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隐函数求导公式

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隐函数的求导公式

隐函数的求导公式

Fx = 2x,
均连续。 Fy = 2y, 均连续。
x0 = 0, y0 = 1. F(0,1) = 0,
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
理知方程x2 + y2 − 1 = 0在 (0,1)的 邻 依定 点 某 域内能唯一确定一个单值可导、 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时
y = 1的函数y = f (x)．
的函数， 把y看成x, z 的函数，对z求偏导数得
∂y ∂y 1 = fu ⋅ ( + 1) + fv ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
整理得
∂y 1 − fu − xy ⋅ fv . = ∂z fu + xz ⋅ fv
二、方程组的情形
F( x, y, u, v) = 0 G( x, y, u, v) = 0
′ Fz = ( z − f (u, v))z
= 1 − fu ⋅ ( x + y + z)′y − fv ⋅ ( xyz)′y = 1− fu − x y fv .
Fx fu + yz ⋅ fv ∂z 于是， 于是， ∂x = − F = 1 − f − xy ⋅ f . z u v
∂x = − Fy = − fu + xz ⋅ fv . fu + yz ⋅ fv Fx ∂y
何时唯一确定函数u = u( x, y), v = v( x, y)？
∂u = ? ∂x
∂u = ? ∂y
∂v ? = ∂x
∂v = ? ∂y
隐函数存在定理3 隐函数存在定理 3 设F( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数， 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式） 函数行列式（或称雅可比式）

第六节隐函数的求导公式

第六节隐函数的求导公式

2z ( Fx) ( Fx) z xy y Fz z Fz y
FxyFz FzyFx FxzFz FzzFx ( Fy)
Fz2
Fz2
Fz
FxzFz2 FzyFxFz FxzFyFz FzzFxFy . Fz3
z Fx x Fz
d 2 y FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2
(2 z) x( z ) (2 z)2 x
(2 z) x x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 .
(2 z)3
或方程两边对x求偏导得：2 x
2z
z x
4
z ， x
z x
2
x
z
.
方程两边对y求偏导得：2
y
2z
z y
4
z， y
z y
2
y
z
.
上页 下页 返回
例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
dx 2
Fy3 上 页 下 页 返 回
例3、设x2 y2 z2 4z，求 z 、z 及 2z . x y x2
解：令F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z，
则 Fx 2x，Fy 2 y，Fz 2z 4.
z x
Fx Fz
2
x
，z z y
Fy Fz
2
y
z
.
2z x 2
d d
y x
Fx Fy
3x2 3 y2
3ay 3ax
x2 ax
ay y2
d 2 y (2x ay)(ax y2 ) ( x2 ay)(a 2 yy)
dx2
(ax y2 )2

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
Fy z xz Fx z yz , , Fz cos z xy x Fz cos z xy y
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1

第五节 隐函数求导公式

第五节 隐函数求导公式
请看课本第86页, 隐函数存在定理3.
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2

第六节隐函数的求导公式

第六节隐函数的求导公式
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
上页
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2

第五节隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。

求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。

本文将介绍隐函数的求导公式。

隐函数求导的关键在于使用链式法则。

链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。

在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。

设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。

我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。

首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。

这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。

首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。

换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。

其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。

以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。

首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。

例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。

e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。

例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。

隐函数的求导法则

隐函数的求导法则

隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。

具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。

在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。

假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。

如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。

我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。

现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。

现在我们来看几个例子。

例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。

假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。

我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。

假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。

我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。

我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。

我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。

1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。

4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。

8.5_隐函数的求导公式

8.5_隐函数的求导公式

将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1,0,1) dx 2dy.
8.5 隐函数的求导公式
例 设有隐函数 F ( x , y ) 0,其中F的偏导数连续,
zz
求 z , z . x y
用多元复合函数求导法
解 法一 由公式. 令 G( x, y, z) F( x , y)
zz
G x
F1
z1
u x u v
8.5 隐函数的求导公式
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
求
u ,
x
u , y
v , x
v . y
同理,
F
两边关于y求偏导,得 Gy
y
F u G u
u y u y
F v G v
v y v y
下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的
求导方法. 故由方程组
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
两个方程, 四个变量
确定两个二元函数 u = u(x, y), v = v(x, y), 求
u , u , v , v . x y x y
8.5 隐函数的求导公式
隐函数存在定理3
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
8.5 隐函数的求导公式
设函数f ( x, y)是由方程xyz x2 y2 z2 2
确定的,则z在点(1,0,1)处的全微分dz ( ).
解 法一 用公式
dx 2dy
设 F( x, y, z) xyz x2 y2 z2 2
例
已知 x2 a2

第五节隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式

第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式

§8.5 隐函数的求导公式一、二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程F x y(,)=0可确定一个一元的隐函数y f x=(),将之代入原方程,得到一个恒等式F x f x[,()]≡0对恒等式两边关于变量x求导,左边是多元复合函数,它对变量x的导数为F F dy dxx y+右边的导数自然为0,于是有F F dy dxx y+=0解出dydx,得到隐函数的导数dydxFFxy=-。

