2021年高考数学第八章第6讲：双曲线

2021年高考数学（理）解析几何突破性讲练06双曲线一、考点传真：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).二、知识点梳理：1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质【强调几点】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 三、例题：例1.（2020年全国3卷理数，11）设双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心.P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若12PF F 的面积为4，则a =（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】通解 由22:2220M x y x y +---=①，得22:(1)(1)4M x y -+-=，所以圆心(11)M ，.如图，连接AM ，BM ，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又||PA =220x y ++=上的动点P 到M 的距离最小，其最小=PM l ⊥，易求出直线PM 的方程为210x y -+=.由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.易知P A M B ，，，四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为22212x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，即2210x y y +--=②，由①②得，直线AB 的方程为210x y ++=，故选D.优解 因为22:(1)(1)4M x y -+-=，所以圆心(11)M ，.连接AM BM ，，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又||PA =所以只需||PM 最小，此时PM l ⊥.因为PM AB ⊥，所以l AB ，所以2AB k =-，排除A ，C.易求出直线PM 的方程为210x y -+=，由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.因为点M 到直线1x =-的距离为2，所以直线1x =-过点P 且与M 相切，所以(11)A -，.因为点(11)A -，在直线AB 上，故排除B.故选D.例2.（2020年浙江卷，8）已知点()0,0O , ()2,0A -,()2,0B .设点P 满足2PA PB -=，且P 为函数y =的图像上的点，则OP =( )B.C.D.【答案】D【解析】由24PA PB AB -=<=，知点P 的轨迹是双曲线的右支，点P 的轨迹方程为221(1)3y x x -=≥，又y =，所以221327,44x y ==，所以||OP ==，故选D. 例3.（2020年天津卷，7）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.22144x y -= B.2214y x -=C.2214x y -= D.221x y -=【答案】D【解析】：解法一 由题知24y x =的焦点坐标为(10)，，则过焦点和点(0)b ，的直线方程为1yx b+=，而22221x y a b -=的渐近线方程为0x y a b +=和0x ya b-=，由l 与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得1a =，1b =，故选D.解法二 由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a b =，即渐近线方程为0x y ±=，排除B ，C.又知24y x =的焦点坐标为(10)，， l 过点(10)，，(0)b ，，所以101b -=--，1b =，故选D. 例4.（2020年全国1卷理数，15）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】设(),BB c y，因为 B 为双曲线2222:1x y C ab-=上的点，所以22221B y c a b-=，所以422B b y a =.因为AB 的斜率为3，所以2B by a=，23b ac a=-，所以2233b ac a =-，所以22233c a ac a -=-，所以22320c ac a -+=，解得c a =(舍去)或2c a =，所以C 的离心率2ce a==.例5．（2019全国III ）双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线 上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨 设点在第一象限，可得，，所以的面积为： ．故选A ． 例6. （2019全国I ）已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．【答案】2【解析】 如图所示，因为,所以A 为的中点. 又O 为的中点，所以，. 因为，所以， 且O 为的中点，所以. 由得，所以， 2242x y -=PO PF 324322223222:142x y C -=(6,0)F 22y x =±P 2tan 2POF ∠=63(,)22P PFO △1332624⨯⨯=22221(0,0)x y a b a b-=>>1F A AB =120F B F B ⋅=1F A AB =1F B 12F F 212AOBF 212AO BF =120F B F B ⋅=1290F BF ∠=︒12F F 12212OB F F OF c ===212AOBF 2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠2OB BF =因此为等边三角形，， 所以.例7. （2019年全国II ）设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P ，Q 两点.若，则C 的离心率为ABC ．2D【答案】A【解析】：解法一：由题意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故选A ．解法二：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，所以，代入得， 所以，解得.故选A ．2OPF △260BOF ∠=︒ba=2e ==22221(0,0)x y a b a b-=>>O OF 222x y a +=PQ OF =2c x =222x y a +=PQ =PQ OF =c =222a c =222c a=c e a ==PQ OF =PQ OF ,22cc P ⎛⎫±⎪⎝⎭222x y a +=222a c =222c a=c e a ==解法三：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A ． 例8. （2019江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 . 【答案】【解析】 因为双曲线经过点，所以，解得，即． 又，所以该双曲线的渐近线方程是．例9. (2018全国卷Ⅰ)已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、．若为直角三角形，则=（ ）A ．B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以．不妨设过点的直线PQ OF =PQOF 12OP a OF ===ce a==xOy 2221(0)y x b b-=>y =2221(0)y x b b-=>(3,4)221631b-=22b=b =1a=y =C 2213-=x y O F C F C M N ∆OMN ||MN 322213-=xy =y x 60∠=MON F与直线交于点，由为直角三角形，不妨设，则，又直线过点，所以直线的方程为，由，得，所以， 所以所以．故选B ．例10. (2018全国卷Ⅱ)双曲线，则其渐近线方程为（ ）A ．