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工程力学第05讲 第4章 平面任意力系

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04.第四章 平面任意力系

04.第四章 平面任意力系
刚体在平面任意力系作用下的平衡条件: 由
FR
FR' = 0
MO = 0
得到：
( F x ) ( F x )
2
2 0Fx =Fra bibliotek0Fy = 0
MO=MO(F ) = 0
平面任意力系平衡方程的基本形式：
Fx 0 Fy 0 M O (F ) 0
杆的重量不计, 求铰链 A 的约束反力和杆DC所受的力。
F 解: (1) 取AB杆为研究对象 (2) 画受力图 (3) 列平衡方程 FAy FAx D F A l 45° C l B
FC
§4.3
平面任意力系的平衡条件
Fx = 0, FAx+ FC cos45º= 0 Fy = 0, FAy +FC sin 45°－F = 0 MA = 0, FAy
解： 取AB及重物作为研究对象 列平衡方程
C
A D B E 1m
P
3m C C
Q
2m
cos P F 0 0 ， F AB sin 30 0 F ， M x(F ) 0 ，FF Ax F F BCcos 3030 0 AD Q AE 0 sin 30 F F 0 M y( 0 0 ，F F DB BC sin 30 F P Q Q 00 0 AB M ( F )) ， ，P Ay ABF Q EB P AD AE F AB sin 30 P AD Q AE 0 MA( ) 0 0 F M ( FF 0 ，P DBAC EB AD Q AE0 0 M ( F )) ，， BC Q P F AB
§4.3

工程力学C-第4章 平面任意力系

工程力学C-第4章 平面任意力系

l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。

第4章平面任意力系

第4章平面任意力系

点 O 的力 FR′ 和力偶（ FR , FR′′ ）合成为一个作用在点 O′的力 FR ，如图 4-4（c）所 示。这个力就是原力系的合力。合力的大小等于主矢；合力的作用线在点 O 的哪 一侧，由主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点 O 的距离 d，可按下式算得：
d = MO FR′
图 4-4
由图 4-4（b）易见，合力 FR 对点 O 的矩为 MO (FR ) = FR ⋅ d = MO
43
44
例 4-2 图示悬臂式简易起重机，AB 是吊车梁，BC 是钢索，A 端为铰链支
座，已知重物重 P1=10kN，梁自重 P2=4kN，θ =30°，求钢索 BC 和铰链 A 的约
工 束反力。
程
力
解：
学
（1）选取梁 AB 与重物一起为研究对外，还受钢索
M = Fd
图 4-1
而乘积 Fd 是原力 F 对于 B 点之矩，即 M B (F ) = Fd
因此得 M = MB (F)
反之，根据力的平移定理可知，在平面内的一个力和一个力偶，也可以用一 个力来等效替换。
二、平面任意力系向一点简化，主矢与主矩
设刚体上作用一平面力系 F1、F2、…、Fn，如图 4-2（a）所示。在力系所在平 面内任选一点 O，称为简化中心。根据力的平移定理将各力平移到 O 点，于是得到 作用于 O 的力 F1′ 、 F2′ 、…、 Fn′ ，以及相应的附加力偶，它们的力偶矩分别是
（4-6）
其中 A、B、C 三点不能选在一直线上。
读者可以根据简化理论自行论证。
在工程中还常遇到平面平行力系问题，所谓平面平行力系，就是各力的作用
线都在同一平面内且互相平行的力系。
平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情况。设物体受平面平行力系 F1、

工程力学(北航版)——第四章：平面任意力系

工程力学(北航版)——第四章：平面任意力系

∑mA(F)=0
Q(6 − 2) − P ⋅ 2 + FB (2 + 2) = 0
限制条件为： 限制条件为： FB ≥ 0
解得： 解得：
Q≤350 kN
因此保证空、满载均不倒 应满足如下关系 应满足如下关系： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系
75 kN≤Q≤350 kN
当W=400KN时，Q的范围？ W=400KN时 的范围？
MO =
∑M
Oi
方向： 方向 方向规定 +
M A ≠ MO
7
简化中心： 简化中心 (与简化中心有关)
3. 平面一般力系的合成结果
′ 初步简化结果： 初步简化结果：主矢 FR ，主矩 MO，下面分别讨论。
′ ， ① FR =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ，
′ ② FR = 0 , M O ≠ 0 即 简 化 结 果 为 一 力 偶 M = M O = ∑MOi， 此 时
刚体等效于只有一个力偶的作用（因为力偶可以在刚 体平面内任意移转，故这时，主矩与简化中心O无关。） ③ FR ≠0, O =0, ′ ≠0,M =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
′ 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR = FR 。（此时 ,
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
8
′ ≠0,M ≠0,为最一般的情况 此种情况还可以继续简 为最一般的情况。 ④ FR ≠0, O ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 FR 。
′ F R = F ′ R = − FR′ ′ M O = FR ⋅ d
F'R F'R F''R A FR FR

