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实验⼗⼀：单⾃由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率实验⼗⼀：单⾃由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率、阻尼⽐的测定⼀、实验⽬的1、学会测量单⾃由度系统强迫振动的幅频特性曲线；2、学会根据幅频特性曲线确定系统的固有频率和阻尼⽐。
⼆、实验仪器安装⽰意图三、实验原理简谐⼒作⽤下的阻尼振动系统如图1-12，其运动⽅程为：tF Kx dt dx C dt x d m e ωsin 022=++⽅程式的解⼜x 1+x 2这两部分组成：x 1 =e -εt (C 1cos ωD t+C 2 sin ωD t)式中21D D -=ωωC 1、C 2常数由初始条件决定x 2=A 1sin ωe t+ A 2cos ωe t其中()()222222214e e e q A ωεωωωω+--=()22222242eee q A ωεωωεω+-=,mF q 0=x 1代表阻尼⾃由振动基,x 2代表阻尼强迫振动项。
有阻尼的强迫振动，当经过⼀定时间后，只剩下强迫振动部分，有阻尼强迫振动的振幅特性：()stst x x D u u A β=+-=2222411动⼒放⼤系数()stx A D u u =+-=2222411β当⼲扰决定后，由⼒产⽣的静态位移x st 就可随之决定，⽽强迫振动的动态位移与频率⽐u 和阻尼⽐D 有关，这种关系即表现为幅频特性。
动态振幅A 和静态位移x st 之⽐值β称为动⼒系数，它由频率⽐u 和阻尼⽐D 所决定。
把β、u 和D 的关系作成曲线，称为频率响应曲线，见右图。
从图2可以看出（1）当ωωe很⼩时，即⼲扰频率⽐频⾃振频率⼩很多时，动⼒系数在任何阻尼系数时均近于1。
（2）当ωωe很⼤时，即⼲扰频率⽐频⾃振频率⾼很多时，动⼒系数则很⼩，⼩于1。
（3）当ωωe近于1时，动⼒系数迅速增加，这时阻尼的影响⽐较明显，在共振点时动⼒系数D 21=β（4）当21D e-=ωω时，即⼲扰频率和有阻尼⾃振频率相同时431212D D -=β（5）动⼒系数的极⼤值，除了D=0时u=1处β最⼤以外，当有阻尼存在时，在21≤D 时，221D u -=处，动⼒系数β为最⼤。
单自由度系统强迫振动实验一、实验目的1、 了解学习振动系统和测振系统的组成及原理，掌握测振的一般方法。
2、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后以及快速通过共振区的振幅变化情况。
3、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后干扰力与系统位移的相位关系。
4、 测定简支梁振动系统的固有频率及幅频特性曲线。
二、实验装置 1、 实验装置简图测振仪（11）示波器（12）闪光测速仪（9）闪光灯（8）电动机（3）变压器（2）传感器（10）简支梁（1）偏心轮（4）振标（7）标记线（5）图一2、实验装置上各附件的作用 （1） 简支梁简支梁是由一块截面为矩形的弹性钢板通过轴承支撑在两个刚性很强的固定支架上，它在系统中主要起弹簧作用。
（2） 固定架固定架是用来固定偏心轮、标记盘等部件的，其质量同简支梁质量的一半组成系统的质量（根据能量原理而得）。
故此系统可简化为（图二）所示的弹簧质量系统。
图二图中：M ------系统的质量 m -------偏心质量 0F -------离心惯性力k --------简支梁的弹簧刚度 r --------阻尼系数 （3） 自耦变压器自耦变压器用来启动电机和调节电机转速的设备。
当通过变压器手轮改变变压器输出电压时，即可改变电机的转速，借以达到调速之目的。
（4） 电动机电动机是用来驱动偏心轮旋转的动力源。
在本实验中借助改变电机的转速来实现干扰力频率的变化。
（5） 偏心轮偏心轮在系统中是产生干扰力的元件。
当转轴带动偏心轮以转速N 旋转时，偏心质量m 就以2(1/)60Ns πω=作等速圆周运动，同时产生了一个离心惯性力20F me ω=。
该力通过轴和轴承座传给梁。
