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工程力学第四章 平面任意力系

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工程力学第4章

工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系

第四章：力系的平衡条件与平衡方程

第四章：力系的平衡条件与平衡方程

未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
（未知量不能全部由平衡方程求解）
物体系的平衡·静定和超静定问题
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
∑ M B = 0 −8FAy + 5*8 +10*6 +10* 4 +10* 2 = 0
得 FAy = 20kN ∑ Fiy = 0 FAy + FBy − 40 = 0
得 FBy = 20kN
求各杆内力
取节点A
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
Fiy Fix
= =
0 0
→ →
FAD FAC
取节点C
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
解得 P3max=350kN
22mm 22mm
所以，平衡载重P3取值范围为：
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
∑ M A = 0 4P3 − 2P2 −14P1 + 4FB = 0
解得 FB=870kN
∑ Fy = 0 FA + FB − P1 − P2 − P3 = 0
∑M =0
FA'
⋅r
sinθ
− M2
=
0
解得 M 2 = 8kN ⋅m
FB = FA = 8kN
例
已知：OA=R，AB=
l,
r F
,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡；
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，滑块给导 轨的侧压力.

工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系

工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系

其中平面汇交力系的合力为
F1 F2 F n F1 F2 Fn Fi FR
平面力偶系的合成结果为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
MO 0
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
平衡
Fxi 0 即：
Fyi 0
MO (F i ) 0
平面任意力系的平衡方程
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中 所有各 力 在其作用面内两个任选的坐标轴上投 影的代数和分别 等于零 ，所有各力对 任一点 之矩的代数和等于零。
(1) F'R＝0，MO≠0 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简 化中心的主矩。
F5
MO MO (F )
A
F1 F4
F6 B F3
F2
C
D
四个力是否平衡？
此时,主矩与简化中心的位置无关。
(2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; 平面任意力系简化为一个合力的情形 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系 简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0
FAx qb 0
A
a
P
q
b
P
MA
Fy 0
FAy P 0
MA (F ) 0 1 2 M A Pa qb 0 2

工程力学重点总结

工程力学重点总结

P2 刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。

力的三要素：大小、方向、作用点平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。

二、静力学公理1力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。

2二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。

3加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。

（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。

（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

4作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。

5 刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。

三、约束和约束反力P7 约束：1柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体；2光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力；3光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定；4链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。

合肥工业大学工程力学习题册答案

合肥工业大学工程力学习题册答案

FB
FB’
B B
C
FD D
Q
FF
D FD’ E
RC
RE
A
FA
C
F’C
B FB
理论力学习题册解答
1
二、平面汇交力系
2 – 1 五个力作用于一点，如图所示图中方格的边长
为 1cm，求力系的合力。 [解] 由解析法有
RX X
1000 cos1 500 cos 2 450 750 cos3 800 cos 4
解得： X A = 2.4KN; YA = 1.2KN; TBC = 848N;
3 – 6 均质球重为 P，半径为 r，放在墙与杆 CB 之间，杆长为 ，其与墙的夹角为α ，
B 端用水平绳 BA 拉住，不计杆重，求绳索的拉力，并求α 为何值时绳的拉力为最小？
[解]
以球为研究对象，
∑Y = 0, N sinα − P = 0 ⇒
F =200N。试将平面力系向 O 点简化，并求力系合力的大小及其与原点 O 的距离 d。
[解]
y
∑ RX = X = X1 + X 2 + X 3
= − 2 ×150 − 1 × 200 − 2 × 300 = −437.6N
2
10
5
1
∑ RY = Y = Y1 + Y2 + Y3
= − 2 ×150 − 3 × 200 + 1 × 300
C 60 NC
∑X =0: XA − XB =0 ∑Y = 0 : YA − YB = 0 ∑ M A = 0 : M A − 40 − YB × 3 = 0
解得：
MA 40KNm
XA A YA

