高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)

根据一元函数微分学中增量与微分的关系,
进一步
f ( x + Δx, y ) − f ( x, y ) = f x ( x, y )Δx + o(Δx)
f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ) = f y ( x , y ) Δ y + o ( Δ y )
这里f(x+△x, y)-f(x, y)与f(x, y+△y)-f(x, y)分别称为函数z=f(x, y) 在点(x, y)处对x与对y 的偏增量， fx(x, y) △x 与 fy(x, y) △y 分别 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处对x与对y的偏微分。 称
2 2
y yz 例2. 计算函数 u = x + sin + e 的全微分。 2 ∂u 1 y ∂u ∂u 解: = cos , =1, y eyz = ∂y 2 2 ∂z ∂x
1 y cos dy + ze yz d y + y e y z d z d u = 1⋅ d x + 2 2
y ⎛1 yz ⎞ = dx + ⎜ cos + ze ⎟ dy 2 ⎝2 ⎠
Δ z = A Δx + B Δy + o( ρ ) , ρ = (Δx) 2 + (Δy ) 2
其中A , B 不依赖于Δx , Δy , 仅与 x , y 有关, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， △x+B△y称为函数 f(x, y)在点 (x, y)的全微分, A 记作
z −1
∂z ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ = z ⋅ ⎜ xy + ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ y⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ∂y

统计学中的应用
全微分在统计学中有重要的应用，如数据拟合、 回归分析等。
总结
全微分在实际中的重要性
全微分是解决实际问题的数学工具，对于 许多领域的研究与应用具有重要意义。
进一步探究的方向
全微分是一个广阔而深奥的领域，可以有 更多的研究和应用方向值得深入探索。
全微分的充要条件以及性质
全微分的存在与函数的偏导数连续性相关， 具有一些重要性质。
求解全微分
1
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束最优化问题的方法，也可以用于求解全微 分的相关问题。
2
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本公式，用于计算全微分。
应用
工程问题中的应用
全微分在工程领域中有广泛的应用，如优化设 计、控制系统等。
《全微分及其应用》PPT 课件
全微分及其应用是一门重要的数学课程，本PPT课件将介绍全微分的定义、性 质、求解方法以及实际应用，帮助您深入了解这一概念。
引言
全微分是微积分中的核心概念之一，在许多应用领域中起着重要作用。本节将介绍全微分的定义 以及相关概念，并为后续内容打下基础。
ห้องสมุดไป่ตู้质
几何意义
全微分对应着曲面的切平面，具有重要的 几何意义。

全微分的概念
全微分是多变量函 数的变化率，通过 定义、计算方法和 与偏微分的区别， 理解全微分的概念。
练习题选讲
1
练习题1
通过一个实际的计算例子来帮助学生巩固微分和导数的应用。
2
练习题2
挑选一道复杂且具有挑战性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
3
练习题3
提供一道综合性的练习题，结合了微分、导数和全微分的内容，以检验学生的综 合能力。
讲解内容
什么是微分
微分是基础概念， 具有多种定义方式。 通过物理解释和常 见定义使学生理解 微分的概念和意义。
导数的定义
导数是描述函数变 化率的工具，包括 导数的概念、计算 方法以及其在函数 极值中的应用。
微分的定义
微分作为导数的无 穷小变化量，给出 了函数在某一点上 的局部变化情况和 计算方法。
总结回顾
1 本节知识点回顾 2 知识点扩展
概述了微分、导数和 全微分的概念和定义， 强调了它们在数学中 的重要性。
引导学生进一步学习 微分和导数的应用领 域，如物理学和经济 学等。
3 下节课预告
展示下节课将会涉及 的主题和学习目标， 激发学生的兴趣和期 待。
《高数全微分》PPT课件
高数全微分 PPT课件
知识点概述
什么是微分
微分是一个数学概念，用于描述函数值的 变化率。它是微积分的基础。
微分的定义
微分是函数值的无穷小变化。它描述了函 数在某一点上的局部变化。
导数的定义
导数是函数在某一点上的变化率，可以解 释为函数在该点的切线斜率。
全微分的概念
全微分是多变量函数在某一点上的变化率， 它包括所有变量的微分。

dz z dx z dy . x y
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为 二元函数的微分符合叠加原理.
叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全 微分为
du

u x
dx

u y
dy

u z
dz
.
设
zf(x,
y),
则
dz

z x
dx
如果函数zfxy的偏导数xz??yz??在点xy连续?叠加原理按着习惯xy分别记作dxdy并分别称为自变量的微分这样函数zfxy的全微分可写作二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理
§8.3 全微分及其应用
一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
偏增量与偏微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, f(xx, y)f(x, y) ——函数f(x, y)对x的偏增量
f(x, yy)f(x, y) ——函数f(x, y)对y的偏增量
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大
到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化
的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,
x2 y1

e2
,
z y
x2 y1

2e2
,
dze2dx2e2dy.