第四章平面任意力系

第四章平面任意力系
ΣMB=0 3）解方程
M=800N· m。(图中
长度单位为mm)
试求支撑A和C处的
FAx A A FAy
x
约束力。
解： 1 、取梁 AB为研究对象。 例题：支撑阳台的水平梁所受的载荷可
2、受力分析，建立坐标。 以看作均布载荷q，从柱子上传下来的楼
3、列出平衡方程： ∑Fx=0
上的载荷可以看作集中力F，如图所示。 柱子轴线到墙面的距离为L，求梁插入端 的约束力。 ∑M (F)=0
i=1
n
FRx= Fix
其分量式为：
n
FRy= Fiy
i=1
i=1 n
力系的主矢
思考：力系的主矢和合力有什么区别？
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉
及作用点和作用线,因而主矢是自由矢量，不是
一个力。
力系的主矩
主矩(Principal moment)：
移到刚体的任意点而不改变该力对刚体的作用.
F : 力;
O : 简化中心;
r F
: F与O 所在平面;
n : 平面的法线; en : n方向的单位矢.
4.1力向一点平移
r
r F F

力向一点平移
r
F
r
F
在O点作用什么力系才能使二者等效？

力向一点平移
加减平衡力系
F
r
( F , 二 者 等
Fx 0 0 0 0 0 Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0

第四章平面一般(任意)力系

第四章平面一般(任意)力系
解决物系的平衡问题的基本方法是将物系拆开成若干个单个物体,对 每个物体列平衡方程,联立求解.
例1:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。 q M 再研究AB：（或整体ABC） B l l C M
A
A
B
XA-XB=0 YA-YB=0
解：先以BC为研究对象，做受力图 q B C 列平衡方程
y x q2 B
q1 解：研究AB，受力如图：X 建坐标如图
A
A
YA
NB X 0 XA=0 q1l q2l =0 Y 0 YA+ NB 2 1 2 l m 0 o N B 2l q1l l q2l (l ) 0 A
2
3
2
下面讨论分布载荷合力Q的大小： c
Q
qx q1
O
x
x l dx
Q q x dx
q1 qx x l
l
q1l = 分布载荷的面积 2
0
q1 xdx l
分布载荷合力Q的作用位置：
Qc q x dx x
q1l 而Q 2
l
0
1 q1 2 2 q l x dx 1 3 l
mA 0 或 mB 0
o AB ∥ Fi
x
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的 平衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能 解两个未知量,不得多列！
§6.静定与超静定问题, 物系的平衡 静定问题: 未知数全部能够由平衡方程来求得的问题 静不定问题: 未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数, 不能够由 平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称之为超静定 问题. 超静定次数 = 未知量的总数－平衡方程的个数 例:

理论力学第4章-平面任意力系


FAx
FAy MA
解：（1）取悬臂刚架为研究对象，受力图。
（2）列平衡方程
Fx 0
FAx F 0
Fy 0
FAy 3q 0
解之得
MA(F) 0
M A F 4 3q 1.5 0
FAx 5kN FAy 6kN M A 11 kN m（与假设相反）
4.5.2 平面平行力系的平衡方程 作用线分布在同一平面内且相互平行的力系，称为平 面平行力系。
MO (F ) 2 OAB面积
（1）当力F通过矩心O时，力对该矩心的力矩为零。 （2）当力F沿作用线移动时，不改变该力对任一点的矩。
力对点之矩的解析式：
MO (F ) Fd Fr sin( ) Fr sin cos Fr cos sin
Fr cos Fx
r cos x
Fr sin Fy
合力矢 作用线的方程。
MO FRx
O
38.66
F Ry
F R
（x, y） FRx
400 x + 500 y = 2726.7
O
FRy
FR
4.5 平面任意力系、平面平行力系平衡方程 4.5.1 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的
主矢以及对作用面内任一点的主矩都等于零，即
r sin y
MO (F ) xFy yFx （4-4）
y
Fy
F
y
r O d
A Fx
x
x
4.2 力线平移定理
力线平移定理： 作用在刚体上A点的力F可以平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，此附加力 偶的矩等于原来的力F对B点的矩。
[证] 力 F
力系 F, F1, F1' 力F1 力偶（F, F1'）

