风筝模型和梯形蝴蝶定理

风筝模型：
板块一风筝模型：（又叫任意四边形模型）
S 4
S 3S 2S 1O
D
C B
A
①1243::S S S S 或者1324S S S S ②1243
::AO OC S S S S 风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”
)：A
B C D
O
b
a S 3S 2S 1S 4①2213
::S S a b ②22
1324
::::::S S S S a b ab ab ；③S 的对应份数为2a b ．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．
(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 知识框架
风筝模型和梯形蝴蝶定理。

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。

编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。

正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。

于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。

《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。

1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。

4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。

5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。

时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。

黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！101数学创作社2024年9月16日第二单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 (3)【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 (4)【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 (7)【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 (8)【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 (11)【第三篇】典型例题篇【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用。

蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线 AC 与BD 分成的左右两个三角形（厶 ADO 和厶BCO ）形状有 点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。

2、风筝定理在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 分成了四个三角形 这四个三角形的面积分别记为： S i 、S 2、S 3、S 4。

则它们的关系是：S i x S 4 =S 2 X S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△ 米，△ DOC 的面积是9平方厘米，梯形 ABCD练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是 4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?2、如图，阴影部分面积是 4cm 2, OC=2AO ，求梯形的面积。

CBAS i S 2O S 3S 4CAOD 的面积是3平方厘【例2】如图，BD , CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是 8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米?练习1如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是 面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形 ABCD 的面积是36平方厘米，对角线 AC 、BD 交于0点，E 为CD 上一点，已知四边形 EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。

求:(1)三角形CEF 的面积，(2)DF 的长度练习 正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。

三角形DEF 的面积是多少平 方厘米？ CF 长多少厘米?4平方厘米，黄色三角形DDFC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形 ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？2、三个正方形 ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形 BEFG 的边长是3厘米，求三角形 DEK 的面积。

风筝模型和梯形蝴蝶定理知识框架板块一风筝模型：（又叫任意四边形模型）① S! :S2 S4：S3 或者S I S3 S2 S4② AO :OC Si S2： S4 S3风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积矢系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例矢系•板块二梯形模型的应用梯形中比例矢系（“梯形蝴蝶定理”）：① S1 :S3 a2:b222②Si：S3:S2: S4 a2:b2:ab:ab ；③S的对应份数为a b 2•梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间矢系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果・（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）例题精讲【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷・那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？C巩固】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6・92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？例2】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵ AG:GC ?BD 巩固】在△ ABC 中=2:1,AEEC求0BOE 例3】如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为A巩固】如图，每个小方格的边长都是1 '求三角形ABC 的面积・例4】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，ACEF、AOEF、AODF、ABOE的面积依次是2、4、4和6 •求：⑴求△ OCF的面积；（2）求△ GCE的面积•巩固】如右上图，已知BO=2DO，CO=5AO，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD的面积。

知识框架板块一风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DCBA ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)风筝模型和梯形蝴蝶定理例题精讲【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【巩固】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC AG GC ？的面积；⑵:欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】在△ABC 中DC BD =2:1,EC AE =1:3，求OEOB=?【例3】如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为．【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．【例4】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．【巩固】如右上图，已知BO=2DO，CO=5AO，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）① 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)S 4S 3S 2S 1O DCBA A BCDO baS 3S 2S 1S 4知识框架风筝模型和梯形蝴蝶定理【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC ？76EDCBA76OCDBA321GDCBA 例题精讲【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=?【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．DCBAOGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)知识框架风筝模型和梯形蝴蝶定理【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC ？321GDCBA【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? 例题精讲【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BA【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．A B【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

风筝模型和梯形蝴蝶定理知识框架风筝模型：板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)例题精讲【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC ？321GDCBA【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=?【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