工程力学C-第4章 平面任意力系

工程力学C-第4章 平面任意力系

l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。

工程力学第4章 力系的平衡


2
即空间一般力系平衡的解析条件是力系中所有各力 在任一轴上投影的代数和为零，同时力系中各力对任一 轴力矩的代数和为零。式（4.2）称为空间一般力系的平 衡方程（equationsofequilibrium ofthreedimensionalforcesystem inspace）。 应当指出，由空间一般力系平衡的解析条件可知， 在实际应用平衡方程时，所选各投影轴不必一定正交， 且所选各力矩轴也不必一定与投影轴重合。此外，还可 用力矩方程取代投影方程，但独立平衡方程总数仍然是 6个。
30
4.3.1 有主次之分物体系统的平衡 有主次之分的物体系统，其荷载传递规律是：作用 在主要部分上的荷载，不传递给相应的次要部分，也不 传递给与它无关的其他主要部分；而作用在次要部分上 的荷载，一定要传递给与它相关的主要部分。
31
32
据此，先分析次要部分BD，其受力图如图4.11（b） 所示。建立图示参考系Oxy，列平衡方程并求解。由于 本题只要求出D处的约束反力，而不必要求出B处的约 束反力，故
12
13
建立参考系 Bxy，列平衡方程，求未知力。
14
15
例4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 图4.5所示为一管道支架，其上搁有管道，设 每一支架所承受的管重G1=12kN，G2=7kN，且架重不计。 求支座A和C处的约束反力，尺寸如图所示。
16
17
解 取刚架AB为研究对象，其上所受力有：已知的 集中力F、集度为q的均布荷载，集中力偶；未知的3个 约束反力FAx，FAy，MA。刚架AB的受力图如图4.6（b） 所示。各力组成一平面一般力系。建立图示Oxy坐标系， 列平衡方程求解
9
2.平面一般力系平衡方程的其他形式 （1）二矩式平衡方程

工程力学-平面任意力系习题

平面任意力系习题
一、选择题
1、在刚体同一平面内A,B,C 三点上分别作用1F ,2F ,3F 三个力，并构成封闭三角形，如图所示，则此力系的简化结果是（
）。

A、力系平衡；
B 、力系可以简化为合力；
C 、力系可以简化为合力偶；
D 、力系简化为一个合力和一个合力偶。

1
F 2
F 3F 2、某一平面平行力系各力的大小、方向和作用线的位置如图，则此力系的简化结果与简化中心的位置（）
A 、无关；B、有关；C、无法确定。

3、若某一平面任意力系对其作用面内某一点之矩的代数和等于零，即
()∑=0F M A 时，则该力系的简化结果为（
）。

A、一定平衡；
B、一个合力偶；
C、不可能简化为合力偶；
D、一个合力和一个合力偶。

二、填空题
1、平面任意力系三矩式平衡方程限制条件（
）。

2、平面任意力系二矩式平衡方程限制条件（
）。

3、平面平行力系有(
)个独立的平衡方程；面任意力系有()个独立的平衡方
程。

三、计算题
1、已知：F、M、q、L，各杆自重不计，试求A、C处约束反力。

2、求图示组合梁支座的约束反力。

工程力学课后习题答案

第一章 静力学基本概念与物体的受力分析下列习题中，未画出重力的各物体的自重不计，所有接触面均为光滑接触。

1.1 试画出下列各物体（不包括销钉与支座）的受力图。

解：如图(g)(j)P (a)(e)(f)WWF F A BF DF BF AF ATF BA画出下列各物体系统中各物体（不包括销钉与支座）以及物体系统整体受力图。

解：如图F BB(b)(c)C(d)CF D(e)AFD(f)FD(g)(h)EOBO E F O(i)(j) BYFB XBFXE(k)铰链支架由两根杆AB、CD和滑轮、绳索等组成，如题图所示。

