下载文档原格式
第一、二章 学业质量标准检测本检测仅供教师备用，学生书中没有 时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设1a <1b <0，则在①a 2>b 2；②a ＋b >2ab ；③ab <b 2；④a 2＋b 2>|a |＋|b |.这4个不等式中恒成立的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ∵1a <1b<0，∴0>a >b ，∴a 2<b 2，ab <b 2，②④显然不正确．2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D ．3．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A )A ．nn －4＋8－n (8－n )－4＝2B ．n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C ．nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2D ．n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2[解析] 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.4．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )A．■C．□D．○[解析]由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．5．(2019·淄博三模)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A 点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是(A)A．(S△ABC)2＝S△BCO·S△BCDB．(S△ABD)2＝S△BOD·S△BOCC．(S△ADC)2＝S△DOC·S△BOCD．(S△BDC)2＝S△ABD·S△ABC[解析]由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则(S△ABC)2＝S△BOC·S△BDC．故选A．6．已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( D ) A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111D ．(13)112[解析] 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.故选D ．7．函数f (x )在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( C )[解析]由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C．8．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(D)A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[解析]观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，从而g(－x)＝－g(x)．9．已知函数f(x)＝ln x，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B ．10．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：(i)1]( A ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1D ．n 2[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A ．11．已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎨⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B ．12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2017＝( B )A ．1 C ．4D ．5[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2017＝x 1＝2，故应选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a ＝12，b ＝14，c ＝14.[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.14．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是57.[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.15．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 38.[解析] 平面内⎝⎛⎭⎫a 22类比到空间⎝⎛⎭⎫a 23＝a 38. 16．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ≥－1}.[解析] 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}，所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a < 3.[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 所以a >0，c <0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac <3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )>0，因为a －c >0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b >0， 所以(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数． (1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)，∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ， 由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， x 、 f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)， x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，不符合题意． 综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.20．(本题满分12分)若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0， 故只需证3x 2＋3y 2>2xy . 而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立， 所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明：方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0， 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a xln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根．22．(本题满分12分)(2019·全国Ⅰ卷理，20)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数．证明：(1)f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点． [解析] (1)证明：设g (x )＝f ′(x )， 则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，g ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，可得g ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫α，π2时， g ′(x )＜0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，故g (x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点． (2)证明：f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．②当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，所以存在β∈⎝⎛⎭⎫α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫β，π2时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)单调递增，在⎝⎛⎭⎫β，π2单调递减．又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋π2＞0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，f (x )＞0.从而，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，π2没有零点． ③当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减．而f ⎝⎛⎭⎫π2＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤π2，π有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)＞1.所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点．综上，f (x )有且仅有2个零点．。
