蝴蝶定理的证明
定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=?
得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○
1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即
PC'CQ =。又
111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222
∠∠（）（）
故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠
而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有
FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC
1ME DN CF
??= 由上述两式相乘，并注意到
NA ND NC NB ?=? 得
2
2
FM AN ND BF CF BF CF
ME AE ED BN CN AE ED
?=???=? ()()()()2
2
22
PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -=
=-+--
化简上式后得ME=MF 。[2]
2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
图 2
图 3
图
4
图 5
证法 4 （Steven 给出）如图5，并令
DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y
αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由
FCM AME EDM FMB
FCM EDM FMB AME
S S S S 1S S S S ???????????=，
即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ
αγβδ
???????????=????????
化简得 ()()()()222
22
2MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+??-====??-+- 即 222
222
x y a y a x -=-，
从而 ,ME MF x y ==。 证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对MBC ?和MAD ?分别应用张角定理，有
()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA
αβαββαβα
++=+=+，
上述两式相减，得
()()()1
1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD MA MB βααβ??+-=--- ?
????
设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有
()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα
-==?-=-==?-=
于是 ()1
1sin 0MF ME αβ??+-= ???，
而180αβ+≠?，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。
（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证
明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
()2
22
x y a R ++=。
直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x
=。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为
()()()2
22120x y a R y k x y k x μλ??++-+--=?????
?
令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()
222120k k x a R μλμ++-=，
由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。
[5]
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为
()
2
22x a y r -+=
直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x
=。
又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，
则14x x 、分别是二次方
程
()
()2
2
22222
212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。AD 在y 轴上的截距为
()()24111121441
1111214141k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----?=-=
---。
同理，BC 在y 轴上的截距为
()1223
32
k k x x x x --。注意到12x x 、是方程
()22
221
120k x
ax a r +-+-=的
两
根
，
34
x x 、是方程
()
222
22
12
0k x a x a r +-+-=的两根，所以34122212342x x x x a
x x a r x x ++==-，
从而易
得
3412
1234
0x x x x x x x x +=--，
即ME MF =。 证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。因C F B 、、三点共线，令
BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα????
-+-=- ? ?????
即 ()C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ-=
- ○1 ()
A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ
-=- ○2
图 8
作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ?与Rt OVM ?可得
D C
B A cos cos ρρρραβ
--=- ○4
将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。
二 蝴蝶定理的推广和猜想
（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P 、 Q 分别是 ED 、 CF 和AB 的交点. 如果 P 、 Q 分别是 CE 、 DF
和AB 延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM .
推论 1 过圆的弦 AB 的中点M 引任意两条弦 CD 与 EF, 连结 CE 、 DF 并延长交 AB 的延长线于 P 、 Q. 求证: PM = QM.
证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;
∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;
记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.
则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsin α · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF ·QD ·M P 2= PC·PE·MQ2. ②
又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.
[3]
（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM 是 AB 的垂线 (O 是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB 的前提下将圆 O 的弦 AB 移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .
推论 2 已知直线 AB 与 ⊙O 相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M 作 ⊙O 任意两条割线 MC, M E 分别交 ⊙O 于 C, D 和 E, F. 连结DE,FC 并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F 作 FK ∥AB, 交直线 OM 于 N,交 ⊙O 于 K .
连结 M K 交 ⊙O 于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M 在 FK 的垂直平分线上) .
又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④
从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK 知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C 四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.
又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.
（三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们
可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有PM = QM .
推论 3设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD 和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM. 证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用△MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用△MAE≌△MBF 知 M平分 EF.