B ．C ． D． 【答案】A【解析】解法一 由题意知，，所以，所以，所以以该双曲线的渐近线方程为，故选A ．解法二 由得所以该双曲线的渐近线方程为．故选A ．例11. (2018全国卷Ⅲ)设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）=y x M ∆OMN 90∠=OMN 60∠=MFO MN(2,0)F MN 2)=-y x 2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x 322⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y 3(2M ||==OM |||3==MN OM 22221(0,0)-=>>x y a b a b=y =y =y x =y x ==c e a =c ==b =ba=±=by x a===c e a =b a =±=b y x a1F 2F C 22221(0,0)x y a b a b-=>>O 2F C P 1|||PF OP =CAB ．2CD【答案】C【解析】不妨设一条渐近线的方程为， 则到的距离， 在中，，所以，所以，又，所以在与中， 根据余弦定理得， 即，得．所以．故选C ． 四、巩固练习：1. 若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为( ). A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12x D.y=±√22x【答案】B【解析】由条件e=ca =√3,得c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=3,所以ba =√2,所以双曲线的渐近线方程为y=±√2x.故选B.2. 若双曲线C 1:x 22-y 28=1与C 2:x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C 2的焦距为4√5,则b=( ).A.2B.4C.6D.8 【答案】Bby x a=2F by x a =d b ==2Rt F PO ∆2||F O c =||PO a =1||PF =1||F O c =1F PO ∆2Rt F PO ∆22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-2223)0a c +-=223a c =ce a==【解析】由题意得ba =2,即b=2a,C 2的焦距2c=4√5,即c=√a 2+b 2=2√5,解得b=4,故选B.3.设动点P 到点A(-5,0)的距离与它到点B(5,0)的距离的差等于6,则点P 的轨迹方程是( ).A.x 29-y 216=1B.y 29-x 216=1 C.x 29-y 216=1(x ≤-3) D.x 29-y 216=1(x ≥3) 【答案】D【解析】(1)由题意知,点P 的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b 2=16,∴点P 的轨迹方程为x 29-y 216=1(x ≥3).故选D.4.已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1,F 2,点A 在C 上.若|F 1A|=2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1=( ).A.14 B.13 C.√24 D.√23 【答案】A【解析】由e=ca=2,得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F 1A|-|F 2A|=2a,又|F 1A|=2|F 2A|,∴|F 1A|=4a,|F 2A|=2a,∴cos ∠AF 2F 1=(4a)2+(2a)2-(4a)22×4a×2a=14.5.已知F 1,F 2分别是双曲线x 22-y 2=1的左,右焦点,P,Q 为右支上的两点,直线PQ 过F 2且倾斜角为α,则|PF 1|+|QF 1|-|PQ|的值为( ).A.8B.2√2C.4√2D.随α的大小而变化 【答案】C【解析】(1)由双曲线的定义知,|PF 1|+|QF 1|-|PQ|=|PF 1|+|QF 1|-(|PF 2|+|QF 2|) =(|PF 1|-|PF 2|)+(|QF 1|-|QF 2|) =4a=4√2.6.已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±√33x,若顶点到渐近线的距离为√3,则双曲线的方程为( ).A.x 24-3y 24=1B.x 212-y 24=1C.x 24-y 212=1 D.3x 24-y 24=1【答案】B【解析】将渐近线方程化简为x ±√3y=0,设顶点坐标为(a,0),顶点到渐近线的距离为a2=√3,解得a=2√3,由渐近线方程的斜率b a =√33,可得b=2,所以双曲线的方程为x 212-y 24=1.故选B.7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,从C 的右焦点F 引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO 的面积为1,则双曲线C 的方程为( ).A.x 22-y 28=1 B.x 24-y 2=1 C.x 24-y 216=1D.x 2-y 24=1【答案】D【解析】因为双曲线的离心率为√5,所以该双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立{y =2x,y =−12(x -c),得A (c 5,2c5).又因为△AFO 的面积为1,所以12×25c 2=1,解得c 2=5,则a 2=1,b 2=4,即双曲线C 的方程为x 2-y 24=1.故选D.9.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的离心率为( ).A.√3B.√52C.√5D.√2【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为y=±b a x,直线x+2y+1=0的斜率为-12,∴-12×b a =-1,∴ba =2.∴双曲线的离心率e=ca =√1+(ba )2=√5.故选C10.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),过其左焦点F 作x 轴的垂线,交双曲线于A,B 两点,若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ).A.(1,32) B.(1,2) C.(32,+∞) D.(2,+∞) 【答案】D【解析】)由题意知,|AB|是双曲线通径,|AB|=2b 2a,则a+c<b 2a ,即a 2+ac<b 2=c 2-a 2,c 2-ac-2a 2>0,即e 2-e-2>0,解得e>2(e<-1舍去),故选D.11.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为√23c(c 为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( ).A.√73B.3√72C.3√7D.3√77【答案】D【解析】(1)任取一焦点F(c,0)到一条渐近线y=ba x 的距离为b,则b=√23c ⇒3b=√2c ⇒9b 2=2c 2⇒9(c 2-a 2)=2c 2⇒7c 2=9a 2⇒c 2a2=97⇒e=3√77,故选D.12.已知双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF 1|=3|PF 2|,则双曲线的离心率的取值范围为( ).A.[2,+∞)B.[√2,+∞)C.(1,2]D.(1,√2] 【答案】C【解析】)由双曲线的定义知,|PF 1|-|PF 2|=2a,又|PF 1|=3|PF 2|,所以|PF 2|=a,而双曲线右支上的点到F 2的最小距离为c-a,因此|PF 2|=a ≥c-a,得e ≤2,又双曲线离心率e>1,所以1<e ≤2.故选C.13.