第八章 、第三、四节 全微分、复合求导
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§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
8.3 全微分,复合函数求导
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 z = f ( x, y) = x + y2 0 , x2 + y2 = 0
在点(0 并不连续, 但是 f (x , y) 在点 , 0)并不连续 从而不可微 并不连续 从而不可微.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
定理2 定理
若函数 的偏导数 z z , 在点( x, y) 连续 , x y 则函数在该点可微分. 则函数在该点可微分
z =
ρ = (x)2 + (y)2 + o( ρ )
d z = f x ( x, y)dx + f y ( x, y)dy = f x ( x, y)x + f y ( x, y)y x, y 给定数值时用 常用
2. 重要关系 重要关系:
函数连续 函数可微分 偏导数连续
暨南大学珠海学院苏保河主讲
偏导数存在
z z u z v ′ ′ ′ ′ = f1 1 + f2ψ1 = + x u x v x z z u z v ′ ′ ′ ′ = + = f1 2 + f2ψ2 y u y v y 暨南大学珠海学院苏保河主讲
z z 例1. 设 z = e sin v, u = x y, v = x + y, 求 , . x y
例5. 选择题
z = f x ( x, y)x + f y ( x, y)y + o(ρ )
函数 z = f ( x, y)在 ( x0 , y0 )可微的充分条件是 D ) 可微的充分条件是(
( A) f ( x, y) 在( x0 , y0 ) 连续;
(B) f x ( x, y), f y ( x, y)在( x0 , y0 )的某邻域内存在 ;
第八章 4复合函数求导法则
dz ∂z du ∂z dv = + ． dt ∂u dt ∂v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z dw = + + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ w dt
z
u v w
t
dz 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 而是多元函数的情况： z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )].
= 2ye
x2 + y2 +z2
+2ze
x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y
= 2( y + x sin y cos y ) e
4
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
f 有 阶 例4 设w = f ( x + y + z, xyz)， 具 二
此公式可以推广到任意多个中间变量 z 和任意多个自变量的情形
u v w
x
y
u v 例1 设z = e sinv， u = xy， = x + y ， 而
∂z ∂z 和 . 求 ∂x ∂y 解 ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x u u = e u ( y sin v + cos v ), = e sin v ⋅ y + e cos v ⋅ 1
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在， 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
高等数学第八章第三讲 多元函数的全微分
第八章
小结
１．多元函数全微分的概念； ２．多元函数全微分的求法； ３．多元函数连续、可导、可微的关系．
作业： 28; 29; 30.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
(0 1 1)
f x ( x, y )x 1x （依偏导数的连续性）
其中 1 为x , y 的函数,
且当x 0, y 0 时， 1 0 .
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
同理
f ( x , y y ) f ( x , y )
第八章
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) x y
可微分．
证 考虑函数在点(x, y) 处的全增量. 有
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) [ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
需要注意的是, 偏导数连续只是可微的充分而非 必要条件.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
[ f ( x , y y ) f ( x , y )],
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
高等数学知识点汇总
高等数学知识点高等数学知识点汇总通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
下面小编给大家介绍高等数学知识点汇总，赶紧来看看吧!高等数学知识点汇总第一章函数与极限知识点1：函数的概念、函数定义域的求法知识点2：函数的分类、特殊类型的函数知识点3：函数的基本性质知识点4：数列极限的概念与性质知识点5：函数极限的概念与性质知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系知识点8：极限的四则运算法则知识点9：复合函数的极限运算法则知识点10：极限存在的两个准则知识点11：两个重要极限知识点12：无穷小的比较知识点13：函数连续性的概念及判断知识点14：函数间断点的求法及分类知识点15：闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分知识点16：导数的概念知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法知识点18：复合函数的求导知识点19：反函数的求导知识点20：隐函数及参数方程的求导知识点21：微分的概念及运算知识点22：一元函数微分形式的不变性知识点23：导数的物理意义知识点24：按定义求导的题目类型知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质知识点27：用求导公式与法则求导数知识点28：函数的高阶导数第三章微分中值定理与导数的应用知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用知识点30：柯西中值定理的应用知识点31：有关中值定理证明题的典型实例知识点32：洛必达法则求极限知识点33：求极限的方法总结知