蝴蝶定理、燕尾定理——黄冈中学 周刊

蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。

由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。

至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。

1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

这里介绍一种较为简便的初等数学证法。

证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。

SM。

MT。

∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD, BT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。

Y。

M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM二，如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b ＞r＞0）。

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。

（Ⅱ）直线y=k求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

求证：| OP | = | OQ |。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。

CFE ADBCB E FDA 几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质 1）HhC c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。

蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理：AB 是二次曲线Ω的一条弦，O 是AB 的中点，过O 作Ω的两条弦CD 和EF ，其中E C ,位于AB 的同一侧，直线CF 和DE 分别交AB 于点Q P ,，则有OQ OP =.2.斜率形式结论1:B A 、分别为椭圆)(1:2222b a by a x E >=+的左、右顶点，)0,(t T 为x 轴上一定点，过M 直线交椭圆于D C ,两点，连接BD AC ,，那么ta t a k k BD AC +-=.证明：过T 作x PQ ⊥轴，交椭圆于Q P ,交BD AC ,于,,N M 由椭圆对称性可知：TQ TP =：进而据蝴蝶定理可知：TN TM =，于是可得：t a t a AT BT BTNT AT MT NBT MAT k k BD AC +-===∠∠=tan tan .结论2[1]：设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =213坎迪定理如图，过圆的弦AB 上任意一点M 引任意两条弦CD 和EF ，连接CF ED 、交AB 于P 和Q ，则MBMA MQ MP 1111-=-.坎迪定理的推广设AB 是二次曲线的任意一条弦，M 为AB 上任意一点，过M 作任意两条弦CD 和EF ，连接ED 、CF 交直线AB 于P 和Q .（1）若Q P 、位于M 两侧，则MBMA MQ MP 1111-=-；（2）若Q P 、位于M 同一侧，BM AM <，则MB MA MQ MP 1111-=+.二．典例分析例1（2020一卷）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：依上述蝴蝶定理的内容：由于31=PD P A k k 过E 作x MN ⊥轴，交DP AP ,与N M ,点，交椭圆于H G ,.显然E 为椭圆弦GH 的中点，由蝴蝶定理：EN EM =，3133tan tan =+-===∠∠=E E PD P A x x AE BE BENE AE NE NEB MAE k k ，23=E x 例2．在平面直角坐标系中，已知圆()22:236M x y ++=，点()2,0N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。

不会飞的蝴蝶——蝴蝶定理在中学平面几何中，有这样一个著名的命题：过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB于Q、P。

求证：PM=MQ。

由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”。

这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，登出来是为了征求证明。

登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。

不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。

158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。

从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。

下面仅举四例与读者共同欣赏。

证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x，PM=y。

又设△EPM、△CMQ、△FMQ、△DMP的面积分别为S1、S2、S3、S4。

因为∠E =∠C ，∠D =∠F ，∠CMQ =∠PMD ，∠FMQ =∠PME ，所以有14433221S S S S S S S S ⋅⋅⋅=1， 即 PMEPM AE FMQ MF MQ F FQ MF D DP DM PMD MD MP CMQ MQ MC C CQ MC E EM PE sin sin sin sin sin sin sin sin ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =22)()(PM FQ CQ MQ DP PE ⋅⋅⋅⋅=1。

就是 PE ·DP ·(MQ )2=CQ ·FQ ·(MP )2。

由相交弦定理有CQ ·FQ =BQ ·QA=(a -x )(a+x )=a 2-x 2，PE ·DP =AP ·PB=(a -y )(a+y )=a 2-y 2，所以有 (a 2-y 2)x 2=(a 2-x 2)y 2，即 a 2y 2=a 2x 2，∵ x 、y 都是正数，∴ x=y ，即 PM =MQ 。

燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC中，AD , BE , CF相交于同一点0，那么S ABO：S AC^BD : DC .梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”①S1:S3=a2:b2②S1: S3: S?: S4二a2:b2:ab:ab ；2③S的对应份数为（a+b）.等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S =a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD BCD ；反之，如果S A ACD二S A BCD，则可知直线AB平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在 △ ABC 中，D,E 分别是 AB,AC 上的点如图 上),则 S A ABC : S A ADE -(AB AC)：(AD AE)如图，& =2，S 3 =4，求梯形的面积.【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ,对角线AC , BD 交于O ,已知△ AOB 与厶BOC 的面积分别为 25平方厘米与35平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是 _______________ 平方厘米.梯形ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O ,已知梯形上底为 角形BOC 面积的-，求三角形 AOD 与三角形BOC 的面积之比.3（第十届华杯赛）如下图，四边形 ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知AO =1，并且 三角形躺积=3，那么OC的长是多少?⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC2,且三角形ABO 的面积等于三CD梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少?如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是______________ 平方厘米.如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，巳F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积. 如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，AD =2厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的面积.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米,A DADG的面积是11,三角形（2008年”奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2 ,三角形ODE 的面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是 ____________________ 平方厘米.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是_________ 平方厘米.【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是______________ 平方厘米.如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米•问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_________________ 平方厘米.（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54, OD的长是16,OB的长是9 •那么四边形OECD的面积是 ___________ .燕尾定理应用【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2 , AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于______________ .【巩固】如图，已知BD =DC , EC =2AE，三角形ABC的面积是30 ,求阴影部分面积AB D C【巩固】如图，三角形ABC的面积是200 cm2, E在AC上，点D在BC上，且AE: EC -3:5 , BD : DC =2:3 , AD与BE 交于点F .则四边形DFEC的面积等于____________【巩固】如图，已知BD =3DC , EC =2AE , BE与CD相交于点O ,则△ ABC被分成的4部分面积各占△ ABC面积的几分之几？【巩固】如图，三角形ABC的面积是1 , BD =2DC , CE =2AE , AD与BE相交于点F , 请写出这4部分的面积各是多少？【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC=2:3 , BD:DC=1:2，AD与BE交于点F •四边形DFEC的面积等于22 cm2，则三角形ABC的面积_____________ •三角形ABC中，C是直角，已知AC =2 , CD =2 ,CB=3, AM=BM，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC =2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？平行四边形BODC的面积为__________如图所示，在四边形ABCD 中，AB=3BE ,xFxGAD=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G , 则四边形AGCD的面积是 __________________ 平方厘米.如图所示，在△ ABC中，BE: EC =3:1 , D是AE的中点，那么AF :FC二____________【巩固】在ABC 中，BD:DC =3:2 , AE:EC=3:1，求OB:OE 二？【巩固】在ABC 中，BD:DC=2:1 , AE:EC=1:3，求OB : OE = ?如右图，三角形ABC 中，BD:DC=4:9 , CE:EA = 4:3，求AF : FB .如右图，△ ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ ABC 的面积是多少平方厘米？【巩固】（2007年四中分班考试题）如图，JABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC 的三等分点，若MBC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是______________ •。

