x所以2l 是按照如上内积定义的内积空间。
下面说明该内积空间是完备的。
由定义有：==∑∞=1),(j j j x x ξξ221x j j=∑∞=ξ,可见由内积诱导的范数恰好是2l 在以前定义的范数：2121)(∑∞==j jx ξ，，以前已经证明这一个完备的赋范线性空间，所以，该内积空间是完备的。
总之，2l 是一个无穷维Hilbert 空间。
下面指出这个无穷维Hilbert 空间的一个正规正交基。
,...)...0,1,...0,0,0(,...),...,0,1,0(,...),0,0,1(21===n e e e下证∞=1}{j j e 是2l 的一个正规正交基。
显然有：⎩⎨⎧≠==ji ji e e j i ,0,1),( 21}{l x j j ∈=∀∞=ξ,使得0),(=n e x ,则有j ξ=0，0=x 。
故∞=1}{j j e 是2l 的一个正规正交基。
第二题X 是内积空间，K ∈∈n m n m X y y y x x x βββααα,...,,,...,,,,...,,,,...,21212121,则：),(,1111j i j m i nj i n j j j m i i i y x y x βαβα∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 证明：首先根据定义，证明如下等式：K ∈∈∀21,,,,ββX z y x),(),(),(),(),(),(21212121z x y x x z x y x z y z y x ββββββββ+=+=+=+则有：),(,,,11111111j i j m i nj i m i n j j j i i m i n j j j i i n j j j m i i i y x y x y x y x βαβαβαβα∑∑∑∑∑∑∑∑=========⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 证毕。
泛函分析中的变分不等式应用案例在泛函分析领域中，变分不等式（variational inequality）起着重要的作用，它是一种描述非线性边界值问题的数学工具。
本文将介绍泛函分析中的变分不等式的定义和性质，并通过案例来展示其在实际问题中的应用。
一、变分不等式的定义与性质1. 变分不等式的定义在泛函分析中，给定一个实数集合X，考虑一个映射F：X→X，将其称为变分算子。
那么对于x∈X，若存在y∈X，使得满足不等式：⟨F(x), y - x⟩≥ 0, ∀y∈X则称y为变分不等式F(x)的一解。
2. 变分不等式的性质变分不等式具有如下性质：（1）单调性：若x1≤x2，且F(x1)和F(x2)存在，则有F(x1)≤F(x2)。
（2）齐次性：若λ>0，且F(x)存在，则有F(λx)=λF(x)。
（3）唯一性：若F(x)存在且唯一，则变分不等式F(x)的解唯一。
二、变分不等式在实际问题中的应用案例变分不等式在实际问题中有广泛的应用，以下将通过两个案例来展示其具体应用。
案例一：弹性力学中的应用在弹性力学中，变分不等式常用于求解弹性体的位移场和应力场。
考虑一个弹性体，其位移场和应力场满足以下条件：（1）位移场为连续可微的函数。
（2）应力场为对称的。
（3）位移场和应力场之间满足一定的关系，即变分不等式。
通过求解变分不等式，可以得到弹性体的位移场和应力场，从而进一步分析和计算各种力学量，如位移、应变等。
案例二：交通流量模型中的应用在交通流量模型中，变分不等式被广泛应用于解决交通拥堵问题。
考虑一个道路网络系统，其中包含多个路段和交叉口。
在这个系统中，每个路段的流量与其容量之比不能超过1，即：流量/容量≤ 1这个不等式可以通过引入一个关于路段流量和容量差异的变分算子，进而转化为变分不等式。
通过求解变分不等式，可以得到交通流量的分布情况，从而优化交通配流策略，减少交通拥堵。
三、总结本文介绍了泛函分析中的变分不等式的定义和性质，并通过弹性力学和交通流量模型两个实际案例来展示其应用。
泛函分析在地球物理勘探中的应用地球探测科学与技术学院相丽娜2015652005泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多•沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
一、泛函分析基本原理泛函分析综合运用函数论、几何学，现代数学的观点来研究无线维向量空间上的泛函，算子和极限理论，它可以看作无线维向量空间的解析几何和数学分析。
其中线性泛函分析是发展较成熟的部分，主要包括抽象空间理论，线性算子理论、线性泛函分析的“四大定理”和广义函数理论。
1.1 抽象空间理论抽象空间理论是对一般有限维向量空间的推广，以集合的为基础。
度量空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
距离是一个抽象的概念，在一集合中，只需满足正定性、对称性及三角不等式这三条性质，即称为一个距离。
定义了线性运算（加法和数乘）的集合为线性空间，赋范空间是定义了范数的线性空间，泛函中的收敛性与范数有关。
进而，若赋范线性空间按范数所成的度量空间是完备的，此即完备赋范线性空间，即巴拿赫（Banach）空间。
在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及其共轭空间，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
内积空间是定义了内积运算的线性空间。
完备的赋范内积空间，称为希尔伯特（Hilbert）空间，Hilbert空间具有良好的性质。
1.2 线性算子理论最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。
如果像空间是拓扑线性空间所在的数域，那么这样的算子成为线性泛函。
几个重要的线性算子：距离空间上的连续映射(算子)，巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函，共轭算子希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子。
《应⽤泛函分析》习题解答以下所有题⽬来⾃科学出版社许天周的《应⽤泛函分析》。
1. 设1≤p≤q≤+∞，证明l p⊂l q。
证明：∀x=(x1,x2,…)∈l p，∀ε>0，恒存在⾃然数N，使得∑+∞k=N||x k||p<εp，那么可得||x k||p<εp⇒||x k||<ε，p≥1，进⽽∑+∞k=N||x k||q≤εq−p∑+∞k=N||x k||p<+∞所以x∈l q2. 设[a,b]是有界闭区间，证明L2([a,b])⊂L1([a,b])。
证明：∀x∈L2([a,b])，有[∫b a|f(t)|2dt]12<+∞，那么∫b a|f|dt≤[∫b a|f(t)|2dt]12[∫ba1dt]12<+∞因此，x∈L1([a,b])3. 设(X,d)是⼀个距离空间，中⼼在x0，半径为r的开球定义为B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}集合A⊂X是开集是指对于任意的x0∈A，恒存在以x0为中⼼的开球包含在A中。
