第二讲 勾股定理逆定理(改)

八数教学案一、课时学习目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重点、难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

二、课前预习导学1．填空题。

⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是 。

⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角； 若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是 。

⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2，则△ABC 是 三角形。

2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：43．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9；⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。

4．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵51,41,31； ⑶32，42，52⑷9，40，41； ⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A ．2个 B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a 3＞0，那么a 2＞0；⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

三、课堂学习研讨例1（P75例2）在军事和航海上经常要确定方向和位置， 从而使用一些数学知识和数学方法。

分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR= ，PQ= ，QR= ；小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

18.2勾股定理逆定理实际应用讲学稿（一课时）执笔：许运山 审定：道桥中学数学组 学生姓名 学习目标：1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

学习重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学习难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学习过程： 一、知识准备：（5分钟）1. 勾股定理的逆定理：2. 根据下列条件，分别判断a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形（1）a=7,b=24,c=25; (2) a=32,b=1,c=32二、自学教材75页(10分钟)三、自学、合作、探究（20分钟） 问题一：1.某港口位于东西方向的海岸线上。

“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。

它们离开港口一个半小时后相距30行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 解：2.A ，B ，C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 方向？问题二：1.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

2. 已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD 。

求证：△ABC 是直角三角形。

四、学习体会：谈谈你的收获五、当堂训练：1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。

小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 。

2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？六：课外作业：1. 已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。

第二讲：勾股定理应用【知识要点】1．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．表达形式：在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,， 则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③222a c b -=．2．勾股定理的逆定理（直角三角形的判别条件）如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 3．勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数． （2）勾股数中各数的相同的正整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5 ②5、12、13； ③88、15、17； ④7、24、25；⑤10、24、26； ⑥9、40、41．【典例解析】知能点1两点之间线段最短1.为测湖两岸A 、B 间的距离，小兰在C 点设桩，使△ABC 为直角三角形，并测得BC ＝12m ，AC ＝15m ，则A 、B 两点间的距离是2.要从电杆离地面5m 处向地面拉一条长为13m 的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为____________3.如图，一透明的直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有一支12㎝的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少为多少m 。

知能点2柱体上的最短路程问题4．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，B 点离C 点5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点C ，需要爬行的最短距离是多少？bB C5.如图，圆柱的高为8㎝，底面半径为2㎝，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米？（π3 ）知能点3勾股定理的综合运用6.如图，铁路上A 、B 两点相距25㎞，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA ＝15㎞，CB ＝10㎞，现在要在铁路AB 上修建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应修建在离A 站多少千米处？7.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到 达点B200m ，结果他在水中实际游了250m ，求该河流的宽度。

勾股定理的逆定理(2)教学目标：1、能使用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。

2、经历将实际问题转化为敷学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用意识。

3、在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践水平和创新精神。

教学重点：使用勾股定理的逆定理解决实际问题．教学难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．一、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15；(3)求证：m2－n2，m2＋n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长．二、如下列图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．(1)你能替他想想办法完成任务吗?(2)李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗?(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?教案一、先由学生自主独立思考学案中的问题，然后分组讨论，交流各自的想法．在此活动中，教师重点注重学生：①能否独立思考，寻找解决问题的途径．②能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法．③能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣．二、例题：“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，假如知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?教师先鼓励学生根据题意画出图形，然后小组内交流讨沦，教师巡视，对有困难的学生启示，协助他们寻找解题的途径．在此活动中，教师重点注重学生：①能否根据题意画出图形．②能否积极主动地参与活动．③是否充满信心解决问题．解：根据题意画出下列图PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QA＝30．因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2所以∠QPR＝90°由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，所以∠RPS＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行。

勾股定理的逆定理及其证明勾股定理是数学中一个经典的几何定理，它可以被表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

而勾股定理的逆定理则是对这一关系进行逆向推导的结果，即：如果一个三边长满足两条较短边的平方之和等于最长边的平方，那么这三条边所对应的角形成一个直角三角形。

本文将阐述这一逆定理的证明方法。

首先，假设有一个三角形ABC，其三条边分别为AB、AC和BC，我们要证明的是如果满足AB² + AC² = BC²，那么角ABC是个直角。

证明思路首先要求建立直角三角形，而直角可以通过两条垂直线交汇形成。

因此我们可以将边BC延长，产生点D，使得AD与BC垂直相交。

这样，我们就得到了直角三角形ABD。

接下来，我们需要证明两个关键的定理，即：定理1：如果AB² + AC² = BC²，那么∠ABC = ∠ABD。

证明：根据勾股定理，我们可以得到AB² = AD² + BD²，将这个等式带入AB² + AC² = BC²中，得到AD² + BD² + AC² = BC²。

而AB² + AC² = BC²是题目已经给出的条件，所以我们可以得到AD² + BD² = 0。

由于无论AD和BD的长度为多少，它们都是正数，所以AD² + BD² = 0只有一个可能的解，即AD = 0，BD = 0。

因此，D点与B点重合，这说明∠ABC = ∠ABD。

定理2：如果∠ABC = ∠ABD，并且∠ABC是直角，那么AB² +AC² = BC²。

证明：根据正弦定理，我们可以得到AB/AD = sin∠ABD，以及AC/AD = sin∠ADC。

将这两个等式带入，可以得到AB/AD + AC/AD = sin∠ABD + sin∠ADC。