在双曲线x 2-y 215=1的右支上一点P,分别向圆C 1:(x+4)2+y 2=4和圆C 2:(x-4)2+y 2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( ). A.10B.13C.16D.19【答案】B 【解析】由题可知,|PM|2-|PN|2=(|PC 1|2-4)-(|PC 2|2-1)=|PC 1|2-|PC 2|2-3=(|PC 1|-|PC 2|)(|PC 1|+|PC 2|)-3=2(|PC 1|+|PC 2|)-3≥2|C 1C 2|-3=13.14.设F 1,F 2分别是双曲线M:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A,B 两点,若点F 2满足F 2A⃗ ·F 2B ⃗ <0,则双曲线的离心率e 的取值范围是( ).A.1<e<√2+1B.e>√2+1C.1<e<√2D.e>√2【答案】B【解析】由双曲线的对称性可知△ABF 2是等腰三角形,且∠AF 2B 是钝角,所以π4<∠AF 2F 1=12∠AF 2B<π2,所以tan ∠AF 2F 1>1,即|AF 1||F 1F 2|>1.又|AF 1|=b 2a ,所以b 22ac >1,即c 2-a 2>2ac,化简得e 2-2e-1>0,解得e>√2+1,故选B.15.已知点F 1,F 2分别是双曲线C:x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F 1的直线l 与双曲线C 的左,右两支分别交于A,B 两点,若|AB|∶|BF 2|∶|AF 2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为( ). A.2 B.4 C.√13 D.√15 【答案】C【解析】设|AB|=3k,|BF 2|=4k,|AF 2|=5k,则BF 1⊥BF 2.∵|AF 1|=|AF 2|-2a=5k-2a,|BF 1|-|BF 2|=5k-2a+3k-4k=4k-2a=2a,∴a=k,∴|BF 1|=6a,|BF 2|=4a.又|BF 1|2+|BF 2|2=|F 1F 2|2,即13a 2=c 2,∴e=ca =√13.16.已知双曲线M:x 2-y 2b2=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,记|F 1F 2|=2c,以坐标原点O 为圆心,c 为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P,若|PF 1|=c+2,则点P 的横坐标为( ).A.√3+12B.√3+22C.√3+32D.3√32【答案】A【解析】由点P 在双曲线的第一象限,得|PF 1|-|PF 2|=2,则|PF 2|=|PF 1|-2=c.又|OP|=c,∠F 1PF 2=90°,由勾股定理,得(c+2)2+c 2=(2c)2,解得c=1+√3,易知△POF 2为等边三角形,则x P =c 2=√3+12.故选A.17.设双曲线x 24-y 25=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 是双曲线上位于第一象限内一点,且△PF 1F 2的面积为6,则点P 的坐标为 .【答案】(6√55,2) 【解析】因为双曲线方程为x 24-y 25=1,所以c=3.又因为△PF 1F 2的面积为6,所以12×2c ×y P =6,所以y P =2.代入双曲线方程,得x P 24-45=1,x P 2=365,即x P =6√55(x P =−6√55舍去). 18.过双曲线x 2-y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B 两点,则|AB|= . 【答案】4√3【解析】双曲线的右焦点为F(2,0),过F 与x 轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为y=±√3x,将x=2代入y=±√3x,得y=±2√3,∴|AB|=4√3.19.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,双曲线上一点P 满足PF 2⊥x 轴.若|F 1F 2|=12,|PF 2|=5,则该双曲线的离心率为 .【答案】32【解析】由2c=12,得c=6,根据勾股定理可得|PF 1|=√122+52=13,所以2a=13-5=8⇒a=4,所以双曲线的离心率e=c a =64=32.20.若点P 是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2√5的双曲线与圆x 2+y 2=9的一个交点,则|PA|+|PB|= . 【答案】2√13【解析】不妨设点P 在双曲线的右支上,则|PA|>|PB|.因为点P 是双曲线与圆的交点,所以由双曲线的定义知,|PA|-|PB|=2√5. ①又|PA|2+|PB|2=36, ②联立①②化简得2|PA|·|PB|=16,所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52, 所以|PA|+|PB|=2√13.21.设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线x=a 2c 分别交于A,B 两点,F 为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】(√2,2)【解析】双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的两条渐近线方程为y=±ba x,当x=a 2c 时,y=±abc ,不妨设A (a 2c ,abc),B (a 2c ,-ab c),因为60°<∠AFB<90°,所以√33<k F B<1,所以√33<abc c -a 2c <1,所以√33<a b <1,所以13<a 2c 2-a 2<1,所以1<e 2-1<3,所以√2<e<2.22.已知P 是双曲线x 23-y 2=1上任意一点,过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .【答案】-38【解析】设P(x 0,y 0),因为该双曲线的渐近线分别是√3-y=0,√3+y=0,所以可取|PA|=|x 0√3-y 0|√3+1,|PB|=|x 0√3+y 0|√3+1,又cos∠APB=-cos ∠AOB=-cos π3=-12,所以PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗ |·|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos ∠APB=|x 023-y 02|43·(-12)=34×(-12)=-38.。

第六讲双曲线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__顶点坐标：A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__ 渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)重要结论双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b ．(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a(通径)．过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b 2a ；与两支相交所得弦长的最小值为2a ．(4)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |．(5)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a 2． 双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线B ．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线C ．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2D ．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)题组二 走进教材2．(必修2P 61T1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( A )A ． 