在定滑轮上吊有重为W的物体H。

试分别画出定滑轮、杆CD、杆AB和整个支架的受力图。

解：如图'D题图示齿轮传动系统，O1为主动轮，旋转方向如图所示。

试分别画出两齿轮的受力图。

解：1o xF2o xF2o yF o yFFF'结构如题图所示，试画出各个部分的受力图。

解：第二章 汇交力系在刚体的A 点作用有四个平面汇交力。

其中F 1＝2kN ，F 2=3kN ，F 3=lkN ， F 4=，方向如题图所示。

用解析法求该力系的合成结果。

解 00001423cos30cos45cos60cos45 1.29Rx F X F F F F KN ==+--=∑ 00001423sin30cos45sin60cos45 2.54Ry F Y F F F F KN ==-+-=∑2.85R F KN ==0(,)tan63.07Ry R RxF F X arc F ∠==题图所示固定环受三条绳的作用，已知F 1＝1kN ，F 2=2kN ，F 3=。

求该力系的合成结果。

解：图示可简化为如右图所示023cos60 2.75Rx F X F F KN ==+=∑ 013sin600.3Ry F Y F F KN ==-=-∑2.77R F KN ==0(,)tan6.2Ry R RxF F X arc F ∠==-力系如题图所示。

第4章平面任意力系

F
F
c
c
m
F’
(a)
图 4-5
(b)
工程力学电子教案
§4-2
平面任意力系向一点简化
设在某一刚体上作用着平面任意力系F1、 F2、…Fn，如图4-6所示。显然无法象平面汇 交力系那样，用力的平行四边形法则来合成 它。
F1
F2
Fn
图 4-6
工程力学电子教案
这时可 应用力线平移定理，将力系中的各个力逐个向刚 体上的某一点o（称为简化中心）平移（图4-7b)，再将所得的 平面汇交力系和平面力偶系分别合成（图4-7 c) 。
A
解：取坐标系如图 所示。在 x 处取一 微段，其集度为
xc
R
x q q0 L
微段上的荷载为：
q0
x L
B
x
dF qdx q0
x dx L
工程力学电子教案
y
以A为简化中心，有
xc
x
R
Rx Fx 0 Ry Fy lim (
x 0
q0
q0 x x) L
式中x 随 m2、m3 而变，其他各量都是不变的。
工程力学电子教案
欲使起重机不翻倒
应有 0<x<a
m (1) 空载时， 2 0 ，w=0， x>0，由前式得
m (a+b)-m c>0
1 3
即得
m1 (a b) 50(3 1.5) m3 37.5t c 6
工程力学电子教案
（2） 满载时， m2 =25t,，x<a，由前式得
定理 ：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动到刚体 上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。矩的转向与原 力 F 对平移点的转向趋势一致。
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工程力学第四章平面任意力系第四章平面任意力系§4-1 平面任意力系概念及工程实例一、工程实例平面任意力系实例二、平面任意力系的概念各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系。

==力线平移定理: 作用于刚体上任一点的力可平移到刚体上任一点而不改变对刚体的作用效应，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力对新的作用点之矩矢。

一、力的平移定理—附加力偶§4-2 平面任意力系的合成与平衡力线平移的几个性质：1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶矩的大小与正负一般要随指定O 点的位置的不同而不同。

2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。

3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。

==应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。

从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。

这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。

点O 称为简化中心。

二、平面任意力系向一点简化共点力系F1 、F2 、F3 的合成结果为一作用点在点O 的力FR 。

这个力矢FR 称为原平面任意力系的主矢。

附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用MO 代表，称为原平面任意力系对简化中心O 的主矩。

结论：平面任意力系向平面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。

推广：平面任意力系对简化中心O 的简化结果主矩：主矢：讨论:主矢大小:方向:说明1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。

