全微分和应用

全微分的计算公式全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数变量之间的微小变化关系。

全微分的计算可以使用泰勒展开、导数定义和偏导数等方法。

本文将介绍全微分的计算公式和应用。

一、一元函数的全微分设函数y = f(x)在点(x0, y0)处可微分。

此时，函数f(x)在x0附近可以用其局部线性近似代替。

根据导数的定义，可得到函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)。

函数f(x0)的全微分df表示函数f(x)在x0附近的微小变化量，可以通过以下公式计算：df = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，dx表示自变量x的微小变化量。

二、二元函数的全微分对于二元函数z = f(x, y)，如果在点(x0, y0)处可微分，那么z在(x0, y0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy其中，∂f/∂x表示函数f(x, y)对x的偏导数，∂f/∂y表示函数f(x, y)对y的偏导数，dx表示自变量x的微小变化量，dy表示自变量y的微小变化量。

需要注意的是，在计算二元函数的全微分时，要先对函数进行偏导数运算，然后与自变量的微小变化量相乘，再将结果相加。

三、多元函数的全微分对于多元函数z = f(x1, x2, ..., xn)，如果在点(x1^0,x2^0, ..., xn^0)处可微分，那么z在(x1^0, x2^0, ..., xn^0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1表示函数对变量x1的偏导数，∂f/∂x2表示函数对变量x2的偏导数，dx1表示自变量x1的微小变化量，dx2表示自变量x2的微小变化量，以此类推。

四、全微分的应用例如，在概率论与统计学中，我们常常需要计算函数的期望和方差。

对于连续型随机变量，若已知其概率密度函数f(x)和函数g(x)，可以通过全微分的公式计算函数g(x)的期望和方差。

全微分的实际应用举例
全微分的实际应用举例有：
1. 在物理学中，全微分可以用于描述物体的位移。

例如，当一个物体在空间中进行自由落体运动时，其位移可以通过全微分来描述。

2. 在经济学中，全微分可以用于描述生产函数和边际效应。

例如，当某个企业的生产函数发生微小变化时，可以利用全微分来计算其边际效益的变化。

3. 在化学中，全微分可以用于描述化学反应的速率。

例如，当各种反应物的浓度发生微小变化时，可以利用全微分来计算反应速率的变化。

4. 在生物学中，全微分可以用于描述生物体的生长变化。

例如，当一个生物体的体积发生微小变化时，可以利用全微分来计算其生长速率的变化。

5. 在工程学中，全微分可以用于描述工程系统的稳定性。

例如，在控制系统中，全微分可以用于描述系统的输入和输出之间的关系，并帮助分析系统的稳定性和响应速度。

全微分的应用及举例
全微分是微积分中的概念，它是指一个多元函数在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数以及自变量的微小变化来描述。

全微分可以应用于多个实际问题中，以下是一些常见的例子：
1.求出曲线的弧长
当我们想要求曲线的弧长时，可以使用全微分来计算。

我们可以将曲线表示为函数y=f(x)，并使用以下公式来计算弧长：
L = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中dy/dx 是函数f(x) 的导数。

可以看出，这个公式就是对函数f(x) 的全微分进行积分得到的。

2.计算温度/压力的变化
当物体温度或压力发生微小变化时，可以使用全微分来计算其变化量。

例如，对于理想气体，温度和压力可以表示为函数T(V,P) 和P(V,T)，可以使用以下两个公式计算它们的微小变化量：
dT = (∂T/∂V) dV + (∂T/∂P) dP
dP = (∂P/∂V) dV + (∂P/∂T) dT
其中(∂T/∂V)、(∂T/∂P)、(∂P/∂V)、(∂P/∂T) 分别为函数T(V,P) 和P(V,T) 在某一点处的偏导数。

