北京市清华附中2019~2020学年初三上学期12月月考数学试卷及参考答案

2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每题2分）1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π3．如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）A．B．10C．3D．4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝06．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣67．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围．10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．11．当k时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB 于点E，则AD的长为．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：）∵OA＝OM＝∴△OAM为等边三角形（依据：）∴∠AOM＝60°（依据：）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．22．问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（用含m的代数式表示），∠ABO＝°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当＝时，求m的值．25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．26．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．27．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′＝，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．（1）点（，﹣1）理想点的坐标是；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？；（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y＝（m＜0，x＞0）上，求m的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每题2分）1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°求得每次旋转的度数．【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成，∴每次旋转的度数可以为360°÷8＝45°．故选：C ．【点评】本题把一个周角是360°和图形的旋转的特点结合求解．注意结合图形解题的思想．2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．πD ．π【分析】直接利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：扇形的面积＝＝π． 故选：D ．【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形＝πR 2或S 扇形＝lR （其中l 为扇形的弧长）． 3．如图4，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过A ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为E ，F ，若AE ＝1，CF ＝3，则AB 的长为（ ）A．B．10C．3D．【分析】先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF，BE＝CF，最后得出AB 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE＝BF，BE＝CF，∴AB＝．故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m【分析】求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，∵小玲与大树都与地面垂直，∴△ACE∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝0【分析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a＝﹣，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1＝0，∴a＝﹣，∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程﹣（x﹣2）2+1＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：A．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．6．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB ＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB ＝S△CAB＝3，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c＝0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0，∴一次函数y＝bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y＝位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP＝BD，有PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC 正确．同时可得：②错误，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE＝PB•PC；③正确．【解答】解：延长BP到D，使PD＝PC，连接CD，可得∠CPD＝∠BAC＝60°，则△PCD为等边三角形，∵△ABC为正三角形，∴BC＝AC∵∠PBC＝∠CAP，∠CPA＝∠CDB，∴△APC≌△BDC（AAS）．∴PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC，故①正确；由（1）知△PBE∽△PAC，则＝，＝，+＝+≠1，∴②错误；∵∠CAP＝∠EBP，∠BPE＝∠CPA∴△PBE∽△PAC∴∴PA•PE＝PB•PC，故③正确；故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围x≤．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得1﹣2x≥0，解得：x≤，故答案为：x≤．【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．【分析】由这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，∴任取一张是中心对称图形的概率是，故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．当k≠﹣5时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程，∴（k+5）x2+x﹣2＝0，则k+5≠0，解得：k≠﹣5．故答案为：≠﹣5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2．【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．【解答】解：y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是70°．【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°；若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，得：∠A′＝90°﹣20°＝70°；由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°；故∠BAC的度数是70°．【点评】此题主要考查了旋转的性质，难度不大．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为68°．【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故答案为：68°．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．【分析】由图象确定正方形边长，再表示x＞2时△AEF的面积，讨论△AEF面积的最大值．【解答】解：结合题意和图象可知，x＝2时，点E在AB中点，点Q到D点∴AB＝4当2≤x≤4时，y＝当x＝﹣时，y最大＝故答案为：【点评】本题是双动点函数图象探究题，考查了学生对动点到达临界点前后函数图象的变化意义的理解，解答时注意数形结合．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．【分析】（1）先移项得到（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x+6）2＝9，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣6＝0，所以x1＝5，x2＝6；（2）x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣3，x2＝﹣9．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是60°根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形．以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线．【解答】解：∵半圆AB，∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM，∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°，故答案为：AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，本题用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA＝DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA＝OB，故DE＝CE，由此可得出结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）四边形OCED是菱形．理由：∵△DEC由△AOB平移而成，∴AC∥DE，BD∥CE，OA＝DE，OB＝CE，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴DE＝CE，∴四边形OCED是菱形．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是②（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【分析】（1）先设t＝y2，则原方程变形为3t2+8t﹣3＝0，运用因式分解法解得t1＝，t2＝﹣3，再把t＝和﹣3分别代入t＝y2得到关于y的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．（2）根据阅读新知即可判断①②③．【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，解得：t1＝，t2＝﹣3．当t1＝时，y2＝，y＝±；当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．综上，原方程的解为：y1＝，y2﹣；（2）根据阅读新知可判断②正确；如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；所以，①③错误，故答案为②．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC＝2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CD．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．22．问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）【分析】（1）根据等积线段的定义，可知点D为线段BC的中点，然后根据题目中的条件可以求得AD的长度；（2）根据题意可以分别画出相应的图形，然后根据相应的图形分别求出相应的等积线段．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，∴点D为线段BC的中点，BC＝4，∴AD＝2；（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，∴点D为AC的中点，∴AD＝，∴BD＝＝；如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积为：，∴△ADE的面积是2，设AD＝a，则，得a2＝4，∴DE＝．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形、新定义、勾股定理，解题的关键是明确题目中等积线段的定义，利用数形结合的思想解答问题．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．【分析】（1）将点A（1，a）代入y＝x+1，求出a的值，得到A点坐标，再把A点坐标代入y＝，求出k的值；（2）设点P的坐标为（x，），根据OP＝OA列出方程x2+（）2＝12+22，解方程即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（1，a），∴a＝1+1＝2，∴A（1，2）．∵函数y＝的图象经过点A（1，2），∴k＝1×2＝2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP＝OA，∴x2+（）2＝12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，经检验，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，正确求出k的值是解题的关键．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（m，0）（用含m的代数式表示），∠ABO＝30°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当＝时，求m的值．【分析】（1）首先求出直线与x轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数；（2）①分别利用∠NEB＝90°和∠ENB＝90°，结合切线的性质得出m的值；②首先求出NG：EN＝，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性质，进而得出m的值．【解答】解：（1）当y＝0，则0＝﹣x+m，解得：x＝m，故B点坐标是（用含m的代数式表示），∵一次函数y＝﹣x+m与y轴交于点（0，m），∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°；故答案为：（m，0），30；（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP若∠NEB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∵∠POE＝90°，∴四边形OPNE是矩形，∴PN＝2，∠APN＝90°，在Rt△APN中，PN＝2，∠BAO＝60°，∴PA＝，∴m＝2+，若∠ENB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，∴m＝2，综上可知，m＝2或2+；②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，则PA＝m﹣2，PH＝，∵＝，∴EB＝，EN＝EO＝，EG＝，∴EG：EN＝1：4，∴NG：EN＝，∵∠PNE＝90°，∴∠PNH+∠ENG＝90°，∵∠GNE+∠NEG＝90°，∴∠NEG＝∠PNH，∵∠PHN＝∠EGN＝90°，∴△PHN∽△NGE，∴＝，∴＝，解得：m＝．【点评】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．。

清华附中高三2019年12月月考试卷数学一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8B. 12C. 16D. 203.若122log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b =B. 2b a =C. 4a b =D. 4b a =4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱5.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A.2B.2-6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A. B.C.D.8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题；共30分）9.直线y x =被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为________. 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 11.在△ABC 中，23A π∠=，，则bc=_________. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r的最小值是________.14.已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r，则||BD uuu r 的最大值为______．三、解答题（共6小题；共80分）15.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-. (1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .16.已知函数()2cos (sin )f x x x x =+- （（）求()f x 的单调递增区间； （（）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为2-，求m 的最大值.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD△等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由. 18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.19.已知函数221()(1)2xf x a x eax a x -=-----，其中()a a ∈R 常数.(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围.20.已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．。