2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。

因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。

主矩：作为平面一般力系简化结果的一个应用,我们来分析另一种常见约束------固定端约束的反力。

固定端约束反力有三个分量：两个正交分力，一个反力偶。

1、FR =0，而MO≠0，原力系合成为合力偶。

这时力系主矩MO不随简化中心位置而变。

2、MO =0，而FR ≠0，原力系合成为一个合力。

作用于点O 的力FR 就是原力系的合力,合力用FR表示。

3、FR ≠0，MO ≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力。

这时力系也可合成为一个合力。

说明如下：二、平面任意力系简化的最后结果综上所述，可见：4、FR =0，而MO=0，原力系平衡。

⑴平面任意力系若不平衡，则当主矢不为零时，则该力系可以合成为一个力。

⑵平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。

例4-1 水平梁AB受三角形分布载荷的作用分布载荷的最大值为q（N/m）,梁长l。

试求合力的大小及其作用线位置。

解：1、将力系向A点简化2、点A至合力作用线的距离例题4-2 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。

主矢的大小主矢的方向②求主矩：（2）求合成结果：合成为一个合力FR，FR的大小、方向与FR’相同。

其作用线与O点的垂直距离为：平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。

平面任意力系的平衡方程：平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。

1、平面任意力系的平衡方程§4–3 平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡方程的三种形式：刚体平衡条件二矩式A、B连线与x轴不垂直三矩式A、B、C三点不共线一矩式∑Fx =0∑Fy=0∑MA=0∑Fx =0∑MA=0∑MB=0∑MA=0∑M B=0∑MC=02、平面平行力系的平衡方程平面平行力系的方程为两个，有两种形式：各力不得与投影轴垂直。

解：（1）取伸臂AB为研究对象；（2）受力分析如图：例题4-3 悬臂式简易起重机可简化为图示结构。

AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。

设已知电动葫芦和重物共重P=10kN，梁自重W=5kN,θ=30o。

求钢索BC 和铰链A的约束力，以及钢索受力的最大值。

(3) 列平衡方程：(4) 联立求解，可得：当x=l时，钢索受力FB最大，为拉力。

解：（1）取AB研究对象，受力分析如图。

（2）列平衡方程：例4-4 求图示悬臂梁固定端A处的约束力。

其中：q为均布载荷的载荷集度，集中力F=ql，集中力偶M=ql2 。

负号表示实际方向和假设的方向相反。

(3) 联立求解：解：（1）取梁为研究对象。

（2）受力分析如图。

例4-5 水平外伸梁如图所示。

若均布载荷q=20kN/m，F=20kN，力偶矩M=20kN·m ，a=0.8m，求A、B点的约束反力。

(3) 列平衡方程：(4) 联立求解：例4-6 刚架ABCD的A处为固定铰支座，D处为辊轴支座。

此刚架上有水平载荷和垂直载荷。

已知F1=10 kN，F2=20 kN，a=3 m。

求支座A、D的约束反力。

解：（1）取刚架整体为研究对象，画出受力图。

(3) 列平衡方程：(4) 求解：塔式起重机的结构简图如图所示。

起重机自重为W，载重为W1，平衡物重W2。

要使起重机在空载、满载且载重在最远处时均不翻到，试求平衡物重。

解：（1）取塔式起重机整体为研究对象,受力分析如图。

（整机在平面平行力系作用下处于平衡。

）例4-7 翻到问题(2) 列平衡方程：1) 空载时（W1 =0）：不翻到的条件是：可得空载时平衡物重量W2的条件：2) 满载且载重位于最远端时,不翻到的条件是：综合考虑，平衡物重量W2应满载的条件：可得满载时平衡物重量W2的条件：解：（1）取汽车及起重机为研究对象,受力分析如图。

例4-8 翻到问题一种车载式起重机，车重Q = 26kN，起重机伸臂重G= 4.5kN，起重机的旋转部分与固定部分共重W = 31kN。

尺寸如图所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。

（3）联立求解：（2）列平衡方程：（4）不翻条件：FA≥0故最大起重重量为Pmax= 7.5 kN一、基本概念：①刚体系——由若干个物体通过约束组成的系统；②外力——物体系以外任何物体作用于该系统的力；③内力——物体系内部各物体间相互作用的力；§4–4 物体系统的平衡•静定与静不定的概念二、刚体系的平衡1、刚体系平衡问题的基本步骤：选择研究对象；取分离体画受力图；列平衡方程；求解。

