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三角形中两角平分线夹角的计算方法在学习“三角形”这一章时，遇到了三角形中（内、外）角平分线的夹角计算问题，在解决这类问题时，我发现了三角形（内、外）角平分线的夹角的度数总与三角形的一个内角有关。
例：如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D。
求∠BDC的度数。
解答本题时，利用三角形角平分线的定义及三角形内角和定理，经过推理，我发现了∠BDC与∠A之间存在一定的数量关系。
解答过程如下：由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB可知，∠DBC=∠ABC,∠DCB= ∠ACB.又根据三角形内角和为180°可知∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A=90°+ ×60°=120°通过以上问题的解答，我发现了这样一个结论：三角形的两内角平分线的夹角的度数等于90°加上第三个内角的度数的一半。
我把这个结论告诉了老师，老师笑着点点头说：“不错，你能发现这点太棒了！老师还想考考你，如果把两个内角的平分线变为两个外角的平分线，你还能有新的发现吗？”如图２,在△ABC中，外角∠EBC、∠BCF的平分线交于点D。
此时∠BDC 又与哪个角有关系呢？是否也与∠A有关呢？经过我的探索，我得出了这样的结论：∠BDC=90°- ∠A.推理过程如下：由BD、CD分别平分∠EBC、∠BCF可得,∠DBC= ∠EBC,∠DCB= ∠BCF,由三角形内角和定理及推论可知,∠DBC + ∠DCB=∠EBC+ ∠BCF,=(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC),=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC),=(180°+∠A),=90°+ ∠A.所以∠BDC=180°-(∠DBC + ∠DCB),=180°-(90°+ ∠A)=90°- ∠A我兴奋地跑到老师的办公室，向老师说出了我的发现：三角形的两个外角的平分线的夹角的度数等于90°减去第三个内角的一半。
专训2巧用角平分线的有关计算
名师点金：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．
角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)
1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON 的度数．
巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)
2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度？
(第2题)
巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题
(方程思想)
3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
(第3题)
巧用角平分线解决角的推理问题(转化思想)
4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF 有怎样的关系？说明理由．
(第4题)。
三角形角平分线经典例题讲解今天咱们聊聊三角形的角平分线，这个东西可真有趣。
大家都知道，三角形有三个角，对吧？而角平分线就是把其中一个角分成两个相等的角。
想象一下，一个小朋友在划分他的糖果，想让每一部分都一样，生怕一边多一颗，一边少一颗。
角平分线就是这么一个公正的“糖果分配者”。
说到这，大家有没有想过，三角形的角平分线跟其他线段有什么不同呢？它不仅仅是个直线，它还有许多有趣的性质。
角平分线的定义可不是随便说说的。
它是从一个顶点出发，直达对边，确保两个角完全相等。
想想看，如果你在画图，随便一条线怎么能做到这点呢？得用心！在我们生活中，很多地方都能看到角平分线的影子，想象一下，那些精致的甜品店，做蛋糕时的对称美，都是在追求这种“公平”的理念。
真是妙不可言。
大家知道吗？角平分线还有个酷炫的性质，就是它把对边分成的两部分，有个奇妙的比例关系。
这可不是开玩笑，跟数学中的“比”有关系哦，具体说就是：角平分线把对边分成的两段长度，跟这条线的两条边的长度成比例。
听起来可能有点复杂，咱们举个简单的例子吧。
假设有一个三角形ABC，角A是个大角，咱们把它的角平分线叫做AD。
AD把BC分成了两部分，BD和DC。
这个时候，AD的长度和AB、AC的长度之间就有了某种美丽的平衡。
就像一位和蔼可亲的老师在课堂上把学生分成了两组，确保每组都有足够的成员，让每个孩子都能参与进来。
真是温馨的一幕呢。
角平分线的性质不仅让人觉得公平，还能在一些复杂的问题中帮我们解决难题。
数学题目就像过家家的游戏，难免会有点混乱。
这时，找到角平分线，就好比找到了一根指路明灯，让我们能顺利地走出迷雾。
大家都想过，怎么利用角平分线解决实际问题吗？比如在地理上，角平分线可以帮助我们划分区域，确保每个区域都被合理地利用。
说到这，我就想到了一个经典的应用题。
有一天，小明跟小红在讨论一个三角形的面积，争论得不可开交。
小明说，他觉得从一个顶点画条角平分线，把对边分成两段，面积也分成两个比例，结果小红立刻不服气，开始反驳。