工程与材料力学第4章 平面任意力系


3. 力系平衡
FR′ = 0 , M o = 0
是平面一般力系平衡的充分和必要条件。
综上所述，可见：
⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时， 则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零 时，则该力系可以合成为一个力偶。
静力学
第四章 平面任意力系
u分布荷载的计算方法
(∑ ) (∑ ) F = F 2 + F 2 =
R
Rx
Ry
F 2+ x
F2 y
方向余弦：
cos(R,
x)
=
(∑
F x
)
F
R
cos(R,
y)
=
(∑
F y
)
F
R
2、主矩Mo可由下式计算：
∑ M = m (F )+ m (F )+L+ m (F ) = m (F )
0
o1
o2
on
o
静力学
第四章 平面任意力系
均布荷载：集度为常数的分布荷载 如图所示的均布荷载，其合力为：
W = q × l = 10.91×16 = 174.6kN ,
作用线则通过梁的中点
W
q=10.91kN/m
FRA
16 m
FRB
静力学
第四章 平面任意力系
§4-3 平面任意力系的平衡条件
平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢
和对任意一点的主矩都为零。即
∑ F ' = 0, M = M ( F ) = 0
R
0
0
平面一般力系的平衡方程为：
FR’
∑ FX= 0

05平面任意力系


方向 作用点
作用c于os简(Fr化'R中, ir心) 上FFRix
r cos(F
'R ,
r j)

Fiy FR

主矩
MO MO (Fi )
FR ( Fx )2 ( Fy )2

cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR , j)
Fy
由n个刚体组成的刚体系，总共有不多于3n个独立
的平衡方程。
2020年2月9日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§4-4、刚体系的平衡
单个物体
空间一般力系
6
空间平行力系
3
空间汇交力系
3
空间力偶系
3
平面一般力系
3
平面平行力系
2
平面汇交力系
2
平面力偶系
1
2020年2月9日星期日
n个物体组成的物 体系统
§4-2、平面任意力系向一点简化 结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用 在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。 几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位 置无关。 2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
2020年2月9日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§4-2、平面任意力系向一点简化

如何求出主矢、主矩?
FRx Fix Fix Fx
FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 FR ( Fix )2 ( Fiy )2
MO 0 MO 0

工程力讲义学第四章平面任意力系H


1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形
● F′R=0，MO≠0
n
MO MO(Fi) i1
★ 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力 系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。
第四章 平面任意力系
2 . 平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
● F′R≠ 0，MO=0 ● F′R≠ 0，MO ≠0
q(x)
载荷集度
合力作用线位置：
dP=x
l
q ( x ) xdx
h
0 l
0 q ( x )dx
第四章 平面任意力系
☆ 两个特例
(a) 均布载荷 P q
h
x
l
l
P0q(x)dxql
l
h
q( x) xdx
0 l
q(x)dx
l 2
0
第四章 平面任意力系
(b) 三角形分布载荷 P q0
FR (Fxi)2(Fyi)2
cosF(R,i)FFRxi,
cosF(R,
j)Fyi FR
n
n
M O M O (F i) (xiF y i yiF x)i
i 1
i 1
第四章 平面任意力系
§4-2 平面任意力系的简化结果分析
● F′R=0，MO≠0 ● F′R≠ 0，MO ≠0
● F′R≠ 0，MO=0 ● F′R=0，MO=0
第四章 平面任意力系
例题2
q
求：A处约束反力。
A l
B
F
（1）固定端支座 既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端（插入端）约束
FA MA
A
固定端约束简图
第四章 平面任意力系
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一、平面任意力系的平衡条件
平面任意力系简化 {F1 , F2 ,, Fn } {FR , M O } 平衡
FR Fi ' Fi
n n i 1 n i 1 n
FR 0 , M O 0
FR ( Fx )2 ( Fy )2
M O ( M O ) 2
Fx 0 , Fy 0 M O ( F ) 0
FR
O
M2
o
B A
O称为简化点