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4 B．3，2，﹣4 C．3，﹣4，2 D．2，﹣2，0 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan B的值是（）A．B．C．D．4．函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可看作由函数y＝x2的图象（）A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能6．下列说法中不正确的是（）A．任意两个等边三角形相似B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似D．任意两个正方形相似7．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A．B．C．D．8．如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y＝x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y＝x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6二．填空题（共8小题）9．若cos A＝，则锐角A的度数为．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，△ADE的周长为9，则△ABC的周长为．11．某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是．抽取的篮球数n100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 12．中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画．折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是120°，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm，则这个扇形的面积是．13．无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为．14．如图，△ABC内接于⊙O将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠ABD＝44°，则∠A的度数为．15．在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为．16．如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接DB、AC交于点E，则∠DAB＝，＝．三．解答题（共12小题）17．计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．19．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若CD＝12，CE＝3，求△ABC的周长．20．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点C的对应点E恰好落在AB上，（1）求∠DBC的度数；（2）当BD＝时，求AD的长．24．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EC，线段EC绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF、BF，已知AD＝5cm，BC＝8cm，设AE＝xcm，DF＝y1cm，BF＝y2cm．小王根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.52 2.07 2.05 2.48 4.00y2/cm 1.93 2.93 3.93 4.93 5.93 6.93 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，解决问题：①当AE的长度约为cm时，DF最小；②当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，AE的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27．如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP＝α，则∠BCD＝（用含α的式子表示）；（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF＝45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E′OF′，当d（扇形E′OF′）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）＝6，直接写出OP长度的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；故选：B．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4 B．3，2，﹣4 C．3，﹣4，2 D．2，﹣2，0【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，﹣2，﹣4．故选：A．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan B的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再运用三角函数定义解答．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12．∴tan B＝＝．故选：A．4．函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可看作由函数y＝x2的图象（）A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可由二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到．故选：D．5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．6．下列说法中不正确的是（）A．任意两个等边三角形相似B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似D．任意两个正方形相似【分析】直接利用相似图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、任意两个等边三角形相似，说法正确；B、有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似，说法正确；C、有一个角是 30°的两个等腰三角形相似，30°有可能是顶角或底角，故说法错误；D、任意两个正方形相似，说法正确；故选：C．7．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，看能配成一副的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：设其中一副手套分别为a，a′；另一副手套分别为b，b′．共有12种情况，能配成一副的有4种情况，所以刚好是一副的概率是＝，故选：B．8．如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y＝x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y＝x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣2的对称轴为x＝﹣1，C（0，﹣2），∴C点关于对称轴对称的点C'（﹣2，﹣2），过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE＝C'E，则C'F＝CE+EF＝C'E+EF是CE+EF的最小值；∵直线y＝﹣x+3，∴C'F的解析式为y＝x+，∴F（，），∴C'F＝，故选：C．二．填空题（共8小题）9．若cos A＝，则锐角A的度数为45°．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：∵cos A＝，∴∠A＝45°，故答案为：45°．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，△ADE的周长为9，则△ABC的周长为27 ．【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∵△ADE的周长为9，∴△ABC的周长为27，故答案为27．11．某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940 ．抽取的篮球数n100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 【分析】由表中数据可判断频率在0.940左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.940．【解答】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940．故答案为0.940．12．中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画．折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是120°，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm，则这个扇形的面积是96πcm2．【分析】根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：扇面的面积＝S大扇形﹣S小扇形＝﹣＝96πcm2，故答案为96πcm2．13．无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为a＞﹣．【分析】无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，即：抛物线位于x轴上方，与x轴无交点，也就是△＜0．【解答】解：无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，∴抛物线位于x轴上方，即：（2a+1）2﹣4（a2﹣1）＞0解得：a＞﹣，14．如图，△ABC内接于⊙O将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠ABD＝44°，则∠A的度数为68°．【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDC＝180°，根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵将沿BC翻折，交AC于点D，∴∠A+∠BDC＝180°，设∠A＝α，∴∠BDC＝180°﹣α，∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴180°﹣α＝α+44°，∴α＝68°，故答案为：68°．15．在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为（2，2）．【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】解：如图，点P即为所求，P（2，2）．故答案为（2，2）．16．如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接DB、AC交于点E，则∠DAB＝67.5°，＝．【分析】根据平行线的性质证得，△ADF是等腰直角三角形，求得BD＝+1，再证△ADE∽△BDA，得ED＝＝﹣1，BE＝2．所以＝．【解答】解：连接BC、CD，作AF∥CD，交BE于F，∵＝，∴AC＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵点D是弧AC的中点，∴可设AD＝CD＝1，∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝67.5°根据平行线的性质得∠AFD＝∠CDF＝45°．∴△ADF是等腰直角三角形，则AF＝，BF＝AF＝．∴BD＝+1．∵∠DAC＝∠ABD，∠ADB＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∴DE＝＝﹣1，BE＝2．∴＝．故答案为67.5°，．三．解答题（共12小题）17．计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，后算加减即可．【解答】解：原式＝1+4××﹣×，＝1+﹣1，＝．18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．【分析】（1）根据作法即可用直尺和圆规补全图形；（2）根据作图过程即可完成证明．【解答】解：（1）如图即为补全的图形；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上、直径所对圆周角是直角、相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．19．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若CD＝12，CE＝3，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形性质求出∠B＝∠C＝60°，根据等式性质求出∠BAD＝∠EDC，即可证明△ABD∽△DCE．（2）根据相似三角形的对应边成比例得出＝，列方程解答即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，（2）解：∵△ABD∽△DCE∴＝，设正三角形边长为x，则＝，解得x＝9，即△ABC的边长为9，周长为27．20．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）【分析】首先在直角三角形ADC中求得AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD的长，两者相加即可求得AB的长．【解答】解：在Rt△ADC中，∵，CD＝100，∴AD＝tan30°•CD＝，在Rt△BDC中，∵，CD＝100，∴BD＝tan20°•CD≈0.36×100＝36∴AB＝57.7+36＝93.7米．21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m﹣1）2﹣4×（m2﹣1）≥0，然后解不等式即可；（2）先确定m的最大整数为0，则方程化为x2﹣x﹣1＝0，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4×（m2﹣1）≥0，解得m≤；（2）m的最大整数为0，方程为x2﹣x﹣1＝0，△＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．【分析】（1）根据交点式得出y＝a（x+4）（x﹣2），将（0，﹣2）代入求出a即可得出这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求得抛物线的最小值，求得x＝4时的函数值，即可求得当﹣4＜x＜4时，y的取值范围．【解答】解：（1）∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过点（﹣4，0），∴抛物线经过点（2，0），设y＝a（x+4）（x﹣2），把（0，﹣2）代入解得：a＝，故解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）∵y＝x2+x﹣2＝（x+1）2﹣，∴函数有最小值﹣，把x＝4代入得y＝4，∴﹣4＜﹣1＜4，∴当﹣4＜x＜4时，y的取值范围是﹣≤y＜4．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点C的对应点E恰好落在AB上，（1）求∠DBC的度数；（2）当BD＝时，求AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠ABD即可解决问题．（2）设AD＝AB＝x，则DE＝AD＝x，AE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝75°+60°＝135°．（2）设AD＝AB＝x，则DE＝AD＝x，AE＝x，∴BE＝2x﹣x，在Rt△BDE中，∵BD2＝DE2+BE2，∴2＝x2+（2x﹣x）2，解得x＝，∴AD＝2x＝+1．24．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．【分析】（1）连结OB，根据等腰三角形的性质、对顶角相等证明∠OBA＝90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，根据圆周角定理得出△PBD是直角三角形，进而求得∠ABC＝∠D，即为直角三角形求得直径BD，根据sin∠ACB＝，得到＝，然后设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，根据勾股定理得到（2x）2+52＝（5+x）2，解得x的值，即可求得AB的长．【解答】（1）证明：连结OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EC，线段EC绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF、BF，已知AD＝5cm，BC＝8cm，设AE＝xcm，DF＝y1cm，BF＝y2cm．小王根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.52 2.07 2.05 2.48 3.17 4.00y2/cm 1.93 2.93 3.93 4.93 5.93 6.93 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，解决问题：①当AE的长度约为 1.5 cm时，DF最小；②当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，AE的长度约为 2.3或5或0.5 cm．【分析】（1）利用测量法解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）①根据函数图象寻找最低点解决问题即可．②根据图中A，B，C的横坐标的值即可判断．【解答】解：（1）利用测量法可知当x＝4时，DF＝3.17．故答案为3.17．（2）函数图象如图所示：（3）①观察图象可知，当x＝1.5时，DF的值最小，故答案为1.5．②两个函数的函数值y＝4时，△BDF是等腰三角形，此时A（2.3，4），B（5，4），∴x＝2.3或5时，△BDF是等腰三角形．两个函数的交点C的横坐标约为0.5，∴x＝0.5时，△BDF是等腰三角形．综上所述，x的值为2.3或5或0.5．故答案为2.3或5或0.5．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）求出A（0，﹣3），即可得到B（﹣4，﹣3）；（2）令x2+2x+a﹣3＝a即可求出MN的长；（3）顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x ﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a ＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，由此可知在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，y＝a要在线段AB的下方，a＜﹣3，故﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．【解答】解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3），∴B（﹣4，﹣3）；（2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3与直线y＝a交于M、N两点，∴x2+2x+a﹣3＝a即x2+2x﹣3＝0，∴MN＝4；②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，∴在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，∴y＝a要在线段AB的下方，∴a＜﹣3，∴﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．27．如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP＝α，则∠BCD＝α（用含α的式子表示）；（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意画出图形；（2）由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性质可求解；（3）由“SAS”可证△BAE≌△DAE，可得S△BAE＝S△DAE，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得S△DEC＝2S△ABE．【解答】解：（1）如图1所示；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵点B关于直线AP的对称点为D，∴AP垂直平分BD，∴AB＝AD，且AP⊥BD，∴∠BAP＝∠PAD＝α，∴∠DAC＝60°﹣2α，∵AD＝AC，∴∠ACD＝＝60°+α，∴∠BCD＝α，故答案为：α；（2）S△DEC＝2S△ABE，理由如下：如图2，过点A作AH⊥CD，连接EH，∵AC＝AD，AH⊥CD，∴DH＝CH，∴S△DEC＝2S△DEH，∵DE∥AH，∴S△AED＝S△DEH，∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴S△BAE＝S△DAE，∴S△DEC＝2S△ABE．28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF＝45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E′OF′，当d（扇形E′OF′）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）＝6，直接写出OP长度的取值范围．【分析】（1）①根据“正方距”的定义，d（点E）＝EC，d（点G）＝GA．②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d（扇形E′OF′）取最大值，由此写出α的范围即可．（2）如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧（红线），当点P在图中红线上时，d（点P）＝6，求出OP的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，连接AG．由题意：d（点E）＝EC＝6，d（点G）＝GA＝＝．②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d（扇形E′OF′）取最大值，所以45°＜α＜90°或135°＜α＜180°时，满足条件．（3）如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧（红线），当点P在图中红线上时，d（点P）＝6，设图中P（m，m），∵PB＝6，∴m2+（4+m）2＝36，解得m＝﹣2+或﹣2﹣（舍弃），∴P（﹣2+，﹣2+），∴OP的最大值＝OP＝m＝﹣2+2，∵OP的最小值＝OP′＝2，∴2≤OP≤﹣2+2．。