与角平分线有关的动角问题1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC ∠，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC ∠的内部时，AOM NOC ∠-∠的度数是多少？ 2．如图1：已知OB ⊥OD ，OA ⊥OC ，∠COD ＝40°，若射线OA 绕O 点以每秒30°的速度顺时针旋转，射线OC 绕O 点每秒10°的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．(1)开始旋转前，∠AOB ＝ ．(2)若射线OB 也绕O 点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．(3)【实际应用】从今天上午6时整开始到上午7时整结束的运动过程中，经过多少分钟时针与分针所形成的钝角等于120°（直接写出所有可能结果）．3．已知直线AB 和CD 交于点O ，∠AOC ＝α，∠BOE ＝90°，OF 平分∠AOD ．（1）当α＝30°时，则∠EOC ＝_________°；∠FOD ＝_________°．（2）当α＝60°时，射线OE ′从OE 开始以12°/秒的速度绕点O 逆时针转动，同时射线OF ′从OF 开始以8°/秒的速度绕点O 顺时针转动，当射线OE ′转动一周时射线OF ′也停止转动，求经过多少秒射线OE ′与射线OF ′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE ′在转动一周的过程中，当∠E ′OF ′＝90°时，请直接写出射线OE ′转动的时间为_________秒．4．若A 、O 、B 三点共线，40BOC ∠=︒，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：90DOE ∠=︒，30EDO ∠=︒）．(1)如图1，使三角板的长直角边OD 在射线OB 上，则COE ∠=____________°；(2)将图1中的三角板DOE 绕点O 以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时14COD AOE ∠=∠，求运动时间t 的值； (3)将图2中的三角板DOE 再绕点O 以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t 秒后，直线OC 恰好平分DOE ∠，求t 的值．5．【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠AOC ＝12∠BOC ，则称射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB ＝75°，∠AOC ＝25°，则∠AOC ＝12∠BOC ，所以射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC 的平分线OD ，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB 的度数为n ，射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，ON 平分∠AOB ，则∠MON 的度数为 （用含n 的代数式表示）；(3)如图3，射线OB 先从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC 也从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC 与射线OA 的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC 运动时间为多少秒时，射线OA ，OB ，OC 中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？6．如图1，直线m 与直线n 相交于点O ，A 、B 两点同时从点O 出发，点A 以每秒x 个单位长度沿直线n 向左运动，点B 以每秒y 个单位长度沿直线m 向上运动．(1)若运动1s 时，点B 比点A 多运动1个单位；运动2s 时，点B 与点A 运动的路程和为6个单位，则x =_________，y =_________．(2)如图2，当直线m 与直线n 垂直时，设BAO ∠和ABO ∠的角平分线相交于点P ．在点A 、B 在运动的过程中，APB ∠的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．(3)如图3，将（2）中的直线n 不动，直线m 绕点O 按顺时针方向旋转()090αα<<，其他条件不变． （i ）用含有α的式子表示APB ∠的度数_________．（ii ）如果再分别作ABO 的两个外角BAC ∠，ABD ∠的角平分线相交于点Q ，并延长BP 、QA 交于点M ．则下列结论正确的是_________（填序号）．①APB ∠与Q ∠互补；②M Q ∠-∠为定值；③APB M ∠-∠为定值；④Q ∠与M ∠互余．7．【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA ＝12∠BOC ，则称射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．如图1，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝20°，则∠AOC ＝12∠BOC ，所以射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC 的平分线OD ，则射线OD 射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB 的度数为n ，射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，ON 平分∠AOB ，则∠MON 的度数为 ；（用含n 的代数式表示）（3）如图3，射线OB 从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC 从与射线OA 的反向延长线重合的位置出发，绕点O 以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA 、OB 、OC 中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？