隐函数的求导方法总结

隐函数求导方法
隐函数求导方法是一种用于求解非显式函数的导数的技巧。

与显式函数不同，隐函数没有直接的形式来表示其自变量和因变量之间的关系。

因此，为了求解其导数，我们需要使用一种特殊的方法。

隐函数求导的基本思路是通过对该隐函数进行微分，然后利用链式法则来进行推导。

下面是具体的步骤：
1. 首先，将隐函数表示为一个等式，例如：
F(x, y) = 0
2. 对上述等式两边关于x进行求导，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
3. 根据求导法则，我们知道∂F/∂x 表示 F 关于x的偏导数，而∂F/∂y 表示 F 关于y的偏导数。

4. 我们希望求得 dy/dx，可以通过移项得到：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
通过上述步骤，我们可以得到隐函数的导数。

需要注意的是，这种方法只适用于能够将隐函数表示为一个等式的情况，并且可以通过求导来解出 dy/dx。

在一些复杂的情况下，可能需要更多的推导和技巧来求解。

隐函数求导法则隐函数求导法则是微积分中的重要内容，它用于求解含有隐函数的导数。

在实际问题中，很多函数并不是显式地以y=f(x)的形式给出，而是以隐式方程的形式存在。

这时就需要用到隐函数求导法则来求解导数。

本文将介绍隐函数求导法则的原理和具体应用。

1. 隐函数的概念在代数中，如果一个方程中存在两个变量，并且其中一个变量无法用另一个变量表示，那么这个方程就是一个隐函数。

例如，方程x^2+y^2=1就是一个隐函数，因为无法用y=f(x)的形式来表示。

在实际问题中，很多函数都是以隐函数的形式存在的，因此需要用到隐函数求导法则来求解导数。

2. 隐函数求导法则的原理隐函数求导法则是通过对含有隐函数的方程两边求导来求解导数的方法。

假设有一个隐函数方程F(x, y)=0，其中y是x的函数，即y=g(x)。

为了求解y关于x的导数，可以对方程两边关于x求导，然后通过链式法则来求解。

具体来说，如果F(x, y)=0两边关于x求导，得到∂F/∂x+∂F/∂y*dy/dx=0，然后可以解出dy/dx的表达式。

3. 隐函数求导法则的具体应用隐函数求导法则的具体应用包括求解曲线的切线斜率、求解参数方程的导数、求解隐函数的高阶导数等。

在求解曲线的切线斜率时，可以将方程两边关于x求导，然后代入切点的坐标来求解斜率。

在求解参数方程的导数时，可以将参数方程化为隐函数方程，然后利用隐函数求导法则来求解导数。

在求解隐函数的高阶导数时，可以多次对方程两边求导，然后通过链式法则来求解高阶导数。

4. 隐函数求导法则的应用举例下面通过一个具体的例子来说明隐函数求导法则的应用。

假设有一个隐函数方程x^2+y^2=1，要求解y关于x的导数。

首先对方程两边关于x求导，得到2x+2y*dy/dx=0，然后可以解出dy/dx=-x/y。

这样就求得了y关于x的导数。

5. 隐函数求导法则的总结隐函数求导法则是微积分中的重要内容，它用于求解含有隐函数的导数。

通过对隐函数方程两边关于自变量求导，然后利用链式法则来求解导数。

第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参
数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数：
隐函数：
一般的
例1 求由方程确定的隐函数的导数.
例2 设由所确定，求
例3 设求.
例4 设求
.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设在上可导，，则
若二阶可导，则
例5 设 求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
求摆线在处的切线方程与法线方程。

三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
秒时水面上升的速率.现以每秒
给容器中加水.试求
内容小结
1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式
2）等式两端对 t 求导
作业P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.。

河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (4)3.隐函数存在定理3 (4)三. 隐函数求偏导的方法 (6)1.公式法 (6)2.直接法 (6)3.全微分法 (6)参考文献 (8)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数 偏导数 方法一．隐函数的概念一般地，如果变量满足方程，在一定条件下，当取某区间的任y x 和()0,=y x F x 一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内y ()0,=y x F 确定了一个隐函数。

例如，方程表示一个函数，因为当变量在013=-+y x x 内取值时，变量有确定的值与其对应。

如。

()∞+∞-，y 等时时321,10=-===y x y x 二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数在P （x 。

，y 。

）在某一领域内具有连续偏导数，0),(=y x F 且，，则方程在点（x 。

，y 。

）的某一领域内恒能0),(= y x F 0),(≠ y x F y 0),(=y x F 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有)(x f y =)( x f y =。

yxy F F d d x -=例1:验证方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=12x 2y 时y=1的隐函数y=，并求该函数的导数在x=1处的值。