一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为由题知DC/GP=GC/PK，即DC/(DC-4)=(4+PK)/PK，令DC=a，PK=c，则a=4+c，则S△DEK=a^2+16+c*(4-c)/2+c^2-ac-a(4+a)/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)^2/2+c^2/2-c( c+4)-2(c+4)+2c+16=16。

1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=D D2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在D PC处（如图18和图19）。

已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。

蝴蝶定理（Butterfly theorem）：设M为圆内弦PQ的中点,过M作弦AB和CD.设AD和BC各相交PQ于点X和Y,则M是XY的中点.
抽屉原理：桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”.
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一
个集合里有两个元素.”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理.它是组合数学中一个重要的原理.
燕尾定理:因此图类似燕尾而得名,是五大模型之一,是一个关于三角形的定理（如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上点,满足AD、BE、CF 交于同一点O）.
S△ABC中,S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理,S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE.
证明：利用分比性质(若a/b=c/d,则（a-b）/b=（c-d）/d,[1]b≠0,d≠0,）[2]
(注：∵（a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,
(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,
a/b=c/d
∴（a-b）/b=（c-d）/d
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD
同理,S△OBD：S△OCD=BD：CD
利用分比性质,得
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD
即S△AOB：S△AOC=BD：CD
命题得证.。

小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1:同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比S i : S2 = a : ba b等于对应底边之比。

定理2:等分点结论(鸟头定理)如图，三角形△AED的面积占三角形△ ABC的面积的20定理3:任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)1) S i : S2 =S4 : S3 或S i X S3 = S2X S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2 ) AO： OC = (S i+ S2)：( S4+ S3)梯形中的比例关系(梯形蝴蝶定理)1) S i : S3 =a2: b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2) 左、右部分的面积相等B b C3) S i : S3 : S2 : S4 =a2: b2: ab : ab4) S的对应份数为(a+b) 2定理4:相似三角形性质2) S i : S 2 = a 2 : A 2定理5:燕尾定理S AABG:S A AGC : =S A BGE : :S A GEC =BE : ECS A BGA : :S A BGC : =S A AGF :S A GFC =AF : FC S A AGC : :S A BCG : =S A ADG:S A DGB=AD :DB二、例题分析例1、如图，AD DB , AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5平方厘米, 多少平方厘米？ABC 的面积是例2、有一个三角形 ABC 的面积为1，如图，且AD - AB , BE21例3、如图，在三角形 ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且 BE=—AB,已知四边3例4、例1如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。

已知两个三角形的面积（如图所示） 另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中 BO=2DO 阴影部分的面积是 4平方厘米，求梯形 ABCD 勺面积是多少平三角形DEF 的面积.-BC , CF3-CA ，求 4形EDCA 勺面积是35,求三角形 ABC 的面积.，求B方厘米?例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC、BD分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米25平方厘米，求梯形ABCD的面积。

中学几何之蝴蝶定理大全在中学几何学中，蝴蝶定理是一项重要的定理，在解题过程中经常会用到。

本文就蝴蝶定理的各个方面进行全面介绍和总结。

定理的描述蝴蝶定理是指在平面几何中，如果一个三角形的两边分别与另外两个三角形的两边平行，并且这三个三角形的顶点都在同一直线上，那么这三个三角形的面积之比相等。

定理的证明蝴蝶定理的证明可以通过几何法或代数法进行。

几何法主要是利用平行线的性质和面积的性质进行推导，而代数法则是基于坐标系来进行计算。

定理的应用蝴蝶定理在求解平面几何问题时具有广泛的应用。

它可以简化问题的分析和计算过程，节省解题时间。

在解决平行线、相似三角形等问题时，可以通过蝴蝶定理的运用来得到解答。

注意事项在使用蝴蝶定理时需要注意以下几点：1. 确保题目中给出了足够的条件，以满足使用蝴蝶定理的要求。

2. 使用几何工具绘制图形，进行直观的观察和推导。

3. 确认计算中使用的单位和坐标系，保证计算的准确性。

例题分析以下是一个关于蝴蝶定理的例题分析：已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF并延长交BA于G，线段CG与线段EF交于H。