8．如图①，直线AB ､CD 相交于点O ，射线OE CD ⊥，垂足为点O ，过点O 作射线OF 使130BOF ∠=︒．（1）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图②，OE 在BOF ∠的内部，当OE 平分BOF ∠时，OC 是否平分AOF ∠，请说明理由；（2）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图③，OD 在的内部，探究AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系，并说明理由；（3）若20BOE ∠=︒，将图①中的直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转度α度（0180α︒<<︒），设旋转的时间为t 秒，当AOC ∠与EOF ∠互余时，求t 的值．9．[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l 平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB 绕点O 顺时针旋转60°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 顺时针旋转60°到OC 、OD 的位置；如图3中，三角板OAB 绕点 O 逆时针旋转90°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 逆时针旋转90°到OC 、OD 的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A 、C 重合）．现在将三角板OCD 固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB 绕点O 顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB 转动的时间为t 秒．①当三角板OAB 转动到图5的位置时，它的一边OA 平分∠COD ，求t 的值；②当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A 、O 、C 在一条直线上）．在三角板OAB 绕点O 以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD 绕点O 以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB 转动一周时停止转动，此时三角板 OCD 也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB 转动的时间为t 秒．当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒．（直接写出结果）10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．如图为一量角器的平面示意图，O 为量角器的中心．作射线OA ，OB ，OC ，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为a ︒，b ︒，m ︒．（1）若射线OA ，OB ，OC 为“共生三线”，且OC 为AOB ∠的角平分线．①如图1，0a =，80b =，则m =______；②当40a =，150b =时，请在图2中作出射线OA ，OB ，OC ，并直接写出m 的值；③根据①②的经验，得m =______（用含a ，b 的代数式表示）．（2）如图3，0a =，60b m ==．在0︒刻度线所在直线上方区域内，将OA ，OB ，OC 按逆时针方向绕点O 同时旋转，旋转速度分别为每秒12︒，6︒，8︒，若旋转t 秒后得到的射线OA '，OB '，OC '为“共生三线”，求t 的值．11．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF ∠的大小，直接写出EOF ∠的度数．12．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：，求t 的值．答案与解析1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC ∠，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC ∠的内部时，AOM NOC ∠-∠的度数是多少？ 【答案】(1)平分，理由见解析(2)10或40(3)30°【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC ＝120°可得∠AOC ＝60°，则∠BON ＝30°，即旋转60°或240°时ON 平分∠AOC ，据此求解；（3）因为∠MON ＝90°，∠AOC ＝60°，所以∠AOM ＝90°﹣∠AON 、∠NOC ＝60°﹣∠AON ，然后作差即可．（1）解：（1）直线ON 平分∠AOC ．理由：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝∠MOB ，又∵OM ⊥ON ，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；（2），解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分AOC即旋转60°时，ON平分∠AOC，再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，由题意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案为：10或40；（3）解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．