清华附中高三2019年12月月考试卷数学一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤【答案】C 【解析】集合{}1,0,1A =-，{}21{|11}B x x x x =<=-<<所以{}11A B x x ⋃=-≤≤. 故选C.2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8 B. 12C. 16D. 20【答案】B 【解析】 分析】用1a 和公差d 表示出13S 和439a a a ++即得． 【详解】设数列公差为d ，则131113121313(6)522S a d a d ⨯=+=+=，164a d +=， ∴48911113783(6)3412a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯=.．故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等差数列的基本量运算，掌握等差数列的基本量运算是解题关键．3.若122log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b = B. 2b a = C. 4a b = D. 4b a =【答案】D 【解析】【因为212log log a b +=222log log log 2b a b a -==,所以224b a==，4b a =，故选D. 4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B 【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱11ABEA DCFD - ，则截去的部分是三棱柱11BB E CC F - ，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A.B.C.D.22-【答案】D 【解析】由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =. 因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+=的距离为22r =，即d ===mm =，故选D . 6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】若函数2()ln 1x f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数，则()()f x f x -=()()f x f x -=-， ∴221ln ln ln 2111x x a a x x x ax-⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭++， ∴()()21lnln12a a x xxa a x-++=-++∴()()2112a a x xxa a x-++=-++，整理得()222221a a x x -+=-,故221(2)1a a ⎧=⎨+=⎩，解得1a =-. 总上可得，“1a =-”是“函数2()ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”的充分必要条件.选C. 7.函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B 【解析】 【分析】确定立定跳远进入决赛的是1至8号同学，然后根据各选择项对四位同学是否一定进行决赛进行分析． 【详解】首先立定跳远的是前8位同学进入决赛，若59a ≤，则2号、8号不进入决赛，1、3、4、5、6、7号同学进入跳绳决赛，正好6人，因此2号不一定进入跳绳决赛；5号如果不进入跳绳决赛，则1、4、5号都不进入跳绳决赛，与立定跳远同进入决赛的只有5人，不合题意，5号一定进入跳绳决赛；8号进入决赛，则2号也进入决赛，这时1、4、5号都不进入跳绳决赛，不合题意； 9号成绩不知是多少，不清楚是否进入决赛． 只有5号可肯定进入跳绳决赛． 故选：B.【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的概念是解题基础．（1）演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略．（2）演绎推理常考的推理形式还包括假言推理，即根据假言命题的逻辑性质进行的推理，解决这类问题常用方法①充分条件假言推理，②必要条件假言推理二、填空题（共6小题；共30分）9.直线3y x =被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为________.【答案】【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】直线方程一般式为0x -=，圆心为(2,0)，它到已知直线的距离为1d ==，圆半径为2r =，所以弦长为==．故答案为：【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何方法，由垂径定理知可用勾股定理求出弦长． 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】2π.【解析】 【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x-,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 11.在△ABC 中，23A π∠=，，则bc=_________. 【答案】1 【解析】试题分析：由正弦定理知sin sin A a C c ==所以2sin 1sin 2C π==，则6C π=，所以2366B ππππ=--=，所以b c =，即1bc=．【考点】解三角形【名师点睛】①根据所给等式的结构特点，利用余弦定理将角化边是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【此处有视频，请去附件查看】12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【解析】过点Q 作QN ⊥平面ABCD ，垂足为N ， 则点N 在线段AC 上，连接,PQ PN ,在Rt PNQ V 中，PQ ==，在平面ABCD 内过点M 作ME AC ⊥，垂足为E ，则2ME =，即M 到直线AC 的最短距离为2， 又1PM =，当P ME ∈时，此时min 11PN ME =-=,所以min PQ ==.13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r的最小值是________.【答案】-3. 【解析】 【分析】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案. 【详解】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(C ,AC 中点1,22N ⎛- ⎝⎭.设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+u u u u r，32BN ⎛=- ⎝⎭u u u r3(1)22AM BN x y⋅=-++u u u u r u u u r .∵(,)M x y在直线10:BC x y +-=上，∴1x y =，∴3AM BN ⋅=-u u u u r u u u r∵0y剟0y =时，AM BN ⋅u u u u v u u u v的最小值为-3.故答案为-3【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量数量积的应用，属于基础题.14.已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r，则||BD uuu r 的最大值为______．【答案】10 【解析】解：设AC m =，由题意可得：3,DC m AB == ，则：22228cos 22AC BC AB m C AC BC m+--==⨯ ， ABC构成三角形，则：2{2m m +>-<，解得：24m <<，由余弦定理：BD ===，当4m =时，BD u u u r取得最大值为10.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题（共6小题；共80分）15.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列； (2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）2(1)n b n n =+；（2）2(1)n nS n =+．【解析】 【分析】 （1）先求出数列{}nb n的通项公式，再得n b ,直接作差可得单调性； （2）用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和． 【详解】（1）∵12(2)1n n b b n n n --=≥-，∴数列{}n b n是等差数列，公差为2，又141b=，∴42(1)22nb n n n=+-=+，∴2(1)n b n n =+． 2n ≥时，12(1)2(1)40n n b b n n n n n --=+--⋅=>，所以1n n b b ->，所以数列{}n b 是递增数列． （2）11111()2(1)21n b n n n n ==-++， ∴111111[(1)()()]222312(1)n n S n n n =-+-++-=++L ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的单调性，考查裂项相消法求和．在数列求和中有些特殊数列求和方法需要掌握：裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法等等．16.已知函数()2cos (sin )f x x x x =+- ，，）求()f x 的单调递增区间； ，，）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为2-，求m 的最大值.【答案】，，，5[,],.1212k k k ππ-+π+π∈Z ，，，5π12- 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得m 的最大值．【详解】解：（Ⅰ）()()2cos sin f x x x x =+22cos sin x x x =⋅+πsin22sin 23x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 由π222,232k x k k Z ππππ-+≤+≤+∈， 得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间是5,,.1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）因为π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π22,333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-， 即πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,6m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-. 所以ππ232m +≤-，即5π12m ≤-. 所以m 的最大值为5π12-.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2；（3）棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，，13PE PD =. 【解析】【分析】 （1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r ，由AE u u u r 与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在.【详解】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD，PO =，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，P ，(1,1,PC =-u u u r ，11(,,0)22BC =u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则011022n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =-，则1y =，3z =，(1,1,3n =-r ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =u r ， 的cos,10m nm nm n⋅<>===u r ru r ru r r，∴平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为10；（3）假设棱PD上存在一点E，使得//AE平面PBC，设PE PDλ=u u u r u u u r(01)λ≤≤，由（2）(1,0,PD=u u u r，AP=u u u r，10AE AP PE AP PDλλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(，又平面PBC的一个法向量是(1,1,3n=-r，∴1)0AE nλ⋅=--+=u u u r r，解得13λ=，∴13PEPD=.∴棱PD上存在一点E，使得//AE平面PBC，，13PEPD=.【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．18.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦点为1F，2F，离心率为12，点P为椭圆C上一动点，且12PF F△，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点()11,M x y，()22,N x y为椭圆C上的两个动点，当1212x x y y+为多少时，点O到直线MN的距离为定值.【答案】（1）22143x y+=；（2）当1212x x y y+＝0时，点O到直线MN.【解析】【分析】（1）12PF F△的面积最大时，P是短轴端点，由此可得bc=222a b c=+可得,a b，从而得椭圆方程；（2）在直线MN斜率存在时，设其方程为y kx m=+，现椭圆方程联立消元（y）后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论．【详解】（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆面积最大，所以122c b bc ⨯⨯==22212bc c aa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆方程为22143x y +=． （2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的距离为d =2221m d k =+， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=， 2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+， 所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k --+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，7d =为常数． 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，7d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN的距离为定值7. 【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式． 19.已知函数221()(1)2x f x a x e ax a x -=-----，其中()a a ∈R 为常数.(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围.【答案】（1）1y =-；（2）(1,0)-．【解析】【分析】（1）求出导数，得切线斜率，可得切线方程；（2）求出导函数()f x '，分类讨论求()0f x '=的根，讨论()f x 的单调性，得极值点．要极值点在(0,1)上才能满足题意．【详解】（1）1()x x f x e +=-，()x x f x e '=，(0)0f '=，又(0)1f =-，所以切线方程为1y =-． （2）2()()()()xx f x a x e ax a x a e a --'=+--=+-， 由（1）知0a =不合题意，当0a <时，由()0f x '=得x a =-，且当x a <-时，()0f x '<，x a >-时，()0f x '>，x a =-是()f x 的极小值点，由题意01a <-<，所以10a -<<．当0a >时，由()0f x '=得1x a =-或2ln x a =-，10x a =-<，若1a ≥，则2ln 0x a =-≤，则当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数，所以()f x 在(0,1)上是单调函数，无极值点，当01a <<时，ln 0a ->，x a <-或ln x a >-时，()0f x '<，ln a x a -<<-时，()0f x '>，即()f x 在(,)a -∞-，(ln ,)a -+∞上递减，在(,ln )a a --上递增，所以()f x 在(0,1)上无极小值点．综上a 的取值范围是(1,0)-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，函数的极值，考查了分类讨论思想、转化与化归思想．属于难题．20.已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,14 1,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．【答案】（1）3n d =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义可直接求得4,1n n A B ==，从而可计算n d .（2）先证明充分性，可根据数列的单调性得到11,n n n A a B a +==，从而可得0n d <，再证明必要性，先从10d <可得12a a <，再根据20d <可得23a a <，依次类推可以得到34n a a a <<<L L ，从而得到数列为单调增数列.（3）当1n =时，我们得到{}23min ,,,,0n a a a =L L ，就23,,,,n a a a L L 全为零和23,,,,n a a a L L 不全为零分类讨论即可.【详解】（1）当14n ≤≤，数列{}n a 是递减数列，最大为14a =，又451n a a a ==⋯==⋯=，所以4,1n n A B ==， 1,2,3,n =⋯，所413n n n d A B =-=-=.（2）充分性：数列{}n a 单调递增，则12n a a a <<<<L L ，则11,n n n A a B a +==，所以110n n n n d A B a a +=-=-<.必要性：对于数列{}n a ， *,0,0n n n n n N d d A B ∀∈<=-<即n n A B <，当1n =时，{}111212min ,,,n a A B a a α+==<≤L L ，所以12a a <， 当2n =时，222a A B =<，{}2313min ,,,n B a a a +=≤L L ，所以23a a <，同理34n a a a ⋯<<⋯<即数列{}n a 单调递增，故“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件． （3）当1n =时，11A a =，因为11d a =，所以10B =，所以{}23min ,,,,0n a a a =L L ，若设23,,,,n a a a L L 全为零，则{}21234,min ,,,,0n A a B a a a ===L L ，时22100d A a =-==，故0n a =，其中任意*n N ∈.若23,,,,n a a a L L 不全为零，设诸23,,,,n a a a L L 中第一个为零．．．．．的记为0i a ， 则00231,,,,,i i a a a a -L L 中，{}11min ,,,,0m m m n B a a a ++==L L 即0m B =，其中011m i ≤≤-，所以{}12max ,,,m m m d A a a a ==L ，因为m m d a =，所以{}12max ,,,m m a a a a =L 对任意的011m i ≤≤-总成立，所以0121i a a a -≤≤≤L ，下面考虑0i A ，因{}0001231max ,,,,,i i i A a a a a a -=L 即{}0002311max ,,,,0i i i A a a a a --==L ， 因为000i i d a ==，所以{}0000121min ,,,,0i i i n i B a a a a ++-==>L L， 故对任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>， 则{}0000+1123111max ,,,,,0,i i i i A a a a a a a -++==L ，因为00+11i i d a +=，所以{}000+123min ,,,,0i i i n B a a a ++==L L ，这与任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>矛盾，所以23,,,,n a a a L L 不全为零不成立，所以0n a =，其中任意的*n N ∈.【点睛】本题以数列新定义为载体，考查了数列通项的求法、充分必要条件的证明以及数列性质的讨论，解题中注意从具体到一般的思维方法，注意抓住关键元素进行讨论（如本题中的零元素），此类问题属于难题.的。