在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用△M EP ≌△M FQ知 PM = QM。[4]
低收入证明标准格式范本模板 低收入证明是低收入个人获得款项申请的必备文件之一。下面给大家分享的低收入证明范本，希望能帮到你! 兹证明__________(身份证：________________________)在我单位__________部门任职(职务为:__________)，月收入为______元(税前)。 特此证明。 本证明仅用于证明我单位员工的工作及在我单位员工的工资收入，不作为我单位对该员工任何形式的担保文件。 单位名称(盖章) ______年___月___日 收入证明，是我国公民在日常生产生活经营活动中，所需要的对经济收入的一种证明，一般在办理签证、银行贷款，信用卡等会被要求由当事人单位出具的对经济收入的证明。 兹证明我村(居)民________________，性别________________，身份证号________________，职业________________，身体状况 ________________。家庭状况：________________家庭人口人 ________________(各家庭成员姓名与户主关系、职业、身体状况、有无劳动能力等见申请表)，家庭年总收入________________元，人均________________元，低于我市城乡低保标准2倍范围内，属低保收入家庭，特此证明。 村(居)委会(盖章)：
经办人：________________ 年月日 乡镇(街道)意见(盖章)：________________ 经办人：________________ 年月日 兹有我公司(XXXX公司)员工XXX，身份证号码：XXXXXX，在我司工作XX年，任职XX部门XX经理(职位)，年收入为人民币XXXXX 元。 特此证明! XXXX公司(加盖公章) XXXX年X月X日 ↓↓↓↓↓点击下页还有更多低收入证明范本↓↓↓↓↓
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到 圆锥曲线的若干性质. 定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交直线AB于P，Q，则有. 证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的两个根，所以. 若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立. 若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0， q），, ,同理, 所以 将代入(*)得,又得 , , 同理 , ，所以，即 .
注:2003年高考 数学北京卷第18 （III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形. 定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有. 证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（），B（），则切线MA的方程是，切线MB的方程是 ，得，所以.（下面与定理1的证明相同，略） 特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上. 性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，EF是其焦点轴， 则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线. 证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得.
一 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何 方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而M U A M V ?? ， AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 F M E A N B 1M E A N B F ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到
梯形蝴蝶定理 如上图，在梯形中，存在以下关系： 1.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2 2.S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab 3.S3=S4 4.S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出) 5.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4) 【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？ 【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得△BEF面积等于6，而△ABF的面积为6×6÷4=9 因为△BCD面积等于△ABD，所以△BCE面积为9+6-6-4=5 因此所求四边形面积为5+6=11。 蝴蝶定理的证明：