第三章 学业质量标准检测时间120分钟，总分值150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(1＋i)20－(1－i)20的值是( C ) A ．－1024 B ．1024 C ．0D ．51.2[解析] (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 故答案为：C ．2．以下各式的运算结果为纯虚数的是( A ) A ．(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．i(1＋i)2D ．i(1＋i)[解析] 由题意，对于A 中，复数(1＋i)2＝2i 为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数i 2·(1－i)＝－1＋i 不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数i·(1＋i)2＝－2不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数i·(1＋i)＝－1＋i 不是纯虚数，所以不正确，应选A ． 3．假设复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，那么z ＝( A ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 因为z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i. 4．假设a 为实数，且(2＋a i)·(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] ∵(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解之得a ＝0.5．如果复数z ＝2－1＋i，那么( C ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1 D ．z 的共轭复数为1＋i[解析] 因为z ＝2－1＋i＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C ．6．假设复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，那么z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i ， ∴z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第四象限． 7．对于以下四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数；②如果复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝－5i ，z 4＝2－i ，那么这些复数的对应点共圆； ③|cos θ＋isin θ|的最大值是2，最小值为0； ④x 轴是复平面的实数，y 轴是虚轴． 其中正确的有( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①正确．因为假设z ∈R ，那么|z |≥0，假设z ＝a ＋b i(b ≠0，a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2>0.②正确．因为|z 1|＝5，|z 2|＝(2)2＋(3)2＝5，|z 3|＝5，|z 4|＝5，这些复数的对应点均在以原点为圆心，5为半径的圆上．③错．因为|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．应选D ．8．复数z 1＝(1－i 1＋i )2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，那么向量PQ →对应的复数是( D )A ．10B ．－3－iC ．1＋iD ．3＋i[解析] ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴PQ →对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.应选D ． 二、多项选择题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分)9．z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，假设z 1＋z 2是纯虚数，那么有( AD ) A ．a ＋c ＝0 B ．a －c ＝0 C ．b －d ≠0D ．b ＋d ≠0[解析] z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i 为纯虚数，那么需a ＋c ＝0且b ＋d ≠0.应选AD ． 10．i 为虚数单位，z 为复数，那么以下表达不正确的选项是( ABC )A ．z －z 为纯虚数B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i ＋1的共轭复数为i －1D ．2＋3i 的虚部为3[解析] 当z 为实数时，z －z 不为纯虚数，A 错误；由i 2＝－1，知B 错误；由共轭复数的定义，知1＋i 的共轭复数为1－i ，C 错误；D 正确，应选ABC ．11．以下命题是真命题的是( ABC ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 为真命题；②由复数相等的条件z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 为真命题；③令z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．假设z 1＝z 2，那么有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如当z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，而z 1≠z 2，故C 为真命题；④不全为实数的两个复数不能比拟大小，但任意两个复数的模总能比拟大小，故D 为假命题．应选ABC ．12．复数z ＝3＋3i 化为三角形式正确的选项是( AD ) A ．z ＝23(cos π6＋isin π6)B ．z ＝23(cos π6－isin π6)C ．z ＝23(cos 76π＋isin 7π6)D ．z ＝23(cos 136π＋isin 13π6)[解析] z ＝3＋3i ＝23(32＋12i) ＝23(cos π6＋isin π6)＝23(cos 13π6＋isin 13π6)，应选AD ．三、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，那么ω＝__±(7－i)__.[解析] 解法1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么 (1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意，得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝|z2＋i|＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±5. 故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)．解法2：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0，且k ∈R ，那么ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝5 2.∴k ＝±50.故ω＝±(7－i)．14．下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是__①②③__.[解析] ①实数与虚数不能比拟大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有说明x ，y 是否是实数；④假设z ＝b i(b ≠0)为纯虚数，那么z 2＝－b 2<0，①②③均是错误命题，④是正确的．15．(2021·天津卷)i 是虚数单位，复数8－i 2＋i ＝__3－2i__.[解析]8－i 2＋i ＝(8－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－10i5＝3－2i.16．复数z ＝2⎝⎛⎭⎫cos π5－isin π5的三角形式是__2⎝⎛⎭⎫cos 9π5＋isin 9π5__. [解析] z ＝2⎝⎛⎭⎫cos π5－isin π5 ＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π－π5＋isin ⎝⎛⎭⎫2π－π5 ＝2⎝⎛⎭⎫cos 9π5＋isin 9π5.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(此题总分值10分)复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)假设z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． [解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ， 得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝418．(此题总分值12分)(1)复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，求z ·z 的值；(2)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2021＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6(i 是虚数单位)．[解析] (1) 复数z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝－3＋i4，z ＝－3－i4.∴z ·z ＝14.(2)(21－i )2021＋(1＋i1－i)6 ＝⎝⎛⎭⎫22(1＋i )2021＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i －126 ＝i 1008＋i 6 ＝1－1 ＝0.19．(此题总分值12分)z ＝a －i1－i，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．[解析] ∵z ＝a －i1－i ，代入ω＝z (z ＋i)，得ω＝a －i 1－i (a －i 1－i ＋i)＝(a －i )(a ＋1)(1－i )2＝(a －i )(a ＋1)－2i＝(1＋a i )(a ＋1)2＝a ＋12＋a (a ＋1)2i ，∴ω的实部为a ＋12，虚部为a (a ＋1)2，由得a (a ＋1)2－a ＋12＝32，解得a 2＝4，∴a ＝±2. 又a >0，故a ＝2.|ω|＝|a ＋12＋a (a ＋1)2i|＝|2＋12＋2(2＋1)2i|＝|32＋3i|＝352. 20．(此题总分值12分)复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a 的取值范围．[解析] ∵z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ＝1＋ii ＝1－i ，∴|z |＝ 2.又|ωz |＝|ω||z |≤2，∴|ω|≤2.而ω＝z ＋a i ＝(1－i)＋a i ＝1＋(a －1)i ，(a ∈R )， 那么12＋(a －1)2≤2⇒(a －1)2≤3，∴－3≤a －1≤3，1－3≤a ≤1＋ 3.即a 的取值范围为[1－3，1＋3]．21．(此题总分值12分)设O 为坐标原点，向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，a ∈R ，假设z 1＋z 2可以与任意实数比拟大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．[解析] 依题意得z 1＋z 2为实数，因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.所以a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝(38，－1)，OZ 2→＝(－1,1)．所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.22．(此题总分值12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数〞的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，那么a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，那么b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6， 故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数〞的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表： 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
A。
错误!B。
错误!C。