2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x =2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积的比为( )A ．4:9B ．9:4C ．2:3D ．3:24．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k y k x =>的图象上的两点， 且12y y <． 满足条件的m 值可以是( )A ．6-B ．1-C ． 1D ． 35．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC∠的度数是( )A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒6．（3分）如图，在ABC==，以点C为中心，把ABC∆逆时AB AC∠=︒，4BAC∆中，90针旋转45︒，得到△A B C''，则图中阴影部分的面积为()A．2B．2πC．4D．4π7．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为()A．1-B．3-C．5-D．7-8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 ．10．（3分）如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 （用含α的式子表示）．11．（3分）在反比例函数32m y x-=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 ．12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=︒，则OC 的长为 ．13．（3分）如图，双曲线k y x =与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20k ax bx c x<<++的解集为 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ∆得到COD ∆的过程： ．15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ∆的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 步．三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法）17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452-︒+--+︒． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线k y x=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．（1）求k ，a ，b 的值．（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ∆的面积是6，直接写出点P 的坐标 ．19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在ABC ∆和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠．求证：ABC ∆∽△A B C '''．证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ．由此得到△A DE '∽△A B C '''．A DEB ''∴∠=∠．B B '∠=∠，A DEB '∴∠=∠．A A '∠=∠，∴△A DE ABC '≅∆．ABC ∴∆∽△A B C '''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作△A DE '与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ；（3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED ∆∆∽；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ∆与AED ∆相似，直接写出PA 的长 ．21．（6分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，O 的切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：E 是AC 中点；（2）若10AB =，6BC =，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长．22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217:82l y ax ax =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ．（1）求抛物线1l ，2l 的表达式；（2）当x 的取值范围是 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形；（2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm 01 2 3 4 5 /y cm5.2 4.4 3.8 3.5 8.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt CDE∆斜边CE上的中线时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．24．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当O的半径为3时，在点1(1,0)P，2(3P1)，37 ( 2P，0)，4(5,0)P中，O的和睦点是；（2）若点(4,3)P为O的和睦点，求O的半径r的取值范围；（3）点A在直线1y=-上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点(2E2)，若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标Ax的取值范围．2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x = 【解答】解：2223(1)2y x x x =++=++，∴抛物线的对称轴为直线1x =-．故选：B ．2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．3．（3分）如图，ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积的比为( )A ．4:9B ．9:4C ．2:3D ．3:2【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，2AD =，3A D ''=， ∴23AB AD A B A D ==''''， ABC ∴∆与△A B C '''的面积的比224()39==， 故选：A ．4．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k y k x =>的图象上的两点， 且12y y <． 满足条件的m 值可以是( )A ．6-B ．1-C ． 1D ． 3【解答】解：0k >，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，由题意得，02m <<，故选：C ．5．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC∠的度数是( )A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【解答】解：如图，连接OC ．14AB =，7BC =，7OB OC BC ∴===，OCB ∴∆是等边三角形，60COB ∴∠=︒， 1302CDB COB ∴∠=∠=︒， 故选：B ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，以点C 为中心，把ABC ∆逆时针旋转45︒，得到△A B C ''，则图中阴影部分的面积为( )A ．2B ．2πC ．4D ．4π【解答】解：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==， 2242BC AB AC ∴=+=，45ACB A CB ''∠=∠=︒，∴阴影部分的面积2245(42)114544444236022360πππ=-⨯⨯+⨯⨯-=， 故选：B ．7．（3分）如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为( )A ．1-B ．3-C ．5-D ．7-【解答】解：根据题意知，点N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为(2,0)-，当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为(1,0)，M点的坐标为(5,0)-，故点M的横坐标的最小值为5-，故选：C．8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A．B．C．D．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，DM E∠逐渐减小，到A点时，为36︒，②P在AC之间，DM E∠保持36︒，大小不变，③P在CO之间，DM E∠逐渐增大，到O点时，为72︒；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 3 ．【解答】解：正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3， 而正六边形可以分成六个边长的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长， ∴正三角形的边长为3，∴正六边形ABCDEF 的边长为3，故答案为：310．（3分）如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 902α︒-（用含α的式子表示）．【解答】解：ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转α得到△A B C ''， AC AC ∴='，CAC α∠'=，C C ∠=∠'， 1(180)9022C αα∴∠'=︒-=︒-，902C α'∴∠=︒-．故答案为：902α︒-．11．（3分）在反比例函数32my x-=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 32m <． 【解答】解：120x x <<，12y y >，320m ∴->，解得：32m <， 故答案为：32m <． 12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=︒，则OC 的长为3 ．【解答】解：连接OA ．PA ，PB 切O 于点A ，B ，90OAP ∴∠=︒，1302APO APB ∠=∠=︒，3633OA ∴===60AOP ∠=︒ 132OC OA ∴==313．（3分）如图，双曲线ky x=与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20kax bx c x<<++的解集为 23x x x << ．【解答】解：由图可知，23x x x <<时，20kax bx c x<<++， 所以，不等式组20kax bx c x<<++的解集是23x x x <<． 故答案为：23x x x <<．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ∆得到COD ∆的过程： 以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆ ．【解答】解：以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆， 故答案为：以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ∆的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 6 步．【解答】解：90C ∠=︒，8AC =步，15BC =步，2217AB AC BC ∴=+=步，ABC ∴∆的内切圆O 直径815176=+-=步，故答案为：6．三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法） 【解答】解：22410x x --=21202x x --= 212112x x -+=+23(1)2x -=1612x ∴=+，261x =-．17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452-︒+--+︒．【解答】解：原式21222223(2=⨯+-+1122232=+-+1222=- 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线ky x=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．（1）求k ，a ，b 的值．（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ∆的面积是6，直接写出点P 的坐标 (0,2)或(0,6)- ．【解答】解：（1）把(,2)M a 、(1,)N b 代入22y x =--中得：222a --=，224b =--=-， 2a ∴=-，4b =-，即(2,2)M -，(1,4)N -， 把(2,2)M -代入ky x=中，得4k xy ==-， 4k ∴=-，2a =-，4b =-；（2）设直线22y x =--与y 轴交于点A ，令0x =，即2y =-，故(0,2)A -， 11()(12)622MPN PAM PAN N M S S S PA x x PA ∆∆∆=+=⨯-=⨯⨯+=， 4PA ∴=(0,2)P ∴或(0,6)-，故答案为(0,2)或(0,6)-．19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程． 已知：如图，在ABC ∆和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠． 求证：ABC ∆∽△A B C '''．证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ． 由此得到△A DE '∽△A B C '''．A DEB ''∴∠=∠． B B '∠=∠， A DE B '∴∠=∠． A A '∠=∠，∴△A DE ABC '≅∆．ABC ∴∆∽△A B C '''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ，可以判定所作△A DE '与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ； （3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．【解答】解：小明将证明的基本思路概括如下：（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△A DE '与△A B C '''相似；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与ABC ∆全等；（3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△A B C '''相似；ABC ∆全等．20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ． （1）求证：PAF AED ∆∆∽；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ∆与AED ∆相似，直接写出PA 的长 1或52．【解答】（1）证明：正方形ABCD ， //CD AB ∴，90D ∠=︒AED PAF ∴∠=∠，又PF AE ⊥，90PFA D ∴∠=∠=︒．PFA ADE ∴∆∆∽．（2）解：情况1，当EFP ADE ∆∆∽，且PEF EAD ∠=∠时， 则有//PE AD∴四边形ADEP 为矩形．1PA ED ∴==；情况2，当PFE ADE ∆∆∽，且PEF AED ∠=∠时，PAF AED ∠=∠， PEF PAF ∴∠=∠． PE PA ∴=． PF AE ⊥，∴点F 为AE 的中点．2AE =，AF ∴=PFA ADE ∆∆∽，PA AFAE DE=，∴21=，52PA ∴=∴满足条件的PA 的值为1或52． 故答案为1或52．21．（6分）如图，在ABCC∠=︒，以BC为直径的O交AB于点D，O的切线∆中，90DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若10BC=，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．AB=，6【解答】（1）证明：连接CD，ACB∠=︒，BC为O直径，90∴为O切线，且90ED∠=︒；ADCED切O于点D，∴=，EC ED∴∠=∠；ECD EDCA ECD ADE EDC∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，A ADE∴=，AE EDAE CE∴=，即E为AC的中点；BE CE ∴=；（2）解：连接OD ，90ACB ∠=︒， AC ∴为O 的切线，DE 是O 的切线，EO ∴平分CED ∠，OE CD ∴⊥，F 为CD 的中点，点E 、O 分别为AC 、BC 的中点， 1110522OE AB ∴==⨯=， 在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，由勾股定理得：8AC =， 在Rt ADC ∆中，E 为AC 的中点， 118422DE AC ∴==⨯=， 在Rt EDO ∆中，116322OD BC ==⨯=，4DE =，由勾股定理得：5OE =， 由三角形的面积公式得：1122EDO S DE DO OE DF ∆=⨯⨯=⨯⨯，即435DF ⨯=⨯， 解得： 2.4DF =，在Rt DFO ∆中，由勾股定理得：2222324 1.8OF DO DF =--=．22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217:82l y ax ax =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ． （1）求抛物线1l ，2l 的表达式；（2）当x 的取值范围是 24x 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．【解答】（1）1l 的对称轴为：842ax a-=-=， 6AB =，(1,0)A ∴，(7,0)B ，把(1,0)A 代入1l ， 得12a =-，∴2117:422l y x x =-+-， (5,4)C ∴，由题意，设221:2l y x bx c =++， ∴10225542b c b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得232b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2213:222l y x x =-+， 综上，2117:422l y x x =-+-，2213:222l y x x =-+；（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，顶点1(2,)2E -，顶点9(4,)2F ，所以24x 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大， 故答案为：24x ．（3）由图象知，当8m =时，MN 最大， 此时7(8,)2M -，35(8,)2N ，21MN ∴=．23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形； （2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm0 1 2 3 4 5 /y cm5.24.43.83.58.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy ，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD 为Rt CDE ∆斜边CE 上的中线时，AD 的长度约为 5.2 cm （结果保留一位小数）．【解答】解：（1）如图1所示，（2）如图2，在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，6AB =， 3BC ∴=，33AC =过点C 作CG AB ⊥于G ， 在Rt BCG ∆中，1322BG BC ==，33CG =， 6AB =，4AD =， 316422DG AB AD BG ∴=--=--=， 过点E 作EF AB ⊥于F ， 90DFE CGD ∴∠=∠=︒． 90DCG CDG ∴∠+∠=︒， DE CD ⊥，90CDG EDF ∴∠+∠=︒， DCG EDF ∴∠=∠， 90EFD DGC ∠=∠=︒，DEF CDG ∴∆∆∽，∴EF DFDG CG=， ∴11233332EF DF ==， 33DF EF ∴=，在Rt AEF ∆中，3AF EF =，233AE AF =， 3DF AF ∴=，44AD AF DF AF ∴=+==， 1AF ∴=，233AE ∴=， 2373330.433y CE AC AE ∴==-=-=≈， 故答案为：4.0；（3）函数图象如图3所示，（4）如图4，AD 是Rt CDE ∆的斜边的中线，12AD CE AC ∴==，由（2）知，33AC =， 33 5.2AD ∴=，故答案为：5.2．24．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当O 的半径为3时，在点1(1,0)P ，2(3P 1)，37(2P ，0)，4(5,0)P 中，O 的和睦点是 2P 、3P ；（2）若点(4,3)P 为O 的和睦点，求O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线1y =-上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点(2E 2)，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，分别以点1P ，2P ，3P ，4P 为圆心，1为半径画圆，若与O 有交点，则P 是，O 的和睦点， 观察图象可知，O 的和睦点是2P 、3P ． 故答案为：2P 、3P ．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．P，(4,3)∴=，5OP满足条件的O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当4OA=时，得到r的最小值为4，当6OB=时，得到r的最大值为6，∴．r46（3）①如图3中，当点O 到C D ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为3-． 当点E 到CD 的距离1EN =时，此时点A 的横坐标为25-，∴253A x --时，满足条件；②)①如图3中，当点O 到A B ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为1 当点E 到AB 的距离1EN =时，点A 的横坐标为21-，∴211A x -时，满足条件；综上所述，满足条件的当A 253A x -211A x ．。