2．如图1：已知OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°，若射线OA绕O点以每秒30°的速度顺时针旋转，射线OC绕O点每秒10°的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，停止运动．(1)开始旋转前，∠AOB＝．(2)若射线OB也绕O点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．(3)【实际应用】从今天上午6时整开始到上午7时整结束的运动过程中，经过多少分钟时针与分针所形成的钝角等于120°（直接写出所有可能结果）．∠∠=AOB∴∠=AOD3．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．4．若A 、O 、B 三点共线，40BOC ∠=︒，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：90DOE ∠=︒，30EDO ∠=︒）．(1)如图1，使三角板的长直角边OD 在射线OB 上，则COE ∠=____________°；(2)将图1中的三角板DOE 绕点O 以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时14COD AOE ∠=∠，求运动时间t 的值； (3)将图2中的三角板DOE 再绕点O 以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t 秒后，直线OC 恰好平分DOE ∠，求t 的值．5．【阅读理解】∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝12∠BOC，所以射线OC是射线一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝12OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB 内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为（用含n的代数式表示）；(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？当射线111⑤如图，∠16．如图1，直线m与直线n相交于点O，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿直线n向左运动，点B以每秒y个单位长度沿直线m向上运动．(1)若运动1s 时，点B 比点A 多运动1个单位；运动2s 时，点B 与点A 运动的路程和为6个单位，则x =_________，y =_________．(2)如图2，当直线m 与直线n 垂直时，设BAO ∠和ABO ∠的角平分线相交于点P ．在点A 、B 在运动的过程中，APB ∠的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．(3)如图3，将（2）中的直线n 不动，直线m 绕点O 按顺时针方向旋转()090αα<<，其他条件不变． （i ）用含有α的式子表示APB ∠的度数_________．（ii ）如果再分别作ABO 的两个外角BAC ∠，ABD ∠的角平分线相交于点Q ，并延长BP 、QA 交于点M ．则下列结论正确的是_________（填序号）．①APB ∠与Q ∠互补；②M Q ∠-∠为定值；③APB M ∠-∠为定值；④Q ∠与M ∠互余．7．【阅读理解】∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝12∠BOC，所以射线OC是射线一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝12OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？8．如图①，直线AB ､CD 相交于点O ，射线OE CD ⊥，垂足为点O ，过点O 作射线OF 使130BOF ∠=︒．（1）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图②，OE 在BOF ∠的内部，当OE 平分BOF ∠时，OC 是否平分AOF ∠，请说明理由；（2）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图③，OD 在的内部，探究AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系，并说明理由；（3）若20BOE ∠=︒，将图①中的直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转度α度（0180α︒<<︒），设旋转的时间为t 秒，当AOC ∠与EOF ∠互余时，求t 的值．【答案】（1）OC 平分AOF ∠，理由见解析；（2）40AOE DOF ∠=∠+︒，理由见解析；（3）17t =或35t =时，AOC ∠与EOF ∠互余．