2．1.2 系统抽样1．记住系统抽样的方法和步骤．2．会用系统抽样从总体中抽取样本．3．能用系统抽样解决实际问题．1．系统抽样先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k 进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．2．系统抽样的步骤及规则(1)系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：①编号：先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；②分段：确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； ③确定初始编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④抽取样本：按照一定的规则抽取样本．(2)抽取样本的规则通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)总体个数较多时可以用系统抽样法．( )(2)整个系统抽样过程中，每个个体被抽到的机会可能不相等．( )(3)用系统抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本，要平均分成n 段，每段各有N n个号码．( ) [★答案★] (1)√ (2)× (3)×题型一 系统抽样的概念【典例1】 (1)下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是( )A ．从某厂生产的30个零件中随机抽取6个入样B ．一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C ．从参加竞赛的1500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况D ．从参加期末考试的2400名高中生中随机抽取10人了解某些情况(2)分段为000001～100000的体育彩票，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖，这种抽奖过程是系统抽样吗？为什么？[解析] (1)A 总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B 总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C 总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D 总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．故选C.(2)中奖号码的获得方法可以看做分段间隔为1000，把总体分为1000001000＝100段，在第1段中抽取000345，在第2段中抽取001345，…，在第100段中抽取099345，组成样本．显然该抽样方法符合系统抽样的特点，因此采用的是系统抽样．[★答案★] (1)C (2)见解析系统抽样的适用条件及判断方法适用条件：系统抽样适用于个体数较多的总体．判断方法：判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的．抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样．[针对训练1] 下列抽样方法不是系统抽样的是( )A ．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i 0，以后选i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入选B ．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C ．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止D ．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈[解析] A 分段间隔相同；B 时间间隔相同；D 相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C 项无明显的系统抽样的特征．[★答案★] C题型二系统抽样的设计【典例2】 (1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________．(2)某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤．①从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况．②从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况．[解析](1)∵采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，∴在第k组抽到的是7＋16(k－1)，∴从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39.(2)①第一步，将504名员工随机编号，依次为001,002,003，…，503,504，将其等距分成8段，每一段有63个个体；第二步，在第一段(001～063)中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号；第三步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26,26＋63,26＋63×2，…，26＋63×7的个体抽出组成样本．②第一步，用随机方式给每个个体编号：001,002,003，…，503,504；第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004,135,069,308的4个个体，然后再对余下的500名员工重新编号，分别为001,002,003，…，499,500，并等距分成50段，每段10个个体；第三步，在第一段001,002,003，…，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码(如006)作为起始号码；第四步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006,016,026，…，486,496的个体抽出组成样本．[★答案★](1)39(2)见解析设计系统抽样应关注的几个问题(1)系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多，个体无明显差异的情况．(2)总体均匀分段，通常在第一段(也可以选在其他段)中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号．注意要保证每一段中都能取到一个个体．(3)若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总体中每个个体被抽到的可能性．[针对训练2] 某校高中三年级的295名学生已经分段为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．[解] 按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为15×295＝59. 抽样步骤是：①分段：按现有的号码．②确定分段间隔k ＝5，把295名同学分成59组，每组5人；第1段是分段为1～5的5名学生，第2段是分段为6～10的5名学生，依次下去，第59段是分段为291～295的5名学生．③采用简单随机抽样的方法，从第一段5名学生中抽出一名学生，不妨设分段为l (1≤l ≤5)．④那么抽取的学生分段为l ＋5k (k ＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l ＝3时的样本分段为3,8,13，…，288,293.题型三简单随机抽样与系统抽样的综合问题【典例3】 某集团有员工1019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？[解] 获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法；其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：第一步，用随机方式给29人编号，号码为1,2， (29)第二步，将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；第四步，从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；第五步，从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．(2)确定其他人员人选：第一步，将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人； 第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．(1)(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．系统抽样与简单随机抽样的区别和联系(1)区别①系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本．②系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代表性很差．③系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上产品质量的检验，不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样．(2)联系①将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．③与简单随机抽样一样是不放回的抽样．④总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样．[针对训练3] 下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数30；抽样间隔：120030＝40； 确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；……(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题，试修改．(3)何处是用简单随机抽样？[解] (1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户．(3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为2.课堂归纳小结1．本节课的重点是记住系统抽样的方法和步骤，难点是会用系统抽样从总体中抽取样本．2．本节课要理解并记住系统抽样的三个特征(1)总体已知且数量较大；(2)抽样必须等距；(3)每个个体入样的机会均等.3．本节课要掌握设计系统抽样的四个步骤编号→分段→确定初始分段→抽取样本．1．为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为( )A ．24B ．25C ．26D ．28[解析] 5008除以200的整数商为25，∴选B.[★答案★] B2．