北京市海淀区北京交通大学附属中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.点P （2，﹣1）关于原点对称的点P ′的坐标是（ ）A. （﹣2，1）B. （﹣2，﹣1）C. （﹣1，2）D. （1，﹣2）【答案】A【解析】【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【详解】解：点P （2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．故选A ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2.抛物线()21y x =+的对称轴是（ ） A. 直线1x =B. 直线0x =C. 直线1x =-D. 直线0y =【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数顶点式的性质判断即可.【详解】()21y x =+的对称轴是:x =-1.故选C.【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于牢记基础知识.3.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则S △ADE :S △ABC 等于（ ）A. 1:5B. 1:4C. 1:3D. 1:2【答案】B【解析】【分析】 证出DE 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC ，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、C 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC ， ∴△ADE∽△ABC，∴S △ADE ：S △ABC =（12）2=14； 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．4.O e 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为3，点P 与O e 的位置关系是( )A. 无法确定B. 点P 在O e 外C. 点P 在O e 上D. 点P 在O e 内 【答案】D【解析】【分析】根据点在圆上，则d r =；点在圆外，d r >；点在圆内，d r(d <即点到圆心的距离，r 即圆的半径)，进行判断即可．【详解】解：OP 35=<Q ，∴点P 与O e 的位置关系是点在圆内．故选D ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 5.已知近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数解析式为（ ）A. y ＝200xB. y ＝200xC. y ＝100xD. y ＝100x【答案】D【解析】【分析】 首先由题中给出y 与x 成反比例写出反比例函数函数解析式的一般形式y ＝k x；把当x ＝0.5，y ＝200，代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程；解方程求出待定系数的值，从而得到函数解析式.【详解】解：∵近视镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，∴设y ＝k x（k ≠0）， ∵200度近视镜的焦距为0.5m ，∴当x ＝0.5时，y ＝200，∴k ＝xy ＝0.5×200＝100. ∴眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为y ＝100x. 故选D.【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点.用待定系数求函数解析式的一般步骤：（1）写出函数解析式的一般形式；（2）把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.6.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，»»AD CD=，如果∠CAB ＝40°，那么∠CAD 的度数为（ ）A. 25°B. 50°C. 40°D. 80°【答案】A【解析】【分析】 先求出∠ABC =50°，进而判断出∠ABD =∠CBD =25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】如图，连接BC ，BD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵∠CAB =40°，∴∠ABC =50°．∵弧AD =弧CD ，∴∠ABD =∠CBD 12=∠ABC =25°，∴∠CAD =∠CBD =25°． 故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线．7.在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AC BE ，交于点O ，若:1:2AE ED =，2OE =，则OB 的长为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】 由△AEO ∽△CBO ，可知OE ：BO=3:1，即可得出OB 的长.【详解】∵:1:2AE ED =∴:1:3AE AD =，则:1:3AE BC =∵△AEO ∽△CBO ， ∴13OE AE OB CB ==， ∴OB=6，选C.【点睛】此题主要考察相似三角形的应用.8.对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a★b＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2★x 的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据规定得出函数y ＝2★x 的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x ，即x ＞2时，y ＝2+x ，y 是x 的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A 、D 错误；当2≥x ，即x ≤2时，y ＝﹣2x，y 是x 的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x ≤2，故B 错误．故选C ．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x 的解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小題2分）9.已知反比例函数1myx+=的图象经过点()2,3-，则m=______.【答案】-7【解析】【分析】将点(2,-3)代入反比例函数即可求出m的值. 【详解】将点(2,-3)代入得: 132m+-=, 解得:m=-7 故答案为:-7. 【点睛】本题考查反比例函数的代入求值,关键在于理解图象过点的意思.10.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是______mm．【答案】200【解析】【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．【详解】解：∵⊙O的直径为1000mm，∴OA=OA=500mm．∵OD⊥AB，AB=800mm，∴AC=400mm，=300mm，∴CD=OD-OC=500-300=200（mm）．答：水的最大深度为200mm．故答案为200【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．11.已知二次函数221y x bx=-+-图象的顶点在x轴上.则b=______.【答案】±【解析】【分析】根据二次函数的顶点公式得出顶点纵坐标,令其等于零即可解出.【详解】由题意得,顶点纵坐标:244ac ba-=即:()()()242142b⨯-⨯--=⨯-.解得:b=±.故答案为: ±【点睛】本题考查二次函数顶点的几何意义,关键在于理解顶点纵坐标为零.12.在－1，0，1这三个数中任取两个数m，n，则二次函数()2y x m n=-+图象的顶点在坐标轴上的概率为______.【答案】2 3【解析】【分析】将所有的可能的情况枚举出来,再根据频率计算概率即可.【详解】由题意顶点坐标m,n共有(-1,0)(-1,1)(0,-1)(0,1)(1,-1)(1,0)6种情况,其中在坐标轴的由4种,概率为:42 63 =.故答案为: 23. 【点睛】本题考查二次函数与概率计算,关键在于把顶点坐标表示出来.13.已知1(1)y -，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式______．【答案】2y x -=(答案不唯一). 【解析】【分析】先根据题意判断出k 的符号，再写出符合条件的解析式即可．【详解】∵（-1，y 1），（2，y 2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y 1＞y 2，∴函数图象的分支在二四象限，则k ＜0．故答案为y=-2x ，答案不唯一． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k 的符号．14.已知点A 在反比例函数k y x=的图象上，点B 在x 轴上，O 是坐标原点，若AO AB =，AOB ∆的面积等于3，则k 的值为______.【答案】3±【解析】【分析】根据题意画出图象,利用公式法列出式子求出即可.【详解】由题意画如下图象:∵A(x A ,y A )在反比例函数上,∴OB=2 |x A |且x A ·y A =k .S △AOB =1||2A OB y ⋅⋅=3 即: 12||||2A A x y ⋅⋅=3,解得:|k|=3, ∴k=3±.故答案为: 3±.【点睛】本题考查反比例函数与几何的结合,主要在于画出图形了利用公式解题. 15.如图，一次函数3y x =-与反比例函数()0k y k x =<的图象交于A 、B 两点，点P 在以()3,0C 为圆心，1为半径的C e 上，M 是AP 的中点，已知OM 长的最小值为1，则k 的值为______.【答案】2725-【解析】【分析】 作辅助线,先确定OM 长的最大时,点P 的位置,当BP 过圆心C 时,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t,根据勾股定理计算t 的值,可得k 的值.【详解】 如图,连接BP ,由对称性得:OA=OB,∵M 是AP 的中点,∴OM=12BP ,∵OM 长是最小值为1,∴BP 长的最小值为1×2=2,如图,当BP 过圆点C 时,BP 最长,过B 作BD ⊥x 轴于D, ∵CP=1,∴BC=BP+CP=3,∵B 在直线y=-2x 上,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t, Rt △BCD 中,由勾股定理得:BC 2=CD 2+BD 2,∴32=(3-t)2+(-3t)2,解得t=0(舍)或35,∴B(35,95-),∵点B 在反比例函数()0ky k x =<的图象上,∴k=35×95-=2725-.故答案为: 2725-.【点睛】本题考查一次函数与反比例函数与圆的结合,关键在于合理作出辅助线.16.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子中大约有100kg的种子不能发芽.其中合理的是______.【答案】②④【解析】【分析】根据某农科所在相同条件下作某作物种子发芽率的试验表,可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右,于是得到种子发芽的概率约为0.9,据此求出1000kg种子中大约有100kg种子是不能发芽的即可.【详解】①需要大量试验才可估算发芽率,故错误;②正确;③频率与概率不一定相等,故错误;④正确;故答案为:②④.【点睛】本题考查频率与概率的区别,关键还是在概念上区别两种.三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解方程：22530x x --=． 【答案】x 1=3，212x =- 【解析】 【分析】 因式分解法解.【详解】22530x x --= (-2x-1)(-x+3)=0 x 1=3，212x =-. 【点睛】考查利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解决本题的关键． 18.已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式； ()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【答案】（1）2(x 2)1--；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1Q =--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．Q 函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0，∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键． 19.下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图1，O e 和O e 外的一点P .求作：过点P 作O e 的切线. 作法：如图2，①连接OP ；②作线段OP 的垂直平分线MN ，直线MN 交OP 于C ； ③以点C 为圆心，CO 为半径作圆，交O e 于点A 和B ； ④作直线PA 和PB .则PA ，PB 就是所求作的O e 的切线. 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明： 证明：连接OA ，OB ，∵由作图可知OP 是C e 的直径，∴90OAP OBP ∠=∠=︒（______）（填依据）， ∴OA PA ⊥，OB PB ⊥， 又∵OA 和OB 是O e 的半径，∴PA ，PB 就是O e 的切线（______）（填依据）.【答案】（1）详见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【解析】 【分析】(1)根据题中描述画图即可.(2)利用圆周角的性质求得OA PA ⊥，OB PB ⊥，即可得切线. 【详解】(1)如图所示:(2) 连接OA ，OB ，∵由作图可知OP 是C e 的直径，∴90OAP OBP ∠=∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ∴OA PA ⊥，OB PB ⊥， 又∵OA 和OB 是O e 的半径，∴PA ，PB 就是O e 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. 【点睛】本题考查圆的尺规作图,关键在于掌握尺规作图的方法. 20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，()4,0B ，()0,1C -.