3.计算多元函数的极值
求多元函数的极值时，可以使用全微分的概念。

设多元函数为f(x,y)，则当(∂f/∂x)=0 和(∂f/∂y)=0 时，该函数在某一点处取得极值。

这个过程利用了全微分的定义和二元函数的最值定理。

第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。

全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。

在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。

**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。

假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。

在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。

**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。

**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。

通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。

这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。

**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。

对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。

通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。

**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。

对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。

这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。

**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。

通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。

**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。

第四节 全微分及其应用一元函数)(x f y =在x 处可微的本质是:可用x 处自变量的增量x ∆的线性函数x A ∆近似地描述函数值增量y ∆,从而可简化y ∆的计算.我们自然要问:给定二元函数()y x f z ,=,当y x ,有改变量y x ∆∆,时,相应的函数值的改变量z ∆与y x ∆∆,有何关系?可否用y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆来近似代替z ∆?一、全微分1. 全微分的定义对于一元函数)(x f y =,当自变量在点x 处有增量x ∆时,若函数的增量y ∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆,其中,A 与x ∆无关而仅与x 有关,当0→x ∆时,)(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小量.则称函数)(x f y =在点x 可微,并把x A ∆叫做)(x f y =在点x 的微分,记作dy ,即x A dy ∆=.类似的,我们给出二元函数全微分的定义.定义 如果二元函数),(y x f z =在点()y x P ,的某一个邻域)(P U 内有定义,相应于自变量的增量y x ∆∆,,函数的增量为),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆.称z ∆为函数),(y x f 在点),(y x P 处的全增量.若全增量z ∆可表示为:)(ρo y B x A z +∆+∆=∆ (6.4.1) 其中B A ,仅与y x ,有关,而与y x ∆∆,无关,22)()(y x ∆+∆=ρ,则称函数),(y x f z =在点),(y x P 可微.并称y B x A ∆+∆为),(y x f 在点),(y x P 的全微分,记作z d 或),(y x f d ,即:y B x A z d ∆+∆=. (6.4.2) [说明](1) 当0→ρ时,)(ρo 是比ρ高阶的无穷小量,即:()()()();0)()()()(limlim22220,0,0=∆+∆∆+∆=→∆∆→y x y x o o y x ρρρ(2) 习惯上,自变量的增量x ∆与y ∆常写成dx 与dy (类似于一元函数的情形可证明其相等性,请读者自行完成),并分别称为自变量y x ,的微分.这样,函数()y x f z ,=的全微分也可写为:Bdy Adx z d +=(3) 如果函数在区域D 内的各点都可微,则称函数在区域D 内可微,或称函数为D 内的可微函数.例1 求证函数22y x z +=在()00,y x 处可微,并求其全微分.解 因为()00,y x 处函数的全增量为:()()()()(),22220020202020y x y y x x y x y y x x z ∆+∆+∆+∆=+-∆++∆+=∆且()()()().0)()(lim)()()()(lim220,0,22220,0,=∆+∆=∆+∆∆+∆→∆∆→∆∆y x y x y x y x y x所以,根据可微的定义知,函数22y x z +=在()00,y x 处可微,且其全微分为:.22220000y d y x d x y y x x z d +=∆+∆=2. 全微分与偏导数、连续的关系(1) 可微必连续在第三节中我们指出,多元函数即使可偏导(即各个偏导数存在),也不能保证函数是连续的.然而,从全微分的定义知,如果函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在该点必定连续.事实上,由于此时()()0lim 0,0,=∆→∆∆z y x ,也就是()()[]0),(),(lim0,0,=-∆+∆+→∆∆y x f y y x x f y x ,即()()),(),(lim 0,0,y x f y y x x f y x =∆+∆+→∆∆.从而),(y x f z =在点),(y x P 处连续.在一元函数中,可导与可微是等价的,那么对二元函数,可微与可偏导存在之间有什么关系呢?下面的两个定理回答了这个问题.