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论知识点36：不等式的证明方法总结知识点37：泰勒公式的求法知识点38：泰勒公式的应用知识点39：函数的单调性及判别知识点40：函数的极值及判别知识点41：函数的最值及判别知识点42：渐近线的分类与求法知识点43：曲线的凸凹性和拐点知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）知识点45：弧微分知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）第四章不定积分知识点47：不定积分的概念与性质知识点48：不定积分的换元积分法知识点49：不定积分的分部积分法知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分知识点51：不定积分计算技巧的典型实例第五章定积分知识点52：定积分的概念与基本性质知识点53：变上限的积分及其导数知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分知识点57：定积分的换元积分法知识点58：定积分的分部积分法知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例知识点60：无穷限的.反常积分的概念与计算知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算第六章定积分的应用知识点62：用定积分求平面图形的面积知识点63：用定积分求特殊立体的体积知识点64：用定积分求弧长知识点65：定积分的物理应用（数一、二）知识点66：连续函数的平均值（数一、二）第七章空间解析几何与向量代数知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）知识点70：用向量解决的几何问题（数一）知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）知识点73：两个平面间的关系（数一）知识点74：两条直线间的关系（数一）知识点75：直线与平面的关系（数一）知识点76：点到平面的距离的计算（数一）知识点77：点到直线的距离的计算（数一）知识点78：旋转曲面（数一）知识点79：柱面（数一）知识点80：二次曲面（数一）知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）第八章多元函数微分法及其应用知识点82：多元函数的概念和几何意义知识点83：二元函数的极限知识点84：二元函数的连续性知识点85：偏导数的概念与常规计算知识点86：高阶偏导数知识点87：多元函数可微与全微分知识点88：连续，可偏导，可微的关系知识点89：多元复合函数的求导法则知识点90：多元函数的微分形式不变性知识点91：多元隐函数的求导知识点92：多元函数的极值问题知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法知识点94：多元函数的最值问题知识点95：方向导数（数一、二）知识点96：数量场的梯度（数一、二）知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）第九章重积分知识点100：重积分的概念与性质知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算知识点106：重积分积分次序的交换知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧第十章曲线积分与曲面积分知识点108：第一类曲线积分的概念与计算知识点109：第二类曲线积分的概念与计算知识点110：两类曲线积分之间的联系知识点111：二元函数全微分求积知识点112：格林公式及其应用知识点113：曲线积分与路径无关的条件知识点114：第一类曲面积分的概念与计算知识点115：第二类曲面积分的概念与计算知识点116：两类曲面积分之间的联系知识点117：高斯公式及其应用知识点118：通量与散度知识点119：斯托克斯公式及其应用知识点120：环流量与旋度知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结第十一章无穷级数知识点122：级数的概念及性质（数一、三）知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）知识点130：幂级数的和函数（数一、三）知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）第十二章微分方程知识点135：微分方程的基本概念知识点136：可分离变量的微分方程知识点137：齐次微分方程知识点138：一阶线性微分方程知识点139：全微分方程知识点140：伯努利方程知识点141：用变量替换解微分方程举例知识点142：含变限积分的方程知识点143：可降阶的高阶微分方程知识点144：线性微分方程解的性质和结构知识点145：二阶常系数齐次线性方程知识点146：n阶常系数齐次线性方程知识点147：二阶常系数非齐次线性方程知识点148：欧拉方程（数学一）知识点149：差分方程（数学三）知识点150：微分方程应用题的典型实例。
高等数学第八章多元微分第四节多元复合函数求导
x yx y
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上述求导规则称为多元复合函数的链式法则. 具有 如下特点:
1. 复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个 偏导数;
2. 有几个中间变量，就有几项相加;
3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的
偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;
4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导
记号用 d ，不止一个时用偏导数记号
dx
x
5
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特例1. z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( y )
z z u z 0 z u x u x v u x
z z u z dv y u y v d y
特例2. z f( x ,v ) ,v ( x ,y )
2001考研
解 由题设 ( 1 ) f(1 ,f(1 ,1 ))f(1,1)1
d 3(x)
dx
x
132(x)ddx
x1
3 f1(x,f(x,x))
f 2 ( x , f ( x , x ) )
32 3(23)51
x 1
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个人观点供参考，欢迎讨论！
续的偏导数, 则复合函数
的导数为
dzzduzdv dt u dt v dt
全导数 证略（利用全增量公式）
z
uv tt
注 求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间
变量施行一元函数的链式法则，再相加即可. 重要的是
搞清楚函数的复合关系.