第三道蝴蝶定理微风筝定理之阳早格格创做一、引进 1、蝴蝶定理正在梯形ABCD 中，由对于角线AC 取BD 分成的安排二个三角形（△蝴蝶三角形的里积相等.即S △ADO =S △BCO2、风筝定理正在任性四边形ABCD 中，对于角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），那四个三角形的里积分别记为：S 1、S 2、S 3、S 4. 则它们的闭系是：S 1×S 4=S 2×S 3即相对于的二个三角形的里积乘积是相等的. 二、新授课【例1】如图，梯形的二条对于角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的里积是3仄圆厘米，△仄圆厘米，梯形ABCD 训练1、如图，2BO=DO ，且阳影部分的里积是4cm 2，那么梯形ABCD 的里积是几仄圆厘米？ABCDO S 1 S 2S 3 S 42、如图，阳影部分里积是4cm 2，OC=2AO【例2】如图，BD ，CF 将少圆形ABCD 角形的里积是4米，那么绿色四边形的里积是几仄圆厘米？ 训练1、如图，BD ，CF 将少圆形ABCD 分成4块，白色三角形里积是4仄圆厘米，黄色三角形里积是6四边形的里积是几仄圆厘米？2、如图，仄止四边形ABCD 的里积是36仄圆厘米，对于角线AC 、BD 接于O 面，E 为CD EFOG 的里积是3米？【例3】如图，四边形ABCD 是边少为18厘米的正圆形，已知CE 的少是ED 的2倍.供：（1）三角形CEF 的里积，（2）DF 的少度 训练正圆形ABCD 的边少是12厘米，已知DE 倍.三角形DEF 的里积是几仄圆厘米？CF 【例4】正圆形ABCD 战正圆形CEFG 边少为10厘米，则图中三角形BDF 里积为几仄圆厘米？C训练1、如图，甲、乙二图形皆是正圆形，它们的边少分别是10厘米战12厘米，供阳影部分的里积.2、三个正圆形ABCD 、BEFG 、BEFG 的边少是3厘米，供三角形1、如图，阳影部分的里积是里积.2、如图，梯形ABCD 的上底AB 为9厘米，而三角形ADO 的里积是ABCD 的里积是几仄圆厘米？3、如图，少圆形ABCD 中，阳影部分是曲角三角形且里积是52仄圆厘米，OD 的少是16厘米，OB 的少是4厘米，那么四边形OECD 的里积是几仄圆厘米？4、如图，仄止四边形ABCD 里积是靠拢A 面的中面.AC 取BE 相接于面积是几仄圆厘米？5、正在曲角梯形ABCD 中，AB=15厘米，AD=12厘米，阳影部分的里积为15仄圆厘米，梯形ABCD 的里积是几仄圆厘米？K6、梯形ABCF 的下底BC 是12CE=2DE ，供DF.7、正圆形ADEB 战正圆形ECFG边少分别为6厘米战4厘米？8、正圆形ADEB 战正圆形ECFG 边少分别为6厘米战4厘米，三角形BDF 的里积是几仄圆厘米？教死姓名：____________1、如图，正在梯形ABCD 中，三角形ADO 的里积是6仄圆厘米，且DC 的少是AB 的2倍.是几仄圆厘米？2、如图，仄止四边形ABCD 里积是靠拢D 面的三仄分面.BD 取CE 分里积是几仄圆厘米？3、正圆形ABCD 的边少是62倍.三角形DEF 的里积是几仄圆厘米？CF 4、如图，大、小正圆形的边少分别是8影部分里积几仄圆厘米？5、如图，四边形ABCD是曲角梯形，AB=4厘米，AD=6厘米，DE=3厘米，那么三角形米？6、如图，四边形ABCDABE的里积是35圆厘米？7、正圆形ABCD战正圆形CEFG，且正圆形ABCD边少为8厘米，则图中阳影（三角形BDF米？8、已知三角形ABC的里积是649、如图，四边形ABCD是曲角梯形，米，EF∥AB，供三角形CED。

蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。

即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1 、S 2 、S 3 、S 4。

则它们的关系是：S 1×S 4 =S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。

A BCD O S 1 S 2S 3 S 4【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。

求： （1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。

三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？CC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？练习1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。

第三讲蝴蝶定理和风筝定理一、引入 1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右蝶翅膀，把这蝶三角形（如图），即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1、S 2、S 3、S 4。

则它们的关系是：S 1×S 4=S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

二、新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△ABCDO S 1 S 2 S 3 S 4的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO的面积。

【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD块，红色三角形的面积是4的面积是8少平方厘米？ 练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 已知四边形EFOG 的面积是3分的面积为多少平方厘米？C【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。

求： （1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度 练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是度的2倍。

三角形DEF 长多少厘米？【例4】正方形ABCD和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？练习1别是2、三个正方形ABCD 、BEFG 、正方形BEFG 的边长是3面积。