错误!，错误!D.错误!,错误!解析：∵f′(x)＝2x－错误!＝错误!，当0＜x≤错误!时，f′(x)≤0.答案：A5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈［0,1]）的最大值是（)A．1 B.错误!C．0 D．－1解析：f′（x）＝3－12x2，令f′（x）＝0，则x＝－错误!（舍去)或x＝错误!，f（0)＝0，f(1)＝－1，f错误!＝错误!－错误!＝1,∴f（x）在[0，1］上的最大值为1。
答案:A6．函数f（x)＝x3＋ax2＋3x－9,已知f（x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f′（－3）＝0.∴3×(－3)2＋2a×（－3)＋3＝0，∴a＝5。
答案:D7．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x）＝1＋e x，则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F （x)所做的功是( ）A．1＋e B．eC。
错误!D．e－1解析:W＝错误!F(x)d x＝错误!(1＋e x)d x＝(x＋e x)错误!错误!＝（1＋e）－1＝e.答案：B8．设a＜b，函数y＝(x－a)2（x－b）的图象可能是（）A BC D解析：当x＝a或b时，f(x)＝0，f′（x）＝（x－a）(3x－a－2b），令f′(x)＝0得x＝a或x＝错误!，∵a＜b，∴a＜错误!＜b，∴f（x）在(－∞,a）及错误!上是增函数，在错误!上是减函数，x＝a是函数f（x）的极大值点，x＝错误!是函数f（x）的极小值点．故选C。
答案：C9．设函数f(x)＝x e x，则（)A．x＝1为f（x)的极大值点B．x＝1为f(x）的极小值点C．x＝－1为f（x)的极大值点D．x＝－1为f(x）的极小值点解析：利用导数的乘法法则求解．∵f(x）＝x e x，∴f′(x）＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即e x(1＋x)≥0,即x≥－1,∴x≥－1时函数y＝f（x）为增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x）取得极小值．答案：D10．已知y＝错误!x3＋bx2＋(b＋2）x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2解析:y′＝x2＋2bx＋（b＋2)．由于函数在R上单调递增，∴x2＋2bx＋(b＋2）≥0在R上恒成立，即Δ＝(2b)2－4(b＋2）≤0，解得－1≤b≤2。
综合学业质量标准检测(一)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设复数z 在映射f 下的象是z ·i ，则－1＋2i 的原象为( A ) A ．2－i B ．2＋i C ．－2＋iD ．－1＋3i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ·i ＝(x －y i)·i ＝y ＋x i ＝－1＋2i ， ∴y ＝－1，x ＝2，故z ＝2－i.故选A ．2．k (k ≥3，k ∈N ＋)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( A ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2[解析] 三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．故选A ． 3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[解析] 因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， 所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 4．定积分⎠⎛12x 2＋1xd x 的值为( A )A ．32＋ln2B ．34C ．3＋ln2D ．12[解析] ⎠⎛121＋x 2x d x ＝⎠⎛12(1x ＋x )d x ＝⎠⎛121x d x ＋⎠⎛12x d x ＝ln x |21＋12x 2|21＝ln2－ln1＋12×22－12×12＝32＋ln2. 5．如图是某年元宵花灯中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )[解析] 观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A 选项中的图形． 6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( A )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个大值点，3个极小值点[解析] 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得最小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值．由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点．7．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( D )A ．32B ．33C ．12D ． 3[解析]因为|(x－2)＋y i|＝3，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.8．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是(A)[解析]∵f′(x)＝2x＋b为增函数，∴排除B、D；又f(x)的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b<0，排除C，故选A．9．曲线y＝x3－3x和y＝x围成图形的面积为(B)A．4 B．8C．10 D．9[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B ． 10．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2018的值为( A )A ．20182019B ．20172018C ．12019D ．12018[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2018＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2017)＋1f (2018)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12017－12018)＋(12018－12019)＝1－12019＝20182019.11．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为( B )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n[解析] 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．12．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( C )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(2019·天津卷理，9)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i [解析] ∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ， ∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.14．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是(－∞，－53)和(1，＋∞).[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－5x －5，∴y ′＝3x 2＋2x －5， 令y ′＝3x 2＋2x －5>0，解得x <－53，x >1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－53)和(1，＋∞)．15．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是S 3n ＝3(S 2n －S n ).[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n －S n )．16．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝1.[解析] ∵f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．[解析] 因为z 1＝－1＋5i 1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， 所以|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)| ＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4，又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， 所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. 所以a 的取值范围是(1,7)．18．(本题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．20．(本题满分12分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3.∴m ＝－2.21．(本题满分12分)设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立． 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，①1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2. ②②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2. ③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本题满分12分)(2019·全国Ⅲ卷理，20)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b .(1)讨论f (x )的单调性．(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．[解析] (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3. 若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a 3单调递减． 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递增，所以f (x )在区间[0,1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1,2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递减，所以f (x )在区间[0,1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a3＋b＝－1，b＝1，则a＝332，与0＜a＜3矛盾．27＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝33或a＝－33或a＝0，与0＜a＜3矛盾．若－a327综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.。