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推广 设 zf(u,v,w ),而
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
上页下页返回结束dtdzdtdzdtdudtdvcoslnsinlncosln上页下页返回结束解利用全导数求导数dxdydxdydxdudxdvcossinlnlnlnlnsin上页下页返回结束引入中间变量cossin上页下页返回结束1211上页下页返回结束xyzxyxyzxy上页下页返回结束二全微分形式的不变性是自变量还是中间变量则复合函数其全微分的表达形式都一样这一性质称为全微分形式的不变性
第八章 全微分、复合函数的微分
为函数在点 P对应于自变量增量 ∆x , ∆y的全增量. 记为∆z ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y)
全增量 ∆z与∆x , ∆y的关系是比较复杂的 ,能否象一 元函数的微分那样,用∆x , ∆y的线性函数 :
A∆x + B∆x 来近似表达 ,由此引出如下定义 : 由此引出如下定义
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z lim =A = , ∆x → 0 ∆x ∂x
∂z B= . 同理可得 ∂y 一元函数在某点的导数存在
多元函数的各偏导数存在 xy x2 y2 例如 + f ( x, y) = 0
微分存在． 微分存在． 全微分存在． 全微分存在．
微积分
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
微积分
三、小结
１、多元函数全微分的概念； 多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； 多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系． 多元函数连续、可导、可微的关系． 注意：与一元函数有很大区别） （注意：与一元函数有很大区别）
z ( . 则称 = f ( x, y)在点 x, y)可微分
∆z = A∆x + B∆y称为z = f ( x , y )在点( x , y )的全微分 ,
dz 记为
ie.
dz = A∆x + B∆y.
微积分
内各点处处可微分， 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则 内可微分. 称这函数在 D 内可微分.