右上角为A，左下角为B S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a2：b2 设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。。。。所以S3=S4 设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA 因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a 所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab 射影定理 公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。 等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明） 直角三角形射影定理的证明 射影定理简图(几何画板)： （主要是从三角形的相似比推算来的） 证法一 在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°， ∴∠ABD=∠C， 又∵∠BDA=∠BDC=90°
蝴蝶定理的证明 定理： 设 M 为圆内 弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD 。设 AD 和 BC 各相交 PQ 于点 E 和 F ， 则 M 是 EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的 帮助下，翩翩起舞！ 证法 1 如图 2 ，作 OU AD ， OV BC U ，V 分别为 AD 、 BC 的中点，且由于 ，则垂足 EUO EMO 90 FVOFMO 90 得 M 、 E 、U 、O 共圆； M 、F 、V 、 O 共圆。 则 AUM= EOM ， MOFMVC 又 MAD MCB ， U 、V 为 AD 、BC 的中点，从而 MUA MVC ， AUM MVC 则 EOM MOF ，于是 ME=MF 。 证法 2 过 D 作关于直线 OM 的对称点 D' ，如图 3 所示，则 FMD' EMD ，MD=MD' 1 A ○ C 联结 D'M 交圆 O 于 C'，则 C 与 C'关于 OM 对称，即 P E FQ U M PC' CQ 。又 V D O 1 1 1 CFP= （ QB+PC ）= （QB+CC'+CQ ）= BC'= BD'C' 2 2 2 故 M 、F 、 B 、 D' 四点共圆，即 MBF MD'F 而 MBF EDM 2 ○ B 图 2 C' C A 由 1 、 2 知， DME D'MF ， 故 ME=MF 。 ○ ○ P E F Q M 证法 3 如图 4，设直线 DA 与 BC 交于点 N 。对 NEF 及截线 AMB ， NEF 及截 线 CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1 ， FM ED NC 1 ME AN BF ME DN CF 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB O B D D' 图 3 N 得 FM 2 AN ND BF CF BF CF ME 2 AE ED BN CN AE ED A C P E F Q PM +MF MQ - MF PM 2 MF 2 PM - ME MQ+ME PM 2 ME 2 M D O B 化简上式后得 ME=MF 。[2] 图 4 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
个人收入证明范本_证明书 各位读友大家好！你有你的木棉，我有我的文章，为了你的木棉，应读我的文章！若为比翼双飞鸟，定是人间有情人！若读此篇优秀文，必成天上比翼鸟！ 个人收入证明范本_证明书个人收入证明通用版兹证明________是我公司员工，在________部门任________职务。至今为止，一年以来总收入约为__________元。特此证明。第四条因国家调整计划、产品价格、税率、以及修正慨算等原因，需要变更合同条款，由双方签订变更合同的文件，作为本合同的组成部分。我于19xx年x月投资n万元人民币成立xxxxx，属于个人工商户经营，营业执照注册号xxxxxxxxxxxxxx，主要经营和销售xxxxxxx。xxxxx自设立以来营业状况良好，平均年收入在xxxxx元人民币。经营所得净收入基本归本人所有。本证明仅用于证明我公司员工的工作及在我公司的工资收入，不作为我公司对该员工任何形势的担保文件。盖章：日期：______年___月___日教师工作收入证明版 _____同志，女，汉族，______年______月出生，现年______岁，______年毕业于______专业，本科学历，______年______月经人事局招聘至我校工作至今，教龄______年。该同志自参加工作以来，思想积极，热爱党的教育事业;工作踏实，遵守学校各项规章制度;成绩优秀，年度考核名列前茅，近五年来未受过任何处分或处罚。经审查，符合城区学校选调教师条件。个人收
入证明银行贷款范文银行：目前，我的工作部门客户服务部，主要工作内容为做电子版巡检记录、统计水电周、月报表，整理档案、库房账目、内务管理等，工作内容较细较杂，因此，在工作中，我不断培养自我的责任心和耐心，将责任心和耐心的培养放在做好工作首位，要求自己能够静下心来，认真处理每项工作中的细节，确保工作不在我的范围内出错，不因我耽误工作。兹证明先生(女士)是我单位职工，工作年限年，在我单位工作年，职务为，岗位为，工作性质为(正式制;合同制;临时制;其他)，职称为，该员工是否有违规违纪行为(有;无)。其身份证号码为：其平均月收入为人民币(大写)元填表人签字：证明单位(盖公章)单位联系电话：房屋租赁期为，从__年__月__日至__年__月__日。在此期间，任何一方要求终止合同，须提前三个月通知对方，并偿付对方总租金___的违约金;如果甲方转让该房屋，乙方有优先购买权。某某先生/女士/小姐自2008年01月01日入职我公司担任人力人事专员职务，至20xx年06月31日因个人原因申请离职，在此间无不良表现，经公司研究决定，同意其离职，已办理离职手续。×年×月×日来信收到。根据信中要求，现将你校××同志的爱人、××同志的情况介绍如下：单位营业执照编号：单位办公地址：本单位承诺该职工的收入证明真实。本收入证明仅限于该职工办理贷记卡用途，我公司并不对该职工使用贷记卡可能造成的欠款承担任何责任。填表日期：年月个人收入证明简单版兹有我公司(xxxx公司)员工xxx，身份证号码：xxxxxx，在我司工作xx