这个旋转的离心惯性力在铅直方向的分量就构成了对梁沿铅直方向的简谐干扰力，即20sin sin F F t me t ωωω==。
此干扰力使系统产生强迫振动。
以坐标x 表示偏心轮轴心离开静平衡位置的铅垂位移，如图二，则系统振动的微分方程为：2sin Mx rx kx me t ωω++= （1）设 2r n M = , 2k p M =，2me q Mω=上式可以写成22sin xnx p x q t ω++= （2） 这个微分方程的全解为12()()()x t x t x t =+其中 221()sin()nt x t Ae p n t ϕ-=-+是个衰减振动，在振动开始的一定时间后就完全消失了。
关于单自由度系统的强迫振动分析罗海东【摘要】由单自由度系统中支承的运动规律及达朗伯原理得到运动微分方程,再利用线性系统的叠加原理分析系统中被支承质量的振幅及支承振幅、频率比和阻尼比间的关系,并通过图形对隔振方法进行了分析.%By means of superposition prin ciple of linear system and movement differential equation that is formulated according to d'alembert's principle and law of support motion in a linear system,this paper analyses the relation between the supported amplitude and the support amplitude as well as the relation between frequency ratio and damping ratio. Moreover,it explores the methods to isolate vibration through specific analysis on drawing line.【期刊名称】《南通纺织职业技术学院学报》【年(卷),期】2012(012)004【总页数】2页(P18-19)【关键词】叠加原理;单自由度;振幅;频率比;隔振;阻尼比【作者】罗海东【作者单位】江阴职业技术学院,江阴214433【正文语种】中文【中图分类】O321自然界普遍存在着振动现象.振动的一个重要方面是系统对外部激励的响应，激励的来源可分两类：一类是力激励，可以是直接作用于机械运动部件上的力，也可以是往复运动机械中不平衡量引起的惯性力；另一类是支承运动导致的位移激励、速度激励以及加速度激励.本文讨论的是单自由度系统的强迫振动.单自由度系统在有持续激励时的振动，称之为强迫振动.在科学技术领域以及日常生活里，都会遇到各种不同程度的振动过程，振动过程广泛出现在各生产领域中，有许多的振动问题需我们要去处理.例如，车辆在波形路面上行驶时的振动及固定在机器上的仪表的振动等等，都是支承运动引起的强迫振动.质量块固连的指针与仪表外壳之间的振动是相对运动，车辆及质量块的振动是绝对运动（例举中只讨论车辆及质量块系统的绝对运动）.如图1所示，是一单自由度系统的简图，设x(t)及xs(t)分别是质量块及支承的位移，支承的运动规律[1]是：由于支承的运动，质量块受到的弹性恢复力为k(x-xs)，阻尼力为c(x′-xs′)，根据达朗伯原理可得如下的运动微分方程[2]：为了分析方便，记β为振幅放大因子，在这里把它定义为：β=B/a=，以ξ为参数，画出的幅频响应曲线及相频响应曲线如图2、3所示.由图2、3可见，当频率比时，无论阻尼比ξ为多少，振幅B恒等于支承运动振幅a；振幅B小于a，增加阻尼反而使振幅B增大.在工程机械中超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿命，还造成环境污染，故有效地隔离振动是相当重要的问题.一类是用隔振器将振动着的机械与地基隔离开，称为积极隔振；另一类是将需要保护的设备用隔振器与振动着的地基隔开，称为消极隔振.两种方法的原理是类似的，隔振效果可以用传递率TR度量，将图2的幅频响应曲线的纵坐标β改为TR，则得到TR随频率比λ的变化规律的特性曲线.从曲线中看到，只有当时，才有隔振效果；当λ＞5以后，曲线下降得都慢，通常将λ选在2.5～5的范围内.