如果CG= 12 cm，EG = 9 cm，那么求CH。

根据蝴蝶定理，我们可以利用平行线的性质解答这个问题。

首先，由于EF为平行四边形的对角线，所以EF平分了CG。

根据平分线性质，可知EG = GF = 9/2 cm。

由此，我们可以通过相似三角形CGH和EGF的比例关系来计算出CH的长度。

通过以上的例题分析，我们可以看到蝴蝶定理在解决几何问题中的实际应用。

结论蝴蝶定理是中学几何中一个重要而实用的定理，它在求解平面几何问题时具有广泛的应用。

通过研究和掌握蝴蝶定理，我们可以更轻松地解答相关的几何题目，并在解题过程中提高思维能力和逻辑推理能力。

以上是关于中学几何之蝴蝶定理的全面介绍和总结，希望对读者有所帮助。

读者可以在实际的几何问题中尝试运用蝴蝶定理，提高解题的效率和准确性。

蝴蝶定理高中
（实用版）
目录
1.蝴蝶定理的概述
2.蝴蝶定理的证明方法
3.蝴蝶定理在数学领域的应用
4.蝴蝶定理对高中数学教学的重要性
正文
【蝴蝶定理的概述】
蝴蝶定理，又称为蝶形定理，是一种数学公式，主要描述了三角函数的性质。

它的名字来源于它的形状像一只蝴蝶。

在数学中，蝴蝶定理是一种基本的公式，它在解决许多数学问题时都起到了关键的作用。

【蝴蝶定理的证明方法】
蝴蝶定理的证明方法比较简单，主要是通过将三角函数进行拆分和组合，然后通过化简，最后得到蝴蝶定理的公式。

具体的证明过程需要一定的数学技巧，但对于高中生来说，理解这个过程可以帮助他们更好地理解三角函数的性质。

【蝴蝶定理在数学领域的应用】
蝴蝶定理在数学领域中有广泛的应用，它不仅可以用来解决三角函数的问题，还可以用来解决复数和指数函数的问题。

在解决一些复杂的数学问题时，蝴蝶定理往往能够提供一种简单而优美的解决方案。

【蝴蝶定理对高中数学教学的重要性】
蝴蝶定理对高中数学教学具有重要的意义。

通过学习蝴蝶定理，学生可以更好地理解三角函数的性质，提高他们的数学技能和解决问题的能力。

同时，蝴蝶定理也是一种很好的教学工具，可以帮助教师更好地解释和教授三角函数。

几何里的蝴蝶定理一、蝴蝶定理的内容1. 定理表述- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD和BC各相交PQ 于点X和Y，则M是XY的中点。

2. 图形示例- 画出一个圆，圆内有弦PQ，M为PQ中点。

然后画出弦AB和CD，连接AD与PQ交于X点，连接BC与PQ交于Y点。

从图上直观地看，似乎XM = MY。

二、蝴蝶定理的证明方法（以初中几何知识为例）1. 利用相似三角形证明（一种常见方法）- 连接AC、BD。

- 因为∠AXM = ∠DYM（对顶角相等），∠AMX=∠DMY（对顶角相等），且由圆内接四边形的性质可知∠CAB = ∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。

- 所以△AXM∽△DYM，△AMC∽△DMB。

- 根据相似三角形的性质，在△AXM和△DYM中，有(XM)/(YM)=(AM)/(DM)；在△AMC和△DMB中，有(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。

- 又因为在圆中，由相交弦定理可得AM× BM = CM× DM，即(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。

- 所以(XM)/(YM) = 1，即XM = YM，从而证明了蝴蝶定理。

2. 面积法证明（另一种思路）- 设∠ AXM=α，∠ DYM = β。

- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)absin C。

- 对于 AXM和 DYM，frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(frac{1)/(2)AX· XM·sin α}{(1)/(2)DY· YM·sinβ}。

- 因为α=β（对顶角相等），所以frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(AX· XM)/(DY· YM)。

- 同理，通过连接其他线段，利用圆内的角关系和面积关系，经过一系列的等量代换，可以得出XM = YM的结论。

三、蝴蝶定理的拓展与应用1. 在椭圆中的推广- 在椭圆中也有类似蝴蝶定理的结论。

燕尾定理与蝴蝶定理一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理： （1）同高三角形面积的比等于底的比； 如右图中：S △ABD : S △ACD = BD : CD推论1：平行线间同底的三角形面积相等。

如图：S △ABC = S △ADB = S △AEB （因为它们同底等高）推论2：长方形中以一条边为底，顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。

如图：S △ABC = S △BEC = S △BFC = S △BDC =12S ABDC （因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2）推论3：梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左ABCDA B右两个三角形面积相等。