【分析】（1）根据平分线的定义可得65FOE BOE ∠=∠=︒，根据OE CD ⊥，可得25FOC ∠=︒，从而得到25AOC ∠=︒，所以可得结论；（2）设DOF ∠为β︒，根据130BOF ∠=︒可得50AOD β∠=︒-︒，根据OE CD ⊥可得40AOE β∠=+︒，从而得到AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系；（3）根据题意可知150EOF ∠=︒，因为OE CD ⊥，所以可得70BOC ∠=︒，可求出110AOC ∠=︒，根据“直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出1105(022)AOC t t ∠=︒-<≤，()51102236AOC t t ∠=-︒<<，1505(030)EOF t t ∠=︒-<≤，()51503036EOF t t ∠=-︒<<，然后分情况进行讨论：①022t <≤时，90AOC EOF ∠+∠=︒②2230t <≤时，90AOC EOF ∠+∠=︒③3036t <<时，90AOC EOF ∠+∠=︒，从而得出结果．【详解】解：（1）OC 平分AOF ∠，理由如下：∵130BOF ∠=︒且OE 平分BOF ∠ ∴65FOE BOE ∠=∠=︒ ∵OE CD ⊥ ∴90EOC ∠=︒∴906525FOC ∠=︒-︒=︒∴1801801302525AOC BOF FOC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴AOC FOC ∠=∠ 即OC 平分AOF ∠（2）40AOE DOF ∠=∠+︒，理由如下：设DOF ∠为β︒，则180********AOD BOF DOF ββ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒-︒ ∵OE CD ⊥ ∴90EOD ∠=︒∴9040AOE AOD β∠=︒-∠=+︒ 即40AOE DOF ∠=∠+︒（3）∵20BOE ∠=︒且130BOF ∠=︒ ∴150EOF ∠=︒ 又∵OE CD ⊥ ∴70BOC ∠=︒ ∴110AOC ∠=︒∵直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转 ∴①022t <≤时，1105,1505AOC t EOF t ∠=︒-∠=︒- 若AOC ∠与EOF ∠互余，则1105150590t t -+-= 解得17t =②2230t <≤时，5110,1505AOC t EOF t ∠=-︒∠=︒- 若AOC ∠与EOF ∠互余，则5110150590t t -+-= 此时无解③3036t <<时，5110,5150AOC t EOF t ∠=-︒∠=-︒ 若AOC ∠与EOF ∠互余，则5110515090t t -+-= 解得35t =综上所述，17t =或35t =时，AOC ∠与EOF ∠互余．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系． 9．[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l 平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB 绕点O 顺时针旋转60°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 顺时针旋转60°到OC 、OD 的位置；如图3中，三角板OAB 绕点 O 逆时针旋转90°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 逆时针旋转90°到OC 、OD 的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A 、C 重合）．现在将三角板OCD 固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB 绕点O 顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB 转动的时间为t 秒．①当三角板OAB 转动到图5的位置时，它的一边OA 平分∠COD ，求t 的值； ②当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A、O、C在一条直线上）．在三角板OAB绕点O以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD绕点O以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB转动一周时停止转动，此时三角板OCD也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB转动的时间为t秒．当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝秒．（直接写出结果）【答案】（1）①t的值是6；②60；（2）15或37.5．【分析】（1）①可知∠DOC=60°，根据平分和三角板OAB转动的速度可得t的值；②根据角平分先和三角板OAB转动的速度可得t的值；（2）分线段OB平分∠DOC和直线OB平分∠DOC两种情况，分情况讨论即可．【详解】解：（1）①由三角板可知∠DOC＝60°，∵三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°，∴t秒后，∠AOC＝5t．当OA平分∠DOC时，∠AOC＝30°，∴5t＝30°，解得t＝6．答：t的值是6．②∵OB平分∠DOC时，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴5t＝360°﹣60°＝300°，解得t＝60．故答案为：60．（2）设三角板OAB和三角板OCD旋转后分别为三角板OA′B′和三角板OC′D′，①线段OB平分∠DOC时，如图：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝60°，∴5t+3t+60°＝180°，解得t＝15；②直线OB平分∠DOC时，如图：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∠AOA′＝90°∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝90°+30°＝120°，∴5t+3t﹣120°＝180°，解得t＝37.5；故答案为：15或37.5．