另外，在λ＞以后，增加阻尼反而使隔振效果变坏.因此，为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼.阻尼也不能太小，否则在经过共振区时会产生较大的振动.利用弹性支撑可使一系统降低对外加激励响应的能力，而将振动源与设备的刚性连接改为弹性连接，能隔绝或减弱振动能量的传递，从而减振降噪.【相关文献】[1] 杨桂通.弹性力学[M].北京：高等教育出版社，1998：163.[2] 钟万勰.弹性力学求解新体系[M].大连：大连理工大学出版社,1995：204.[3] 刘延柱，陈文良，陈立群.振动力学[M].北京：高等教育出版社,1998.。
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。
激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。
对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。
系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。
有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。
简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。
第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。
系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。
该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。
（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。
中北大学明书设计说课程
号：09020441XX 学学生姓名：
院：机械工程与自动化学院学
专业：机械电子工程
目：题汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析
:
职称指导教师：
2013年 1月 7日
课程设计任务书12/13 学年第一学期
学院：机械工程与自动化学院
专业：机械电子工程
学生姓名：学号：
课程设计题目：汽车单自由度振动系统强迫振动放大
因子
分析起迄日期：2013年1月7日～2013年1月18日
课程设计地点：机械自动化系
指导教师：
系主任：
日 7月 1年: 2013下达任务书日期
课程设计任务书
2）原始数据：
阻尼比为：0.1、0.15、0.25、0.5。
3．设计工作任务及工作量的要求〔包括课程设计计算说明书(论文)、图纸、实物样品等〕：
(1)根据所给物理模型建立合理的数学模型；
(2)选择合理的计算方法；
(3)对所建模型进行求解；
(4)撰写课程设计说明书一份。
课程设计任务书
汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析
1.应用《机械振动学》知识建立物理模型
建立汽车单自由度振动力学模型
由于汽车在行走时，路面不平，周期起伏路面可看做三角函数，故而可把汽车行走的路面看做激励。
忽略轮胎的弹性与质量，得到分析车身垂直振动的最简单的单质量系统，适用于低频激励情况。
物理
模型如下。
其中x=y=Y sin(wt) f
其中k为弹性系数，c为阻尼系数。
2.根据所建立的力学模型列出微分方程
根据牛顿定律，写出数学方程。
????'x'kx?y??cymx??kycy'?cxmx?'?kx?⑴
由此可见。
基础运动使系统受两个作用力，一个是与y(t)同相位，经弹簧传给质m的力ky；一个是与速度y'同相位，经阻尼器传给质量m的力cy'。
利用复指数法求解，用，并假定方程的解??jwt wtsinYe?Y, 为??jwt xet?x代入方程（1）得
??22??2?rr?2?1可表示为
2???r?21YX?
??2Y2??2?r2?r?1．
2???r21?X?