第一章一、选择题(本大题共小题．每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若曲线＝＋＋在点(，)处的切线方程是－＋＝，则( )．＝，＝．＝－，＝．＝，＝－．＝－，＝－解析：∵′＝＋，∴曲线＝＋＋在(，)处的切线方程的斜率为，切线方程为－＝，即－＋＝.∴＝，＝.答案：．函数＝的导数为( )．′＝－．′＝＋．′＝－．′＝－解析：利用求导法则运算．答案：．设()＝，若′()＝，则＝( )．．．．解析：′()＝()′＝＋，′()＝＋＝⇒＝.答案：．函数()的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )．<′()<′()<()－()．<′()<()－()<′()．<′()<′()<()－()．<()－()<′()<′()解析：由′()，′()的几何意义知′()>′()>，设(，())，(，())，则＝，由图象知<′()<<′()．答案：．过曲线＝(>)上横坐标为的点的切线方程为( )．＋－＝．＋－＝．－＋＝．－－＝解析：∵′＝＝，∴该切线的斜率＝′＝＝－，则所求的切线方程为－＝－(－)，即＋－＝，故选.答案：．若函数()在上可导，且()＝＋′()＋，则( )．()<() ．()＝()．()>() ．无法确定解析：′()＝＋′()⇒′()＝＋′()⇒′()＝－.从而()＝－＋，其对称轴为＝，则()>()．答案：．如图，阴影部分的面积是( )．．－．．解析：＝(－－)＝＝.答案：．若函数()的导函数′()＝－＋，则函数(＋)的单调递减区间是( )．() ．(－，－)．() ．()解析：由′()＝－＋＝(－)(－)知，当∈()时，′()<，函数()在()上为减函数，函数＝(＋)的图象是由函数＝()的图象向左平移个单位长度得到的，所以()为函数＝(＋)的单调递减区间．故选.答案：．函数()＝－的极大值为，极小值为，则＋为( )．．．．解析：()＝－⇒′()＝－＝⇒＝±，不难判断＝(－)＝(－)＋＝，＝()＝－＝－，＋＝.答案：．一物体在力()＝－(单位：)的作用下，沿着与力相同的方向，从＝处运动到＝处(单。
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作选修2－2 全册质量评估检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( )A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝8－6i 2i ＝－3－4i. 答案：A2．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin2x 2，故选A.答案：A3．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)．则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2解析：因为f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(0)＝2f ′(1)．因为f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，故f ′(0)＝－4.答案：B4．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋)C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2答案：C5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212. 答案：C6．已知函数f (x )＝a sin2x －13sin3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12解析：因为f ′(x )＝2a cos2x －cos3x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2a cos 2π3－cosπ＝－a ＋1＝0，得a ＝1. 答案：B7．若f (x )＝ln xx，0＜a ＜b ＜e ，则有( )A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )＜f (b )D ．f (a )·f (b )＞1解析：f ′(x )＝1－ln xx2，在(0，e)上，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，e)上为增函数． ∴f (a )＜f (b )． 答案：C8．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3] D.⎣⎡⎭⎫98，＋∞ 解析：由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1， ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0， ∴b ＝－1.5，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94.当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞.故选D. 答案：D9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为527解析：由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f ⎝⎛⎭⎫13是极大值． 答案：A10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：∵f ′(x )＝sin θx 2＋3cos θx ，f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，∴θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[2，2]． 答案：D11．设m ＝⎠⎛01e x d x ，n ＝⎠⎛1e 1xd x ，则m 与n 的大小关系为( )A ．m ＜nB ．m ≤nC ．m ＞nD ．m ≥n解析：m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1＞n ＝⎠⎛1e 1xd x ＝ln x |e 1＝1.答案：C12．已知函数y ＝f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小＝－4，那么p ，q 的值分别为( )A ．p ＝3，q ＝8B ．p ＝6，q ＝8C ．p ＝6，q ＝9D ．p ＝4，q ＝9 解析：令切点为(a,0)，则f(x)＝x(x 2＋px ＋q)＝0有一个实根0和两个相等实根a ，且a ≠0，所以x 2＋px ＋q ＝(x －a)2，所以f(x)＝x(x －a)2.f ′(x)＝(x －a)(3x －a))令f ′(x)＝0，得x ＝a 或x ＝a3.因为x ＝a 时，f(a)＝0≠－4，所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝y 极小＝－4，即427a 3＝－4，a ＝－3. 所以x 2＋px ＋q ＝(x ＋3)2，所以p ＝6，q ＝9. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设f(z)＝z ，且z 1＝1＋5i ，z 2＝－3＋2i ，则f(z 1－z 2)的值是__________． 解析：∵z 1－z 2＝(1＋5i )－(－3＋2i )＝4＋3i ， ∴z 1－z 2＝4－3i .∵f(z)＝z ，∴f(4－3i )＝4－3i ＝4＋3i .答案：4＋3i14．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k(k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为______．解析：函数y ＝ax 2＋bx ＋k(k ＞0)在x ＝0处取得极值，得x ＝0是导函数2ax ＋b ＝0的解，则b ＝0，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，得2a ＋b ＝2，所以a ＝1，a ＋b ＝1.答案：115．由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于__________．解析：S ＝⎠⎛35[(x －2)2＋1]d x＝⎠⎛35(x 2－4x ＋5)d x＝⎝⎛⎭⎫x 33－2x 2＋5x |53＝323. 答案：32316．若函数f(x)＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m 要使f (x )是R 上的单调函数，须使Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.答案：m ≥13三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值．解析：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，1－m ) 1－m (1－m,1＋m ) 1＋m (1＋m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x ) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．(1)求证：P A ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算： (a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的几何意义．解析：(1)∵AP →·AB →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB .又∵AP →·AD →＝－4＋4＋0＝0， ∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线， ∴AP ⊥底面ABCD .(2)设AB →与AD →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·AD →|AB →|·|AD →|＝8－24＋1＋16·16＋4＝3105.V ＝13|AB →|·|AD →|·sin θ·|AP →|＝23105·1－9105·1＋4＋1＝16. (3)|(AB →×AD →)·AP →|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|(AB →×AD →)·AP →|在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积)．19. (本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油⎝⎛⎭⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得：h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)，h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数． ∴当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25.∵h (x )在(0,120]上只有一个极值， ∴它是最小值．即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．20．(本小题满分12分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c ＝4， 所以a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝1x 2－1＋a . (1)若f (x )的一个极值点到直线l ：22x ＋y ＋a ＋5＝0的距离为1，求a 的值； (2)求方程f (x )＝g (x )的根的个数．