小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。

解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6∴S ∆DOC =6×6÷4=9∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD 的面积是25。

例2：如图，求阴影部分的面积。

（单位cm 2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。

解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。

小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。

AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。

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《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。

1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。

4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。

5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。

时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。

黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！101数学创作社2024年9月16日第二单元多边形的面积·几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 (3)【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 (4)【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 (7)【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 (8)【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 (11)【第三篇】典型例题篇【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用。

板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？例题精讲任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF ECBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？7676EDCBA【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ⨯:()CE DE ⨯．同理有ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯．所以有ABES×CDES=ADES×BCES，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即6ABE S ⨯=7ADE S ⨯，所以有ABE 与ADE 的面积比为7:6，ABE S =7392167⨯=+公顷，ADE S =6391867⨯=+公顷．显然，最大的三角形的面积为21公顷．【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BDBD【解析】 连接AD 、CD 、BC ．则可根据格点面积公式，可以得到ABC ∆的面积为：41122+-=，ACD ∆的面积为：331 3.52+-=，ABD ∆的面积为：42132+-=． 所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===，所以44123471111ABO ABD S S ∆∆=⨯=⨯=+．【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．D【解析】 因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ∆=+，510277DBC S ∆=⨯=．【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG的面积．ABCDEF GABCDEFG【解析】 连接EF ．因为2BE EC =，CF FD =，所以1111()23212DEF ABCD ABCDS S S∆=⨯⨯=．因为12AED ABCD S S ∆=，根据蝴蝶定理，11::6:1212AG GF ==，所以6613677414AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆===⨯=．所以132221477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=-=-==，即三角形AEG 的面积是27．【例 7】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFDS =平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 8】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．ABAB【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理可知::BEDBCDEO OC S S=，而14BED ABCDSS =，12BCDABCDSS =，所以::1:2BEDBCDEO OC SS==，故13EO EC =．由于F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以1128BFD BED ABCD S S S ==，那么1111010 6.2521616BGD BFD ABCD S S S ===⨯⨯=（平方厘米）．【例 9】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．NM OCBA【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得 31322AOM BON MON AOB S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===设MON S x ∆=，根据共边定理我们可以得ANM ABMMNC MBCS S S S ∆∆∆∆=，33322312xx ++=++，解得22.5x =．【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．B 4B A 6A 54A 3A AB 4B A 6A 54A 3A A【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ∆一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA ∆的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接63A A 、61B B 、63B A ．设116A B B ∆的面积为”1“，则126BAB ∆面积为”1“，126A A B ∆面积为”2“，那么636A A B ∆面积为126A A B ∆的2倍，为”4“，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A ∆的面积为”6“，123B A A ∆的面积为2．根据蝴蝶定理，12632613:1:6B A B A A B B O A O S S ∆∆===，故23616A OA S ∆=+，123127B A A S ∆=， 所以23123612::12:1:77A OA A A A A S S ∆=梯形，即23A OA ∆的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米)．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 11】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【解析】 设1S 为2a 份，3S 为2b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==⨯，所以1a =；那么211S a ==，42S a b =⨯=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根据梯形蝴蝶定理，()()22129S a b =+=+=．【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOBBOCSS a ab ==，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOBDOCSSa b ===，所以49DOCS =(平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．【例 12】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA BC D 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOBBOCSSab b ==，可以求出:2:3a b =， 再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AODBOCSSa b ===．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【解析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．【例 14】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？A BCDO【解析】 根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b ==，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ∆∆===，所以()24cm AOD S ∆=．【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．ODCBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOBACODSSa b ==，所以:2:3a b =，2:::3:2AODAOBSSab a b a ===，31.2 1.82AOD COB S S ==⨯=，1.2 1.8 1.82.77.5ABCD S =+++=梯形．【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积．