如图：BOC AOD S S ∆∆=（蝴蝶三角形）（因为ADC BDC S S ∆∆=，这两个三角形同时减去DOC S ∆就得到了BOC AOD S S ∆∆=）推论4：鸟头定理——如右图所示则有：ADE ABC S AD AES AB AC∆∆⋅=⋅ 证明：连结BE ，则有：ADE ABE S AD S AB ∆∆=，ABE ABC S AES AC∆∆= 两个式子相乘得到：ADE ABE ABE ABC S S AD AES S AB AC ∆∆∆∆⋅=⋅即：ADE ABC S AD AES AB AC∆∆⋅=⋅ABCD EFB DCE推论5：燕尾定理：如右两图所示，均有：ABE ACE S BDS CD∆∆= （因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于BDCD）二、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图： S ABDC =12S AEFC =12AC 2 （很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因为大正方形有4个直角三角形，而小的只有2个） 三、平行线分线段成比例：“金字塔”和“沙漏”，如右两图所示：如果AB 与CD 平行， 那么：CD ABOD OB OC OA == OA OBAC BD= 222AOB COD S OA OB AB S OC OD CD ∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ABCDEABCD EO CDA BOAB推论：配合沙漏型的规律，只要知道了梯形被对角线分成的四个三角形中两个不同的三角形的面积，就可以知道每一个三角形的面积，进而知道总面积。

