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6风筝模型和梯形蝴蝶定理例题精讲【例11【巩固1【例21C、、/如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积;(2) AG:GC在^ABC中-B D=2:1,DC如图，平行四边形是2、4、4 和6.=?AE=I：3，求OB=?EC OEABCD的对角线交于0点，△ CEF、△ OEF、△ ODF、△ BOE的面积依次求：⑴求△ OCF的面积；⑵求△ GCE的面积.D【巩固】如右上图，已知 BO=2DO C0=5AO 阴影部分的面积和是 11平方厘米，求四边形 ABCD 的面积。
那么三角形DBE 的面积是O如图，边长为1的正方形ABCD 中，BE =2EC , CF =FD ，求三角形AEG 的面积.如图，长方形ABCD 中，BE: EC =2:3，DF :FC =1:2，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求 长方形ABCD 的面积.如图，在 MBC 中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于0 ,若AAOM 、虫ABO和人BON 的面积分别是3、2、1,则人MNC 的面积是如图4，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 三角形DCE 三角形BCD 的面积分别是 89、28、26,-J f -I ”【例3】【巩固】【例4】 【巩固】CB【例5】已知ABCD是平行四边形，B C:CE=3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米。
贝9阴影部分的面积是平方厘米。
AB E【巩固】在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，S郎OC=20平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米。
【例6】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH的面积.【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36,则三角形1的面积为在下图的正方形 ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，心DEF 的面积是4平方厘米，ACED 的面积是6 平方厘米.问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米?如图， MBC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段 AB 与CD 相交于K 点.已知正方形DEFG 的面积48, AK : KB =1:3，则虫BKD 的面积是多少?如图所示，ABCD 是梯形，AADE 面积是1.8，心ABF 的面积是9，也BCF 的面积是27 .那么阴影 MEC 面积是多少?【例7】 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是平方厘米.【巩固】【例8】【巩固】方厘米，则四边形 PMON 勺面积是平方厘米。
详解蝴蝶模型同学们大家好，今天我们来讲一下十分重要的蝴蝶模型的知识总结，推导过程就不写啦，上课老师都讲过的哟。
首先，蝴蝶模型是四边形中的模型哦！同学们可不要在三角形或者其他边形中去考虑使用蝴蝶模型呀。
一、任意四边形蝴蝶模型如图，在任意四边形ABCD中连接四边形的两条对角线，会出现S1S3和S2S4两只蝴蝶。
我们有两个结论：（1）S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等，不是相加！)。
想想特殊的四边形有哪些，这个结论在它们身上同样成立吗？（2）S△ABD:S△BDC=AO：OC，和S△ADC:S△ABC=DO:OB(大三角形的面积比等于它们内部线段之比，或者叫它们的伤口之比：△ABD的伤口是AO，△BCD的伤口是OC，所以它们俩的面积之比就是AO:OC啦！)二、梯形蝴蝶模型如图，仍然是把梯形的对角线相连，仍然有两只蝴蝶，我们的结论是（1）因为梯形也是四边形，所以任意四边形蝴蝶模型的结论当然还成立啦：S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等）；（2）S2=S4（不平行的蝴蝶翅膀一样大）；（3）若梯形上底与下底之比为a:b，则图中四块小三角形的面积之比为(注意：平行的蝴蝶的两个翅膀的面积份数是a的平方份和b的平方份！而且切记切记：该结论只能通过上下底的比求出四个小三角形的面积份数，而不能直接求面积)；其实知识点就这么多，关键是怎么运用。
蝴蝶模型到底应该在什么时候用，又该怎么用呢？首先，交叉！蝴蝶模型一定是在有两条线段交叉的时候使用，所以我们看到交叉一定要连接这两条交叉的线段的四个顶点去构造四边形呀！其次，蝴蝶找到了，就看该蝴蝶是任意四边形还是梯形。
有平行那肯定是梯形啦！再次，如果是梯形蝴蝶，那我们还要考虑到底是使用不平行蝴蝶翅膀一样大的结论，还是使用已知上下底之比标份数的结论。
若图中有边长之比，那往往应该找出梯形上下底之比去求每一块儿的份数来求解了。
举个例子：ABCD是平行四边形，ABED是梯形，三角形ODE的面积是6平方厘米，BC:CE=3:2,求阴影面积首先我们看到AE和DC是交叉的，所以我们应该连接AC构造蝴蝶。
风筝模型和梯形蝴蝶定理知识框架板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)例题精讲【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDC BA76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC ？CB【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=?【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BA【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．A B【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。
风筝模型：
板块一风筝模型：（又叫任意四边形模型）
S 4
S 3S 2S 1O
D
C B
A
①1243::S S S S 或者1324S S S S ②1243
::AO OC S S S S 风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”
)：A
B C D
O
b
a S 3S 2S 1S 4①2213
::S S a b ②22
1324
::::::S S S S a b ab ab ；③S 的对应份数为2a b ．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．
(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 知识框架
风筝模型和梯形蝴蝶定理。
第三讲 蝴蝶定理和风筝定理一、引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1 、S 2 、S 3 、S 4。