（1）以点C 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90︒，画出旋转后的A B C '''∆； （2）在（1）的条件下，①点B 经过的路径¼BB '的长度为______（结果保留π）；②点A '的坐标为______. 【答案】（1）详见解析；（2）①172；②()4,2-. 【解析】 【分析】(1)利用网格和旋转的性质画出点A 、B 对应的点A ′和B ′,相连得到所求三角形.(2)①先根据勾股定理求出CB 的长,然后根据弧长公式求解即可;②根据所画图形写出A ′坐标即可. 【详解】(1)如图所示, A B C '''∆即为所求:(2)①BC=221417+=,∠BCB ′=90°.所以点B 经过的路径¼BB'=901717ππ⋅⋅=,②由图象可得:A ′坐标为:()4,2-【点睛】本题考查旋转变化作图,关键在于先找到旋转后对应的点,也需要牢记弧长公式.21.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，12AC =，5BC =.当DE DC =时，求AD 的长.【答案】263AD = 【解析】 【分析】由题意得出ADE ABC ∆∆∽,利用对应边成比例列出式子解出即可. 【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90DEA ∠=︒. 又∵90ACB AED ∠=︒=∠，A A ∠=∠.∴ADE ABC ∆∆∽. ∴AD DEAB BC= 在Rt ABC ∆中，∵12AC =，5BC =， ∴13AB =. 设AD x = ∵DE DC =∴12135x x -= 解得263x =∴263AD =.【点睛】本题考查相似的判定和性质,关键在于找到判定条件并利用性质列出式子. 22.如果抛物线2y x 2x 2k 4=++-与x 轴有两个不同的公共点．()1求k 的取值范围；()2如果k 为正整数，且该抛物线与x 轴的公共点的横坐标都是整数，求k 的值．【答案】（1）5k 2<；（2）k 的值为2． 【解析】 【分析】()1利用判别式的意义得到()2242k 40=-->V ，然后解不等式即可；()2先确定正整数k 的值为1，2，当k 1=时，抛物线解析式为2y x 2x 2=+-，当k 2=时，抛物线解析式为2y x 2x =+，然后分别解方程2x 2x 20+-=和2x 2x 0+=可确定满足条件的k 的值．【详解】解：()1根据题意得()2242k 40=-->V， 解得5k 2<；()52k 2<Q ， ∴正整数k 的值为1，2，当k 1=时，抛物线解析式为2y x 2x 2=+-，当y 0=时，2x 2x 20+-=，解得1x 13=-+，2x 13=--，该抛物线与x 轴的公共点的横坐标不是整数；当k 2=时，抛物线解析式为2y x 2x =+，当y 0=时，2x 2x 0+=，解得1x 0=，2x 2=-，该抛物线与x 轴的公共点的横坐标为0和2-，k ∴的值为2．故答案为:（1）5k 2<；（2）k 的值为2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：抛物线与x 轴的交点个数由判别式确定：2b 4ac 0=->V 时，抛物线与x 轴有2个交点；2b 4ac 0=-=V 时，抛物线与x 轴有1个交点；2b 4ac 0=-<V 时，抛物线与x 轴没有交点．23.在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与双曲线ky x=相交于点()1,A m . （1）求反比例函数的表达式： （2）画出直线和双曲线的示意图；（3）直接写出4kx x≥-+的解集______； （4）若点P 是坐标轴负半轴上一点，且满足2PA OA =.直接写出点P 的坐标______. 【答案】（1）3y x=；（2）详见解析；（3）01x <≤或3x ≥；（4）()131,0P 或(0,339P 【解析】 【分析】(1)将点A 代入直线坐标中求出m,再将点A 代入反比例函数中求出即可.(2)根据题意画出图象即可. (3)由图象即可看出.(4)设P(x,y)代入等式即可算出.【详解】（1）∵将A 代入直线4y x =-+,m =-1+4=3.∴()1,3A . ∴反比例函数的表达式为:3y x=. （2）如图所示:（3）由上图可得:01x <≤或3x ≥ （4）设P 点坐标(x,y) 223110+=10()()2213x y -+-()()2213x y -+-10.当x=0时,y=339-当y=0时,x=131∴()131,0P 或(0,339P【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于数形结合,熟悉基础知识.24.已知：如图，点C 是以AB 为直径的O e 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F .（1）求证：CF 是O e 的切线；（2）若3ED =，5EF =，求O e 的半径. 【答案】（1）详见解析；（2）O e 的半径为6. 【解析】 【分析】(1)连接CB 、OC,根据切线得∠ABD=90°,根据圆周角定理∠ACB=90°,即∠BCD=90°,则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE,于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,然后根据切线的判定定理得CF 是O 得切线;(2)CE=BE=DE=3,于是得到CF=CE+EF=4,然后根据相似三角形的性质即可得到结论. 【详解】（1）证明：连接CB ，OC ， ∵BD 为O e 的切线，AB 是O e 的直径， ∴DB AB ⊥，90ACB ∠=︒. ∴90ABD ∠=︒. ∴90BCD ∠=︒. ∵E 为BD 的中点， ∴CE BE =. ∴BCE CBE ∠=∠. 又∵OCB OBC ∠=∠∴90OBC CBE OCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒. ∴OC CF ⊥. ∴CF 是O e 的切线.（2）解：∵3CE BE DE ===，5EF =∴8CF CE EF =+=∵90ABD ∠=︒，∴90EBF ∠=︒，∵90OCF ∠=︒，∴EBF OCF ∠=∠，∵F F ∠=∠，∴EBF OCF ∆∆∽ ∴BE OC BF CF=， ∴348OC = ∴6OC =，即O e 的半径为6.【点睛】本题考查了切线的判定定理、勾股定理、圆周角定理,关键在于熟悉圆的基础知识及性质. 25.阅读材料：工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工.处理这种材料时，材料温度()y ℃是时间()x min 的函数.下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：()1在这个函数关系中，自变量x 的取值范围是______．()2如表记录了17min 内10个时间点材料温度y 随时间x 变化的情况： 时间()x min 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ⋯温度()y ℃15 24 42 60 3007 1003 30011 30013 m 30017⋯ 上表中m 的值为______．()3如图，在平面直角坐标系xOy 中，已经描出了上表中的部分点.根据描出的点，画出该函数的图象．()4根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当0x 5≤≤时，y 与x 之间的函数表达式为______，当x 5>时，y 与x 之间的函数表达式为______．()5根据工艺的要求，当材料的温度不低于30℃时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为______min ．【答案】（1）x 0≥；（2）20；（3）见解析；（4）y 9x 15=+，300y x =；（5）253. 【解析】【分析】（1）根据自变量x 表示的实际意义即可求解；（2）观察表格，可得x 5>时，时间与温度乘积不变；（3）用平滑曲线连接即可；（4）根据图象或表格，可知当0x 5≤≤时，函数是一次函数，由此利用待定系数法解决问题； 根据图象或表格可知，当x 5>时，函数是反比例函数，利用待定系数法即可解决问题；（5）将30℃分别代入两个表达式，结合图象确定加工时间．【详解】解：()1根据题意知x 0≥，故答案为x 0≥；()2x 5>时，时间与温度乘积不变，故15m 300=，m 20=，故答案为20；（3）()4当0x 5≤<时，设，y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，把()0,15、()1,24代入得{15b 24k b ==+,解得k 9=，b 15=，y 9x 15∴=+；当5≥时，设，y 与x 之间的函数表达式为ky x =，把()15,20代入得k 300=，300y x ∴=，故答案为y 9x 15=+，300y x =；()5当y 30=时，309x 15=+，30030x =， 解得5x 3=，x 10=，5251033-=， 故答案为253．故答案为（1）x 0≥；（2）20；（3）见解析；（4）y 9x 15=+，300y x =；（5）253.【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的应用，正确确定函数表达式是解答关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++经过点()0,2A ，()3,4B -. （1）求该抛物线的函数表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有一个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】（1）抛物线的表达式为2242y x x =-++，抛物线的对称轴为1x =；（2）4433t -≤<或4t =. 【解析】【分析】(1)将点A 、B 代入利用待定系数法解出即可.(2)由题意确定C 坐标,以及二次函数的最小值,确定出D 纵坐标的最小值,求直线AC 解析式,令x =1求出y 的值,由对称性即可得范围. 【详解】解：（1）∵点A ，B 在抛物线22y x mx n =++上， ∴22,4233.n m n =⎧⎨-=⨯++⎩ 解得4,2.m n =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的表达式为2242y x x =-++.∴抛物线的对称轴为1x =.（2）由题意得:C(-3,4),二次函数2242y x x =-++的最大值为4.设直线AC:y=kx+b, 将点A 和C 代入得:234b k b =⎧⎨-+=⎩,解得: 223b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩. ∴直线AC 的表达式为223y x =-+. 当x =1时, 43y =. 由对称性可知,此时与BC 交点的纵坐标为: 43-. ∴点D 纵坐标t 的范围为:4433t -≤<或4t =. 【点睛】本题考查二次函数的图象,关键在于掌握待定系数法和画图方法.27.如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE BD ⊥于E .（1）求证：CAE CBD ∠=∠.（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE .①依题意补全图形；②用等式表示线段AF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②22AF CE BE =+，理由详见解析.【解析】【分析】(1)利用同角的余角即可解出此问.(2)①根据题意补全图形;②过点C 作CG ⊥CE 角AE 于G,进而判断出∠CAE=∠CBD,即可判断△ACG ≌△BCE,得出AG=BE,CG=CE,进而判断出EC=2CE,得出AE=BE+2CE,再判断出EF=AE,即可.【详解】（1）证明：如图1，∵90ACB ∠=︒，AE BD ⊥，∴90ACB AEB ∠=∠=︒，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠.（2）①补全图形如图2.②22AF CE BE =.证明：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌.∴CM CE =，ACM BCE ∠=∠.又∵90ACB ACM MCB ∠=∠+∠=︒.∴90MCE BCE MCB ∠=∠+∠=︒.∴ME =.又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒后得到AF ，且90AEF ∠=︒，∴EF AE AM ME BE ==+=+.∴2AF CE ==+【点睛】本题考查三角形的综合知识,关键在于利用全等将线段进行转换.28.在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，如果PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形,M N 的“近距离”，记为(,)d M N .特别地，当图形M 与图形N 有公共点时，(,)0d M N =.已知(4,0)A -，(0,4)B ，(2,0)C -，（1）(d 点A ，点)B = ，(d 点A ，线段)BC = ；（2）⊙O 半径为r ，①当1r =时，求⊙O 与线段AB 的“近距离”(d ⊙O ，线段)AB ；②若(d ⊙O ，)ABC ∆1=，则r = .（3）D 为x 轴上一点，⊙D 的半径为1，点B 关于x 轴的对称点为点'B ，⊙D 与'BAB ∠的“近距离”(d ⊙D ，')1BAB ∠<，请直接写出圆心D 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）（2）①1;1或5;（3）64m -<< 【解析】【分析】(1) 根据图形M ，N 间的“距离”的定义即可解决问题;(2) ①设P 为⊙O 上一点，Q 为线段AB 上一点，根据当O 、P 、Q 共线时，PQ 最小求解即可; ②利用圆外一点到圆上的最近距离即可确定出半径的范围；(3)分两种种情形分别求解即可解决问题.【详解】(1)如图所示：(d 点A ，点)B = 22443242+==，(d 点A ，线段)BC =4-2=2;（2）①作OD⊥AB 交AB 于D,交⊙O 于点E,OD=442242⨯=，∴(d ⊙O ，线段)AB =DE=22-1，②若(d ⊙O ，)ABC ∆=(d ⊙O ，)BC 时，(d ⊙O ，)BC =45525DO ==,14515r =- ；若(d ⊙O ，)ABC ∆=(d ⊙O ，)AB 时，(d ⊙O ，)AB =MN=2415r =+=,∴r 的值为455或5；(3)6224m -<<①D 在A 点左侧时，近距离为AM 的长；②D在A点右侧时，近距离为PN垂线段的长.【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，图形M，N间的“距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决问题．。

