03 第三节 全微分及其应用

第三节 全微分及其应用教学目的：理解全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

教学重点：全微分的计算教学难点：全微分形式的不变性； 教学时数：2 教学内容： 一、全微分1．全微分的定义设(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，如果(,)z f x y =在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可以表示成z A x B y o ∆=∆+∆+，其中,A B 与,x y ∆∆都无关，则称(,)z f x y =在点(,)x y 处可微，而全增量的线性主部A x B y ∆+∆称为函数(,)z f x y =在(,)x y 处的全微分，记作dz ，即dz Adx Bdy =+．说明： 如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 2．可微与连续关系命题：如果(,)z f x y =在点00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续．事实上这是因为, 如果(,)z f x y =在点00(,)x y 可微, 则 0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+, 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而000000(,)(0,0)lim(,)lim[(,)](,)x y f x x y y f x y z f x y ρ∆∆→→+∆+∆=+∆=.因此函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续。

3．可微与偏导数的关系定理：如果(,)z f x y =在点00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''都存在，并且全微分表达式中的,A B 为0000(,),(,)x y A f x y B f x y ''==证： 设函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 可微分. 于是,有()z A x B y o ρ∆=∆+∆+. 特别当0y ∆=时有0000 (,)(,)(||).f x x y f x y A x o x +∆-=∆+∆ 上式两边各除以x ∆, 再令0x ∆→而取极限, 就得 00000(,)(,)limx f x x y f x y A x∆→+∆-=∆,从而偏导数00(,)x f x y '存在, 且00(,)x A f x y '= 同理可证偏导数00(,)y f x y '存在, 且00(,)y B f x y '=. 所以000000(,)(,)(,)x y x y x y z z dzx y xy∂∂=∆+∆∂∂.说明： ⑴如果(,)z f x y =处处可微，则(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy ''=+ ⑵ 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如, 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0,0)处虽然有(0,0)0x f '=及(0,0)0y f '=, 但函数在(0,0)不可微分, 即[(0,0)(0,0)]x y z f x f y ''∆-∆+∆不是较ρ高阶的无穷小.这是因为当(,)x y ∆∆沿直线y x =趋于(0,0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x例1： 计算函数22z x y y =+的全微分. 解： 因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂, 所以22(2)dz xydx x y dy =++.例2： 计算函数xyz e =在点(2, 1)处的全微分. 解： 因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂, 212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 222dz e dx e dy =+. 例3： 计算函数yze y x u ++=2sin的全微分.解：因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂,所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(. 二、可微的充分条件定理 如果(,)z f x y =的两个偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点00(,)x y 连续，则必有(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微．三、全微分在近似计算中的应用当二元函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的两个偏导数(,),(,)x y f x y f x y ''连续, 并且||x ∆,||y ∆都较小时, 有近似等式(,)(,)x y z dz f x y x f x y y ''∆≈=∆+∆即 (,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+∆+∆≈+∆+∆ 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4： 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解： 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有 2V r h π=.已知20,100r h ==,0.05,1r h ∆=∆=-. 根据近似公式, 有 22r h V dV V r V h rh r r h ππ''∆≈=∆+∆=∆+∆22201000.0520(1)200πππ=⨯⨯⊗+⨯⨯-=-(cm 3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3. 例5： 计算 2.02(1.04)的近似值.解： 设函数(,)yf x y x =. 显然, 要计算的值就是函数在1.04, 2.02x y ==时的函数值(1.04,2.02)f .取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=由于(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+∆+∆≈+∆+∆1ln yy y x yxx x x y -=+∆+∆,所以2.022212(1.04)1210.041ln10.021.08-≈+⨯⨯+⨯⨯=。

全微分的应用及举例
全微分是微积分中的概念，它是指一个多元函数在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数以及自变量的微小变化来描述。

全微分可以应用于多个实际问题中，以下是一些常见的例子：
1.求出曲线的弧长
当我们想要求曲线的弧长时，可以使用全微分来计算。

我们可以将曲线表示为函数y=f(x)，并使用以下公式来计算弧长：
L = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中dy/dx 是函数f(x) 的导数。

可以看出，这个公式就是对函数f(x) 的全微分进行积分得到的。

2.计算温度/压力的变化
当物体温度或压力发生微小变化时，可以使用全微分来计算其变化量。

例如，对于理想气体，温度和压力可以表示为函数T(V,P) 和P(V,T)，可以使用以下两个公式计算它们的微小变化量：
dT = (∂T/∂V) dV + (∂T/∂P) dP
dP = (∂P/∂V) dV + (∂P/∂T) dT
其中(∂T/∂V)、(∂T/∂P)、(∂P/∂V)、(∂P/∂T) 分别为函数T(V,P) 和P(V,T) 在某一点处的偏导数。

3.计算多元函数的极值
求多元函数的极值时，可以使用全微分的概念。

设多元函数为f(x,y)，则当(∂f/∂x)=0 和(∂f/∂y)=0 时，该函数在某一点处取得极值。

这个过程利用了全微分的定义和二元函数的最值定理。

第三节 全微分及其应用内容分布图示★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件★ 可微的充分条件★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6★ 例7★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题8—3 ★ 返回内容要点：一、 全增量与偏增量二、 全微分的定义三、函数可微的必要条件与充分条件定理1 (必要条件) 如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分, 则该函数在点),(y x 的偏导数yzx z ∂∂∂∂,必存在, 且),(y x f z =在点),(y x 处的全微分 y yz x xz dz ∆∂∂+∆∂∂=. (3.4)定理2 (充分条件) 如果函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 处连续, 则函数在该点处可微分.四、利用全微分进行近似计算dz z ≈∆y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+),(),(),(),( (3.7)例题选讲：例1（讲义例1）求函数62354y x xy z +=的全微分. 例2（讲义例2）计算函数xye z =在点(2, 1)处的全微分. 例3 求函数 yzey x u ++=2sin的全微分.例4（讲义例3）求函数zyxu =的偏导数和全微分.例5（讲义例4）计算02.2)04.1(的近似值.例6（讲义例5）测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.422Tl g π=现测得单摆摆长l 与振动周期T分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?课堂练习1.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222242y x y x yx yx z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在?2.设,),,(1zy x z y x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求).1,1,1(df。

第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。

全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。

在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。

**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。

假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。

在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。

**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。

**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。

通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。

这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。

**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。

对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。

通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。

**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。

对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。

这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。

**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。

通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。

**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。