则
∆x ⋅ ∆y ( ∆ x ) 2 + ( ∆y ) 2 =
第八章多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1．填空。
（1）设()y x y x f 23,+=，则()()y x f xy f ,,=________________；(2) 设,),(2y x xyx y f +=+则()y x f , =_________________； (3) 设),1(-+=x f y z若当1=y 时x z =，则函数()x f =________________；(4) 函数)1ln(2)(x y x z -+=的定义域是_________________________；(5) 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_____________________________________。
2．求极限。
（1）)()cos(1lim22222200y x y x y x y x ++-→→ （2）yx x a y x x +→+∞→+2)11(lim4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,242424y x y x y x xy z 的连续性。
第二节 偏导数1．填空。
（1）,tan ln y x z=则______________=∂∂xz ，___________=∂∂y z；（2）,)1(y xy z +=则______________=∂∂xz，___________=∂∂y z ； (3) 设222),,(zx yz xy z y x f ++=，则),,(z y x f z =__________,),,(z y x f zz =__________, ),,(z y x f zzx =__________,)3,5,2(zzx f =__ ________；（4）设 ⎰--Φ=at x atx du u t x f )(),(，（Φ为连续函数），则x f ∂∂=__ ________, tf∂∂=__ ________。
多元函数微分法及其应用.doc
第八章多元函数微分法及其应用一、本章教学目标：1.使学生掌握多元函数的基本概念2.使学生掌握多元函数的微分求解关系3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系二、本章基本要求：1.使学生掌握多元函数连续的计算2.使学生掌握多元函数微分的计算三、本章各节的教学内容：第一节多元函数的基本概念教学内容：①平面点集，n维空间②多元函数的概念③多元函数的极限④多元函数的连续性第二节偏导数教学内容：①偏导数的定义及计算法②高阶偏导数第三节全微分教学内容：①全微分的定义②全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则教学内容：①多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导法则教学内容：①一个方程的情形②方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用教学内容：①空间曲线的切线与法平面②曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度教学内容：①方向导数②梯度第八节多元函数的极值及其求法教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值②条件极值，拉格朗日乘数法四、本章教学重点：1.使学生掌握多元函数的连续2.使学生掌握多元函数的微分3.使学生掌握多元函数微分学的应用五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系六、本章教学方式：多媒体七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题八、本章主要参考书目：1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社九、本章思考题：1.多元函数极限，连续，可微之间的关系2.多元函数求导的法则及应用3.多元函数微分学及应用§8-1多元函数的基本概念一、区域 1.邻域设0P 是XOY 平面上的一点，δ是一个正数，与点0P 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域。
记作()0,U P δ，即(){}00,U PP PP δδ=<，也就是 ()({}0,,U P x y δδ=<。
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处的全微分，记作 d z 或 df(x, y)
d z df(x ,y ) A x B y
函 数 若 在 某 区 域 D 内 各 点 处 处 可 微 分 ， 则 称 这 函 数 在 D 内 可 微 分 .
如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 , 则
函 数 在 该 点 连 续 .
A x B y o () (x)2(y)2
（1）令 x 0,y0，得
f ( x x ,y ) f ( x ,y )A xo(|x|)
f(xx,
y)f(x,
x
y)
Ao(|xx|)
lx i0 m f(xx, y)x f(x, y)Alxi m 0o(|xx|)
Afx(x,y)
（2）令 x 0,y0，同理得：Bfy(x,y)
S ( x x ) ( y y ) x y yx xy xy
• 第一部分 yxxy
是 x,y的线性函数 y
xy xy
• 第二部分 xy
lim xy
y Sxy yx
(x,y) (0,0) (x)2(y)2
x x
lim y 0
S ( x x ) ( y y ) x y yx xy xy
则称函数 y = f (x) 在点 x 处是可微的，并称
dyAx为函数的微分
当 f'(x) 存在时，dyf'(x )x
例如： S x2
S(xx)2x22xx(x)2
d S 2 x x
x x
xx (x)2
S x2 xx
考虑边长分别为 x 和 y 的矩形的面积：Sxy
当两边长分别取得增量 x和 y时的改变量
全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
fx(x,y)lxi m 0xxz,
fy(x,
y)limyz, y0 x
一元函数 y = f (x) 的微分概念：
若函数的增量： y f ( x x ) f ( x )
能表示为： y A x o (x )
并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )
处的全微分，记作 d z 或 df(x, y)
d z df(x ,y ) A x B y
结 论 ： 如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 ,
则 函 数 在 该 点 连 续 .