(2) 可微必可偏导定理1(可微的必要条件) 若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在点),(y x P 的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,都存在(即函数),(y x f z =在点),(y x P 可偏导),且 dy yz dx x z y y z x x z z d ∂∂+∂∂==∆∂∂+∆∂∂=. (6.4.3)证明 因),(y x f z =在点),(y x P 可微,所以对于),(y x P 的某一邻域()P U 内的任意一点),(y y x x ∆+∆+,都有)(),(),(ρo y B x A y x f y y x x f +∆+∆=-∆+∆+.特别地,当0y ∆=时,||x ρ=∆且|)(|),(),(x o x A y x f y x x f ∆+∆=-∆+,两边同除以x ∆,取极限得=∂∂x z A xx o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆)|)(|(lim ),(),(lim 00,同理yz ∂∂=B ,所以 y y zx x z z d ∆∂∂+∆∂∂=. 然而,两个偏导数存在是二元函数可微的必要条件,而不是充分条件.例如在原点(0,0)处有0)0,0(,0)0,0(='='y x f f (即可偏导),但是由第二节例8可知,该函数在原点(0,0)是不连续的,因此函数在原点(0,0)不可微.但是,可以证明,如果函数的各个偏导数存在且连续,则该函数必是可微的.定理2(可微的充分条件) 如果函数),(y x f z =的两个偏导数),(),,(y x f y x f y x ''在点),(y x P 的某一邻域内存在且在该点连续,则函数在该点可微.由上述结论可知:二元函数的可微、可偏导及连续之间的关系为⎩⎨⎧⇒⇒)()(可偏导偏导数存在连续可微且连续可偏导偏导数存在 一般情况下,上述关系是不可逆的. 3. 全微分公式及其计算由定理1知，二元函数),(y x f z =的全微分可以写成: dy y x f dx y x f dy yz dx x z y x df dz y x ),(),(),('+'=∂∂+∂∂==. (6.4.4) 称上式为全微分公式.全微分公式很容易推广到二元以上的函数的情形.例如,如果三元函数()z y x f u ,,=可微分,那么它的全微分公式为:dz z y x f dy z y x f dx z y x f dz zudy y u dx x u u d z y x ),,(),,(),,('+'+'=∂∂+∂∂+∂∂=(6.4.5) 由此可见,在函数可微的条件下,要求函数的全微分,只需先求出其偏导数,再代入全微222222,0;(,)0,0.xy x y x yf x y x y +≠+=+=分公式进行组装即可得到.例2 求函数22y y x z +=的全微分. 解 因为y x yz xy x z 2,22+=∂∂=∂∂,所以dy y x xydx dz )2(22++=. 例3 求函数32),(y x y x f =在点)1,2(-处的全微分.解 因为 2233),(,2),(y x y x f xy y x f y x ='=',所以12)1,2(,4)1,2(=-'-=-'y x f f .由于两个偏导数是连续的,故dy dx df 124)1,2(+-=-.例4 求函数yzy x u arctan 2cos+-=的全微分. 解 因为2222,2sin 21,1z y yz u z y z y y u x u +=∂∂+-=∂∂=∂∂.所以 dz zy zdy z y z y dx du 2222)2sin 21(+++-+=.二、全微分在近似计算中的应用二元函数的全微分也可用来做近似计算.若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 可微,则有,)(),(),(),(),(00000000ρo y y x f x y x f y x f y y x x f z y x +∆'+∆'=-∆+∆+=∆其中22)()(y x ∆+∆=ρ.故当|||,|y x ∆∆充分小时,有dz y y x f x y x f z y x =∆'+∆'≈∆),(),(0000, (6.4.6) 即y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆'+∆'≈-∆+∆+),(),(),(),(00000000.移项得y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆'+∆'+≈∆+∆+),(),(),(),(00000000 (6.4.7) 公式（6.4.6）可用来计算函数的增量的近似值,公式（6.4.7）可用来计算函数的近似值.例5 计算3397.102.1+的近似值.解 设函数33),(y x y x f +=,所计算的值可看作是函数在97.1,02.1==y x 处的函数值.取03.0,2,02.0,100-====y y x x ∆∆.则33233223),(,23),(yx y y x f yx x y x f y x +='+='.而2)2,1(,21)2,1(,3)2,1(),(00='='==y x f f f y x f ,所以 95.2)03.0(202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+.例6 有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20厘米增大到05.20厘米,高度由100厘米减少到99厘米,求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径,高和体积分别为V h r ,,,则h r V 2π=.记V h r ,,的增量依次为V h r ∆∆∆,,,且1,05.0,100,20-=∆=∆==h r h r ,由公式(6.4.6)得.200)1(2005.010*******πππππ-=-⨯⨯+⨯⨯⨯=∆+∆=∆∂∂+∆∂∂≈∆h r r rh h hV r r V V即此圆柱体在受压后体积约减少了π200立方厘米.习 题 6-41. 求下列函数的全微分: (1) 22lny x z +=; (2) 5ln 23+-=-x xe z y ; (3) zx y u 1⎪⎭⎫⎝⎛=.2. 求函数x y e x z ysin 22+=在点()0,π处的全微分. 3. 求函数yx e z =当1.0,15.0,1,1=∆=∆==y x y x 时的全微分.4. 计算()02.204.1的近似值.5. 设生产两种产品B A ,的产量分别为y x ,时的联合总成本函数为:()223215,y xy x y x C +++=.求当产量分别为40,50时,产量再分别增加2个单位,联合总成本的增加量.。