【点睛】本题考查旋转和折叠，角度的计算，掌握角平分线并会分类讨论是解题关键．10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．如图为一量角器的平面示意图，O 为量角器的中心．作射线OA ，OB ，OC ，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为a ︒，b ︒，m ︒．（1）若射线OA ，OB ，OC 为“共生三线”，且OC 为AOB ∠的角平分线． ①如图1，0a =，80b =，则m =______；②当40a =，150b =时，请在图2中作出射线OA ，OB ，OC ，并直接写出m 的值； ③根据①②的经验，得m =______（用含a ，b 的代数式表示）．（2）如图3，0a =，60b m ==．在0︒刻度线所在直线上方区域内，将OA ，OB ，OC 按逆时针方向绕点O 同时旋转，旋转速度分别为每秒12︒，6︒，8︒，若旋转t 秒后得到的射线OA '，OB '，OC '为“共生三线”，求t 的值．11．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF ∠的大小，直接写出EOF ∠的度数．12．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：，求t 的值．。
角平分线专题训练题1. 已知三角形ABC，角A的角平分线交BC边于点D，角B 的角平分线交AC边于点E。
若AD=DE，求证角A=2角B。
证明：由角平分线的定义，有∠DAB=∠EAC，且∠DAE=∠EAD。
在△ADE中，由角度和定理可得∠DAE+∠DEA+∠EDA=180°，即∠DAE+∠DEA+∠EAD=180°。
由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EAD，代入上式得2∠DAE+∠EAD=180°，即3∠DAE=180°，解得∠DAE=60°。
同理，在△DBE中，由角度和定理可得∠EBD+∠BED+∠DEB=180°，即∠EBD+∠BED+∠EDA=180°。
由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EDA，代入上式得∠EBD+2∠DEA=180°，即∠EBD+2∠DAE=180°，代入∠DAE=60°，得∠EBD+120°=180°，即∠EBD=60°。
又因为∠DAB=∠DBE，且∠DAE=∠EBD，所以，由三角形内角和定理可得∠ABD+∠DBE+∠DAE=180°。
代入∠DAE=60°，得∠ABD+60°+60°=180°，即∠ABD=60°。
所以，角A=∠DAB+∠DAD+∠DAE=∠DAB+∠ABD+∠DAE=∠DBE+∠EBD+∠DAE=∠EDC+∠CDE+∠EAD=∠EDC+∠CDE+∠A DA=∠ADC+∠CDA+∠ADA=2∠ADC。
角B=∠ABD+∠DBE+∠BED=∠ABD+∠DBE+∠EDC=∠ABD+∠DBE+∠DCE=∠ADG+∠DGE+∠DCE=∠ADE+∠DEC+∠D CE=∠DAE+∠EDA+∠DCE=∠DAE+∠EDA+∠EDA=2∠DA E。
所以，角A=2∠ADC，角B=2∠DAE，结合前面的推导可知角A=2角B。
三角形的角平分线计算方法三角形是几何学中最基本的形状之一，而角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，利用角平分线可以解决许多问题，如求角的大小、判断角的性质等。
下面将介绍三角形的角平分线的计算方法。
一、角平分线的定义和性质在三角形ABC中，若角BAD是角BAC的角平分线，则点D在边BC上，且满足以下两个性质：1. 角BAD等于角DAC，即∠BAD = ∠DAC；2. BD与DC的比值等于AB与AC的比值，即BD/DC = AB/AC。
二、角平分线的计算方法1. 已知两边长和夹角大小若已知三角形ABC的两边AB、AC的长度以及夹角BAC的大小，我们可以通过以下步骤计算出角平分线：步骤一：使用三角函数计算出角BAC的正弦值、余弦值或正切值。
步骤二：根据角BAC的正弦、余弦或正切值，计算出角BAD的正弦、余弦或正切值。
步骤三：利用已知两边AB、AC和计算得到的角BAD的正弦、余弦或正切值，使用三角函数的定义计算出角平分线BD和DC的长度。
2. 已知两边长度和角平分线的比值若已知三角形ABC的两边AB、AC的长度以及角平分线BD与DC 的比值，我们可以通过以下步骤计算出角平分线：步骤一：利用已知的BD/DC比值和边AB、AC的长度，建立一个方程。
步骤二：解方程得到BD和DC的长度，即可计算出角平分线的长度。
三、实例应用例1：已知三角形ABC，AB = 5cm，AC = 8cm，角BAC = 60°，求角平分线BD和DC的长度。
解：根据给定条件，我们可以进行如下计算：步骤一：计算角BAC的正弦值、余弦值或正切值：sin∠BAC = AB/AC = 5/8 ≈ 0.625步骤二：计算角BAD的正弦值、余弦值或正切值：sin∠BAD = sin(∠BA C/2) = sin(60°/2) = sin30° ≈ 0.5步骤三：利用已知的角BAD的正弦、余弦或正切值和边AB、AC 的长度，计算角平分线BD和DC的长度：根据sin∠BAD = BD/AB，得到BD = sin∠BAD * AB = 0.5 * 5 = 2.5cm因为BD + DC = BC = AC - AB = 8 - 5 = 3cm，所以DC = BC - BD =3 - 2.5 = 0.5cm因此，角平分线BD的长度为2.5cm，角平分线DC的长度为0.5cm。
