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第四章平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程分解上课讲义

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平面一般力系的平衡方程及其应用

平面一般力系的平衡方程及其应用

MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。

平面任意力系平衡方程讲解课件

平面任意力系平衡方程讲解课件

01
02
03
04
仅适用于小变形的情况
对于大变形或复杂的结构，需 要使用更高级的力学理论
仅适用于线性弹性材料
对于非线性弹性材料或塑性材 料，需要使用更高级的材料模
型
04
平面任意力系平衡方 程的优化与改进
优化求解算法
线性化求解
将平衡方程转化为线性方程，降 低求解难度，提高求解速度。
迭代法优化
采用更高效的迭代算法，如牛顿法 、拟牛顿法等，加快收敛速度。
03
平面任意力系平衡方 程的适用范围
适用场景与条件
适用于平面任意力系 的平衡问题
力的作用点可以不在 物体的重心上
物体处于平衡状态， 即没有加速度或速度
不适用场景与原因
不适用于空间力系的平衡问题
不适用于具有加速度或速度的 物体
力的作用点不在物体的重心上 时，需要考虑科氏力等因素
限制因素与局限性
平衡状态
物体在受到一组的力作用后，如果处 于静止或匀速直线运动状态，则称该 物体处于平衡状态。
平衡方程
对于平面任意力系，其平衡方程为合 力为零，即合力在x轴和y轴上的投影 分别为零。
02
平面任意力系的平衡 方程
平衡方程的推导
1 2 3
静力平衡
在无外力作用下，物体处于静止状态，此时物体 内部各部分之间无相对运动趋势，处于平衡状态 。
并行计算
利用多核CPU或分布式计算资源， 实现并行计算，大幅缩短求解时间 。
提高计算精度
精细化建模
采用更高精度的物理模型，提高 方程的准确性和精度。
高阶有限元方法
采用高阶有限元方法，降低误差 ，提高计算精度。
自适应步长控制
根据误差大小自动调整步长，确 保计算的稳定性和精度。

平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
Fy 0
FW 2 G FW1 FRA FRB 0
解得： FRB 870kN
FRA 210kN
17
3、平面力偶系旳平衡方程
因为平面力偶系合成旳成果为一合力偶，M=Σm，而力偶
在任一轴上投影旳代数和均为零。即平面一般力系旳平衡方
程旳基本形式旳两个投影方程均变成恒等式，故平面力偶系
旳平衡方程为：
G 10 FP 4 FRB 20sin 600 0
mB (F) 0
FRAy 20 FP 4 G 10 0
Fx 0 FRAx FRB cos 600 FP 0
解得：FRB 62.4kN
FRAy 46kN
FRAx
11.2kN 9
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面 一般力系旳特殊力系，它们旳平衡方程皆可由平面一般力系 旳平衡方程导出。
1.平衡方程旳基本形式
FR' ( Fx )2 ( Fy )2
M o mo (F )
Fx 0 Fy 0
mo
(
F
)
0
2
由此可得结论，平面一般力系平衡旳解析条件是：全部各 力在两个任选旳坐标轴上旳投影旳代数和都等于零；力系 中全部各力对任一点旳力矩旳代数和等于零。
需要指出旳是，上述平衡方程是相互独立旳，用来求 解平面一般力系旳平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了防止求解联立方程，应使所选旳坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力旳交点（可在 研究对象之外）上。另外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一种未知量，以便简化计算。
在研究对象上画出它受到旳全部主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力旳指向未定时，能够先假设其指 向。假如计算成果为正，则表达假设指向正确；假如计算成果为 负，则表达实际旳指向与假设旳相反。

建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.

建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.

平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.