第33讲 蝴蝶定理精讲摘要风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M 是⨀O 中弦AB 的中点，过M 点的两条弦CD ，EF ，连结DE ，CF 交AB 于P 、Q 两点，则M 是线段PQ 的中点. 这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下： 证明：如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设OM =b ．则⨀O 的方程可写成： x 2+y 2–2by +f =0. ①设直线CD ，EF 的方程分别为y =k 1x ，y =k 2x ， 合并为:(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ②于是过①②的交点C ，F ．D ，E 的二次曲线系为：x 2+ y 2–2by +f +λ(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ③ 曲线③与AB 的交点P ，Q 的横坐标满足(令y =0)(1+λk 1k 2)x 2+f =0．由韦达定理x p +x q =0， 即MP +(–MQ )=0，∴ MP =MQ ．若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的．现以椭圆为例给出证明．如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆方程为： b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2=0.直线CD 的方程为y =k 1x ，直线EF 的方程为y =k 2x ，则过点C ，F ，D ，E 的二次曲线系为b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2+λ(y – k 1x )( y – k 2x )=0，令y =0，得(b 2–λk 1k 2)x 2+a 2h 2–b 2a 2=0．由韦达定理x p +x q =0，即MP = MQ ．命题得证．类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.若在蝴蝶定理的条件中把中点M 改为AB 上任一点，结论是：=④ (证明略)这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA =MB 时．MP =MQ ．ABF D QMP CEA BFDQM PEOCx yAB FD Q MPEOCxyA BDFP M Q CExy④式成立的条件是AB 是⨀O 的弦，M 是AB 上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立．=.蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：=(点M 也可以是AB 延长线上的点)．A PMQ BDExy 图1FC定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有|MP |=|MQ |.另一种证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)，设A (0，t )，B (0，–t )，知t ，–t 是Cy 2+Ey +F =0的两个根，所以E =0. 若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.若CD ，EF 斜率都存在，设C (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 1x 2)，E (x 3，k 2x 3)，F (x 4，k 2x 4)，P (0，p )，Q (0，q )，CE :y =(x –x 1)+ k 1x 1，p =(0–x 1)+ k 1x 1=，同理q =，所以p +q =将y =k 1x 代入(*)得(A +Bk 1+Ck )x 2+(D +Ek 1)x +F =0，又E =0. 得x 1+x 2=, x 1x 2=，同理 x 3+x 4=, x 3x 4=，所以p +q =0，即|MP |=|MQ |.定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有| MP |=| MQ |.证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线MA 的方程是x 1+y 1+F =0，切线MB 的方程是x 1+y 2+F =0，得E (y 1–y 2)=0，所以E =0.（下面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.ACPM Q BD Elxy 图5F 调研精讲答案 （I ）e =22a b a-；（II ）见解析 (Ⅲ)见解析．解析 （I ）椭圆方程为22x a +22()y r b -=1焦点坐标为F 1(22a b --，r )，F 2(22a b -，r )， 离心率e =22a b a-.（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程y =k 1x 代入椭圆方程， 得b 2x 2+a 2(k 1x – r )2 =a 2b 2，整理得：(b 2+a 2k 21)x 2– 2k 1a 2rx (a 2r 2– a 2b 2)=0．根据韦达定理，得：x 1+x 2=2122212k a rb a k +，x 1∙x 2=22222221a r a b b a k -+，所以1212x x x x +=2212r b k r- ①将直线GH 的方程y =k 2x 代入椭圆方程，同理可得3434x x x x +=2222r b k r- ② (韦达定理真的“很伟大”)由①，②得：11212k x x x x +=222r b r -=23434k x x x x +，所以结论成立.（Ⅲ）证明：设点P (p ，0)，点Q (q ，0)，由C 、P 、H 共线，得：12x p x p --=1122k x k x ， 解得p =12121122()k k x x k x k x --.由D 、Q 、G 共线，同理可得：q =12231223()k k x x k x k x --.由11212k x x x x +=23434k x x x x +，变形得231223x x k x k x --=141124x x k x k x - 【 调研1】如图，椭圆的长轴A 1A 2(=2a )与x 轴平行，短轴B 1B 2(=2b )在y 轴上，中心为M (0，r )(b >r >0)(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (Ⅱ)直线y =k 1x 交椭圆于两点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(y 2>0)； 直线y =k 2x 交椭圆于两点G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)(y 4>0). 求证：=；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)A 1B 1HGQMP D O Cxy A 2B 2即12231223()k k x x k x k x ---=12141124()k k x x k x k x --，所以| p |=| q |，即| OP |=| OQ |.答案 （1）24x +y 2=1；(2，1)；（2）见解析．解析 （1）由已知，a =2b ．又椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故234b+214b =1，解得b 2=1. 所以椭圆E 的方程24x +y 2=1. （2）设直线l 的方程为y =12x +m (m ≠0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得x 2+2mx +2m 2 – 2=0 ① 方程①的判别式为∆=4(2 – m 2)， 由∆>0，即2 – m 2>0，解得m 由①得x 1+x 2= –2m ，x 1x 2=2m 2 – 2．所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为y =12-x ，由方程组221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭． 所以|MC |∙|MD |=25)(2)4m m m -=-． |MA |∙|MB | =14|AB |2=14221212()()x x y y ⎡⎤-+-⎣⎦=212125()416x x x x ⎡⎤+-⎣⎦ 【调研2】已知椭圆E : +=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．=22544(22)16m m ⎡⎤--⎣⎦=25(2)4m -. 所以|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．答案 （I ）26x +23y =1；(2，1)；（II ）λ=45． 解析 （Ⅰ）设短轴一端点为C (0，b )，左右焦点分别为F 1(–c ，0)，F 2(c ，0)，其中c >0， 则c 2+b 2=a 2；由题意，△F 1F 2C 为直角三角形， ∴ |F 1F 2|2=|F 1C |2+|F 2C |2，解得b =c =2a ，∴椭圆E 的方程为222xb +22y b =1；代入直线l ：y = – x +3，可得3x 2–12x +18–2b 2=0，又直线l 与椭圆E 只有一个交点，则△=122 – 4×3(18 – 2b 2)=0，解得b 2=3，∴椭圆E 的方程为26x +23y =1；由b 2=3，解得x =2，则y = – x +3=1，所以点T 的坐标为(2，1)； （Ⅱ）设P (x 0，3 – x 0)在直线l 上，由k OT =12，直线l ′平行OT ， 得直线l ′的参数方程为0023x x ty x t =+⎧⎨=-+⎩，代入椭圆E 中，得：(x 0+2t )2+2(3 – x 0+t )2=6，整理得2t 2+4t +x 20– 4x 0+4=0；设两根为t A ，t B ，由韦达定理，则有t A ∙t B =20(2)2x -；而|PT |22=2(x 0–2)2， |P A A |， |PB B |， 且|PT |2=λ|P A |∙|PB |，【 调研3】已知椭圆E :+=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y = – x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得|PT |2=λ|P A |∙|PB |，并求λ的值．∴λ=2||||||PT PA PB ⋅=20202(1)5(1)2x x --=45，即存在满足题意的λ值．答案 （1）24x +22y =1；（2）（ii ）62．解析 （1）由题意得22224222a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为24x +22y =1．（2）（i ）设N (x N ，0)，P (x P ，y P )，直线P A ：y =kx +m ， 因为点N 为直线P A 与x 轴的交点，所以x N =m k-， 因为点M (0，m )为线段PN 的中点，所以2N P x x +=0，02Py +=m ， 得x P =mk，y P =2m ， 所以点Q ,2m m k⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以k '=()20m m m k---= –3k ，故'k k = –3为定值． （ii ）直线P A ：y =kx +m ，与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2– 4=0，所以∆=16k 2m 2– 4(2k 2+1)(2m 2– 4)=32k 2 – 8m 2+16>0 ① x 1+x 2=2421kmx k -+，y 1+y 2=2221mk +， 所以A 222264(21)21k m m k m k k k ⎛⎫+--⎪++⎝⎭，， 直线QM : y = –3kx +m 与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，【调研4】已知椭圆C :+=1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线 交C 于另一点Q ，延长Q 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k '，证明为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．