HG FE DCB AHG FEDCB A【解析】 如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面积等于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是112334+=．【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．321 321【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是4361645⨯=+，3的面积就是5362045⨯=+．【例 16】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．BA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．DA【解析】 因为,E F 是DC 边上的三等分点，所以:1:3EF AB =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理可以知道3AOE OFB S S ==△△份，9AOB S =△份，(13)ADE BCF S S ==+△△份，因此正方形的面积为244(13)24+++=份，6S =阴影，所以:6:241:4S S ==阴影正方形，所以3S =阴影平方厘米．【例 18】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【解析】 方法一：如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=平方厘米．由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEOEFOS S=，所以34DEODEFSS =，而2D E FA D ESS ==平方厘米，所以32 1.54DEOS=⨯=平方厘米，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=平方厘米． 方法二：如图，连接DE ，FC ，由于:1:3EF DC =，设1O E F S =△份，根据梯形蝴蝶定理，3OED S =△份，2(13)16EFCD S =+=梯形份，134ADE BCF S S ==+=△△份，因此416424ABCD S =++=长方形份，437S =+=阴影份，而6212ABCD S =⨯=长方形平方厘米，所以 3.5S =阴影平方厘米【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =， 根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODS SSS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AODS=(平方厘米)，又6915ABCACDSS==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=． 根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=(平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 20】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是5平方厘米，CED ∆的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？FABCD E105 FAB CDE105【分析】 连接BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为1010520⨯÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()2010260+⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为605102025---=(平方厘米)．【巩固】如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？64AB CDEF64AB C DEF【解析】 (法1)连接BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为6649⨯÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()96230+⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．(法2)由题意可知，4263EF EC ==，根据相似三角形性质，23ED EF EB EC ==，所以三角形BCE 的面积为：2693÷=(平方厘米)．则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为15230⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少？B【解析】 因为连接ED 知道ABO △和EDO △的面积相等即为54，又因为169OD OB ∶=∶,所以AOD △的面积为5491696÷⨯=，根据四边形的对角线性质知道：BEO △的面积为：54549630.375⨯÷=，所以四边形OECD 的面积为：549630.375119.625+-=(平方厘米).【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B CDEF?852O A BCD EF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．ABCDEOABCDEO【解析】 解法一：连接DE ，依题意1195422AOBSBO AO AO =⨯⨯=⨯⨯=，所以12AO =， 则1116129622AODSDO AO =⨯⨯=⨯⨯=． 又因为154162AOB DOE S S OE ===⨯⨯，所以364OE =，得113396302248BOE S BO EO =⨯⨯=⨯⨯=，所以()3554963011988OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-=．解法二：由于::16:9AOD AOB S S OD OB ==，所以1654969AOD S =⨯=，而54DOE AOB S S ==，根据蝴蝶定理，BOE AOD AOB DOE S S S S ⨯=⨯，所以3545496308BOE S =⨯÷=，所以()3554963011988OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-=．【例 23】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 24】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ∆面积是1.8，ABF ∆的面积是9，BCF ∆的面积是27．那么阴影AEC ∆面积是多少？【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到AFB DFC AFD BFC S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯，而AFB DFC S S ∆∆=(等积变换)，所以可得99327AFB CDF AFD BFC S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===，并且3 1.8 1.2AEF ADF AED S S S ∆∆∆=-=-=，而::9:271:3AFB BFC S S AF FC ∆∆===， 所以阴影AEC ∆的面积是：4 1.24 4.8AEC AEF S S ∆∆=⨯=⨯=．【例 25】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积886183⨯=．【例 26】 如图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点．三角形ABC 由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米？⑥⑤④③②①BFED CA【解析】 因为E 是DC 中点，F 为AC 中点，有2AD FE =且平行于AD ，则四边形ADEF 为梯形．在梯形ADEF 中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=2AD ： 2FE =4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6(41)2÷-=，②=⑤48⨯=，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF 的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为844218+++=．有CEF 与ADC 的面积比为CE 平方与CD 平方的比，即为1:4．所以ADC 面积为梯形ADEF 面积的44-1=43，即为418243⨯=．因为D 是BC 中点，所以ABD 与ADC 的面积相等，而ABC 的面积为ABD 、ADC 的面积和，即为242448+=平方厘米．三角形ABC 的面积为48平方厘米．【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况．解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6 1.5242222⨯÷⨯+⨯=，阴影部分的面积为662214⨯-=．解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2:61:3=，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为221:13:13:31:3:3:9⨯⨯=，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的916，阴影部分的面积占该梯形面积的716，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的716，那么阴影部分的面积为227(62)1416⨯-=．【例 28】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 与CD 上，且2CE BE =，2CF DF =，连接BF 、DE ，相交于点G ，过G 作MN 、PQ 得到两个正方形MGQA 和PCNG ，设正方形MGQA 的面积为1S ，正方形PCNG 的面积为2S ，则12:S S =___________．QPN MABC D E FGQPNMABCD E FG【解析】 连接BD 、EF ．设正方形ABCD 边长为3，则2C E C F ==，1BE DF ==，所以，222228EF =+=，2223318BD =+=．因为22281814412EF BD ⋅=⨯==，所以12EF BD ⋅=．由梯形蝴蝶定理，得22::::::8:18:12:124:9:6:6GEF GBD DGF nBGE S S S S EF BD EF BD EF BD =⋅⋅==△△△，所以，66496625BGE BDFE BDFE S S S ==+++△梯形梯形．