职业、收入证明 兹有同志，性别，身份证号码（军官证，护照）号码：，自年月日至今一直在我单位工作，与我单位签订了劳动合同，合同期限为。目前在部门担任职务，税后月工资、薪金所得为人民币（大写）元，月住房公积金的单位缴存部分为人民币（大写）元，月住房补贴为人民币（大写）元。 特此证明。 单位公章（或人事劳资 章） 年月日 1、单位名称： 2、单位地址： 3、联系电话：邮政编码： 4、人事（劳资）部门负责人姓名：
公积金收入证明 兹证明同志为本单位正式职工。月收入总额为元，月公积金缴交基数为元，缴存比例%，其个人公积金帐号为，本单位公积金帐号为，月公积金缴存总额为元。 单位地址： 单位电话： 单位（公章） 年月日
年度收入证明 兹证明（身份证/军官证）：， 上年度收入为人民币（大写）元，￥. 。其中： 1、工资年薪所得元（其中住房公积金元，住房补贴元）； 2、奖金及临时补贴元； 3、生产经营所得和对企事业单位的承包、承租经营所得元； 4、劳务报酬所得元； 5、其它所得元。 特此证明。 单位（或街道办事处）盖公章 年月日 注：1、上述空白处内容须用钢笔或签字笔正楷填写，涂改无效。 2、被证明人有工作单位的，由工作单位审核盖章；无工作单位的，由户口所在地街道办事处审核盖章。 1、单位（或街道办事处）全称： 2、单位（或街道办事处）地址： 3、单位性质： 4、联系电话：；邮政编码： 5、单位（或街道办事处）负责人姓名：
工作证明 兹证明________同志现从事_______________________工作，累计满_____年。 特此证明 单位名称（公章）盖章 经办人： 日期：______年___月___日
个人工作收入证明格式范文模板 材料加以佐证是证明的辅助物。收入是工作所得，收入证明可 作为工资的存单留底。下面是给你介绍的个人职业收入证明的格式，希望对你有帮助。 中国xx 银行镇江分行： 兹有同志为本单位（正式、聘用或其它用工形式）职工， 职务为，文化程度，月收入，本单位对上述情况的真实性承担责任。 本资料仅用于证明该同志的工作和收入情况，为xx 银行办理个人贷款提供依据，不作它用。 单位公章： 经办人员： 联系电话： 年月日 兹证明_______ 是我公司员工，在 ______ 部门任______ 职务， 至今为止，一年以来总收入约为_________ 元。 特此证明。 本证明仅用于证明我公司员工的工作及在我公司的工资收入， 不作为我公司对该员工任何形势的担保文件。 盖章：
日期：___ 年___月___日 兹证明我公司（________ 公司）员工_______ 在我司工作 _______________ 年，任职____ 部门经理（职位），每月总收入 _______________ .00元，为税后（或税前）薪金。 ___________ 公司 XX 年___月___日 ___ 银行： 兹证明___先生（女士）是我单位职工，工作年限___年，在我单位工作___年，职务为___，岗位为___，工作性质为___（正式制;合同制;临时制; 其他），职称为___，该员工是否有违规违纪行为___（有; 无）。 其身份证号码为___： 其平均月收入为人民币___（大写）元 填表人签字： 证明单位（盖公章） 单位联系电话： 单位营业执照编号： 单位办公地址： 本单位承诺该职工的收入证明真实。 填表日期：___年___月 兹证明_______ 是我公司员工，在 ______ 部门任______ 职务。至今为止，一年以来总收入约为_________ 元。
格式一：买房收入证明(银行按揭专用) XXXX： 兹证明___为本单位职工，已连续在本单位工作___年，学历为___毕业，目前其在我单位担任___职务。近一年来 该职工在我单位平均月收入(税后)为___元，(大写：___万 ___仟___百___拾___元整)。该职工身体状况___(良好、差)。 本单位谨承诺上述证明是正确、真实的，如因上述证 明与事实不符导致贵行经济损失，本单位保证承担赔偿等 一切法律责任。 特此证明 单位名称(盖章) 年月日
格式二：收入证明 兹证明______(身份证：________________________) 在我单位__________部门任职(职务为:__________)，月收 入为______元(税前)。 特此证明。 本证明仅用于证明我单位员工的工作及在我单位员工 的工资收入，不作为我单位对该员工任何形式的担保文件。 单位名称(盖章) ___年___月___日
格式三：收入证明 兹证明_____属于我单位正式职工，已在我单位工作__年，平均每月工资收入_____元，每月缴存住房公积金____元，现住房公积金余额_____元。 该职工现因购买住房，需要办理住房公积金贷款，请 给予办理相关手续。如该职工未按期限偿还贷款本息，我 单位将协助追收该笔贷款。以上所填资料保证真实有效。 特此证明 单位名称(盖章) ___年___月___日
格式四：收入证明(银行按揭专用) 兹证明____(先生/女士)系本单位______(1.正式工;2. 合约工;3.临时工)，已连续在本单位工作_____年，目前在 本单位担任_________职务。目前该职工的最高学历为 ________，身体状况______。近一年内该职工的平均月收 入(税后)为 ____________元人民币。 本单位承诺以上情况是正确属实的，如因上述证明与 事实不符而导致贵行经济损失的，本单位愿承担一切责任。特此证明。 单位名称(盖章) ___年___月___日
图 5 蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。 [2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令 图 2 图 3 图 4