AQMPONxy B得(18k 2+1) x 2– 12kmx +2m 2– 4=0，所以x 1+x 2=212181km k +，y 1+y 2=22181mk +， 所以B ()()22224916,181181m k k m m k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，k AB =B A B A y y x x --=2614k k +=32k +14k ， 因为点P 在椭圆上，所以224m k +242m =1，得m 2=22481k k + ②将②代入①得(4k 2+1)2>0恒成立， 所以k 2≥0，所以k ≥0，所以k AB =32k +14k≥(当且仅当k时取“=”)，所以当k时，k AB． 分析：该题中的椭圆C 的方程易知为24x +22y =1；第(Ⅱ)小题中由已知|AP | ∙ |QB | =|AQ | ∙ |PB |，即||||AP PB =||||AQ QB ，说明Q 点在极点P 关于椭圆C 对应的极线上，其方程为44x +2y =1，即x +2y =1．答案 （1）24x +22y =1；（2）见解析； 解析 (1)由题意：2222222211⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩c ab c a b，解得a 2=4，b 2=2，所求椭圆方程为24x +22y =1.(2)方法一:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，记λ=||||AP PB =||||AQ QB ，则λ>0且λ≠1. 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP = – λPB ，AQ =λQB ， 于是 4=121λλ--x x ，1=121λλ--y y ，x =121λλ++x x ，y =121λλ++y y . 从而 2221221λλ--x x =4x ① 2221221λλ--y y =y ②【 调研5】设椭圆C :+=1(a >b >0)过点M (，1)，且左焦点为F 1(，0)，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P (4，1)的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|| ∙ || =|| ∙ ||，证明：点Q 总在某定直线上.又点A 、B 在椭圆C 上，即 x 21+2y 21=4 ③x 22+2y 22=4 ④①+②×2并结合③，④得4s +2y =4 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上 方法二:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，且||||PA AQ =||||PB QB . 又P ，A ，Q ，B 四点共线，可设PA =λAQ ，PB =λBQ (λ≠0，±1)，于是x 1=41λλ--x ，y 1=11λλ--y① x 2=41λλ++x ，y 2=11λλ++y② 由于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上，将①，②分别代入C 的方程x 2+2y 2=4，整理得(x 2+2y 2– 4)λ2 – 4(2x +y –2)λ+14=0 ③ (x 2+2y 2– 4)λ2 + 4(2x +y –2)λ+14=0 ④④–③得 8(2x +y –2)λ=0∵ λ≠0，∴2x +y –2=0 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上. A NMTOF xyB蝴蝶定理的推广 1．椭圆+=1(a >b >0)的左右顶点为A ，B ，T 为定直线x =t (t ≠0)上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点C (，0)．2．如图，过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 和形内定点(x 0，y 0)的直线交曲线于A ，B ，T 为定直线l ：mx 0x +ny 0y =1上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点(x 0，y 0)．证明：连结MN 交AB 于点C ，过点C 作l 的平行线交圆锥曲线于点P ，Q ，又设直线AB 交l 于点D ．先证点C 为PQ 的中点．设C (x C ，y C )，因C 在过点(x 0，y 0)的直线上，所以可设x C =tx 0，y C =ty 0，由于直线PQ 与直线l ：mx 0x +ny 0y =1平行，且过点C (tx 0，ty 0)，故直线PQ 方ANM T OF xyBDl PQ CE 快速提高高考成绩，轻松考取理想名校，提分奇书，巧学妙解王，火爆淘宝，订购店铺 或淘宝直接搜索书名：巧学妙解王 或拼多多搜索书名：巧学妙解王今天你真的提分了吗？还不赶快使用巧学妙解王！ 高考数学满分突破50讲——《妙妙题》即将上架！官网在线阅读： 凡是有高中的地方，必有巧学妙解王！程为mx 0x +ny 0y =t (mx +ny )，联立mx 2+ny 2=1得m (mx +ny )x 2– 2mx 0t (mx +ny )x +t 2(mx +ny )2–ny =0，由根与系数关系得x P + x Q =2tx 0=2x C ，据此知C 即PQ 的中点. 由圆锥曲线的蝴蝶定理知| CE | = | CF |，因此===，即=，注意到x A = –x B 化简得x C =.另一方面，将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 2+ny 2=1得(mx +ny )x 2– x =0∴x A x B =，即x =；将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 0x +ny 0y =1得x D =，因此可得x C ==x 0，又C (x C ，y C )在直线x 0y –y 0x =0上，∴ y C =y 0，故直线MN 恒过定点(x 0，y 0)． 值得说明的是，对于抛物线也有类似的结论，证明方法类似，读者不妨自行研究． 蝴蝶定理推论性质1： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与FD 交直线AB 于P ，Q ，则|MP |=|MQ |.过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得===，设M (m ，0)，H (n ，0)，焦点轴长为2a ，则有=，得mn =a 2.A C OP MQ BD E lHxy 图3G F 蝴蝶定理推论性质2：若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.性质2：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：x = –m 上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.蝴蝶定理推论性质3：直线l ：x =，过点M (m ，0)作椭圆、双曲线±=1的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=.证明：如图，由定理1，定理2及性质1得：.A C OP M Q BD E l IxyG F 蝴蝶定理推论性质4： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：===，由性质3得，点I 在直线l ：x =上，所以点G 在直线l ：x =上.A C OP M Q BDE lH x y图5G F蝴蝶定理推论性质5：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=. 蝴蝶定理推论性质6：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x = –m 上.OFGMDExy图6lC 蝴蝶定理推论性质7： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ：x =上.证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与G 重合， G 在直线l 上.蝴蝶定理推论性质8：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ： x = – m 上. OPG M DExyl CQ蝴蝶定理推论性质9：直线l ：x =，过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为E 、G ，在焦点轴所在直线上的射影为Q 、P ，则=.蝴蝶定理推论性质10：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则=.蝴蝶定理推论性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.【 调研6】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆+=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0．（1）设动点P 满足PF 2–PB 2=4，求点P 的轨迹；（2）设x 1=2，x 2=，求点T 的坐标；（3）设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．ANMTOF xyB蝴蝶定理推论性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，由定理1得：|MP |=|MQ |， 所以===.A PM Q BDE图8FCGI答案 (1)x =92；(2)T (7，103) (3) 见解析． 解析 （1）设点P (x ，y )，则F (2，0)、B (3，0)、A (–3，0)． 由PF 2–PB 2=4，得(x –2)2+y 2–[(x –3)2+y 2]=4，化简得x =92． 故所求点P 的轨迹为直线x =92．（2）将x 1=2，x 2=13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0，得M (2，53)、N (13，209-) 直线MTA 方程为：0503--y =323++x ，即y =13x +1， 直线NTB 方程为：2009---y =3133--x ，即y =56x –52． 联立方程组，解得：7103=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ，所以点T 的坐标为(7，103)． （3）设点T 的坐标为(9，m ) 直线MTA 方程为：00--y m =393++x ，即y =12m(x +3)， 直线NTB 方程为：00--y m =393--x ，即y =6m(x –3)． 分别与椭圆29x +25y =1联立方程组，同时考虑到x 1≠ –3，x 2≠3，解得：M 2223(80)40(,)8080-++m m m m 、N 2223(20)20(,)2020--++m mm m ． （方法一）当x 1≠x 2时，直线MN 方程为：222202040208020+++++m y m m m m m =2222223(20)203(80)3(20)8020--+---++m x m m m m m . 令y =0，解得：x =1．