1、如图，阴影部分的面积是12cm 2梯形的面积。

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。

编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。

正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。

于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。

《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。

1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。

4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。

5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。

时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。

黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！101数学创作社2024年9月16日第二单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 (3)【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 (4)【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 (6)【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 (7)【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 (9)【第三篇】典型例题篇【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用。

创作时间：二零二一年六月三十日第三讲蝴蝶定理和风筝定理之阿布丰王创作一、引入 1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中, 由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO, 把这两个三角形称为蝴.△ADO △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中, 对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图）,这四个三角形的面积分别记为：S 1、S 2、S 3、S 4. 则它们的关系是：S 1×S 4=S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的. 二、新授课【例1】如图, 梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形, 已知△AOD 的面积是3平方厘米, △DOC 的面积是9ABCD 的面积是几多平方厘米？ 练习1、如图, 2BO=DO, 且阴影部份的面积是4cm 2, 那么梯形ABCD 的ABDO S 1 S 2S 3S 4面积是几多平方厘米？2、如图, 阴影部份面积是4cm 2, OC=2AO,【例2】如图, BD, CF 将长方形ABCD 分成四块积是4平方厘米, 黄色三角形的面积是8边形的面积是几多平方厘米？练习1、如图, BD, CF 将长方形ABCD 分成4块, 红色三角形面积是4平方厘米, 黄色三角形面积是6平方厘米, 是几多平方厘米？2、如图, 平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米, 对角线AC 、BD 交于O 点, E 为CD 上一点, 已知四边形EFOG 厘米, 则阴影部份的面积为几多平方厘米？【例3】如图, 四边形ABCD 是边长为18的长是ED 的2倍.求：（1）三角形CEF 的面积, （2）DF 的长度 练习正方形ABCD 的边长是12厘米, 已知DE 是EC DEF 的面积是几多平方厘米？CF 长几多厘米？【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG, 且正方形厘米, 则图中三角形BDF 面积为几多平方厘米？练习 C1、如图, 甲、乙两图形都是正方形, 它们的边长分别是10厘米和12厘米, 求阴影部份的面积.2、三个正方形ABCD 、BEFG 、FHKP 是3厘米, 求三角形DEK 的面积.1、如图, 阴影部份的面积是12cm 22、如图, 梯形ABCD 的上底AB 长为3而三角形ADO 的面积是12平方厘米平方厘米？3、如图, 长方形ABCD 中, 方厘米, OD 的长是16厘米, OB 的长是4厘米, 那么四边形OECD 的面积是几多平方厘米？4、如图, 平行四边形ABCD 面积是12A 点的中点.AC 与BE 相交于点F, 厘米？5、在直角梯形ABCD 中, AB=15厘米, AD=12厘米, 阴影部份的面积为15平方厘米, 梯形ABCD 的面积是几多平方厘米？6、梯形ABCF 的下底BC 是12厘米, 高求DF.K7、正方形ADEB 和正方形ECFG 底边对齐, 两个正方形边长分别为6厘米和4厘米, 三角形ACG 8、正方形ADEB 和正方形ECFG 6厘米和4厘米, 三角形BDF学生姓名：____________1、如图, 在梯形ABCD 中, 三角形ADO 的面积是6平方厘米, 且DC 的长是AB 的2倍.请问梯形ABCD 2、如图, 平行四边形ABCD 面积是72D 点的三等分点.BD 与CE 相交于点F, 平方厘米？3、正方形ABCD 的边长是6厘米, 已知形DEF 的面积是几多平方厘米？CF4、如图, 年夜、小正方形的边长分别是8份面积几多平方厘米？5、如图, 四边形ABCD 是直角梯形, AB=4厘米, AD=6厘米, DE=3厘米, 那么三角形BOC 6、如图, 四边形ABCD 积是35平方厘米, 阴影三角形CEF7、正方形ABCD 和正方形CEFG, 则图中阴影（三角形BDF FF8、已知三角形ABC的面积是64平方厘米, 是平方四边形DEFC面创作时间：二零二一年六月三十日。

风筝模型：板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)知识框架风筝模型和梯形蝴蝶定理【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【例 2】76EDCBA 76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【巩固】OCDBA【例 3】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC【例 4】321GDCBA例题精讲【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? 【巩固】【例 5】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。