北京市清华附中九年级（上）统练数学试卷（4）一、选择题（本题共16分每小题2分1．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位2．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜53．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD 与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（）A．B．2C．D．24．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣25．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（）A．饕餮纹B．三兔纹C．凤鸟纹D．花卉纹6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°7．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y18．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．10．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．11．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．12．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．13．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．14．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB ＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．16．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．三、解箸题（本题共68分，第17-22颗，每小题5分；第23-26题，每题6分；第27，28题，每题7分1）17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）（1）求抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求该抛物线的解析式；（3）若AB≤4，直接写出a的取值范围．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．20．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．21．如图，抛物线y＝（p＞0），点F（0，p），直线11：y＝﹣p已知抛物线上的点到点F的距离与到直线的距离相等，过点F的直线与抛物线交于AB两点，AA1⊥l1，BB1⊥l1．垂足分别为A1、B1．连接A1F，B1F，A1O，B1O，若A1F＝a，B1P＝b，则△A1OB1的面积＝（只用a，b表示）．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．24．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．25．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象记为G1，函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象记为G2，其中m为常数，且m≠0．图象G1、G2合起来得到的图形记为G，直线y＝﹣3上有两点A、B关于y轴对称，且点A的横坐标为m．（1）当点（1，3）在G上时，求m的值．（2）当点A在G上时，求线段AB的长．（3）设图形G上最高点的纵坐标为y0，当2≤y0≤时，直接写出m的取值范围．（4）当图形G与线段AB恰有两个公共点时，m＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．27．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE＝2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE＝PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG＝EC，连接EG，要证AE＝PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE＝PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE＝PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE＝PE．（一种方法即可）28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，直接写出实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．故选：C．2．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5【分析】先利用配方法将y＝x2﹣4x+a化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将y＝2代入得到一元二次方程，然后根据判别式△＞0列出不等式，求出a的取值范围．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．故选：D．3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD 与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（）A．B．2C．D．2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为（2，2）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y＝x+1．当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点E的坐标为（0，1）．当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴点P的坐标为（1﹣，1），点Q的坐标为（1+，1），∴PQ＝1+﹣（1﹣）＝2．故选：B．4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴，解之得，故选：D．5．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（）A．饕餮纹B．三兔纹C．凤鸟纹D．花卉纹【分析】根据旋转的性质与特点判断即可．【解答】解：A、图中利用的是对称，错误；B、图中利用的是旋转，正确；C、图中利用的位似，错误；D、图中利用的是平移，错误；故选：B．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，可求得∠A的度数，又由将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，易得△ACA′是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等边三角形，∴α＝∠ACA′＝60°．故选：C．7．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．8．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y ＜0，据此得，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则．解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共8小题）9．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．10．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．11．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155 °．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．12．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．13．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为：4π．14．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB ＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为y＝．【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴＝，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴＝，∴y＝，故答案为：y＝．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，求出∠APC＝120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA＝PC，由等边三角形的性质得出AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD ＝∠ABC＝30°，求出PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案为：．16．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．三．解答题（共12小题）17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值【分析】（1）函数的图象与x轴有两个公共点，则方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，求得：m＞﹣且m≠0，m＞且m≠0，m取其内的最小整数，故m＝1，即可求解；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣＝，n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，即：n2﹣3n﹣3＝1﹣n，1﹣3﹣3＝﹣5，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴解得：m＞﹣且m≠0．∵m＞且m≠0，m取其内的最小整数，∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∵1＞0，∴当x≤时，y随x的增大而减小．又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，∴n2﹣3n﹣3＝1﹣n，1﹣3﹣3＝﹣5，解得：n＝1﹣．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）（1）求抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求该抛物线的解析式；（3）若AB≤4，直接写出a的取值范围．【分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣，即可求解；（2）AB＝4，函数对称轴为：x＝1，则点A坐标为（﹣1，0），即可求解；（3）函数对称轴为：x＝1，设AB＝2m≤4，则点A（1﹣m，0），同理将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得：，即可求解．【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1；（2）AB＝4，函数对称轴为：x＝1，则点A坐标为（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a+2a﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（3）函数对称轴为：x＝1，设AB＝2m≤4，则点A（1﹣m，0），同理将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得：，而0＜m≤2，即：﹣1≤≤8，解得：a≤﹣3或a≥．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．20．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．【分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt △CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．【解答】证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．21．如图，抛物线y＝（p＞0），点F（0，p），直线11：y＝﹣p已知抛物线上的点到点F的距离与到直线的距离相等，过点F的直线与抛物线交于AB两点，AA1⊥l1，BB1⊥l1．垂足分别为A1、B1．连接A1F，B1F，A1O，B1O，若A1F＝a，B1P＝b，则△A1OB1的面积＝ab（只用a，b表示）．【分析】利用AA1⊥l，BB1⊥l可得AA1∥BB1，证明∠AFA1+∠BFB1＝90°，确定△∠A1FB1是直角三角形，则可求△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab．【解答】解：∵AA1＝AF，B1B＝BF，∴∠AFA1＝∠AA1F，∠BFB1＝∠BB1F，∵AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1∥BB1，∴∠BAA1+∠ABB1＝180°，∴180°﹣2∠AFA1+180°﹣∠BFB1＝180°，∴∠AFA1+∠BFB1＝90°，∴∠A1FB1＝90°，∴△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab；故答案为：ab．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．【分析】（1）连接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；（2）设CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，求得BC＝6+4＝10，根据勾股定理得到AB＝＝8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；（2）解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝＝3，即⊙O的直径长为3．23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．24．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．【分析】（1）由F为弧BC中点，且EF为圆的直径，利用垂径定理的逆定理得到EF与BC垂直，再由直径所对的圆周角为直角，得到一对直角相等，根据圆心角与圆周角的关系得到一对同位角相等，即可得证；（2）由CN与FB平行，以及等边对等角得到内错角相等，进而得到AE与FB平行，可得出AE与CN平行，得AENC 为平行四边形，得到AC＝EN＝2，利用垂径定理的逆定理得到BC与EF垂直，由AB＝6，得到半径为3，利用勾股定理求出BD的长，再证明三角形OFH与三角形OBD全等，即可求出FH的长．【解答】（1）证明：∵点F是的中点，∴∠BAC＝∠BOC＝∠BOF，∴AC∥EF；（2）解：如图2，∵CN∥FB，OA＝OE＝OB＝OF，∴∠CNF＝∠OFB＝∠OBF＝∠E，∴AE∥FB，∴CN∥AE，∵AC∥EF，∴四边形AENC是▱AENC，∴AC＝EN＝2，∵OC＝OB，∠COF＝∠BOF，∴DC＝DB，OD⊥BC于点D，∵OD是△ABC的中位线，∴OD＝AC＝1，∵OB＝3，∴BD＝2，又∵MD是△BCE的中位线，∴MH∥FB，∴∠ODH＝∠OFB＝∠OBF＝∠DHO，∴OD＝OH，又∠DOH为公共角，∴△FOH≌△BOD，∴FH＝BD＝2．25．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象记为G1，函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象记为G2，其中m为常数，且m≠0．图象G1、G2合起来得到的图形记为G，直线y＝﹣3上有两点A、B关于y轴对称，且点A的横坐标为m．（1）当点（1，3）在G上时，求m的值．（2）当点A在G上时，求线段AB的长．（3）设图形G上最高点的纵坐标为y0，当2≤y0≤时，直接写出m的取值范围．（4）当图形G与线段AB恰有两个公共点时，m＝ 4 ．【分析】（1）直接代入求值即可；（2）根据题意，建立方程求解即可；（3）分两种情况：①图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象上时，则最高点坐标为（2，m﹣2），根据题意解不等式组即可，②图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，最高点坐标为（1，﹣m+1），解不等式组即可；（4）分两种情况：两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上或分别在G1，G2上，分别求解即可．【解答】解：（1）把点（1，3）代入y＝﹣x2+2x﹣m，则﹣1+2﹣m＝3，∴m＝﹣2．（2）当m≥2时，﹣m2+m+m＝﹣3，解得：m1＝3，m2＝﹣1（舍去）；∴AB＝2m＝6．当m＜2时，﹣m2+2m﹣m＝﹣3，解得：m1＝（舍去），m2＝；∴AB＝﹣2m＝﹣1；（3）当图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象上时，则最高点坐标为（2，m﹣2）∴2≤m﹣2≤，解得：4≤m≤；当图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，∵y＝﹣x2+2x﹣m＝﹣（x﹣1）2﹣m+1，∴最高点坐标为（1，﹣m+1）∴2≤﹣m+1≤，解得：≤m≤﹣1综上所述，m的取值范围为：≤m≤﹣1或4≤m≤；（4）∵图形G与线段AB恰有两个公共点，A（m，﹣3），B（﹣m，﹣3）∴分两种情况：两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上或分别在G1，G2上，当两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，则﹣22+2×2﹣m＝﹣3，解得：m＝3，但此时，线段AB的端点B刚好在G1上，即线段AB与图形G有三个公共点，不符合题意．当线段AB与G1，G2上各有一个交点时，∴﹣m+1＝﹣3，解得m＝4，综上所述，m＝4；故答案为：4．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．【分析】（1）把原点坐标代入y＝ax2﹣4ax+3a﹣2可计算出对应a的值；（2）①②把抛物线解析式配成顶点式可得到抛物线的对称轴和抛物线的顶点的纵坐标；（3）设A（m，0），B（n，0），利用抛物线与x轴的交点问题，则m、n为方程ax2﹣4ax+3a﹣2＝0的两根，利用判别式的意义解得a＞0或a＜﹣2，再利用根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝，然后根据完全平方公式利用n﹣m≤4得到（m+n）2﹣4mn≤16，所以42﹣4•≤16，接着解关于a的不等式，最后确定a的范围．【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝ax2﹣4ax+3a﹣2得3a﹣2＝0，解得a＝；（2）①y＝a（x﹣2）2﹣a﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝2；②抛物线的顶点的纵坐标为﹣a﹣2；（3）设A（m，0），B（n，0），∵m、n为方程ax2﹣4ax+3a﹣2＝0的两根，∴△＝16a2﹣4a（3a﹣2）＞0，解得a＞0或a＜﹣2，∴m+n＝4，mn＝，而n﹣m≤4，∴（n﹣m）2≤16，即（m+n）2﹣4mn≤16，∴42﹣4•≤16，即≥0，解得a≥或a＜0．∴a的范围为a＜﹣2或a≥．27．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE＝2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE＝PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG＝EC，连接EG，要证AE＝PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE＝PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE＝PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE＝PE．（一种方法即可）【分析】（1）根据正方形的性质求出EC，证明△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）①根据题意画图；②在AB上截取AG＝EC，连接EG，证明△AGE≌△ECP，根据全等三角形的性质证明．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为5，BE＝2，∴EC＝3．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF．∴△AGE∽△ECF，∴，即，∴FC＝；（2）①依题意补全图形：②证明：在AB上截取AG＝EC，连接EG．∵AB＝BC，∴GB＝EB．∵∠B＝90°，∴∠BGE＝45°，∴∠AGE＝135°．∵∠DCB＝90°，CP是正方形ABCD外角平分线，∴∠ECP＝135°．∴∠AGE＝∠ECP．在△AGE和△ECP中，，∴△AGE≌△ECP．∴AE＝PE．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，直接写出实数a的取值范围．【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【解答】解（1）∵﹣5＜0∴y'＝﹣y＝2即点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上，∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣故答案为：3或﹣（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，∴﹣16＝﹣x2+16∴x＝4当x＝﹣5时，x2﹣16＝9当y′＝9时，9＝﹣x2+16（x≥0）∴x＝∴实数a的取值范围≤a≤4。