此时必过点D (1，0)；当x 1=x 2时，直线MN 方程为：x =1，与x 轴交点为D (1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1，0)． (方法二)若x 1=x 2，则由22240380-+m m =2236020-+m m 及m >0，得m此时直线MN 的方程为x =1，过点D (1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠，直线MD 的斜率k MD =22240802403180+--+mm m m =21040-mm ，直线ND 的斜率k ND =2222020360120-+--+mm m m =21040-m m ，得k MD =k ND ，所以直线MN 过D 点． 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1，0)．【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力1．设过抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2=8px (p >0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2=8px (p >0)的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆=________.解析：设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0)，联立得22y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 222,p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立得28y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得Q 288,p p k k ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴|OP |=，|PQ ， ∴ABQ ABOS S ∆∆=||||PQ OP =3.2．已知椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，右准线方程为x =4．如图所示，椭圆C 左右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线交椭圆C 于M ，N ，直线AM ，MB 交于点P ．精讲巩固ANM POFx B(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P (4，，直线AN ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，求12k k ． (3)求证点P 在一条定直线上．解析：(1) 椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，即c a =12，右准线方程为x =4，即2a c =4．解得：a =2，c =1，∵a 2= b 2+c 2，∴b 故椭圆的标准方程为：24x +23y =1．(2)点P (4，)，A (–2，0)，故得直线AP 方程为y (x +2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点M 的坐标为(0．那么可得MN 直线程为y =l – 3x ，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点N 的坐标为(85，．那么AN 的斜率为k 1=BM 斜率为k 2=，则12kk =13. (3) 设斜率存在的MN 的直线方程为y =k (x – l)， 利用设而不求的思想，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，可得：(4k 2+3) x 2 – 8k 2x +4k 2 – 12=0，那么：x 1+x 2=22843k k + ①， x 1x 2=2241243k k -+ ② 由A ，M 的坐标可得直线AM 的方程为y =112y y +(x +2) 由B ，N 的坐标可得直线BN 的方程为y =222y y +(x –2) 直线AM 与直线BN 联立，可得：x =21212122334x x x x x x -++-∴ x =21212212223()442x x x x x x x x -+++-+ ③将①②代入③解得：x =4． 故点P 存在直线x =4上．当k 不存在时，经验证，点P 在直线x =4上满足题意.3．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1． (1)当直线BD 过点(0，1)时，求直线AC 的方程； (2)当∠ABC =60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．解析：(1)由题意，得直线BD 的方程为y =x +1，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ．于是可设直线AC 的方程为y =–x +n ． 由2234x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，得4x 2– 6nx +3n 2– 4=0．因为A ，C 在椭圆上，所以∆= –12n 2+64＞0，解得<n. 设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1+x 2=32n，x 1x 2=2344n -，y 1= –x 1+n ，y 2= –x 2+n .所以y 1+y 2=2n .所以AC 的中点坐标为(34n ，4n ). 由四边形ABCD 为菱形可知，点(34n ，4n)在直线y =x +1上， 所以4n=34n+1，解得n = – 2． 所以直线AC 的方程为y = – x – 2，即x +y +2=0． (2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°， 所以|AB |=|BC |=|CA |．所以菱形ABCD 的面积S|AC |2. 由(1)可得|AC |2=(x 1 – x 2)2+(y 1 – y 2)2=23162n -+，所以S–3n 2+16) (<n)．所以当n =0时，菱形ABCD的面积取得最大值4．已知椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x – y相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的右焦点F 的直线l 1与椭圆交于A 、B ，过F 与直线l 1垂直的直线l 2与椭圆交于C 、D ．与直线l 3：x =4交于P ；①求证：直线P A 、PF 、PB 的斜率k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；②是否存在常数λ使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解析：∵椭圆C ：22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，∴e =c a =12， AFCPO xyBDF∵ 椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线x – y相切，b，则a 2= b 2+c 2=4． 故椭圆C 的方程为：24x +23y =1．(2)①证明：∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =l ，联立直线方程和椭圆方程可得：A (1，32)，B (1，32-)，此时k P A 与k PB 互为相反数，则k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；当直线AB 的斜率存在时，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0， CD 的直线程为：y =1k-(x –1)，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +，x 1x 2=2241234k k -+. 由直线CD 的方程中，取x =4，的y =3k-，∴P (4，3k-)，则k P A +k PB =1134y k x ---+2234y k x ---=12211233()(4)()(4)(4)(4)y x y x k k x x ---+-----=12121212243(5)()82164()k x x k kx x k k x x x x -+-+++-++=222222222438412(5)82343484121643434k k k k k k k k k k k k k--+-⋅++⋅++--⋅+++=2727236(1)k k k -+=2k -=2k PF . 综上，k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；② ∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +， x 1x 2=2241234k k -+. 由弦长公式得|AB2212(1)34k k ++. 同理设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD | =22112(1)134k k++⋅=2212(1)34k k ++.∵ |AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |，∴λ=||||||||AB CD AB CD +⋅=1||AB +1||CD =223412(1)k k +++223412(1)k k ++=227(1)12(1)k k ++=712.∴存在常数λ=712，使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立. 5．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)左、右顶点分别为A 、B ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q (t ，m )是直线x =9上的点，直线QA 、QB 与椭圆C 分别交于点M 、N ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．代入椭圆方程，得(80+m 2) x 2+6x +9m 2 – 720=0 代入椭圆方程，得(20+m 2) x 2– 6x +9m 2–180=0①若x 1=MN 方程为x =1，与x 轴交点为(1，0)． ②若m 2≠40，直线MN 方程为y +22020m m +x ANMQOxyB9令y =0，解得：x =1．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．6．如图，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中y 1>0，y 1y 2= – 4．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．解析：（I ）易得直线AB 的方程为(y 1+y 2)y =2px +y 1y 2，代入02p⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得 y 1y 2= – p 2= – 4，所以p =2； （II ）点A (214y ，y 1)，B (224y ，y 2)，则H (–1，y 1)，直线PQ : y =12y-(x –1)，代入y 2=4x ，得y 21x – (2y 21+16)+ y 21=0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则| PQ |= x 3+x 4+2=21214(4)y y +. 设A ，B 到PQ 的距离分别为d 1，d 2，由PQ : y 1x +2y – y 1=0，得d 1+d 2321121121|2(2)|+--+-y y y y y y y311221|(2)|+--+-y y y y y3112|2|+-y y y3114|2|++y y22因此S APBQ =12|PQ |∙( d 1+d 2)=1设函数f (x )=256(4)+x x (x >0)，则f '(x )=24274(4)(6)+-x x x ，可得，当x ∈(0时，f (x )单调递减；当x ∈+∞)时，f (x )单调递增， 从而当y 1S．。

蝴蝶定理定理
蝴蝶定理是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。

这个命题最早出现在1815年，由W。

G。

霍纳提出证明。

而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。

这个定理的证法不胜枚举，至
今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。

蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD 和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

蝴蝶定理的证明
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：
1.M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。

2.圆可以改为任意圆锥曲线。

3.将圆变为一个筝形，M为对角线交点。

4.去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足。

公考几何五大定理——蝴蝶定理
蝴蝶定理是公共考试几何学中的一个重要定理，也被称为“巴斯卡定理”。

它是基于帕斯卡定理的一个推论，用于解决关于圆的切线和割线的性质问题。

蝴蝶定理的内容如下：
在一个圆内，任意取两个不相交的割线AB和CD，它们相交于点E。

连接AC和BD，它们相交于点F。

则AE × EB = CE × ED。

这个定理的名字来源于连接AE、BE、CE和DE的四条线段形成的形状，它们看起来像一只蝴蝶的翅膀。

蝴蝶定理的证明可以通过应用帕斯卡定理来完成。

首先，我们可以利用帕斯卡定理证明三个点A、E和D在同一直线上。

根据帕斯卡定理，我们可以得到：AD ∩ BE、AF ∩ CD和BF ∩ CE三个交点共线。

因此，我们可以得出结论：AE × EB = CE × ED。

蝴蝶定理的应用非常广泛，特别是在解决与圆相关的几何问题时。

例如，可以利用蝴蝶定理证明两条割线的交点与两条切线的交点共线，或者利用蝴蝶定理证明两条割线的交点与圆心共线等。

总结起来，蝴蝶定理是公共考试几何学中一个重要的定理，用于解决与圆的切线和割线的性质问题。

它是基于帕斯卡定理的一个推论，通过连接割线和相交点形成的四条线段，得到了一个重要的几何关系式。

燕尾定理:在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CDS△AOB∶S△COB=AE∶CES△BOC∶S△AOC=BF∶AF1.因此图类似燕尾而得名。

是五大模型之一，是一个关于平面三角形的定理，俗称燕尾定理。

2.此定理是面积法最重要的定理之一。

3.所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或为成比例线段的方法。

4.相关定理有以下几个：5.等底等高的两个三角形面积相等;6.等底(或等高)的两三角形面积之比等于其高(或底)之比;7.在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等;8.若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点的直线与底边平行。

验证推导编辑证法1：下面的是第一种方法：利用分比性质(若a÷b=c÷d，则（a-b）÷b=（c-d）÷d,b≠0，d≠0,）注：∵（a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1,(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1,a/b=c/d∴（a-b）÷b=（c-d）÷d∵△ABD与△ACD同高∴S△ABD：S△ACD=BD：CD同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD利用分比性质，得S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD即S△AOB：S△AOC=BD：CD命题得证。

（由此可得：若X：Y=a∶b，X1∶Y1=a∶b；则（X±X1）∶（Y±Y1）=a∶b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1）证法2：相似三角形法。

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE 证明：过点O作MN∥BC,，交AB于点M，AC于点N；过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。

几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2CFEADBCBE FDA定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。