5B ．5C ． 2D ．2[解析] 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝5．3．(必修2P 61A 组T3)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析] 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.题组三 考题再现4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x[解析] 由题意e ＝ca＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1[解析] 椭圆x 212＋y 23＝1的一焦点为(3,0)，∴双曲线C 中有c ＝3，且焦点在x 轴上， 又b a ＝52，且c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＝4，b 2＝5，∴C的方程为x 24－y 25＝1，故选B ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 双曲线的定义及其应用——自主练透例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( B )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)(2020·河南洛阳统考)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为__9__．[解析](1)如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点， ∴|MF 2|＝2．∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图形可知，当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9．名师点拨 ☞(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．〔变式训练1〕(1)在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足条件sin B －sin C ＝12sin A 时，则点A 的轨迹方程为 x 24－y 212＝1(x >2) ．(2)(2019·西安模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( B )A ．52 B ．102C ．152D ． 5[解析] (1)设A 的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12 |BC |2R .又∵|BC |＝8，∴|AC |－|AB |＝4，因此A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a ＝4,2c ＝8，即a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝12.所以所求A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x >2)．(2)因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，即e ＝c a ＝102.故选B ．考点二 双曲线的标准方程——师生共研例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． [解析] (1)设所求双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)， 将(2,2)的坐标代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12． ∴所求双曲线方程为y 23－x 212＝1．(2)设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1，∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；。

双曲线的离心率计算一. 学习目标： 能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法. 三：典例分析：例1. 已知双曲线12222=-by a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心率.【变式】1. 双曲线12222=-by a x 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______ 2. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45例2．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【变式】1.设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________（2）.2.设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为AB ．2C D例3．已知点21,F F 分别为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，直线l 是其中一条渐近线，若双曲线右支上存在一点P ，点P 在l 上的射影为Q ，使得||||||211F F PQ PF ≤+成立，求双曲线离心率的取值范围.12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C四．练习题1．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．3 C ．2 D ．32．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A B C ．2 D ．33．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A ．1BC ．3D ．24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12e <≤B ．2≥eC ．1e <≤D ．e ≥5．斜率为2的直线l 过双曲线2222=1x y a b-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．e <B ．1e <<C ．1e <<D ．e >6．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1BC ．2D ．4+7．设点(),,0A F c 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ,若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A B ．3 C D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，且2FB AF =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3BC ．43D ．39．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．5210．已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1,2D ．()2,+∞11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B ，两点，若12F A AB =，10F A AO ⋅=则C 的离心率为______. 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于,A B 两点，若2BF FA =，则双曲线的离心率为__________．13．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且4FM PM =，则双曲线C 的离心率为__________．。