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？ 问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
定理1（必要条件）： 如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数
fx(x ,y)和 fy(x ,y)
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
内容回顾
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 )
(x)2(y)2
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，
第三节 全微分及应用
一元函数 y = f (x) 的增量概念：
y f ( x x ) f ( x )
考虑二元函数 z = f ( x , y )
关于 x 的偏增量 x z f ( x x ,y ) f ( x ,y )
关于 y 的偏增量 y z f( x ,y y ) f( x ,y )
d z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
证明： 因为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微，故
z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
A x B y o () (x)2(y)2
z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 )
(x)2(y)2
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，
并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？
问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
定理1（必要条件）： 如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数
fx(x ,y)和 fy(x ,y)
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
事实上由 z A x B y o (),
得lim z0,
0
又 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
lim f(xx,yy)li[m f(x,y)z]
x 0
0
y 0
f(x,y)
故 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，记作
d z df(x ,y ) A x B y
z A x B y o () dz o ()
• 第一部分 yxxy
是 x,y的线性函数 y
xy xy
• 第二部分 xy
lim xy
y Sxy yx
(x,y) (0,0) (x)2(y)2
x x
lim
0
xy 0
(|x| |y|)20 x2y22|xy|
0| xy | (x2 y2 )
2
2
S y x x y o ()
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
d z df(x ,y ) A x B y
函 数 若 在 某 区 域 D 内 各 点 处 处 可 微 分 ， 则 称 这 函 数 在 D 内 可 微 分 .
如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 , 则
函 数 在 该 点 连 续 .
A x B y o () (x)2(y)2
（1）令 x 0,y0，得
f ( x x ,y ) f ( x ,y )A xo(|x|)
f(xx,
y)f(x,
x
y)
Ao(|xx|)
lx i0 m f(xx, y)x f(x, y)Alxi m 0o(|xx|)
Afx(x,y)
（2）令 x 0,y0，同理得：Bfy(x,y)
S ( x x ) ( y y ) x y yx xy xy
• 第一部分 yxxy
是 x,y的线性函数 y
xy xy
• 第二部分 xy
lim xy
y Sxy yx
(x,y) (0,0) (x)2(y)2
x x
lim y 0
S ( x x ) ( y y ) x y yx xy xy
则称函数 y = f (x) 在点 x 处是可微的，并称
dyAx为函数的微分
当 f'(x) 存在时，dyf'(x )x
例如： S x2
S(xx)2x22xx(x)2
d S 2 x x
x x
xx (x)2
S x2 xx
考虑边长分别为 x 和 y 的矩形的面积：Sxy
当两边长分别取得增量 x和 y时的改变量
全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
fx(x,y)lxi m 0xxz,
fy(x,
y)limyz, y0 x
一元函数 y = f (x) 的微分概念：
若函数的增量： y f ( x x ) f ( x )
能表示为： y A x o (x )
并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )
处的全微分，记作 d z 或 df(x, y)
d z df(x ,y ) A x B y
结 论 ： 如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 ,
则 函 数 在 该 点 连 续 .
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？ 问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
定理1（必要条件）： 如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数
fx(x ,y)和 fy(x ,y)
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
内容回顾
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 )
(x)2(y)2
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，
第三节 全微分及应用
一元函数 y = f (x) 的增量概念：
y f ( x x ) f ( x )
考虑二元函数 z = f ( x , y )
关于 x 的偏增量 x z f ( x x ,y ) f ( x ,y )
关于 y 的偏增量 y z f( x ,y y ) f( x ,y )
d z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
证明： 因为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微，故
z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
A x B y o () (x)2(y)2
z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 )
(x)2(y)2
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，
并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？
问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
定理1（必要条件）： 如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数
fx(x ,y)和 fy(x ,y)
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
事实上由 z A x B y o (),
得lim z0,
0
又 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
lim f(xx,yy)li[m f(x,y)z]
x 0
0
y 0
f(x,y)
故 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，记作
d z df(x ,y ) A x B y
z A x B y o () dz o ()
• 第一部分 yxxy
是 x,y的线性函数 y
xy xy
• 第二部分 xy
lim xy
y Sxy yx
(x,y) (0,0) (x)2(y)2
x x
lim
0
xy 0
(|x| |y|)20 x2y22|xy|
0| xy | (x2 y2 )
2
2
S y x x y o ()
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )