第三节 全微分及其应用
分布图示
★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件
★ 可微的充分条件
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 二元函数的线性化近似问题 ★ 例5 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系 ★ 全微分在近似计算中的应用
★ 例6 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例7
★ 例8
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题9—3 ★ 返回
内容要点
一、全增量与偏增量
二、全微分的定义
三、函数可微的必要条件与充分条件
定理1 (必要条件) 如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分, 则该函数在点),(y x 的偏导数
y
z
x z ∂∂∂∂,
必存在, 且),(y x f z =在点),(y x 处的全微分 y y
z x x
z dz ∆∂∂+∆∂∂=. (3.4)
定理 2 (充分条件) 如果函数),(y x f z =的偏导数y
z
x z ∂∂∂∂,
在点),(y x 处连续, 则函数在该点处可微分.
四、利用全微分进行近似计算
定义 如果函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微，那么函数
()()()()()()00000000,,,,y y y x f x x y x f y x f y x L y x -+-+=
就称为函数()y x f z ,=在点()00,y x 处的线性化.近似式
()y x L y x f ,),(≈
称为函数()y x f z ,=在点()00,y x 处的标准线性近似.
例题选讲
例1(E01) 求函数62354y x xy z +=的全微分. 解 因为
,3012,
1045
22
6
3y x xy
y
z xy y x
z +=∂∂+=∂∂ .)3012()104(5
2
2
63dy y x xy
dx xy y dz +++=
例2 (E02) 计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分. 解
,
xy
ye
x
z =∂∂,xy
xe
y
z =∂∂
,
2
)
1,2(e x
z =∂∂,22
)
1,2(e y
z =∂∂
所求全微分
.22
2
dy e dx e dz +=
例3 求函数 yz
e
y x u ++=2
sin 的全微分.
解 由
,1=∂∂x u ,2
cos
21yz
ze
y y
u +=∂∂
,yz
ye
z
u =∂∂
故所求全微分
.)2cos
21(
dz ye
dy ze
y dx du yz
yz
+++=
例4 (E03) 求函数z
y
x u =的偏导数和全微分.
解
z
z
y
z
y z
x
x
y
x
y x
u ⋅=
⋅=∂∂-1
z
z
y
z
z y
x
y
x
y z x y
z x
y u ⋅⋅=
⋅⋅⋅=∂∂-ln ln 1
y
x y x
y y x x
z u z
y
z
y
z
z
ln ln ln ln ⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂
dz z
u dy y
u dx x
u du ∂∂+
∂∂+
∂∂=
.ln ln ln ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=ydz x y dy y x y z dx x y x
z z
z y
z
例5 (E04) 求函数()62
1,2
2
++
-=y xy x y x f 在点()2,3的线性化.
解 首先求f ，x f 和y f 在点()2,3的值：
()11622
12332,32
2=+⋅+
⋅-=f
()()
()()426212,32,32,322=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∂∂=y x y xy x x f x ()()
()()16212,32,32,322-=+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-∂∂=
y x y xy x y f y
于是f 在点()2,3的线性化为
()()()()()()00000000,,,,y y y x f x x y x f y x f y x L y x -+-+=
()()1423411+-=---+=y x y x .
例 6(E05) 计算02.2)04.1(的近似值.
解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x
,),(,1)2,1(1
-==y x yx
y x f f ,ln ),(x x y x f y
y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f
由二元函数全微分近似计算公式得
02.0004.021)
04.1(02
.2⨯+⨯+≈.08.1=
例7 (E06) 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.
解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V =
所以dz z
V dy y
V dx x
V dV ∂∂+
∂∂+
∂∂=
.xydz xzdy yzdx ++=
由于已知 ,2.0||≤∆x ,2.0||≤∆y ,2.0||≤∆z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx 再结合,40,60,75===z y x 得
dV V ≈∆2.060752.040752.04060⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,1980=
即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm
例8 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.422
T
l g π=
现测得单摆摆长l 与振动周期
T
分别为cm l 1.0100±=、
s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?
解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ∆与|,|T ∆则题设公式计算所产生的误差就是二元函数22
4T
l
g π=
的全增的绝对值.||g ∆由于||||T l ∆∆、都很小，
因此可用dg 近似的代替.g ∆这样就得到g 的误差为
g ∆dg ≈T l T
g l
g ∆∂∂+
∆∂∂=
T T
g l l
g δδ⋅∂∂+
⋅∂∂≤
,
21
4322⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=T l T l T δδπ
其中l δ与T δ为l 与T 的绝对误差.
把004.0,1.0,2,100====T l T l δδ代入上式，得g 的绝对误差约为