收入证明怎么写单位收入证明范本 一般大家在办理贷款,出国签证或者信用卡的时候都需要出具收入证明,那单位收录证明是怎么样的呢?下面吉屋小编为大家介绍下 收入证明怎么写及单位. 收入证明,是我国公民在日常生产生活经营活动中,所需要的对经济收入的一种证明,一般在办理签证、银行贷款,信用卡等会被要求 由当事人单位出具的对经济收入的证明. 在申请信用卡或者办理其他银行业务的时候,收入证明是必不可少的证明材料.许多人在要求单位开具收入证明的时候并不知道标准的收入证明是什么样的格式,导致很多收入证明无法使用.它是在信 用卡审核时初始信用额度的主要参考内容之一,直接反应办理人的还款能力. 单位收入证明 致xxx: 兹证明_________先生/女士(已婚未婚离婚)系我单位(正式临时兼职)在职员工,已连续在我单位工作____年,学历为__________毕业,目前在我单位担任________职务.近一年内该职工在我单位平均年/ 月收入为(税后)_______元,(大写:_______万______仟______佰 ______拾______元整). 其身份证号为:_________________________________________ 对以上所提供资料的真实性我单位负法律责任. 特此证明 单位联系电话:_________________________________________ 单位名称(公章):_____________________________________ _______年_______月_______日
注:该收入证明仅用于证明我公司员工的工作及在我公司的工资收入,不作为我公司对该员工任何形势的担保文件. 注意: 1.其实收入证明也没有什么固定的格式,只要包含几个重要的内容,格式不会凌乱就行了. 2.公章必须是鲜章不能使复印的.
一、蝴蝶定理的发展历程简介：。 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。 证法1 （证∠POM＝∠QOM） 作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。 ∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…② ∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE ∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH ∠F＝∠D ∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③
由①②③得：∠POM＝∠QOM ∴PM＝QM 证法2 （作△PMD′≌△QM D） 作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD ∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。 ∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D ∴在△PD’M与△QDM中 ∠PD’M＝∠D MD’＝MD ∠PMD’＝∠QMD ∴△PMD’≌△QMD ∴PM＝QM 证法3 （利用梅氏定理） 延长CF、ED相交于G点。
第一篇： 证明________________(先生或女士)，系我单位职工，已__在我单位工作_______年，职务_________，月收入为______元人__民币，年收入为________元人民币。 特此证明，我单位对本证明的真实性负责。 单位地址：_____________________ 单位电话：____________________ 单位联系人：_______________ 单位盖章： _______年__月__日 第二篇： ______支行 兹证明_________(先生/女士)系本单位_________(1.正式工、2.合约工、3.临时工),已连续在本单位工作_____年,目前在本单位担任_________职务.目前该职工的最高学历为________,身体状况_________.近一年内该职工的平均月收入(税后)为____________元人民币. 本单位在承诺以上情况是正确属实的,如因上述证明与事实不符而导致贵行经济损失的,本单位愿承担一切责任. 特此证明 单位公章或人事部门章: 人事部负责人签名: 年月日 第三篇： ______支行: 兹有我单位职员(姓名)_______________________，身份证件号码：________________________，向贵行申请贷款。特此证明该职员在本单位职务为_______________，已连续工作________年，税后收人情况如下：
基木工资：___________________元/月 奖金：_____________________元/月 分红：_____________________元/月 总计：_____________________元/月 上年总收入：___________________元 我单位将承担该证明与实际情况不符所引起的法律责任。 单位(章)： 电话 联系人 日期 附注：l、本证明落款处需加盖单位有效公章或人事部门章，井必须留有固定联系电话。 2、联系人需是清楚借款人收入惜况的人力部门或财务部门人员或等同职务的其他人员，但不可是借款人本人或其直系亲属。