cc阻尼比???cmk20为阻尼系数，c为临界阻尼系数c0w，频率比?r w n为激励频率，为系统固有频率。
w w n
3利用MATALB编程
y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2));
y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2));
y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*x).^2));
y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x).^2));
ezplot('y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2))',[ 0,6]);
on;
hold
ezplot('y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2))' ,[0,6])
ezplot('y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*x).^2))' ,[0,6])
ezplot('y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x).^2))',[ 0,6]);
') 的曲线rX/Ytitle('放大因子与频率比')
频率比xlabel('
X/Y') 放大因子ylabel('0.1') text(x(20),5,'阻尼比0.15')
text(x(20),3,'阻尼比0.25') 阻尼比text(x(20),2,'text(x(20),1,'阻尼比0.5')
把程序写入MATALB，用软件开始编程
运行程序得如下结果
再把该图形做完整
X以为参数，随r变化的曲线表示如下图。
?Y
现在经过建立物理模型，构建数学模型，再利用MATALB仿真，最终得出了汽车振动系统强迫振动下的频率放大因子图形。
分析：
当时，，而与阻尼无关。
这意味着，当激励1M?r?0频
率接近于零时，振幅与静位移相近。
当时，。
也与阻尼大小无关。
在激励频率很??r0M?高时，振幅趋于零。
这意味着，质量不能跟上力的变．化，将停留在平衡位置不动。
当r=1时，若，在理论上，这意味着，当系?0???M统中不存在阻尼时，激励频率和系统的固有频率一致，振幅将趋于无限大，这种现象叫做共振。
通常我们称r=1，即w=时的频率为共振频率。
实际w n上，当系统中存在阻尼时，振幅是有限的，其最
大值并不在w=处，w n dM可得由0?dr振幅最大
时的频率比
而振幅的最大值为
2?21?r?max
1?M max2??22?1只有无阻尼时，共振频率是。
有阻尼时，最大振幅w n的频率为比小。
当阻尼较小时，可近似的看2?w w21?nn。
做w n当，即使只有恨微小的阻尼，也使最大振幅限制在?0?1，则。
即振幅有限的范围内。
由式可见，若?0r??xma2的最大值发生
在W=0处。
也就是静止时，位移最大，由此可得
结论：
2时，不论r为何值，；①当??1?M2．2时，对于
很小或者很大的r当值，②阻尼对响应??2的影响可略去。
对远离共振频率的区域，阻尼对减小振幅的作用不大。
只有在共振频率及其近旁，阻尼对减小振幅有明1,,r=1, 显作用，增加阻尼可使振幅显著的下降。
由?M?2共振时的振幅由阻尼决定。
由图可见，
X=1，与时，当r=0和无关。
?2r?YX时，,且阻尼小的当比值要比阻尼大的时候2r?YX?Y小。
4.分析当激振函数时，该系统的隔)tsin(50F?F0振性能，并作出评价
如图力学模型如上所示。
经隔振装置传递到地基的力有两部分：经弹簧传给
地基的力
??????FkxkXwtsin X经阻尼传给地基的力
????wtcx'?cwXcosF?d?的简协作用力。
因是相同频率的，相位差和FdFx2此，传给地基的力的最大值或者振幅为F T222???????rcwX?2?kXF?kX1?T 由于在Fsin(wt)作用下，系统稳态响应的振幅为
F?X??22??2?r?1k?r22???r2F1?则?F T??22??2?r1?r2?评价积极隔振效果的指标是力传递系数
??22??2?r2??1r合理设计的隔2???r?21F T??T F F
振装置应该选择适当的弹簧常数k和阻尼系数c,使力传递系数达到要求的指标，为此，需T F要讨论和和r的关系。
?T F编写程序，用MATALB编程
x=0:pi/1000:6;
ezplot('y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1 *x).^2))',[0,6]);
hold on;
ezplot('y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0. 15*x).^2))',[0,6])
ezplot('y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0. 25*
x).^2))',[0,6])
ezplot('y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5 *x).^2))',[0,6]);
把所编程序植入MATALB软件，运行，得出模拟
图形
横坐标为频率比r，纵坐标为力传递系数T F由图可见，在r=0和r=时，=1
2T R与阻尼无关，即传递的力或位移与施加给系统的力或位移相等。
的频段内，传递的力或位移都比施加的力或在2r?0?位移大。
以后，所有的曲线都表明，传递系数随激励而当2?r频率的增大而减小，因此可以得到两点结论:
⑴不论阻尼比为多少，只有在时才有隔振效果。
2?r
⑵对于某个给定的值，当阻尼比减小时，传递系2?r数也减小。
现在激励频率为w=50HZ,
w得，由?r w n ww5035.7HZ ，2????w n w22n结论：当系统的初始频率小于等于35.7HZ时，系统w n具有明显的隔振性能。