（1）证明开球是开集；（2）开集全体构成的集合是X上的⼀个拓扑。
证明：（1）对于任意开球B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}，存在B(x0,r/2)⊂B(x0,r)，所以开球是开集。
（2）显然，开集全体构成的集合满⾜拓扑的定义。
4. 证明d(x,y)=|arctanx−arctany|是R上的距离。
证明：(1)⾮负性：d(x,y)=|arctanx−arctany|≥0，d(x,y)=|arctanx−arctany|=0⇔x=y因为arctanx是⼀个单调函数；(2)交换性：显然d(x,y)=d(y,x)；(3)三⾓不等式：∀x,y,z∈R,d(x,y)=|arctanx−arctany|=|arctanx−arctanz+arctanz−arctany|≤|arctanx−arctanz|+|arctanz−arctany|=d(x,z)+d(y,z)5. 设(X,d)是距离空间，对于任意的x∈X，定义f(x)=inf y∈A d(x,y)，证明f(x)是连续函数。
1泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。
证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。
取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。
6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。
由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。
因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。
9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。
若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。
此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。
通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。
第二章 度量空间作业题答案提示 1、试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。
如取则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、试证明：（1）()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。
证：（1）仅证明三角不等式。
注意到21122x y x z z y x z z y ⎛⎫-≤-+-≤-+- ⎪⎝⎭故有111222x yx z z y-≤-+-（2）仅证明三角不等式 易证函数()1xx xϕ=+在R +上是单调增加的， 所以有()()a b a b ϕϕ+≤+,从而有1111a b a b a ba b a b a b++≤≤+++++++令,,x y z R ∀∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y zy x z x y z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上，)12.3.2()()(),(⎰-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-⇔=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。
[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=⎰⎰⎰⎰5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤⎪⎭⎫⎝⎛ni in i i x n x 1221证：∑∑∑∑=====⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ⨯=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。
泛函分析作业（一）BY0807112 吴耀第一题(0,1)和[0，1]是如何对应的。
解答：(构造一) 设(0,1)区间的全体有理数集合为Q ，全体无理数集合为R ，则有：(0,1),Q R Q R ==Φ [0,1]{0}{1}Q R =Q 为可列集，可以表示为11{,,...,...}n Q m m m =，可作映射:[0,1](0,1)f −−→如下：11201(),1,2,...n n m x m x f x m x m n xx R +=⎧⎪=⎪=⎨==⎪⎪∈⎩ 可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和[0，1]对等。
(构造二) 记集合1110,1,,,...,,...,[0,1]23M N M n ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭,做如下映射:[0,1](0,1)f → 1/2,0()1/(2),1/,1,2,...,x f x n x n n x x N =⎧⎪=+==⎨⎪∈⎩可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和[0，1]对等。
第二题证明Cantor 集K 是完备的。
证明：在 Cantor 中任取一点0x ,根据定义，0,,N n N δ∀>∃∈> 时01(,)3n nd x x δ≤< 即对任何0δ>，0(,)B x δ包含点(0)n x n ≠，即0x 为K 的极限点（聚点），因此K 是完备的。
第三题举两个非连续可测函数的例子，至少有一个不是几乎处处为0的函数 解答：1、考虑Dirichlet 函数1,()[0,1]0,x D x x x ⎧=∈⎨⎩为有理数为无理数设1212,E E E E E = 为[0,1]上的有理数，为[0,1]上的无理数，显然12E E φ= ， 由于1E 是可列点集，所以1()0m E =，即有()0,..D x a e E =于。
显然这个函数可测，且非连续。
2、考虑定义在E=[0,1]上的函数，以及[0,1]子集{|}2S x r ==为[0,4]上的有理数,因为S 与[0,4]上的有理数对等，由有理数集可列可知S 是可列集，可定义函数如下：0,()[0,1]1,x S f x x x S∈⎧=∈⎨∉⎩显然()0m S =，即有()1,..f x a e E =于。