F2
Mn
M1
' 1

O
MO
F
F
' 2
{F1 , F2 , , Fn } {F1 ' , F2 ' , , Fn ' , M1 , M 2 , , M n } {FR , M O }
FR 一个作用在O点上的力, MO 一个作用在刚体上的力偶 •主矢
FR Fi Fi '
静力学
提问
• 力对点的矩在x轴上的投影与力对x轴 的矩有什么关系？ • 力和力偶能相互抵消吗？ • 判断：力偶可以任意旋转和平移（不 能反向），而不改变力偶对物体的作 用效果。 • 平面力偶系的平衡条件是什么？
静力学
第四章 平面任意力系
•§1 力的平移
•§2 平面任意力系向一点简化
•§3 平面任意力系平衡条件
FAx 2W
F
y
0, FB sin 45 FAy W 0 FAy W
0
是否可以选其
它点？
静力学
平面任意力系简化
§3 平面任意力系平衡条件
FR
A
二、平面任意力系平衡方程二矩式、三矩式的讨论 M A
{F1 , F2 ,, Fn } {FR , M A }
B
M A (F ) 0 M A 0 O M (F ) 0 F // AB FR , M A 0 F 0 F cos 0
B R x R

x
A、B 连线与Ox 轴不垂直

FAy
平面任意力系固定端约束力的简化 A B
MA
A
F Ax
B
静力学
y
§3 平面任意力系平衡条件
平面任意力系平衡的条件：
一矩式
O
x
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
Fx 0 Fy 0 M O ( F ) 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
二矩式
三矩式
A、B 连线与Ox 轴不垂直
A、B、C三点不共线
静力学
y
平面问题
§3 平面任意力系平衡条件
平面平行力系平衡的条件：
o
x
Fy 0 M O ( F ) 0
平面平行力系平衡的条件（二矩式）：
M A ( F ) 0 , M B ( F ) 0
?
静力学
§3 平面任意力系平衡条件
合力
FR 0, M O 0, FR M O
FR
O
MO

FR
O
FR
O’

O d
FR
O’
FR
d
合力
(A) FR 0, M O 0, FR M O (B) FR 0, M O 0
FR M O d FR2
静力学
§3 平面任意力系平衡条件
i 1 i 1 n n
•主矩
M O M i ri Fi
i 1 i 1
n
n
（与简化点无关）
（与简化点有关）
静力学
§2 平面任意力系向一点简化
二、空间任意力系简化结果的讨论 平面任意力系 {F1 , F2 ,, Fn } {FR , M O } 简化结果 1、 FR 0, M O 0 2、 FR 0, M O 0 3、 FR 0, M O 0 4、 FR 0, M O 0 平衡 合力偶 合力
A、B连线与诸力不平行
静力学
§3 平面任意力系平衡条件
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，求A处的约束力。
解：研究AB梁，画受力图。
A B
F
F
x
0, FAx 0
0,
l
y
M1 MA
FAy
FAy qdx 0,
0
FAy ql
M（F） 0,
A F Ax B
FAy
F Ax
2、建立平衡方程
a
DBAຫໍສະໝຸດ WFB Fx 0 C Fy 0 W M O ( F ) 0
问题：取矩方 程中的取矩点
M A 0, FB a cos 450 2aW 0 FB 2 2W
Fx 0, FB cos 450 FAx 0
M O M i ri Fi
i 1 i 1
平面任意力系平衡的条件：
Fx 0 FR 0 Fy 0
MO 0 M O ( F ) 0
静力学
§3 平面任意力系平衡条件
例：结构如图，已知W，a，求杆A、B处的约束力。
A a B a C 解：1、画受力图
i 1 A i l
n
1 2 M 1 xqdx 0, M 1 ql 2 0
•§4 刚体系的平衡、静定与静不定
静力学
力的平移定理
§1 力的平移
F
F
B
A

A
B
F’
B
MB rBA A
B
F’
F
A
力的平 移定理

F”
{F}A {F ' , M B }B , F ' F , M B rBA F
静力学
Fn
C
F1
§2 平面任意力系向一点简化
Fn'
一、平面任意力系向一点简化