则它们的关系是：S 1×S 4 =S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
二、新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。
A BCD O S 1 S 2S 3 S 4【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。
求： （1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。
三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？CC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？练习1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线 AC 与BD 分成的左右两个三角形（厶 ADO 和厶BCO ）形状有 点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
2、风筝定理在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 分成了四个三角形 这四个三角形的面积分别记为： S i 、S 2、S 3、S 4。
则它们的关系是：S i x S 4 =S 2 X S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△ 米，△ DOC 的面积是9平方厘米，梯形 ABCD练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是 4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?2、如图，阴影部分面积是 4cm 2, OC=2AO ，求梯形的面积。
CBAS i S 2O S 3S 4CAOD 的面积是3平方厘【例2】如图，BD , CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是 8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米?练习1如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是 面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形 ABCD 的面积是36平方厘米，对角线 AC 、BD 交于0点，E 为CD 上一点，已知四边形 EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。
求:(1)三角形CEF 的面积，(2)DF 的长度练习 正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。
三角形DEF 的面积是多少平 方厘米？ CF 长多少厘米?4平方厘米，黄色三角形DDFC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形 ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？2、三个正方形 ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形 BEFG 的边长是3厘米，求三角形 DEK 的面积。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
风筝模型和梯形蝴蝶定理例题精讲【例】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG : GC？A1D2 3GBC【巩固】在△ABC中BD=2:1,AE=1:3，求OB=? DC EC OE【例】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是 2、 4、4 和 6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．A DOFGB CE【巩固】如右上图，已知BO=2DO， CO=5AO，阴影部分的面积和是11 平方厘米，求四边形ABCD的面积。
【例】如图，边长为 1 的正方形ABCD中，BE2EC ，CF FD，求三角形AEG的面积．A DGFB E C【巩固】如图，长方形ABCD 中， BE : EC 2:3 ， DF : FC1: 2 ，三角形 DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．AGDFB E C【例】如图，在 ABC 中，已知M、 N 分别在边 AC 、BC 上，BM与 AN 相交于 O,若AOM 、 ABO和BON的面积分别是 3、 2、1，则MNC 的面积是．AMOBCN【巩固】如图 4，在三角形 ABC中，已知三角形ADE、三角形 DCE、三角形 BCD的面积分别是89、28、26，那么三角形 DBE的面积是。
CEA D B【例】已知ABCD是平行四边形，BC :CE3: 2 ，三角形ODE的面积为6平方厘米。
则阴影部分的面积是平方厘米。
A DOB EC【巩固】在梯形 ABCD中，上底长 5 厘米，下底长10 厘米，S BOC 20平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米。
【例】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形 BCH 的面积是 23 ，求四边形EGFH 的面积．AFB G HD CE【巩固】如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形 2 的面积为36，则三角形 1 的面积为 ________．12 3【例】在下图的正方形ABCD 中，E是BC 边的中点，AE 与BD 相交于 F 点，三角形BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．A DFB E C【巩固】如图所示， BD、CF 平方厘米．问：四边形将长方形ABCD 分成 4 块，DEFABEF 的面积是多少平方厘米？的面积是 4 平方厘米，CED 的面积是 6A F D4E 6B C【例】如图，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48， AK : KB 1:3 ，则BKD 的面积是多少？D A GKB E F C【巩固】如图所示， ABCD 是梯形，ADE 面积是1.8，ABF 的面积是9，BCF 的面积是27．那么阴影AEC 面积是多少？A DEFBC 【例】如图，正六边形面积为6 ，那么阴影部分面积为多少？【巩固】如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为．【例】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70， AB=8,AD=15 四边形EFGO的面积为______ ．A 15D8OEGB CF【巩固】如图 5 所示，矩形ABCD的面积是24 平方厘米，、三角形 ADM与三角形 BCN的面积之和是7.8 平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米。