亲爱的朋友，很高兴能在此相遇！欢迎您阅读文档个人工作收入证明，这篇文档是由我们精心收集整理的新文档。相信您通过阅读这篇文档，一定会有所收获。假若亲能将此文档收藏或者转发，将是我们莫大的荣幸，更是我们继续前行的动力。 个人工作收入证明 个人工作收入证明模板 个人工作收入证明模板1 兹证明___是我单位员工，身份证号码：_____，在我单位工作___年，岗位为____，年收入__万元(人民币)。 本证明仅限于该职工办理____信用卡使用，我公司不对该职工使用信用卡可能造成的.一切后果承担任何责任。 特此证明 单位名称(盖章)：_____ 日期：___年__月__日个人工作收入证明模板2 兹证明____身份证号()为本公司职员，在本公司____岗位工作，并已经在本公司任职____年____月，年收入为______元;此证明只作为员工申办信用卡专用，不做其他用途。 特此证明。 附注： 单位全称：
公司电话总机： 地址： 公司签章: 年月日个人工作收入证明模板3 兹证明_________(先生/女士)系本单位_________(1.正式工、2.合约工、3.临时工),已连续在本单位工作_____年,目前在本单位担任_________职务.目前该职工的最高学历为________,身体状况_________.近一年内该职工的平均月收入(税后)为____________元人民币. 本单位在承诺以上情况是正确属实的,如因上述证明与事实不符而导致贵行经济损失的,本单位愿承担一切责任. 特此证明 单位公章或人事部门章: 人事部负责人签名: 年月日个人工作收入证明模板4 ___________银行_______分（支）行： 兹有_______同志，证件名称_______、号码______________，系我单位_______（合同制/临时/返聘）职工，在我单位工作_______年，合同期至20_______年_______月，在_______（部门）任_______职务，其税后月均收入为人民币（大写）_______
蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 图 2 图 3 图 4
工作收入证明范本格式 关于工作收入证明怎么写，下面推荐收入证明格式范文，欢迎 阅读参考。 工作收入证明范本一 兹证明_________先生，身份证号码为__________________，系我单位工作人员，自_________年_________月至今一直在我单位工作，在我单位已工作_________年。目前在我单位___________部门担任 ___________职务;近一年度该员工税后月均收入人民币12000(一万 贰千)元(含税后的工资，奖金，津贴，住房，公积金)，股份分红及 其他收入)。本单位保证上述证明真实、有效。 本证明仅用于证明我公司员工的工作及在我公司的工资收入， 不作为我公司对该员工任何形势的担保文件。 特此证明。 单位公章(或人力资源部门章) 1、单位地址： 2、单位联系电话： 3、人力资源部门联系人： 工作收入证明范本二 兹证明________同志现从事_______________________工作，累计满_____年。 特此证明 单位名称(公章)盖章
经办人： 日期：______年___月___日 工作收入证明范本三 兹证明______________(先生或女士)，系我单位职工，已在我单位工作_____年，职务_________，月收入为______元人民币，年收入为________元人民币。 特此证明，我单位对本证明的真实性负责。 单位地址：___________________________________________ 单位电话：__________________单位联系人：_____________ 单位盖章： ______年______月______日 工作收入证明范本四 __________(身份证号：____________________)系我单位员工，自__________年__________月__________日进入我单位并工作至今，现__________担任__________职务。近一年度该员工月均收入 __________元人民币。__________年__________月__________日因 __________住院治疗，至今没能正常上班，期间没有发给其工资。 本单位保证上述证明真实、有效。 单位地址： 单位主管人员(签字)： (单位公章)： __________年__________月__________日
摘要 蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。 关键词：蝴蝶定理；证明；推广； 一摘要 [1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。 [2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。 如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。 二 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何 方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ?? ，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 图 2 图 3
购房收入证明范本 收入证明 兹证明本单位员工______，在本单位发放工资为每月______元。特此证明。 xx单位签章 20xx年月日 收入证明 致XX银行： 兹证明 XXX 先生是我单位职工。 职务为 XXXX 工作性质为 (正式制)。 身份证号码为：XXXXXXXXXXX 其平均月收入为人民币(大写)XXXXXXXXX(￥XXXXXXXX元) 年收入为人民币XXXXXXXX(￥XXXXXX元) 兹___先生/女士为个体经营户(小规模纳税人)，现已经营___年，任法人代表，现在的每月的主营业务收入为_____。 填表人签字：证明单位(盖公章) 日期：年月日 单位联系电话： XXXXXX (身份证件名称及号码________________)系我单位员工，自_____年_____月_____日进入我单位并工作至今，现在_____部门担任_____职务。近一年度该员工税后月均收入人民币_____元(含税后的工资、奖金、津贴、住房公积金、股份分红及其他收入)。本单位保证上证明真实、有效。 单位名称：XXXXXXX 单位办公地址：XXXXXXXXXXX 本单位承诺该职工的收入证明真实。 个人经济收入证明