由多元复合函数的求导定理可知,当F x y(,)=0在(,)x y具有一阶连续偏导数,而y f x=()在x可导时,才可求出复合函数F x f x[,()]的导数,若Fy≠0时,才有dydxFFxy=-这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。

二、由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程F x y(,)=0可以确定一个一元的隐函数y f x=(),那么三元方程F x y z(,,)=0便可确定一个二元的隐函数z f x y=(,)。

下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。

对F x y z(,,)=0两边关于变量x求偏导,并注意z是x y,的函数,有F Fzxx z+⋅=∂∂解出∂∂zx ,得到二元隐函数的偏导数 ∂∂z xF F x z=-。

类似地，可得到F F z yy z +⋅=∂∂0,∂∂z yF F y z =-。

【例1】设x y z z 22240++-=, 求 ∂∂22zx 。

解: 将方程x y z z 22240++-=中的z 视为x y ,的隐函数,对x 求偏导数有2240x z z xz x+⋅-⋅=∂∂∂∂∂∂z xx z =-2再一次对x 求偏导数,仍然将z 视为x y ,的隐函数有∂∂∂∂222202z xz x z xz =--⋅--()()()=--⋅--()()2222z x x zz=-+-()()22223z x z也可以用下述方法来求二阶偏导数对422=⋅-⋅+xz xz z x ∂∂∂∂两边关于x 求偏导数,注意到x zz ∂∂,均为x y ,的函数,有2224022222+⋅+⋅-⋅=()∂∂∂∂∂∂z xz z xz x∂∂∂∂2222231222z xz xzz x z =+-=-+-()()()三、由两个函数方程所确定的隐函数的导数设有函数方程组F x y u vG x y u v (,,,)(,,,)==⎧⎨⎩00由此联立的方程组可消去一个变量v ,这样便得到由三个变量所构成的函数方程H x y u (,,)=0,而三元函数方程可确定一个二元隐函数 u u x y =(,),将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程F x y u x y v (,,(,),)=0,于是,我们也可将变量v表示成x y ,的隐函数v v x y =(,)。

隐函数求导公式

隐函数求导公式
第 八 章
多元函数微分法及其应用
第五节 隐函数求导公式
第五节
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、内容小节
返回
一、一个方程的情形
设二元方程 F ( x , y ) 0 一元隐函数 y y( x ) 则有恒等式 F x , y ( x ) 0
F F dy 上式对 x 求全导数 0 x y dx
则二元方程F ( x , y ) 0 在P0点的邻域内总能唯一 确定一个一元隐函数 y y( x ) ，且有
设 F ( x , y ) 0 满足以下三个条件：
i ii
y y( x ) 单值连续，且 y0 y( x0 ) ； y y( x ) 具有连续导数；
一元隐函数 导数公式
z 例 2 设z z( x , y )由方程 x y z yf ( ) y
2 2 2
z z 确定，其中f 可微，求 ， . x y
例 3 设 x y z 4z 0 ，求
2
2
2
z x
2
2
.
二、方程组的情形
F ( x , y , u, v ) 0 若方程组 ，确定两个二元函数 G ( x , y , u, v ) 0 u u( x , y ) ，均可偏导，求 u x ， uy ， vx ， vy . v v ( x , y )
F dy 解得 x F dx y F 要求 y 0
隐函数存在定理1
i F ( x , y )在点P0 ( x0 , y0 )某邻域内有连续偏导数 ； ii F ( x0 , y0 ) 0 ； iii Fy ( x0 , y0 ) 0 .

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
2 2 2
2
方程确定了一个二元函数z = f (x, y), 方程两边对x 求导：(y看作常数)
2 x 2 z z 2 0 2 a c x
z c2 x 2 x a z
方程两边对y求导: ( x看作常数)
2 y 2 z z 2 0 2 b c y
z c2 y 2 y b z
F ( x, y ) 0
的求导法.
(1)
现在利用复合函数的链导法则给出隐函数
(1)的求导公式, 并指出: 隐函数存在的一个充分条件.
3
8.5 隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数F (x, y)在点 P (x0, y0)的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数; (2) F ( x0 , y0 ) 0; (3) Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程F (x, y) = 0在点P (x0, y0)的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 由于Fy ( x , y )连续, 且Fy ( x0 , y0 ) 0, 所以存在
设 F ( x , y , z ) xyz x 2 y 2 z 2 2 z F 2x 1, yz , x ( 1 , 0 , 1 ) x 2 x2 y2 z2 z F 2y 2, xz , 2 2 2 y ( 1 , 0 , 1 ) y 2 x y z F 2z dz (1,0, 1) dx 2dy . xy . z 2 x2 y2 z2