可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， Ax By 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
令 y 0, 得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
Ax o ( x )
4
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
所以函数
在点 可微.
7
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ห้องสมุดไป่ตู้ 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 du u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
d(1z)函d数f 可 微Ax By 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
3
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证 因函数在点(x, y) 可微, 故
2
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19.09.2019
函数可微
偏导数连续
阜师院数科院
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3. 微分应用 • 近似计算 fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y
• 估计误差
fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y
绝对误差 δzfx (x ,y )δx fy (x ,y )δy
定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
dzzxzy x y
证: 由全增量公式 得到对 x 的偏增量
令y0,
xx
x A xo( x)
z lim xz A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
xy (x)2 (y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
19.09.2019
阜师院数科院
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定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x,y)连续 ,则函数在该点可微分.
x y
证： z f ( x x , y y ) f ( x , y )
解: 已知
则
V 2rhr r2h
r2,0h10 , 0
r 0 .0,5 h 1
V 2 2 1 0 0 0 . 0 0 5 2 2 ( 0 1 )
200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了
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阜师院数科院
3) 当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y)
sin

复习一元函数微分
微分的几何意义
f ( x0 ) lim
y x 0 x
微分是函数的局部线性化
.
f (x)
N
(x)
tan
x dy = f(x 0)
y
=tan x
在图上是哪条线段？
y
y d y ( x )
当 x 很小时
dy
f ( x0 )
即
d y f ( x ) dx
函数可导 函数连续
一、全微分的定义
设二元函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内有定义. 当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 x 和y 时，函数的全增量为
z f ( x x , y y ) f ( x , y ). 0 0 0 0
令 x B ,y A ，则 S 可以表示为 0 0
S A x B y o ( ).
将增量S 分离出 和 的线性部分 A , x B y x y 再加上一项比 高阶的无穷小 o() .

定义 设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， 如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量
例1
解
2 2 计算函数 z x y y 的全微分 .
z z x2 2y, 因为 2 xy , y x
2 所以 d z 2 xy d x ( x 2 y ) d y .
例2 解
xy 计算函数 z e 在点 ( 2 ,1 ) 处的全微 .
z z xy xy xe , ye , y x z z 2 2 e , 2 e . ( 2 , 1 ) ( 2 , 1 ) x y

河海大学理学院《高等数学》
x2 y2
在
0,
( x, y) (0,0)
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)
不连续，而 f 在点(0,0) 可微.
河海大学理学院《高等数学》
证 因为
xy sin 1
xy 1 (x2 y2 ) 0
x2 y2
2
所以 lim xy sin ( x , y )(0,0)
1
x2 y2 0 f (0,0),
fx(x, y)
1
x2 y
1
y sin
cos
,
x2 y2 ( x2 y2 )3
x2 y2
所以偏导数存在.
河海大学理学院《高等数学》
当点P( x, y)沿直线y x 趋于(0,0) 时,
lim
( x, y)(0,0)
fx (x,
y)
y x
lim x sin 1 1 cos
x0
2x 2 2
1 2
x
,不存在.
所以 f x ( x, y)在(0,0) 不连续.
同理可证 f y ( x, y)在(0,0) 不连续.
河海大学理学院《高等数学》
f f (x,y) f (0,0)
x y sin
1
(x)2 (y)2
o( (x)2 (y)2 )
可见,A＝0 , B＝0, 即 df (0,0) 0.
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x,
y
)
、
f
y
(
x,
y
)在点(
x0
,
y0

同理
f ( x, y y) f ( x, y) f y( x, y)y 2y,
且当x 0,y 0时， 2 0,
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则
z f x( x, y)x 1x f y( x, y)y 2y
fx( x, y)x f y( x, y)y 1x 2y
lim
( x, y )(0,0) y x
f x( x,
y)

lxim0
x sin
1 2|x| 2
x3 2 | x |3 cos
不存在 . 所以 fx( x, y)在(0,0)不连续.
1 2|
x
|

同理可证 f y( x, y)在(0,0)不连续.
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A z , x
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通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微 分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
若函数 u f ( x, y, z) 在点 ( x, y, z) 可微，则
全微分也具备两个特点： （1）它是x , y 的线性函数；
（2）当 0 时，dz 与z之差是比 更高阶
的无穷小。 说明：
习惯上，自变量 x, y 的增量 x,y 常写 作dx,dy ，并分别称为自变量 x, y 的微分，所 以dz 也常记为： dz Adx Bdy
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二元函数 对 x 和对y 的偏增量
二元函数 对x 和对y 的偏微分
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全微分的定义

第八章
小结
１．多元函数全微分的概念； ２．多元函数全微分的求法； ３．多元函数连续、可导、可微的关系．
作业： 28; 29; 30.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
(0 1 1)
f x ( x, y )x 1x （依偏导数的连续性）
其中 1 为x , y 的函数,
且当x 0, y 0 时， 1 0 .
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
同理
f ( x , y y ) f ( x , y )
第八章
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) x y
可微分．
证 考虑函数在点(x, y) 处的全增量. 有
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) [ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
需要注意的是, 偏导数连续只是可微的充分而非 必要条件.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
[ f ( x , y y ) f ( x , y )],
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理