因为93322BCD S =⨯÷=△，2222CEF S =⨯÷=△，所以52BCD CEF BDFE S S S =-=△△梯形，所以，6532525BGE S =⨯=△．由于BGE △底边BE 上的高即为正方形PCNG 的边长，所以362155CN =⨯÷=，69355ND =-=，所以::3:2AM CN DN CN ==，则2212::9:4S S AM CN ==．【例 29】 如下图，在梯形ABCD 中，AB 与CD 平行，且2CD AB =，点E 、F 分别是AD 和BC 的中点，已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．DD【解析】 连接EF ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD 面积．设梯形ABCD 的上底为a ，总面积为S ．则下底为2a ，()13222EF a a a =+=．所以3::2:32AB EF a a ==，3::23:42EF DC a a ==．由于梯形ABFE 和梯形EFCD 的高相等，所以()()33:::25:722ABFE EFCD S S AB EF EF DC a a a a ⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形梯形，故512ABFE S S =梯形，712EFCD S S =梯形．根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE 内各三角形的面积之比为222:23:23:34:6:6:9⨯⨯=，所以99534669251220E MF ABFE S S S S ==⨯=+++梯形；同理可得99739121216491228ENF S S S S ==⨯=+++梯形EFCD ，所以339202835EMFN EMF ENF S S S S S S =+=+=，由于54EMFN S =平方厘米，所以95421035S =÷=(平方厘米)．【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．BEE【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ． 左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2E F A C =，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =，那么325m n +=+=．板块三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例 31】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．【例 32】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？605040302010EAD C B【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米．【例 33】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△．【例 34】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列．【例 35】 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB【解析】 根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421D B C E S =-=梯形份，D B C E S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5c m ，所以212.5c m ABC S =△【例 36】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度NMPA C B【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有：::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷⨯=cm ，所以642cm BM =-=【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________．OED C BA【解析】 由沙漏模型得::3:2BO EO BC DE ==，再由金字塔模型得::2:3AD AB DE BC ==．【例 37】 如图，ABC ∆中，14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1平方厘米．那么AED ∆的面积是 平方厘米．A B CDEO【解析】 因为14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行， 根据相似模型可知:1:4ED BC =，:1:4EO OC =，44COD EOD S S ∆∆==平方厘米， 则415CDE S ∆=+=平方厘米，又因为::1:3AED CDE S S AD DC ∆∆==，所以15533AED S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 38】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO 的面积是ABO 面积的几倍？ABCDO E FA BCD O【解析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且::1:2O A B E D A D E ==，所以C D O 的面积等于CBO 的面积；由1124OA BE AC ==可得3C O O A=，所以3C D O C B O A B OS S S ==，即CDO 的面积是ABO 面积的3倍．【例 39】 如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分面积是多少？A BDA BDA BD【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADOCEOS S=，DBOEBOSS=，且:4:62:3ADODBOSS==．设ADO 的面积为2份，则DBO 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份．因为610230ABES=⨯÷=，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415÷⨯=．解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===， 根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOEDOACOECOASSSS=⨯⨯=，所以()():1515:915152515:32ADEC S S =++++=阴影梯形，即1532ADECS S=阴影梯形； 又11101066=3222ADEC S =⨯⨯-⨯⨯梯形，所以151532ADEC S S ==阴影梯形．【例 40】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．GECBA【解析】 因为FGHE 为平行四边形，所以//EC AG ，所以AGCE 为平行四边形．:3:1BG GC =，那么:1:4GC BC =，所以1116444AGCE ABCD S S =⨯=⨯=．又AE GC =，所以::1:3AE BG GC BG ==，根据沙漏模型，::3:1FG AF BG AE ==，所以334344FGHE AGCE S S ==⨯=．【例 41】 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．【解析】 已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以23EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =． 又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么12EG BC =，12::3:423EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =，所以:1:18CFG ABC S S =，那么18CFG aS =．【例 42】 已知正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且10cm AE =，15cm AF =，求正方形ABCD 的边长．FAEDCB【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有::BC AF CE EF =，::DC AE CF EF =，设正方形的边长为cm x ，所以有1BC DC CE CF AF AE EF EF +=+=，即11510x x+=，解得6x =，所以正方形的边长为6cm ．方法二：或根据一个金字塔列方程即151015x x-=，解得6x =【例 43】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？HGNPAD CB【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PN AP BC AB =，PH BPAD AB=，设正方形的边长为x 毫米，PN PH BC AD +=1AP BP AB AB +=，即112080x x+=，解得48x =，即正方形的边长为48毫米．【巩固】如图，在ABC △中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是ABC △边BC 的高，交DE 于M ，:1:2DG DE =，12BC =厘米，8AH =厘米，求长方形的长和宽．E H GMFAD CB【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DE AD BC AB =，DG BDAH AB=，所以有1DE DG AD BD BC AH AB AB +=+=，设DG x =，则2D E x =，所以有21128x x +=，解得247x =，4827x =，因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米．【例 44】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？ABCD E FGNMABCDE FG【解析】 根据题中条件，可以直接判断出EF 与DC 平行，从而三角形GEF 与三角形GDC 相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做GM 垂直DC 于M ，交AB 于N ．因为EF ∥DC ，所以三角形GEF 与三角形GDC 相似，且相似比为:4:121:3EF DC ==， 所以:1:3GN GM =，又因为12MN GM GN =-=，所以()18GM cm =，。