解析：(1)由f ′(x )＝2xx 2＋1＝0，得x ＝0，故f (x )仅有一个极小值点M (0,0)， 根据题意得： d ＝|5＋a |3＝1.∴a ＝－2或a ＝－8. (2)令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x 2＋1)－1x 2－1－a ，h ′(x )＝2x x 2＋1＋2x(x 2－1)2＝2x ⎣⎡⎦⎤1x 2＋1＋1(x 2－1)2.当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )≥0， 当x ∈(－∞，－1)∪(－1,0)时，h ′(x )＜0.因此，h (x )在(－∞，－1)，(－1,0)上时，h (x )单调递减， 在(0,1)，(1，＋∞)上时，h (x )单调递增．又h (x )为偶函数，当x ∈(－1,1)时，h (x )的极小值为h (0)＝1－a .当x →－1－时，h (x )→－∞，当x →－1＋时，h (x )→＋∞， 当x →－∞时，h (x )→＋∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞. 故f (x )＝g (x )的根的情况为：当1－a ＞0时，即a ＜1时，原方程有2个根； 当1－a ＝0时，即a ＝1时，原方程有3个根． 当1－a <0时，即a >1时，原方程有4个根．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n∈N ＋.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解析：(1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1±3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N ＋. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立． 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫a k 2＋1a k －1 ＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1， 即当n ＝k ＋1时猜想也．综上可知，猜想对一切n ∈N ＋都成立．。
姓名，年级：时间：第一章 单元质量测评(一)本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若物体的运动规律是s ＝f （t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为（ )(1）错误! 错误!； (2)错误! 错误!； （3)f ′(t 0）; (4)f ′（t ）．A ．(1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）(3）D ．(2)（4） 答案 B解析 根据瞬时速度的概念及导数的意义易知(1)（3）正确,故选B. 2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.［］0，π4∪错误! B ．［0，π)C 。
错误!D 。
错误!∪错误! 答案 A解析 y ′＝cos x ，∵cos x ∈［－1,1],∴切线的斜率范围是［－1，1]，∴倾斜角的范围是错误!∪错误!。
3．下列积分等于2的是（ ） A 。
错误!2x d x B.错误!错误!d x C.错误!1d x D.错误!错误!d x 答案 C 解析错误!2x d x ＝x 2错误!错误!＝4;错误!错误!d x＝错误!错误!错误!＝3；错误!1d x＝x错误!错误!＝2；错误!错误!d x＝错误!ln x错误!错误!＝错误!ln 2。
4．若函数f（x）＝错误!x3－f′（1)·x2－x，则f′(3)的值为( ）A．0 B．－1 C．8 D．－8答案C解析f′（x)＝x2－2f′(1）·x－1，则f′(1）＝12－2f′(1)·1－1，得f′（1）＝0，∴f（x)＝错误!x3－x，f′(x）＝x2－1，∴f′(3）＝8.5．函数y＝x2e x的单调递减区间是( )A．（－1,2）B．（－∞，－1）与（1,＋∞）C．(－∞，－2)与（0,＋∞）D．(－2，0)答案D解析y′＝(x2e x）′＝2x e x＋x2e x＝x e x(x＋2）．∵e x>0，∴x e x(x＋2）<0，即－2〈x<0，故函数y＝x2e x的单调递减区间是(－2，0）．6．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′(x）的图象如图所示，则y ＝f(x)( ）A．在（－∞,0）上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞）上为减函数D．在x＝2处取极大值答案C解析在(－∞，0)上,f′(x)>0，故f(x）在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x＝0处,导数由正变负,f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B 错；在(4,＋∞）上，f′（x)<0，f(x）为减函数,C对;在x＝2处取极小值,D错．7．方程2x3－6x2＋7＝0在（0,2）内根的个数为( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析设f（x）＝2x3－6x2＋7,则f′（x)＝6x2－12x＝6x（x－2）．∵x∈（0,2），∴f′（x）〈0.∴f(x)在（0，2）上递减，又f（0)＝7，f（2)＝－1，∴f（x)在（0，2）上有且只有一个零点,即方程2x3－6x2＋7＝0在（0，2)内只有一个根．8．设a∈R，若函数y＝e x＋2ax有大于0的极值点，则( ）A．a＜－错误! B．a＞－错误!C．a＜－错误! D．a＞－错误!答案C解析由y＝e x＋2ax,得y′＝e x＋2a，由题意，得e x＋2a＝0有正数解．当x＞0时,e x＝－2a＞1,即a＜－错误!.9．已知函数f(x）＝错误!x2＋cos x，f′(x）是函数f(x）的导函数，则f′(x)的图象大致是（）答案A解析因为f（x)＝错误!x2＋cos x，所以f′(x）＝错误!x－sin x。
本册学业质量标准检测(二)本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( D ) A ．若x 2≥1，则x ≥1若x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥12．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( A ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22D ．⎝⎛⎭⎪⎫3210，4210，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，－22 [解析] 所求的单位向量e 与(－3，－4,5)方向相同或相反，且|e |＝1，求得⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22.3．已知命题p ：函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)的图象关于x ＝π6对称，命题q ：函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)向右平移π6个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是( D )A ．¬pB ．p ∨qC ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )[解析] ∵f (π6)＝2sin 2π3＝3≠2，∴f (x )的图象不关于x ＝π6对称．故p 为假命题；∵平移后所得函数为y ＝2sin[2(x －π6)＋π3]＝2sin2x ，易知此函数为奇函数．∴函数图象关于原点对称，∴q 为真命题．∴(¬p)∧(¬q)为假命题．4．已知向量a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( A )A．2，12B．－13，12C．－3,2 D．2,2[解析] 已知a∥b，则∃t∈R，使得b＝t a(t≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧tλ＋t＝62μ－1＝02t＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t＝2λ＝2μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧t＝－3λ＝－3μ＝12.5．如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则AE→·BC→等于( A )A．0 B．1C．2 D．3[解析] ∵AE→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(DC→－DB→)＝12(DB→－DA→＋DC→－DA→)·(DC→－DB→)＝12(DB→－2DA→＋DC→)·(DC→－DB→)＝12DB→·DC→－12DB→2－DA→·DC→＋DA→·DB→＋12DC→2－12DC→·DB→∵DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，∴AE→·BC→＝0.故选A．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( D )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，又ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴D 1C 1⊥侧面BCC 1B 1.∴D 1C 1⊥PC 1，∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离，即PC 1等于P 到直线BC 的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．7．(浙江丽水市2019－2020学年高二质监)如图，在三棱锥P －ABC 中，PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC ＝b (a ＜b )，设二面角P －AB －C 的平面角为α，则( C )A ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＞π，2α＜∠PAC ＋∠PBC B ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＜π，2α＜∠PAC ＋∠PBC C ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＞π，2α＞∠PAC ＋∠PBCD ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＜π，2α＞∠PAC ＋∠PBC [解析] 如图(1)，取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ，作PM ⊥AB 于M ，由△ABP ≌△ABC ，可得CM ⊥AB ，∴∠PMC ＝a ，又PM ＝CM ＝h ＜a ＜b ，由图(2)可得a 2＝∠PMC 2＞∠PBC 2＞∠PAC2，∴2a ＞∠PAC ＋∠PBC ，a ＋∠PCA ＋∠PCB ＞∠PBC 2＋∠PAC2＋∠PCA ＋∠PCB ＝∠PBC 2＋∠PCB ＋∠PAC2＋∠PCA ＝π，故选C ． 8．如图，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( C )A ． 3B ． 5C ．7D ．