2019-2020 学年九年级上数学12 月月考试题及答案12 月检测试卷请同学们注意：1、考试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120 分，考试时间为 90 分钟．2、所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．3、考试结束后，只需上交答题卷。

祝同学们取得成功！一、仔细选一选（本题有10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ OBC=40°，则∠ A 等于（▲）A.30 °B.40 °C.50 °D.60 °2、若当x 3 时，正比例函数y k1 x k1 0 与反比例函数y k2 k2 0 的值相等，则 k1与 k2的比是（▲）。

xA.9:1B.3:1C.1:3D.1:93、将函数y 3x2 1 的图象向右平移2个单位得到的新图象的函数解析式为（▲）。

y 3 x 2y 3 x21A. 2 1B. 2C. y 3x2 2D. y 3x2 24、如图，四边形ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形。

若OA:OC=OB:OD，则下列结论中一定正确的是（▲ ）A ．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似5、平面有 4 个点，它们不在一条直线上，但有 3 个点在同一条直线上。

过其中 3 个点作圆，可以作的圆的个数是（▲ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6、已知点P 是线段 AB 的一个黄金分割点(AP＞PB)，则 PB:AB 的值为（▲）A. 5 1B.3 5C.1 5 3 52 2 2D.47、在四边形 ABCD中， AC平分∠ BAD，且∠ ACD=∠ B。

则下列结论中正确的是A.AD CD AD B.AC 2 AB ADAB BCACC.BCABD.ACD 的面积 CDADABC 的面积BCCD8、若反比例函数yk与二次函数yax 2 的图象的公共点在第三象限，则一次函数xy ax k 的图象不经过（ ▲ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9、如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 AC ， BC 的长分别为 4 和 6，∠ ACB 的平分 线交⊙ O 于 D ，则 CD 的长为（ ▲ ）A. 7 2B.5 2 C.7D.910 、 如 图 ， 直 线 y3 k x 0交 于 点 A 。

北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷2019北京清华附中初三（上）开学考试数学一、选择题(本题共24分，每小题3分)1.下列四组数可作为直角三角形三边长的是A.4cm、5cm、6cmB.1cm、2cm、3cmC.2cm、3cm、4cmD.1cm、√2cm、√3cm2,己知△ABC(如图1),按照图2图3所示的尺规作图痕迹，(不需要借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、下列各图象中，不是y关于x的函数的是4、甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s, 10次测试成绩的方差如下表，则这四个人中发挥最稳定的是选手甲乙丙丁方差（S2）0.020 0.019 0.021 0.0225、在平面直角坐标系中，将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线得表达式为A.y=?2(x+1)2+2B. y=?2(x+1)2?2C. y=?2(x?1)2+2D. y=?2(x?1)2?26.缺题7、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1,0)，点C的坐标是(2，4)则B的长A.6B.3√3C.5D.4√28.2018年我国科技实力进一步增加，嫦娥探月、北斗组网、航母测试、鲲龙击水、港珠澳大桥的正式通车……。

这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入，下图是2014年—2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出及增长速度情况。

2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出为19657亿元，比上年增长11.6%，其中基础研究经费1118亿元。

根据统计图提供的信息，下列说法中合理的是A.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出的增长速度始终在增加B.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长速度最快的年份是2017年C. 2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长最多的年份是2017年D.2018年，基础研究经费约占该年研究与试验发展(R&D)经费支出的10%二、填空题(本题共24分，每小题3分)9.如果关于x 的方程x 2-3x-2k=0没有实数根，则k 的取值范围为 . 10.若直线y=2x+1下移后经过点((5,1)，则平移后的直线解析式为.11.如图是二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=12，抛物线与x 轴的交点为A 、B ，则A,B 两点的距离是.12.己知一组据1，4,a,3,5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是. 13.若二次函数y=a x 2-bx+5(a ≠5)的图象与x 轴交于(1,0)，则b-a+2014的值是 . 14.如图，正方形AOCB 的顶点C,A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线。