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。

第六节双曲线课程标准解读1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.[知识排查·微点淘金]知识点一双曲线的定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.[微提醒](1)当|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支．(2)若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>2c，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线．知识点二双曲线的标准方程1．中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．2．中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．知识点三双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)；e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2[微思考]已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？提示：可设方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．常用结论1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a ，也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .3．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(链接人B 选择性必修第一册P 141AT 1)已知点M 为双曲线C ：x 2－y 28＝1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝( )A ．1B ．4C ．6D ．8解析：选B 由a 2＝1，b 2＝8， 得a ＝1，c ＝3，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝|MF 1|－|MF 2|＋|F 1F 2|＝－2a ＋2c ＝4. 故选B ．3．(链接人B 选择性必修第一册P 146例2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．5C ． 2D ．2解析：选A 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 4．(忽视双曲线上的点到焦点的最小距离)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于__________.解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4， 则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：65．(忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为__________.解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或233一、基础探究点——双曲线的标准方程(题组练透)1．(多选题)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 22＝1B ．y 24－x 28＝1C ．x 24－y 28＝1D ．y 24－x 22＝1解析：选AB 设双曲线方程为x 22m －y 2m ＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4， 当m ＞0时，2m ＝4，m ＝2； 当m ＜0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________.解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2， 3 )在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的标准方程为________.解析：∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c .∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋(2c －a )2－(2c ＋a )24c (2c －a )＝c －2a2c －a，又点P (2，3)在双曲线上，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3(2c －a )2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，即c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 2＝1.答案：x 2－y 2＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据 已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值；(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，需注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m ·n ＜0)求解．二、应用探究点——双曲线的定义及其应用(思维拓展)[典例剖析][例1] (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2[解析] 选B 设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B ．(2)(2021·福建四校联考)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________.[解析] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.[答案] 2 3 [拓展变式][变条件]本例(2)中，“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：21．利用双曲线定义解决的2类问题(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线；(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． 2．利用双曲线的定义解决问题时的3个注意点 (1)距离之差的绝对值； (2)2a ＜|F 1F 2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．[学会用活]1．(2021·河南安阳模拟)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：选C 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.三、综合探究点——双曲线的几何性质(多向思维)[典例剖析]思维点1 双曲线的渐近线问题[例2] (1)(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为( )A ．95B ．85C ．65D ．45[解析] 选A 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程是x 4±y3＝0，即3x ±4y ＝0.