2、物体系平衡方程的数目：由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程；如有汇交力系和平行力系，平衡方程数目减少。

解：1、取系统整体为研究对象，画出受力图。

例4.9 物块重W=12 kN，由3根杆AB、BC和CE组成的构架及滑轮E支承。

已知：AD=DB=2m，CD=DE=1.5m，不计杆及滑轮的重量，设滑轮半径为r，求支座A、B的反力以及BC杆的内力。

列平衡方程：解得：列平衡方程：2、以ADB杆为研究对象，画出受力图。

解得：负值说明二力杆BC杆受压。

解：1、取CE 段为研究对象，受力分析如图。

例题4-10 组合梁AC 和CE 用铰链C 相连，A端为固定端，E 端为活动铰链支座。

受力如图所示。

已知：l =8 m，P=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5kN·m，试求固端A、铰链C 和支座E 的反力。

列平衡方程：2、取AC 段为研究对象，受力分析如图。

联立求解：可得FE=2.5 kN （向上）FC=2.5 kN （向上）列平衡方程：联立求解：可得MA= 30 kN·mFA= -12.5 kN解：1、以整体为研究对象，画出受力图例4-11 三铰拱结构如图所示，它的左半部受到竖向均布荷载q的作用。

已知q=10kN/m，a=4m。

求支座A、B的约束反力。

列平衡方程:解得：2、以左半部分为研究对象，画出受力图。

列平衡方程:静定与静不定概念：1、静定问题——当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。

2、静不定问题——当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。

(也称为超静定问题)§4–5 静定与静不定问题的概念静定与静不定的判断刚体系统的独立平衡方程数目的计算：如果刚体系由n1个受平面任意力系作用的刚体，n2个受平面汇交力系或平行力系作用的刚体以及n3个受平面力偶系作用的刚体组成，那么系统可能有的独立平衡方程数目m在一般情况下为：假设系统中未知量的总数k，则：例4-13两个相互接触的物体存在相对运动的趋势或发生相对运动时，接触面之间由于并非绝对光滑，而在接触面的公切线上存在阻碍两物体相对运动的力，这种力称为摩擦力。

摩擦力的物理本质很复杂，与材料性质、表面情况、相对运动性态以及环境等有关——摩擦学。

摩擦有利的一面：机床的卡盘靠摩擦带动夹紧工件，皮带靠摩擦传递运动，制动器靠摩擦刹车，等等；摩擦不利的一面：使机件磨损甚至损坏等等。

§4–5 考虑摩擦时的平衡问题摩擦摩擦摩擦力的分类：P如果施以水平力可能出现什么情况？也一定会出现约束反力摩擦力一、滑动摩擦力两个相互接触的物体，当它们之间产生了相对滑动或者有相对滑动的趋势时，在接触面之间产生了彼此阻碍运动的力，这种阻力就称为滑动摩擦力。

现有一物块承受重力，在铅垂方向必有约束反力与之平衡。

水平力作用下可能的现象有：—静滑动摩擦力（静摩擦力）。

—临界平衡状态（最大静摩擦力）。

—动滑动摩擦力（动摩擦力）。

静滑动摩擦力的特点：1、方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；可见临界摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为：动滑动摩擦的特点：1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；一般情况下，动摩擦力小于最大静摩擦Fmax，并可以看成是一个常数。

对多数材料，通常情况下,实际中常取。

1、摩擦角物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角。

二、摩擦角和自锁现象摩擦角全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数．2 自锁现象3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同。

几个新特点：2 严格区分物体处于临界、非临界状态；1 画受力图时，必须考虑摩擦力；。