3[解析] 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∵△ABF 2是等边三角形，即|BF 2|＝|AB |， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， ∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×(－12)＝28a 2，解之得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝c a＝7.故选C ．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．)9．已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，则以下等式成立的是( ACD ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．PA →·CD →＝0[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥PA ⇒DA ⊥平面PAB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0，故A 成立；②同①知AB →·PD →＝0，故C 成立；③PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥CD ⇒PA →·CD →＝0，故D 成立； ④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥PA ，∴BD ⊥平面PAC ，故BD ⊥AC ，但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故B 不成立．故选ACD ． 10．下列命题是假命题的是( ABC )A ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题B ．“x ＝－1”是“x 2＋3x ＋2＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0” D ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件 [解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin (x ＋π4)≤2，∴命题p 是真命题，则¬p 是假命题，故A错误；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则“x ＝－1”是“x 2＋3x ＋2＝0”的充分不必要条件，故B 错误，特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故C 错误；当a ＞1时，f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数成立，即充分性成立，若f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数，则a ＞1，即必要性成立，故“a ＞1”是“f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件，故D 正确．故选D ．11.若点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 225－y 29＝1上的一点，且|PF 1|＝12，则|PF 2|＝( AB )A ．2B ．22C ．4D ．20[解析] 由双曲线x 225－y 29＝1得a ＝5，b ＝3，c ＝34，由双曲线的定义得||PF 2|－|PF 1||＝10，即|PF 2|＝|PF 1|±10＝12±10＝22或2.12.已知O 是坐标原点，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点，OA ⊥OB ，下列四个结论中，所有正确的结论是( ABD )A ．|OA |·|OB |≥2 B ．|OA |＋|OB |≥2 2C ．直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点 D ．O 到直线AB 的距离小于等于1[解析] 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则OA →·OB →＝0，即x 1x 2(1＋x 1x 2)＝0，所以x 2＝－1x 1.对于A ，|OA |·|OB |＝x 211＋x 21·1x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 21＝1＋x 21＋1x 21＋1≥2，当且仅当x 1＝±1时取等号，正确；对于B ，|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB |≥22，正确；对于C ，直线AB 的方程为y －x 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x1(x －x 1)，不过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，错误；对于D ，原点到直线AB ：⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 12＋1≤1，正确．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x－m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是__m ≥6__.[解析] 由x －1x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x x －1≤0x ≠0，得0<x ≤1，由题设知，当0<x ≤1时，4x ＋2x－m ≤0，即4x＋22≤m 恒成立，易知y ＝4x＋2x(0<x ≤1)的最大值为6，所以m ≥6.14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则P 点的坐标为__(－1,0,2)__.[解析] 由已知，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，PA →＝(－x,1，－z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧PA →·AB →＝0PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋z ＝0－2x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2.∴P (－1,0,2)．15.已知点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则椭圆C 的方程为__x 24＋y 2＝1__；若直线y ＝12x 交椭圆C 于M ，N 两点，则|MN |＝__10__.[解析] 由题意可知，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，由点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆上，焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，消去y ，整理得2x 2＝4，则x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝22，y 2＝－22，则|MN |＝2＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫22＋222＝10. 16．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为__1510__. [解析] 如图所示，AD ⊥平面BCD ，AD ＝32， BD ＝CD ＝BC ＝12，∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(山东省潍坊市2018－2019学年高二期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1和对角线DB 1的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)求直线MN 与直线CB 1所成角的大小． [解析] (1)证明：连接BD ，∵M ，N 分别是棱BB 1和DB 1的中点， ∴MN ∥BD .∵MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD .(2)设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，∴M (1,1，12)，N (12，12，12)，B 1C →＝(－1,0,1)，MN →＝(－12，－12，0)，∴cos 〈MN →，B 1C →〉＝MN →·B 1C →|MN →||B 1C →|＝1212·2＝12. ∴直线MN 与直线CB 1所成角为π3.18．(本小题满分12分)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求椭圆的标准方程．[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 2|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.19．(本小题满分12分)(福建省南平市2019－2020学年高二期末)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝PA ＝2，AB ＝1，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PDC ； (2)求二面角P －BC －D 的余弦值．[解析] (1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，B (1,0,0)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，则E (1,1,1)．∴BE →＝(0,1,1)，PC →＝(2,2，－2)，DC →＝(2,0,0)，∴BE →·PC →＝0，BE →·DC →＝0， ∴BE ⊥PC ，BE ⊥DC 且PC ∩DC ＝C ， ∴BE ⊥平面PDC .(2)平面BDC 的法向量m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵DP →＝(0，－2,2)，DB →＝(1，－2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0DB →·n ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2z ＝0x －2y ＝0，取得一个法向量n ＝(2,1,1)． ∴cos m·n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m|·|n|＝16＝66.∴二面角P －BD －C 的余弦值为－66. 20．(本小题满分12分)(2019－2020学年房山区期末检测)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当抛物线C 过点M (1，－2)时，求抛物线C 的方程； (2)证明：OA →·OB →是定值．[解析] (1)因为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点M (1，－2)， 所以4＝2p ，p ＝2，所以抛物线C 的方程y 2＝4x ；(2)证明：当直线l 斜率存在时，F (p 2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －p2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2 ①y 2＝2px ②，将(1)代入(2)得，⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －kp 22＝2px ，化简得kx 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，因为点A ，B 都在抛物线y 2＝2px 上，所以y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝2p 2x 1x 2，所以y 21y 22＝p 4，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以y 1y 2＜0， 所以y 1y 2＝－p 2，所以OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34p 2是定值．