由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x ±4y ＝0的距离为|3×3|32＋42＝95.故选A ． (2)(2021·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m ＞0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C的焦距为________.[解析] 易得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±1mx ，又知C 的一条渐近线方程为y ＝－3m x ，则3m ＝1m，解得m ＝3.故C 的方程为x 23－y 2＝1.所以C 的焦距为4.[答案] 4思维点2 双曲线的离心率问题[例3] (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A ．72B ．132C ．7D ．13[解析] 选A 由题意，得|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得a 2＋9a 2－4c 22a ×3a＝12，所以c 2a 2＝74，所以双曲线C 的离心率为72.故选A ．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，在双曲线上存在点P满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________.[解析] 当P 不是双曲线与x 轴的交点时，连接OP ，因为OP 为△PF 1F 2的边F 1F 2上的中线，所以PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)；当P 是双曲线与x 轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，所以4|PO →|≤2c ，由|PO →|≥a ，可知4a ≤2c ，则e ≥2. [答案] [2，＋∞)思维点3 双曲线的几何性质的综合应用[例4] 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是________.[解析] 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33. [答案] ⎝⎛⎭⎫－33，33(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法①求出a ，b ，c 直接求离心率，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．[学会用活]2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A ．2B ． 3C ．2D ． 5解析：选D 由题意，可得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝－1， 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±ba ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为ba .由|AB |＝4|OF |可得2ba＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2， 故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 四、应用探究点——直线与双曲线的位置关系(师生共研)[典例剖析][例5] (2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．[解] (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2＜|F 1F 2|，根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支．由题意，得c ＝17，|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝2，所以a ＝1. 又c 2＝a 2＋b 2，所以17＝1＋b 2，则b 2＝16. 所以C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)． (2)设T ⎝⎛⎭⎫12，t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12＋t (k ≠0)， 将此方程代入x 2－y 216＝1(x ≥1)，得(k 2－16)x 2＋(2kt －k 2)x ＋14k 2－kt ＋t 2＋16＝0，又直线AB 与曲线C 必有两个不同交点，则k 2－16≠0. 所以x 1＋x 2＝k 2－2kt k 2－16，x 1x 2＝14k 2－kt ＋t 2＋16k 2－16.①|TA |·|TB |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪x 1－12·1＋k 2⎪⎪⎪⎪x 2－12 ＝(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，直线PQ 的方程为y ＝k ′⎝⎛⎭⎫x －12＋t (k ′≠0)， 将此方程代入x 2－y 216＝1，得(k ′2－16)x 2＋(2k ′t －k ′2)x ＋14k ′2－k ′t ＋t 2＋16＝0，所以x 3＋x 4＝k ′2－2k ′tk ′2－16，x 3x 4＝14k ′2－k ′t ＋t 2＋16k ′2－16.② |TP |·|TQ |＝(1＋k ′2)⎝⎛⎭⎫x 3－12⎝⎛⎭⎫x 4－12， 由|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |， 得(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k ′2)⎝⎛⎭⎫x 3－12⎝⎛⎭⎫x 4－12， 即(1＋k 2)⎣⎡⎦⎤x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14 ＝(1＋k ′2)⎣⎡⎦⎤x 3x 4－12(x 3＋x 4)＋14.③ 将①②代入③并整理，得k 2＝k ′2. 因为k ≠k ′且k ，k ′≠0，所以k ＋k ′＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略(1)解题“步骤” 第一步―联立直线方程与双曲线方程↓第二步―消元转化成关于x 或y 的一元二次方程(或一元一次方程)↓ 第三步―利用根与系数的关系(或方程的解)判断它们的位置关系(2)解题“关键”联立直线方程与双曲线方程，消元后一定要注意判断二次项系数是否为零．当二次项系数为0时，直线与双曲线最多只有一个交点；当二次项系数不为0时，利用判别式Δ求解：Δ＞0⇔有两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有一个交点⇔相切；Δ＜0⇔无交点⇔相离．[学会用活] 3．(2021·吉安一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，点P (x 0，y 0)是直线bx －ay ＋4a ＝0上任意一点，若圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝1与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,4]C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，∵P (x 0，y 0)是直线bx －ay ＋4a ＝0上任意一点，则直线bx －ay ＋4a ＝0与直线bx －ay ＝0的距离d ＝4aa 2＋b 2＝4a c，∵圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝1与双曲线C 的右支没有公共点，则d ≥1，∴4a c ≥1，即e ＝c a≤4，故e 的取值范围为(1,4]，故选B ．。

专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。