静力04章-平面一般力系.ppt

静力04章-平面一般力系.ppt

MA为限制转动。
11
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主矢R R'F O
主矩M O mO ( Fi )Fi xi
合力作用线的位置为：
xR
MO R'
Fi xi F
平衡的充要条件为
R' 0
Mo 0
1
§4-1 平面一般力系的概念
平面一般力系：
各力和各平面力偶都作用在同一平面内但是既 汇交也不平行的力系。
2
§4-2 力线平移定理
力线平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
[证] 力 F
Bd
A
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
26
[习题4－19] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
( mA 0 :
RB 3 Q 2 0
RB 20kN )
23
BC： R'B RB 20kN
X 0:
XC 0
Y 0 :
YC R'B 0
R’B m
mc
C
B
XC
YC 2m
YC 20kN

静力学第4章平面一般力系

静力学第4章平面一般力系

第四章 平面一般力系
【本章重点内容】
力线平移定理; 平面一般力系向作用面内一点简化; 平面一般力系简化结果分析; 平面一般力系的平衡条件与平衡方程.
第四章 平面一般力系
§4-1 工程中的平面一般力系问题
§4-1 工程中的平面一般力系问题
平面一般力系 作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内，既
力线向一点平移时所得 附加力偶等于原力对平 移点之矩.
力偶M′与M 平衡.
第四章 平面一般力系
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
一、平面一般力系向作用面内一点简化
rr
F1′ = F1
rr
F2′ r
...=
F2 r
Fn′ = Fn
r M1 = MO (F1)
主矩MO
∑ MO =
MO
r (F
)
=
−1m
⋅
F1
−
3m
⋅
F2
+
2m
⋅
sin
30o
⋅
F3
+
M
= −1m ×1kN - 3m ×1kN + 2m × 1 × 2kN + 4kN ⋅ m 2
= 2kN ⋅ m
§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
合力 方向 主矩
FR′ = 3.39kN α = −36.2°
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
主矩的计算
主矩的计算方法与力矩和平面力偶系的计算方法相同. 主矩的计算
平面一般力系向一点简化，得到力对简化点的力矩和.
主矩大小
∑r
MO = MO(Fi )

平面一般力系的平衡和应用资料讲解

已知条件，又包含待求的未知量。
静 节 ②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。
定
③建立平衡方程式，求解未知量：
(a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平
和 行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。 物 (b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
P1 P2
P1 P2
例：
已知： P,q,a,Mpa;
求： 支座A、B处的约束力.
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 F Ax 0 解得 FAm 0
MA 0 F B 4 a M P 2 a q 2 a a 0
y
解得
FB
3 4
P
1 qa 2
Fy 0 FAyq2aPFB0
取BC为研究对象画受力图. mC(Fi) = 0
YC XC C
P
1m
和 超 静 定
物 体 系 的
平
-1×20 + 2×19.5 + 3 XB = 0 XB = - 6.33 kN
整体分析：
Xi = 0
XB
4×3+XA+XB = 0
XA = - 5.67 kN
B
YB
二、平面平行力系的平衡方程
Fx 0
衡第
三
静节
定
和 超 静 定
物 体 系 的
平
组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知 P = 30kN, Q = 20kN, = 45o.求支座A和C的约束反力.
P
A
B
Q
C
2m
2m
2m

工程力学第四章平面一般力系

详细描述
平面一般力系简化的目的是将复杂的力系简化为更简单的形式，以便分析刚体的平衡状 态。通过力的平移定理，我们可以将平面一般力系简化为一个合力和一个力矩，或者一 组力和力矩的代数和。这个合力或力和力矩的代数和代表了原力系对刚体的作用效果。
简化后的力系更易于理解和分析，有助于解决工程实际问题。
Part
平衡条件的推导
根据力的平移定理，将平面力系中的所有力平移到同一点， 然后根据合力矩为零和合力为零的条件，推导出平面力系的 平衡条件。
Part
04
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
01
02
03
力的合成与分解
根据力的平行四边形法则， 将力进行合成或分解为多 个分力。
力的投影
将力投影到坐标轴上，得 到力在x轴和y轴上的分量。
STEP 01
分析受力情况
解决静力学问题
利用平衡方程，求解平面 内物体的受力情况，解决 静力学问题。
STEP 03
验证结构稳定性
利用平衡方程，验证结构 的稳定性，确保结构在各 种工况下的安全可靠。
通过平衡方程，分析物体 在平面内的受力情况，判 断物体的运动状态。
Part
03
平面力系的平衡条件
平衡条件的概念
平衡条件是一个物理概念，描述的是物 体在力系作用下保持静止的状态，而平 衡方程是一个数学表达式，用于描述这
一状态。
平衡条件是定性描述，而平衡方程则是 定量描述。平衡方程通过数学符号和运 算，将平衡条件的定性描述转化为可求
解的定量关系。
平衡条件是解决平衡问题的前提，而平 衡方程则是解决问题的工具。通过建立 平衡方程，可以求解未知量，得出物体
平衡条件与平衡方程的联系