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )A ．某市的4个区共有2000名学生，4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样[解析] A 项中总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B 项中样本容量很小，适宜用随机数表法；D 项中总体容量很小，适宜用抽签法．故选C.[★答案★] C3．某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，……发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．其他的抽样法[解析] 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组中抽出了15号，即各组抽15＋50n (n 为自然数)号，符合系统抽样的特点．[★答案★] C4．为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 因为1252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体．[★答案★] A5．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20[解析] 由100040＝25，可得分段的间隔为25.故选C. [★答案★] C系统抽样概念不清致误【典例】 从2019名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2019人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2019人中，每个人入选的机会( )A ．都相等，且为502019 B ．不全相等 C ．均不相等D ．都相等，且为140[错解] 选B 或选C 或选D.[错解分析] (1)本题若认为剔除9人后，入选的机会就不相等了，则易误选C.(2)本题易误认为入选的机会虽然相等，但是利用了剔除后的数据，误选D.[正解] 因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除19人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为502019. [★答案★] A在系统抽样过程中，为将整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，要从总体中删除一些个体(用简单随机抽样的方法)．但是每一个个体入样的机会仍然是相等的，不会发生变化．[针对训练] 从样本容量为73的总体中抽取8个个体的样本，若采用系统抽样的方法抽样，则分段间隔k 是________；每个个体被抽到的可能性为________．[解析] 采用系统抽样的方法，因为738＝9.125，故分段间隔为k ＝9，每个个体被抽到的可能性为873. [★答案★] 9 873 课后作业(十一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1．中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样的方法抽取，每组容量为( )A ．10B ．100C ．1000D ．10000[解析] 由系统抽样的特点知每组抽取一个，故每组容量为1000010＝1000，选C. [★答案★] C2．某校高一(1)班共有40人，学号依次为1,2,3，…，40，现用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，若学号为2,10,18,34的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为( )A ．27B ．26C ．25D ．24[解析] 根据系统抽样的定义可知，抽取样本的号码具备等距离性，∵10－2＝8，∴18＋8＝26，即另外一个同学的学号为26，故选B.[★答案★] B3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( )A ．7B ．9C ．10D ．15[解析] 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k ＝96032＝30， 因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n 组号码为9＋(n －1)×30＝30n －21，由451≤30n －21≤750，即151115≤n ≤25710，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．[★答案★] C4．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从2014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2014人中，每个人被抽取的可能性( )A．均不相等B．不全相等C．都相等，且为251007D．都相等，且为140[解析]因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体，本题先剔除14人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等．所以，每个个体被抽到的机会都相等，均为502014＝25 1007.[★答案★] C5．某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将480名学生随机从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是()A．25 B．133 C．117 D．88[解析]由系统抽样样本编号的确定方法进行求解．因为第1组抽出的号码为5，所以第8组应抽出的号码是(8－1)×16＋5＝117，故选C.[★答案★] C6．人们打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序搬牌，对每一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本．则这种抽样方法是________．[解析]简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取．而这里只是随机确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，其实各张在谁手里已被确定．所以不是简单随机抽样，据其等距起牌的特点应将其定位为系统抽样．[★答案★]系统抽样7．某班有学生54人，现根据学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的编号是________．[解析]因是系统抽样，54不能被4整除，需先剔除2人，再重新编号分组，最后按系统抽样的步骤抽取，所以抽出的某某号，是编号，并不是学号．先按学号随机剔除2人，再重新给52人编号1～52，每组13人，因为第一组取到3号，29＝2×13＋3,42＝3×13＋3，所以还有一个同学的编号为1×13＋3＝16.[★答案★]168．将参加数学夏令营的100名学生编号为001,002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为________．[解析]将100名学生分成25组，每组4名，第n组抽中的号码为4＋4(n－1)＝4n，由题意得46≤4n≤78，∴11.5≤n≤19.5，∵n∈N＋，∴n＝12,13,14,15,16,17,18,19，∴在046号至078号中，被抽中的人数为8.[★答案★]89．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160分段，按分段顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，求第一组中用抽签方法确定的号码．[解]S＋15×8＝126，得S＝6.10．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．[解]①对全体学生的数学成绩进行分段：1,2,3， (15000)②分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．③在第一部分即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到一个容量为150的样本．应试能力等级练(时间20分钟)11．将参加夏令营的600名学生分段为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9[解析]由题意知间隔为k＝60050＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．[★答案★] B12．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为() A．11 B．12 C．13 D．14[解析]根据系统抽样的等可能性可知，每人入选的可能性都是42840，由题设可知区间[481,720]的人数为240，所以编号落入区间[481,720]的人数为42840×240＝12.[★答案★] B13．一个总体中有100个个体，随机分段为00,01,02，…，99，依分段顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．ruize[解析]由题意知第7组中的数为“60～69”10个数．由题意知m＝6，k＝7，故m＋k ＝13，其个位数字为3，即第7组中抽取的号码的个位数是3，综上知第7组中抽取的号码为63.[★答案★]6314．一个总体中的100个个体的编号分别为0,1,2,3，…，99，依次将其分成10个小段，段号分别为0,1,2，…，9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0段随机抽取的号码为l，那么依次错位地取出后面各段的号码，即第k段中所抽取的号码的个位数为l＋k或l＋k－10(l＋k≥10)，则当l＝6时，所抽取的10个号码依次是_________________________________________________．[解析]在第0段随机抽取的号码为6，则由题意知，在第1段抽取的号码应是17，在第2段抽取的号码应是28，依次类推，故正确★答案★为6,17,28,39,40,51,62,73,84,95.[★答案★]6,17,28,39,40,51,62,73,84,9515．一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，…，999，并依编号顺序将其平均分成10个小组，组号为0,1,2，…，9.要抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的值．[解](1)由题意知每组有100个号码．根据x＝24和题意，得24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第2组抽取的号码是290，….故依次是24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)由x＋33×0＝87，得x＝87，由x＋33×1＝87，得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187，得x＝88，…，求得x的值可能为21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.。