当直线l 无斜率时，F (p 2，0)，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＝x 2＝p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得，y 21＝p 2，y 22＝p 2，所以y 21y 22＝p 4，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以y 1y 2＜0， 所以y 1y 2＝－p 2，所以OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34p 2，是定值．综上，OA →·OB →＝－3p 24是定值．21．(本小题满分12分)(福建厦门市2019－2020学年高二质检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝π2，∠BAC ＝π3，PC 与平面ABCD 所成的角为π6，又PA＝CD ＝2.(1)证明：平面PAC ⊥平面PCD ； (2)求二面角B －PC －D 的余弦值． [解析] (1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又因为AC ⊥CD 且PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ， 因为CD ⊂平面ABCD ， 所以平面PAC ⊥平面PCD . (2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以AC 为PC 在平面ABCD 内的射影， 所以∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成角，故∠PCA ＝π6， 在Rt △PAC 中，因为PA ＝2，所以AC ＝23， 在Rt △ACD 中，因为AC ＝23，CD ＝2，所以AD ＝4，∠CAD ＝π6， 又因为∠BAC ＝π3， 所以∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝π2，即BA ⊥AD . 在Rt △ACD ，因为AC ＝23，∠BAC ＝π3，所以AB ＝3，BC ＝3. 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系：则B (3，0,0)，C (3，3,0)，D (0,4,0)，P (0,0,2)， 得PB →＝(3，0，－2)，BC →＝(0,3,0)，PD →＝(0,4，－2)，CD →＝(－3，1,0)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0⇒⎩⎨⎧ 3x －2z ＝03y ＝0， 令x ＝2，得n ＝(2,0，3)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎨⎧ 4y ′－2z ′＝0－3x ′＋y ′＝0， 令x ′＝3，得m ＝(3，3,6)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n| ＝23＋6322＋32·32＋32＋62 ＝837×43＝277， 观察可知，二面角B －PC －D 为钝角，所以二面角B －PC －D 的余弦值为－277.22．(本小题满分12分)(2019－2020 学年深圳高级中学期末测试)设椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )，F 1，F 2是椭圆的左右焦点，以F 1，F 2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为3的正三角形．(1)求椭圆方程；(2)过F 1分别作直线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，设l 1与椭圆交于A ，C 两点，l 2与椭圆交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由题设可得：⎩⎨⎧ a ＝2c bc ＝3， ∵a 2－b 2＝c 2，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1；(2)由(1)可知椭圆x 24＋y 23＝1的焦点F 1(1,0) 当其中一条直线斜率不存在时，令|AC |＝4，则|BD |＝2b 2a＝3. ∴S ＝12|AC ||BD |＝6 当直线斜率存在时，设直线l 1：y ＝k (x ＋m )，代入椭圆方程得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－－8k 2m 3＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2m 2－123＋4k2； 所以弦长＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2m3＋4k 22－4·4k 2m 2－123＋4k 2 ＝431＋k 24k 2－k 2m 2＋33＋4k 22， 设直线AC 的斜率为k ，不妨设k ＞0，则|AC |＝12k 2＋14k 2＋3，|BD |＝12k 2＋14＋3k 2， ∴S ABCD ＝12·12k 2＋14k 2＋3·12k 2＋14＋3k2 ＝72k 2＋1212＋25k 2＋12k4 ＝72k 2＋12k 2＋12k 2＋12＝72k 2k 2＋12＋12 ＝721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12∈[28849，6) 因为k ＞0，∴k ＋1k ≥2k ·1k ＝2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2≥4,0＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2≤14， 12＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12≤494， 28849≤721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＜6 ∴721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12∈[28849，6) 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤28849，6.故(S ABCD )min ＝28849.。
2009—2010学年度第二学期期中质量检测 高二数学试题（理）参考答案及评分意见一、选择题（每题5分）1~4 D A B C 4~8 C A C C 二、填空题（每题5分）9. 2 10. π11. -1 12. 3π13. 214. 在直角三棱锥中，斜面的“中面”的面积等于斜面面积的14三、解答题15．证明：取BD 的中点E,连接AE,CE. 在ABD ∆中，因为，,AB AD BE DE ==所以，AE BD ⊥---------------------------4分 在BCD ∆中，同理可得：CE BD ⊥ Q AE CE E =I -----------------8分 ∴BD ⊥面AECAC ⊂Q 面AECBD AC ∴⊥--------------------------12分16、解：由,,A B C 成等差数列， 在ABD ∆中，由余弦定理得， 有 ，2B A C =+. ① AD =,,A B C Q 为ABC ∆的内角， =A B C π∴++= ② =分由①②，得3B π=--------------5分 答：BC --------12分Q D 是BC 的中点122BD BC ∴== ------------6分17.解：（Ⅰ）11,215n n n a a a a +==+Q 12133532111215a a a ∴===+⨯+ 3317a = 4323a =-------------------------3分；（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列∴猜想数列{}n a 通项公式：361n a n =----------------------5分 用数学归纳法证明如下：① 当1n =时，由题意可知135a =，命题成立.------6分 ② 假设当n k =(1,)k k N ≥∈时命题成立， 即361k a k =-，----7分那么，当1n k =+时，133361321656(1)12161k k k a k a a k k k +-====+++-⨯-- 也就说，当1n k =+时命题也成立----------------------------------------------13分 综上所述，数列{}n a 的通项公式为361n a n =----------------------------14分 18、解（Ⅰ）因为3()44()f x ax x a R =-+∈，所以'2()34f x ax =-----------------------------------2分 因为函数()f x 在2x =时有极值 ， 所以'(2)0f =，即3440a ⨯-=得 13a =------------------------------------------------3 分 所以31()443f x x x =-+所以'2()4(2)(2)f x x x x =-=+-令，'()0f x = 得， 2,x =或2x =-----------4分 当x 变化时'()f x ，()f x 变化如下表：A B DC E所()f x 的以区间为(,2)-∞-，(2,)+∞；()f x 的单调减区间为(2,2)-。
第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列不具有相关关系的是(D)A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧[解析]喜鹊叫喜，乌鸦叫丧是一种迷信说法，无任何关系．2．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是(D)A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付[解析]由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由左图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由左图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付人数比手机支付人数少，D错误．故选D．3．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是(C)P(K2≥k)…0.250.150.100.0250.0100.005…k … 1.323 2.072 2.706 5.024 6.6357.879…C．97.5%D．99.5%[解析]∵K2＝6.023>5.024，故其可信度为97.5%.4．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( A )A ．有关 C ．关系不明确 D ．以上都不正确[解析] 由公式计算得K 2＝100×(48×12－38×2)250×50×86×14≈8.306>6.635，则认为“实验效果与教学措施有关”的概率为0.99.5．(2019·唐山高二检测)四名同学根据各自的样本数据研究变量x 、y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( D ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[解析] y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错．