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隐函数的导数（一）),(.1=y x F 由一个方程确定的隐函数隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，0),(00≠y x F y ，则方程0),(=y x F 在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 yxF F dx dy -=.000P ()x y ，000P ()x y ，隐函数的求导公式(,)0()F x y y y x =−−→=则[],()0F x y x ≡x 等式两边同时对求导隐函数存在性的证明细微而复杂（从略）隐函数我们仅在隐函数存在的前提下推导导数公式0=⋅+=dxdyF F dx dF y x Fxy x（0）y F ≠.yx F F dx dy-=利用复合函数微分法例１ 验证方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导 数在0=x 的值.解令1),(22-+=y x y x F 则,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F 依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为yxF F dx dy -=,y x -=,00==x dx dy222y y x y dx y d '--=2yy x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=,13y-=.1022-==x dx yd例2 已知x yy x a r c t a n ln 22=+，求dxdy .解令则,arctan ln ),(22xyy x y x F -+=,),(22y x y x y x F x ++=,),(22y x xy y x F y +-=yxF F dx dy -=.x y y x -+-=隐函数存在定理2 设函数),,(z y x F 在点,(0x P ),00z y 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0x F 0),00=z y ，0),,(000≠z y x F z ，则方程,,(y x F 0)=z 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有 zxF F x z -=∂∂， z y F F y z -=∂∂.),,(.2=z y x F设F(x,y,z)=0确定z 是x,y 的函数=∂∂⋅+xzF F z x 0=∂∂⋅+yzF F z y 0)(≠z F .,zy z x F F y zF F x z-=∂∂-=∂∂Fx yzx y例3 设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解令则,4),,(222z z y x z y x F -++=,2x F x =,42-=z F z ,2zx F F x z z x -=-=∂∂22x z ∂∂2)2()2(z x z x z -∂∂+-=2)2(2)2(z z x x z --⋅+-=.)2()2(322z xz -+-=例4 设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy∂∂.思路：把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z∂∂，把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得y x∂∂，把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得zy∂∂.解令,z y x u ++=,xyz v =则),,(v u f z =把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得 x z ∂∂)1(xz f u ∂∂+⋅=),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得x z ∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y x yz xz f v ∂∂+⋅+整理得,v u v u yzf f xzf f ++-=yx ∂∂把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=zy f u ),(z y xz xy f v ∂∂+⋅+整理得zy ∂∂.1v u v u xzf f xyf f +--=小结一个方程确定的隐函数的导数0),,(.2=z y x F 0),(.1=y x F。
§2.６隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一.隐函数的导数1.显函数；y=f(x)等号左端是因变量的符号，右端是只含自变量的式子能确定函数值。
隐函数：Ｆ(x,Y)=0也表示函数，确定了y=y(x). 显化——化隐函数为显函数。
有时不容易，甚至不可能。
但实际中需求其导数。
2.隐函数的求导方法由于F(x,y)=0确定了y=y(x),故在F(x,y)=0中，把y 看成x 的函数，则将F(X,Y)=0的两边同时对X 求导后再解出.y '如：122=+y x 两边对x 求导有yx y y y x -='∴='⋅+022例1：y=cos(x+y)求x y '()()()()y x y x y y y x y +++-='∴'++-='sin 1sin 1sin例2：y y x yx x yx y xy y x xyarctg'+⋅+=-'⋅++=221)(11ln 222222yx yx y x -+='ex:='=--='=-++y e xy xe ye y ex y y x xyxy xy,11,0例3：求曲线x 2+y 4=17在x=4处的切线方程。
()()())4(214211,41,41,42042213-=+--=-∴-∴±==-='='+x y x y P P y x yxy y y x 又 例4：求由方程0sin 21==-y y x ，确定的隐函数的二阶导数xd yd 22。
ydx dy y y y cos 220cos 211-=='⋅+'- ()()()()32222cos 2sin 4cos 2cos 22sin 2cos 2cos 2cos 22y y y yy y y y dx d dx y d -=--⋅=-'⋅'--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3.对数求导法先在y=f(x)两边取对数，然后用隐函数求导法求出导数——对为幂指函数及连 积。
隐函数是指将一个变量表示为另一个变量的函数，其中一个变量是显式的，而另一个变量是隐式的。
例如，函数 y=x^2+1 可以表示为 x=y^2-1，其中 y 是显式变量，而 x 是隐式变量。
在求隐函数的导数时，我们需要使用隐函数求导公式。
该公式表示为：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
该公式的意思是，对于一个隐函数 y=f(x)，其导数可以表示为 $\frac{dy}{dx}$，而对于x=g(y) 这个隐函数，其导数可以表示为 $\frac{dx}{dy}$。
根据这个公式，我们可以将$\frac{dy}{dx}$ 表示为 $\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$。
举个例子，假设我们有一个隐函数 y=x^3+2x，我们要求其导数。
我们可以将其表示为
x=y^\frac{1}{3}-\frac{2}{3}y^\frac{-2}{3}。
根据隐函数求导公式，我们可以得到：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{-\frac{2}{3}y^\frac{-2}{3}}=\frac{-
3}{2y^\frac{-2}{3}}$$
这样，我们就求出了 y=x^3+2x 这个隐函数的导数。