_________________： 兹证明__________为本单位职工，已连续在本单位工作_____ 年，学历为 __________毕业，目前其在我单位担任______ 职务。近一年来该职工在我单位平均月收入(税后)为_______ 元，(大写： ___万___ 仟____百___ 拾___ 元整)。该职工身体状况_______ (良好、差)。 本单位谨此承诺上述证明是正确、真实的，如因上述证明与事实不符导致贵行经济损失，本单位保证承担赔偿等一切法律责任。 特此证明 单位公章 _____年____ 月____ 日 单位名称： ___________________ 单位地址： ___________________ 单位电话： ___________________ 经办人： ___________________ 收入证明 兹证明为本单位正式职工，已连续在我单位工作年，学历为毕业，目前在我单位担任职务，近一年内该职工在我单位平均月收入(税后)为元，(大写万仟百拾元整)。该职工身体状况 (良好、差)。 兹有我公司员工______，身份证号为：_______________，现在我单位担任______部门______职务，已在我单位工作___年，其月均总收入为人民币___万___仟___佰___拾___元整(小写￥____________ ) 特此证明 公司(盖财务/人事/公司章) 年月日 个人收入证明 XX银行XX分行： 兹证明_____________________为本单位职工，婚姻状况____________，已连续在本单位工作___________年，最高学历为___________________，目前在我单位担任
个人收入证明 先生（女士）是我单位（正式/季节性/临时）员工，聘期年。因其向贵行申请个人住房贷款，应贵行要求，特证明： 该员工自年月在我单位工作，现从事方面的工作，职务是。最近一年来平均基本月收入元，其他收入元，月收入合计元。 特此证明。 本单位对以上证明的真实性负责。 单位名称（公章） 单位地址： 单位人事劳资部门联系电话： 单位人事劳资部门联系人： 客户签字： 年月日 （以下内容由银行调查人填写） 收入证明核实记录：□电话方式□上门方式□其它方式 核实情况： 调查人签名：核实日期：
个人经济收入证明 __________________________________： 兹证明_________为本单位职工，已连续在我单位工作______年，学历为__________________________毕业，目前其在我单位担任____________职业。近一年内该职工在我单位平均月收入（税后）为___________元，（大写：____万____仟____佰____拾____元整）。该职工身体状况____（良好、差）。 本单位谨此承诺上述证明是正确、真实的，如因上述证明与事实不符导致贵行经济损失，本单位保证承担赔偿等一切法律责任。 特此证明。 单位公章 年月日 单位名称：______________________________ 单位地址：______________________________ 单位电话：______________________________ 经办人：______________________________
个人收入证明 _______银行上海分行： 兹证明__________为本单位职工，已连续在本单 位工作____年，最高学历为________，目前在我单位 担任_________职务。近一年内该职工的平均月收入（税后）为____________元。 （大写_________________________________）目前该职工的身体状况__________________ 本单位谨此承诺上述证明是正确，真实的，如 因上述证明与事实不符导致贵行经济损失，本单位愿 意承担法律责任。 特此证明 单位公章： 经办人： 电话： 年月日
蝴蝶定理 少26杨明煜 蝴蝶定理最早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。有意思的是，迟至1972年，人们都均用高等数学给出繁琐的证明。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，他给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 AB·AC·sinA。1969年，查克里恩给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在中国传开。接着，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。从此以后，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如椭圆中的蝴蝶定理。1990年，出现了筝形中的蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。 证明
引理1：共边定理引理2：共角定理
引理3： 共圆定理证：
连结AP，PD，CQ，QB 若MX=MY，则MX/MY=MP/MQ=1,MX/MP=MY/MQ,MX/XP=MY/YQ，MX/XP·YQ/MY=1 ∴往证MX/XP·YQ/MY=1 MX/XP·YQ/MY=S△AMD/S△APD·S△CQB/S△CMB(共边定理) =S△AMD/S△CMB·S△CQB/S△APD =MA·MD/MB·MC(共角定理)·CQ·QB·BC/AP·PD·DA(共圆定理) =MA/MB·MD/MC·QB/AP·CQ/PD·BC/DA =MA/MB·MD/MC·MB/MP·MQ/MD·MC/MA（相似） =MQ/MP=1 （证 毕）