工程力学课件 第四章 平面一般力系


第4章 平面一般力系
14
3. 力系平衡
0, MO 0 FR
FR′
O
MO
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系 作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之 矩的代数和。
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
15
证明： 如下图所示，显然有
M O ( FR ) FR d M O , M O M O ( F ), M O ( FR ) M O ( F )
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
1
第4章 平面一般力系
前言 §4-1 力线平移定理 §4-2 平面一般力系向一点简化 §4-3 分布荷载 §4-4 平面一般力系的平衡条件
§4-5 平面平行力系的平衡条件 §4-6 物体系统的平衡问题 §4-7 滑动摩擦
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
2
前言
平面一般力系是指位于同一平面内的诸力其作 用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。 工程计算中的很多实际问题都可以简化为平 面一般力系来处理。
FAx A D
B x
arctan
FA y FA x
E F
FAy
P
思考题 4-4 如果例题4-3中的荷载F可以沿AB梁移动，问： 荷载F在什么位置时杆BC所受的拉力（FT）最大？ 其值为多少？
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
33
思考题 4-5 (1) 由右图所示的受力图，试按
M A (F ) 0 M B (F ) 0 F
22
(2) 非均布荷载：荷载集度不是常数。 如坝体所受的水压力等。
A qy y
B C
课程：工程力学