)(x fdxdy解令=-,则),(y x F 2x 2y=2x ，=-2y ，=0，=-2≠0x F y F )1,1(F )1,1(y F由定理1可知，方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函2x 2y 数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有===dx dy y x F F-y x 22yx 故==11=x dxdy)1,(!yx2.隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内具有连续()z y x F,,）（ z y x P ,,偏导数，且=0，，则方程在点的某一邻）（ z y x F ,,0,,≠）（ z y x F z ()0,,=z y x F () z y x ,,域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件()y x f z ,=并有。

隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。

具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。

在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。

假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。

如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。

我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。

现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。

现在我们来看几个例子。

例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。

假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。

我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。

假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。

我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。

我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。

我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。

关于隐函数的三种求导法
隐函数的三种求导方法如下：
一、隐函数求导法则
隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y ²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法
方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x zF z x xx F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -= ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22yx yu +=，2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，．它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvx v u v uv F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y v u v uvF FG G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数x u ∂∂，xv ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例4 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂．1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数．解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)(,,,)(,)0F x y u vx x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，， 则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩，由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂．同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂．。

隐函数求导归纳总结摘要：一般的函数都是将因变量写成自变量的明显表达式，形如y=f（x），这类函数成为显函数。

而有些函数不是用显函数或不能用显函数表示，例如x2+y2=xy，把种有F （x，y）=0表示的因变量y与自变量x的函数关系称为隐函数。

在求隐函数的导数时，有些直接由函数关系得到形如y=f（x）的显函数，再对其求导。

但是有些隐函数不能或很难解为y=f（x）的显函数形式，这时可直接用隐函数求导算导数。

本文简述了隐函数求导的几种常见方法，以供读者在求隐函数的导数时参考。

关键词：隐函数求导法则目录1 引言 (1)2 正文 (1)2.1 显化法： (1)2.2 公式法： (1)2.3 微商法： (2)2.4 参数法： (3)2.5 复合法： (4)2.6 直接法： (4)3、问题的回顾与总结 (5)1 引言对隐函数求导时许多初学微分同学们的一个难点问题，鉴于此问题，本文针对隐函数问题做出一些归纳，以供参考，隐函数是一类应用非常广泛的函数，隐函数求导法则在导数教学和求导过程中的合理使用，可以优化课程内容和结构。

2 正文通过对隐函数求导的学习，在此总结出六种常见的方法，并对每种方法的使用范围，优缺点都作出总结，现一一介绍如下： 2.1 显化法：把隐函数化为显函数，再利用显函数的求导方法，此方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导。

此方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用。

例题：方程+3x ㏑0)(=-x yxy 确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数。

解：原方程化解为㏑=-)(x y xy 3x -⇒3x e x y xy -=-⇒3)1(x e xx y -=-⇒xx ey x113-=-（将隐函数化为显函数，利用显函数的求导法则求y ´）222)1()11(113'33x x x e xx e x y xx-+-⋅+--=--232211331)11()3(x x x x x x y x y +-+--+-⋅+-= y x x x x x x 1)11()1(322-+---=)11(3x e xx y --= 但是，不是所有的隐函数都可采用隐函数化为显函数的方法，例如： 方程：-++y x xe xy 2㏑(arctan xy)+23x -y 4确定了y 是x 的函数，就不易将隐函数化为显函数。

隐函数求导的简单方法
隐函数是一类特殊的函数，它隐藏了某些变量的变化而显示出另一些变量的变化，这些变量的变化依赖于函数的输入变量，而在这些变量中有一个或多个变量称为隐变量，也就是说，隐函数隐藏了某些变量的变化，只表示另一些变量的变化。

隐函数求导法是求解某个函数关于隐变量的偏导数的方法，它能够建立某个函数的变化规律，从而计算该函数的极值，极值的应用范围广泛。

求隐函数的导数有几种方法，其中最常用的方法是链式法则。

链式法则主要是根据Sandwich公式和洛必特准则来求导的，即“将函数的积分用链式的形式表示出来，并用标准的微分法将其展开”。

在求导的过程中，只需要将函数化简，并把它用某些常数和未知量连接起来，然后将它们分离出来，就可以求导出对应的某个变量的偏导数。

另外一种求隐函数求导的方法是微分分离方法。

微分分离法是一种基于微分技术的求导方法，其特点在于可以从函数要求出多个变量微分结果中求出函数参数的关系。