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小学奥数之几何蝴蝶定理问题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】CFEADBCB E FDA几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质1） HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？12AD AB =，例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
风筝模型：
板块一风筝模型：（又叫任意四边形模型）
S 4
S 3S 2S 1O
D
C B
A
①1243::S S S S 或者1324S S S S ②1243
::AO OC S S S S 风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”
)：A
B C D
O
b
a S 3S 2S 1S 4①2213
::S S a b ②22
1324
::::::S S S S a b ab ab ；③S 的对应份数为2a b ．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．
(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 知识框架
风筝模型和梯形蝴蝶定理。
风筝模型和梯形蝴蝶定理知识框架板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)例题精讲【例 1】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC =？B【巩固】在△ABC中DCBD=2:1,ECAE=1:3，求OEOB=?【例 2】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【巩固】如右上图，已知BO=2DO，CO=5AO，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD的面积。
【例 3】如图，边长为1的正方形ABCD中，2BE EC=，CF FD=，求三角形AEG的面积．AB CDEFG 【巩固】如图，长方形ABCD中，:2:3BE EC=，:1:2DF FC=，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．AB CDEFG【例 4】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．OM NCBA【巩固】 如图4，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89、28、26，那么三角形DBE 的面积是 。
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理——蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
那什么是蝴蝶定理呢？咱们先来看一个简单的图形。
想象有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后，分别从这个交点向四边形的四条边作垂线。
这时，你会发现一个有趣的现象：在两条对角线上相对的两个三角形的面积乘积相等。
比如说，有一个四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为 E、F、G、H。
那么，三角形 AOB 和三角形 COD 的面积乘积就等于三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积乘积。
这就是蝴蝶定理的基本内容。
可能有的小朋友会问了，为什么会有这样神奇的定理呢？咱们来试着证明一下。
假设三角形 AOB 的面积为 S₁，三角形 BOC 的面积为 S₂，三角形COD 的面积为 S₃，三角形 AOD 的面积为 S₄。
因为三角形的面积等于底乘以高除以 2，而三角形 AOB 和三角形BOC 都以 BO 为底边，它们的高分别是 AE 和 CF。
所以，S₁/S₂＝（AE×BO/2) ／（CF×BO/2) ＝ AE/CF。
同理，三角形 AOD 和三角形 COD 都以 DO 为底边，它们的高分别是 AH 和 CG。
所以，S₄/S₃＝（AH×DO/2) ／（CG×DO/2) ＝AH/CG。
又因为三角形 AEO 和三角形 CGO 相似（因为对顶角相等，直角相等），所以 AE/CF ＝ AH/CG。
从而得出 S₁×S₃＝ S₂×S₄，这就证明了蝴蝶定理。
蝴蝶定理在解决实际问题中可有大用处啦！比如，有一道这样的题目：在一个四边形中，两条对角线相交，其中一条对角线被交点分成 3 厘米和 5 厘米两段，另一条对角线被交点分成 2 厘米和 4 厘米两段。
求这个四边形中相对的两个三角形的面积比。
蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线 AC 与BD 分成的左右两个三角形（厶 ADO 和厶BCO ）形状有 点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
2、风筝定理在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 分成了四个三角形 这四个三角形的面积分别记为： S i 、S 2、S 3、S 4。
则它们的关系是：S i x S 4 =S 2 X S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△ 米，△ DOC 的面积是9平方厘米，梯形 ABCD练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是 4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?2、如图，阴影部分面积是 4cm 2, OC=2AO ，求梯形的面积。
CBAS i S 2O S 3S 4CAOD 的面积是3平方厘【例2】如图，BD , CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是 8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米?练习1如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是 面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形 ABCD 的面积是36平方厘米，对角线 AC 、BD 交于0点，E 为CD 上一点，已知四边形 EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。
求:(1)三角形CEF 的面积，(2)DF 的长度练习 正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。
三角形DEF 的面积是多少平 方厘米？ CF 长多少厘米?4平方厘米，黄色三角形DDFC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形 ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？2、三个正方形 ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形 BEFG 的边长是3厘米，求三角形 DEK 的面积。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。
蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。
设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。
那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。
这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。
我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。
下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。
例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。
如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。
又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。
因此，三角形ADC的面积也是24cm²。
例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。
如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。
又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。
因此，三角形ADC的面积是25cm²。
风筝模型：板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)知识框架风筝模型和梯形蝴蝶定理【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC ？CB【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? 例题精讲【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
第三讲 蝴蝶定理和风筝定理一、引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1 、S 2 、S 3 、S 4。
则它们的关系是：S 1×S 4 =S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
二、新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。
A BCD O S 1 S 2S 3 S 4【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。
求： （1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。
三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？CC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？练习1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
小学奥数几何模型之蝴蝶模型例题+作业带答案小学几何模型之蝴蝶模型在这一节中，我们将介绍蝴蝶模型的几何形状，并通过例题和练来帮助大家更好地理解和掌握这一模型。
梯形中的蝴蝶模型蝴蝶模型通常出现在梯形中，其中梯形的两个翅膀相等，即左边等于右边。
例题1下面是一道关于梯形的例题：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形AOD与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。
解题思路：首先，我们可以计算出△AOB的面积为24平方厘米。
接着，根据相似三角形的性质，我们可以得到△BOC的面积为36平方厘米。
最后，将所有三角形的面积相加，即可得到梯形ABCD的面积为100平方厘米。
练1现在是你们自己来练的时间了。
在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形DOC与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。
解题思路：首先，我们可以计算出△AOB的面积为35平方厘米。
接着，根据相似三角形的性质，我们可以得到△AOD的面积为25平方厘米。
例题2下面是一道关于长方形的例题：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。
解题思路：我们可以通过连接EF来得到四边形EGFH。
接着，将已知的三角形面积相加，即可得到四边形EGFH的面积为16平方厘米。
练2现在是你们自己来练的时间了。
长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。
解题思路：我们可以通过连接EF来得到四边形GEHF。
接着，将已知的三角形面积相加，即可得到四边形GEHF的面积为41平方厘米。
风筝模型除了蝴蝶模型，风筝模型也是几何学中常见的模型之一。
例题3下面是一道关于不规则四边形的例题：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