理论力学课件 平面力系平衡方程及应用

G3(6 − 2 )− G1 × 2 − G2 (12 + 2 )+ FB × 4 = 0
∑ Fy = 0
− G3 − G1 − G2 + FA + FB = 0 FB = 870 kN FA = 210 kN
3.2 平面力系平衡方程及应用
平面任意力系 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ MO = 0
∑ M A = 0 G3 (6 − 2 ) − G1 × 2 = 0
G 3 = 350 kN 则有 75 kN＜G3＜350 kN
3.2 平面力系平衡方程及应用
G3
6m
G1 12 m
A
B
FA2 m 2 mFB
2. 取G3=180 kN，求满载时轨道 A ， B给起重机轮子的约束力。
G2
∑MA =0
∑ ∑ 平面平行力系
Fy = 0
MO = 0
∑ ∑ 平面力系 平面汇交力系
Fx = 0
Fy = 0
平面力偶系
∑M =0
证明：
F1
F
A1
F2
A A2
A
=
A3
A3
F3
F3
3.2 平面力系平衡方程及应用
三力平衡汇交定理用来确定未知力方向使用，但这样做通 常不方便。
3.2 平面力系平衡方程及应用
思考
三铰拱受力是否正确？ 错误
3.2 平面力系平衡方程及应用
平面汇交力系平衡几何法
物体受汇交力系作用，力系若平衡，则力多边形封 闭。
FC
FA
练习：
FB
2、研究对象： 整体
− FAl + m = 0
FA
=
FB
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F(Rh) h(2Rh)
FP
h(2Rh) Rh
当FP h(2Rh)时球方能离开地面 Rh
2、平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
平面平行力系平衡方程的一般形式：
Fy 0
mo
(F
)
0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
各力在x轴上的投影恒等于零，即
Fx 0
1.平面汇交力系的平衡方程
1）平面汇交力系平衡的必要与充分 的解析条件是：各力在两个坐标轴 上投影的代数和分别等于零
Fx 0
Fy
0
2）平面汇交力系平衡的必要与充分 的几何条件是：力多边形自行封闭
利用几何法求解平面汇交力系的平衡 问题时，画出自行封闭的力多边形 ， 然后按比例尺从力多边形中直接量出 未知力的大小即可。
在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力的指向未定时，可以先假设其指 向。如果计算结果为正，则表示假设指向正确；如果计算结果为 负，则表示实际的指向与假设的相反。
（3）列平衡方程 选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心。选取哪种形式的平 衡方程取决于计算的方便，尽量避免解联立方程，应用投影方程 时，投影轴尽可能选取与较多的未知力的作用线垂直；应用力矩 方程时，矩心往往取在两个未知力的交点。计算力矩时，要善于 运用合力矩定理，以便使计算简单。 （4）求解：解平衡方程，求解未知量。 （5）校核
限制条件： FRA0
解得：
FW21F 0W8 12G7k5N
当空载时，此时FW1=0,为使起重机不绕A点翻倒，则必须满足
平衡方程ΣmA（F）=0,在临界情况下，FRB=0，限制条件
mB(F)0
F RA 2 y 0 F P 4 G 1 0 0
Fx 0 F RA F xRc Bo 60s 0 F P0
解得：FRB62.4kNFRAy46kN FRAx11.2kN
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面 一般力系的特殊力系，它们的平衡方程皆可由平面一般力系 的平衡方程导出。
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
解：研究AB梁
由Fx0,F RA x0
mA(F)0;
解得：
FRBaqaa2mP2a0
Fy 0 F RA y F R Bq aP0
F R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N F R A P y q F a R B 2 2 0 0 0 .8 1 2 2 ( k 4 )N
[例]如图所示拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为滚轴支 座，其支承面与水平面成倾角300。桁架自重G=100KN,风压力 的合力Q=20KN,其方向水平向左，试求A、B 支座反力。
解：〈1〉、选桁架为研究对象，画出其受力图
〈2〉、列平衡方程选A、B两点为矩心，用二矩式
mA(F)0
G 1 F 0 P 4 F R 2 B s 0 6 i0 n 0 0
FRBx5kN FRA28kN
FRBy38kN
2.平衡方程的二矩式
Fx 0
m A(F )
0
（A与B两点的连线不垂直于x轴）
m B (F
)
0
3.平衡方程的三矩式
m A(F ) mB(F )
0
0
mC (F )
0
（A、B、C三点不共线）
应用平面一般力系的平衡方程求解平衡问题的解题步骤如下： （1）确定研究对象 根据题意分析已知量和未知量，未知量要用已知量来表示，所 以研究对象上一定要有已知量，选取适当的研究对象。研究对象 选的是否合适，关系到解题的繁简。 （2）画受力图
[例]如图所示一钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平
推力P=5KN的作用。刚架顶上有均布荷载，荷载集度为q=22KN/m，
刚架自重不计，尺寸如图所示，试求A、B处的支座反力。
解：研究钢架，由：
Fx 0 FPFRBx0
Fy 0
FRA FRByq30
mB(F)0
FP3FRA 3q32 30
解得：
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h
解：1）研究块,受力如图，
由力三角形：
F
FN cos
co s R 2R (Rh)2R 1 h(2Rh)
解得：
FN
FR h(2Rh)
2）再研究球，受力如图：
作力三角形
PFN' sin
又sinRh
R
FN' FN
PF NsinhF (2R R h)RR h P
mA(F) 0
mB (F) 0
（A、B两点连线不与诸力
所以只有两个独立方程，只能求解 平行）
两个独立的未知量。
[例] 塔式起重机如图所示， 机架重G=700KN，作用线通 过塔架中心。最大起重量 FW1=200KN，最大悬臂长为 12m，轨道A、B的间距为4m， 平衡块重FW2，到机身中心 线距离为6m。试问： 〈1〉、保证起重机在满载 和空载都不致翻倒，求平 衡块的重量FW2应为多少？ 〈2〉、当平衡块重 FW2=180KN时，求满载时轨 道A、B给起重机轮子的反 力。
第四章平面一般力系的平衡方程 及其应用简化及平衡方程分解
由此可得结论，平面一般力系平衡的解析条件是：所有各 力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和都等于零；力系 中所有各力对任一点的力矩的代数和等于零。
需要指出的是，上述平衡方程是相互独立的，用来求 解平面一般力系的平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了避免求解联立方程，应使所选的坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力的交点（可在 研究对象之外）上。此外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一个未知量，以便简化计算。
解：1）画起重机受力图， 如图这些力组成平面平行 力系
〈2〉、求起重机在满载 和空载时都不致翻倒的平 衡块重FW2的大小
当满载时，为使起重机不 绕B点翻倒，这些力必须满 足平衡方程ΣMB（F）=0 在临界情况下，FRA=0，限 制条件FRA≥0,才能保证起 重 G 2 F W 1 ( 1 2 ) 2 F R ( 2 A 2 ) 0