任意四边形、梯形与相似模型模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:DS1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4② AO : OC =[S S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD =3 1->2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；（2）AG:GC= ?【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6；⑵根据蝴蝶定理，AG:G^j：1 2:36 =1:3 . （???）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。

如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且A0 =2，D0 =3，那么CO的长度是DO的长度的________________ 倍。

3【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条件S ABD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。

又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。

小学几何五大模型——蝴蝶模型，模型原理证明过程，值得收
藏
梯形中的蝴蝶模型
推导（一）：
在梯形中，因为AD∥BC，根据三角形面积公式，S三角形=底×高÷2
所以可得结论：同底等高三角形面积相等
所以，S△ABC=S△DBC，
从图形可知，S△OBC为S△ABC与S△DBC公共部分，S△ABC-S△OBC=S△DBC-S△OBC
得出结论：
S2（S△ABO）=S4（S△DOC）
推导（二）：
根据三角形的面积公式（S三角形=底×高÷2）：
设AD=a，BC=b
1）则有：三角形高相等，则面积比等于底边之比；
=，=，
=，=
得出结论：
=（或：S1×S3=S2×S4）
根据三角形的面积公式（S三角形=底×高÷2）：
2）则有：三角形底边相等，则面积比等于高之比；
==
==
得出结论：
=，=
S1:S2:S3=a²:ab:b²
S1:S2:S3:S4=a²:ab:b²:ab
S1:S3=a²:b²
以上就是梯形中蝴蝶模型的结论证明过程，希望对你能有所帮助，另外任意四边形中的蝴蝶模型（风筝模型）下次有机会再继续与大家分享。

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小学奥数_几何五大模型(蝴蝶模型)
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0.14
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蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆B DC A B C S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= A C D B C D S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形121S S O G E=∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S O F H =∆ 421S S E O H =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。