6．(2019·福州高二检测)在一次试验中，当变量x 取值分别是1，12，13，14时，变量Y 的值依次是2,3,4,5，则Y 与1x之间的回归曲线方程是( A )A ．y ^＝1x ＋1B ．y ^＝2x ＋3C ．y ^＝2x ＋1D ．y ^＝x －1[解析] 把x ＝1，12，13，14代入四个选项，逐一验证可得y ^＝1x＋1.7．已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,12)，则回归直线的方程是( A ) A ．y ^＝2x ＋4 B ．y ^＝52x ＋2C ．y ^＝2x －20D ．y ^＝16x ＋2[解析] 由回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^的定义知，b ^＝2，∵回归直线过样本点的中心，∴12＝2×4＋a ^， ∴a ^＝4，∴回归直线方程为y ^＝2x ＋4.8．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( D )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点； ③已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝bx ＋a ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69， ∴③正确；④正确，故选D ．9．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( D )表1成绩性别不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计16 3652视力性别好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计16 3652 智商性别偏高正常总计A ．成绩 C ．智商 D ．阅读量[解析] 因为K 21＝52×(6×22－14×10)216×36×32×20＝52×8216×36×32×20，K 22＝52×(4×20－6×12)216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，K 23＝52×(8×24－12×8)216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，K 24＝52×(14×30－6×2)216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则K 24>K 22>K 23>K 21，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：临界值表：A ．97.5%B ．99%C ．99.5%D ．99.9%[解析] ∴7.879<K 2≈8.12<10.828，故有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别之间有关系．11．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：( D ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关[解析] 根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y ^＝b ^x＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8 ℃时该商品销售额为( A )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元[解析] x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，∵线性回归直线过点(x ，y )，∴25＝－2.4×(－4)＋a ^，∴a ^＝15.4. ∴线性回归方程是y ^＝－2.4x ＋15.4.当x ＝－8时，y ＝34.6(万元)，故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．给出下列实际问题： ①一种药物对某种病的治愈率； ②两种药物治疗同一种病是否有关系； ③吸烟者得肺病的概率； ④吸烟人群是否与性别有关系； ⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系．其中，用独立性检验可以解决的问题有__②④⑤__.[解析] 独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事情的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．14．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：__0.001__ [解析] 可计算K 2的观测值k ＝11.377>10.828. 15．已知x ，y 取值如下表：若x ，y 具有线性相关关系，且回归方程为y ＝0.95x ＋a ，则a ＝__2.6__.[解析] 由已知x ＝2，y ＝4.5，而回归方程过点(x ，y )，则4.5＝0.95×2＋a ，∴a ＝2.6.16．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为__70__杯．(已知回归系数b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x2，a ^＝y －－b x －)[解析] 根据表格中的数据可求得x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ^＝y －－b ^ x －＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)考察黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系．调查了457株黄烟，得到下表中数据，请根据数据做统计分析.附：K 2＝n (ac －bd )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[解析] K 2＝457×(25×142－80×210)2235×222×105×352≈41.61，由于41.61>10.828，说明有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的． 18．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：(1)计算x 与y (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验； (3)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，求回归系数． [解析] (1)根据数据可得： x ＝77.7，y＝165.7，∑10i ＝1x 2i ＝70 903，∑10i ＝1y 2i ＝277 119，∑10i ＝1x i y i ＝132 938，所以r ＝∑10i ＝1x i y i －10x y（∑10i ＝1x 2i －10x 2)（∑10i ＝1y 2i －10y 2)＝0.808，即x 与y 之间的相关系数r ≈0.808.(2)因为r >0.75，所以可认为x 与y 之间具有线性相关关系． (3)b ^＝132 938－10×77.7×165.770 903－10×77.72＝0.398，a ^＝165.7－0.397×77.7＝134.8. 19．(本题满分12分)(2019·江西抚州市高二检测)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．附：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 k 02.7063.8416.635K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[解析] 将2×2列联表中的数据代入计算公式，得K 2的观测值 k ＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下可以认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．20．(本题满分12分)某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试利用列联表和等高条形图判断监督员甲在不在生产现场对产品质量好坏有无影响．[解析] 根据题目所给数据得如下2×2列联表：合格品数 次品数 总计 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场493 17 510 总计1 475251 500所以ad －bc 质量好坏有关系．相应的等高条形图如图所示．图中两个阴影部分的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场时样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场时样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场时样本中次品数的频率．因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．21．(本题满分12分)为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先在全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我车……”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：估计总体的思想，解决如下问题：(1)估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；(2)若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？[解析] (1)估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为(20×5＋40×15＋40×25＋200×35＋200×45＋300×55)÷(20＋40＋40＋200＋200＋300)＝42.75.(2)2×2列联表如下：K 2＝1 800×(100×800－700×200)1 500×300×800×1 000＝18>7.879，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关． 22．(本题满分12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：∑i ＝116(i －8.5)2≈18.439，∑i ＝116(x i －x )(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2，0.008≈0.09.[解析] (1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝116(x i －x )(i －8.5)∑i ＝116(x i －x )2∑i ＝116(i －8.5)2≈－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于x ＝9.97，s ≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －3s ，x ＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为 115(16×9.97－9.22)＝10.02， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.由Ruize收集整理。