隐函数及其求导法则

隐函数及其求导法则

x 1 3 z

y
x 1 z 2 3 z y
x 2y 2 xy 2 3. 3z 3z 9z
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
设 z x y z , 求 dz . 例4
解 令 F ( x, y, z ) z x y z . 因为
Fx z x lnz , Fy z y z 1 ,
xz x 1 y z ln y , Fz
导， 得
z Fx Fz 0, x
z Fy Fz 0. y
因 为Fz 0, 所以
Fy Fx z z , x Fz y Fz
这就是二元隐函数的求导公式.
z 例 3 设 x y z 4 z 0，求 2 . x
2
2 2 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z , 解 令
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
第六节
隐函数及其求导法则
1. 一元隐函数的求导公式 设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
Fx Fy dy 0, dx
若 F y 0, 则
dy Fx . dx Fy
这就是一元 隐函数的求导公式.
例1
dy . 设 x y 2x , 求 dx
2 2பைடு நூலகம்
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y
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第5节：隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。

教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。

教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。

教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有yx F F dx dy-= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。

现仅就公式(2)作如下推导。

将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F ,其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得,0=∂∂+∂∂dxdy y F x F由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得.yx F F dx dy-= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得dx dy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22.232222yx yy y x xy y xx y x yx yy y xy y xyz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=例 1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。

解 设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。

下面求这函数的一阶和二阶导数yx F F dx dy-==y x -，00==x dx dy ;22dx y d =,1)(332222y y x y y y xx y y y x y -=+-=---='--1022-==x dx y d 。

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F (z y x ,,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。

这就是下面的定理。

隐函数存在定理 2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有xz∂∂=zx F F -,yz ∂∂=zy F F -.(4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得 x F +zF xz∂∂=0, y F +z F y z ∂∂=0。

因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得x z∂∂=zx F F -,y z ∂∂=z y F F -。

例2 设04222=-++z z y x ，求.22xz∂∂解 设F (z y x ,,) =z z y x 4222-++，则x F =2x , z F =42-z .应用公式(4)，得x z ∂∂=zx -2。

再一次x 对求偏导数，得22xz∂∂2)2()2(z x z x z -∂∂+-= .)2()2()2(2)2(3222z x z z z x x z -+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-= 二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。

我们不仅增加方程中变量的个数。

而且增加方程的个数，例如，考虑方程组 ⎩⎨⎧==.0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F(5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。

在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。

我们有下面的定理。

隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):=J ),(),(v u G F ∂∂=vG u Gv F uF ∂∂∂∂∂∂∂∂ 在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y xG 在点),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u ==，并有xu∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,v u v u v xv xG G F F G G F Fxv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,v u v u x u x uG G F F G G F F (6)y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂-=,v v v uv y v yG G F F G G F Fy v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂-=.vuv u u uG G F F G G F F y y这个定理我们不证.与前两个定理类似，下面仅就公式(6)作如下推导。

由于 F [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0, G [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0, 将恒等式两边分别对x 求导，应用复合函数求导法则得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x vG x u G G x v F x u F F v u x v u x这是关于x u ∂∂, xv∂∂的线性方程组，由假设可知在点),,,(00000v u y x P 的一个邻域内，系数行列式=J vu vu G G F F ,0≠ 从而可解出x u ∂∂, xv ∂∂，得x u ∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂, xv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂.同理，可得y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂, y v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂. 例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂和yv∂∂. 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。

下面我们利用后一种方法来做。

将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.,v x v x xu y u x v y x ux 在022≠+=-=y x xyy x J 的条件下，.,2222y x xv yu xy y x v y ux x v y x yv xu xy y x x v yu x u +-=---=∂∂++-=----=∂∂将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22y x yv xu y v ++-=∂∂ 例4 设函数),(),,(v u y y v u x x ==在点(v u ,)的某一邻域内连续且具有连续偏导数，又.0),(),(≠∂∂v u y x(1)证明方程组 ⎩⎨⎧==),(),,(v u y v u x x (7)在点),,,(v u y x 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数),(),,(y x v v y x u u ==。

(2)求反函数),(),,(y x v v y x u u ==对y x ,的偏导数。

解 (1)将方程组(7)改写成下面的形式 ⎩⎨⎧=-≡=-≡.0),(),,,(,0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x x u y x F则按假设 =∂∂=),(),(v u G F J .0),(),(≠∂∂v u y x由隐函数存在定理3，即得所要证的结论。

(2)将方程组(7)所确定的反函数),(),,(y x v v y x u u ==代入（7），即得⎩⎨⎧≡≡)].,(),,([)],,(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂∂+∂∂•∂∂=∂∂∂∂+∂∂•∂∂=.0,1x v v y x u u y x v v x x u u x由于J ≠0，故可解得,1v y J x u ∂∂=∂∂ .1uy J x v ∂∂-=∂∂ 同理，可得,1v x J y u ∂∂-=∂∂ .1ux J y v ∂∂=∂∂小结：本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。

作业：89P 习题9-5 1、4、10（2）（4）、11．。