方法技巧训练三 几何中与角平分线有关的计算或证明

几何形的角平分线认识角平分线的性质与应用几何形的角平分线几何学中，角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

本文将探讨角平分线的性质和应用。

一、角平分线的定义定义：角AOB的一条射线OC被称为角AOB的一条平分线，当且仅当OC把角AOB分成两个相等的角。

二、角平分线的性质1. 角平分线的两个性质（1）在一定平面内，如果一条线段OC是一角AOB的平分线，那么它必定只有一条。

（2）如果在一条角的内部取一点C，那么OC是AB的平分线，当且仅当∠AOC=∠BOC。

2. 角平分线定理角平分线定理是指：一个点在角的平分线上，当且仅当它到两条角的边距离相等。

（1）a在OC上，则AO=BO；（2）d在OE上，则OD=OE。

3. 角平分线的应用（1）内角平分线的应用在三角形ABC中，D为边BC上一点，AD是∠BAC的平分线，AE是∠CAD的平分线，如图所示。

[图]根据角平分线定理:AD是∠BAC的平分线，则AB/AC=BD/CD；AE是∠CAD的平分线，则AC/AB=CE/BE。

故有 BD/CD=CE/BE，两边同乘BC，可得 BD·BC=CE·BC，即BD·DC=CE·BE，这就是角平分线定理的应用。

（2）角平分线定理的推论在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥AC，则BD/CD=BF/CE。

因为三角形ADE与三角形BDF和三角形CDE都相似，所以BD/CD=BF/CE。

（3）外角平分线的应用在三角形ABC中，D和E分别为BC和AC的延长线上的点，AF是∠A的外角平分线，如图所示。

[图]连接DE并延长到与AF相交于点G，根据梅涅劳斯定理可得：BD/CD·AE/CE·AF/BF=1又根据角平分线定理可得：BD/CD=AB/ACAE/CE=AB/BCAF/BF=AB/BC带入可得：AB/AC·AB/BC·AB/BC=1，整理可得： AB²=AC·BC，这就是外角平分线应用的定理。

角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。

它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。

这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。

在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。

在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。

以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。

角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。

第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。

换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。

这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。

第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。

这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。

第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。

这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。

利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。

角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。

它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。

通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。

1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。

专题03解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路类型一已知两边对应相等解题思路类型二已知两角对应相等解题思路类型三已知一边一角对应相等解题思路类型一已知两边对应相等基本解题思路：已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）.例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，AB AE=，AC DE=，AB DE∥．(1)求证：AD BC=；(2)若70DAB∠=︒，AE平分DAB∠，求B的度数．【答案】(1)见解析(2)35°【解析】【分析】（1）根据AB DE∥，可得DEA CAB∠=∠，进而证明DEA CAB≌，即可得证；（2）根据角平分线的定义可得35DAE CAB∠=∠=︒，根据（1）的结论可得B DAE∠=∠，即可求解．(1)证明：AB DE∥，∴DEA CAB∠=∠，在DEA△与CAB△中，AB AECAB DEAAC DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DEA CAB≌()SAS，∴AD BC=；(2)解：70DAB∠=︒，AE平分DAB∠，35DAE CAB∴∠=∠=︒DEA CAB≌，35B DAE∴∠=∠=︒【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上，AD CB=，AE CF=，DF BE=．求证：B D∠=∠．【答案】证明见详解【解析】【分析】由已知AE CF=可知AF=CE，从而根据SSS判定定理可证明△ADF△△CBE即可．【详解】证明：△AE=CE，△AE+EF=CE+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中，AF CEAD CBDF BE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△ADF△△CBE（SSS），△△D=△B．【点睛】本题考查三角形全等碰与性质，掌握三角形全等判定方法与性质是解题关键．2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB△CD，E、F是AC上两点，且AE ＝CF．(1)求证：△ABF△△CDE；(2)若△BCF＝30°，△CBF＝72°，求△CED的度数．【答案】(1)见解析(2)102°【解析】【分析】（1）证明△BAF＝△ECD，AF＝CE，再结合AB＝CD，可得结论；（2）利用三角形的外角的性质先求解△AFB＝102°，结合△ABF△△CDE，可得△CED＝△AFB＝102°．(1)证明：△AB△CD，△△BAF＝△ECD，△AE＝CF，△AE-EF＝CF-EF△AF＝CE，又△AB＝CD，△△ABF△△CDE（SAS）．(2)解：△△BCF＝30°，△CBF＝72°，△△AFB＝△BCF+△CBF＝30°+72°＝102°，△△ABF△△CDE，△△CED＝△AFB＝102°．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用SAS证明三角形全等”是解本题的关键．类型二已知两角对应相等基本解题思路：已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）.例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：△1=△2，△C=△D．求证：BC=BD．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．【详解】证明：在△ABC和△ABD中12C D AB AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABC△△ABD（AAS），△BC=BD．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，△A=△D，△B=△C，BF=CE，求证：AB=DC．【答案】证明见解析．【解析】【分析】利用AAS证明△ABE△△DCF，即可得到结论．【详解】证明：△BF=CE△BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中A DB C BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DCF (AAS )，△AB =DC ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：,12,B C AB AC ∠=∠∠=∠=．求证：BE CD =．【答案】见解析【解析】【分析】证明△CAD =△BAE ；直接运用SAS 公理，证明△CAD △△EAB ，即可解决问题．【详解】证明：如图，△12∠=∠，△1323∠+∠=∠+∠，即BAE CAD ∠=∠，△在ABE △和ACD △中，B C AB ACBAE CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△ABE ACD △≌△，△BE CD =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路：（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS ).（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS );②找另一角对应相等(AAS 或ASA ).例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，△B ＝△C ，求证：AF ＝DE ．【答案】见解析【解析】【分析】利用BE CF ＝推出BF CE ＝，通过“边角边”证明ABF DCE ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可证明AF ＝DE ．【详解】证明：BE CF ＝，BE EF CF EF ∴++＝，BF CE ∴＝，在ABF ∆和DCE ∆中，BF CE B C AB DC ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩＝，ABF DCE ∴∆≅∆，AF DE ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，属于简单题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC 和△DCE 中，AC DE =，90B DCE ∠=∠=︒，点A ，C ，D 依次在同一直线上，且AB DE ∥．(1)求证：△ABC △△DCE ．(2)连结AE ，当5BC =，12AC =时，求△ACE 的面积．【答案】(1)见解析(2)30【解析】【分析】（1）利用AAS 可证明结论；（2）由（1）得：△ABC ≌△DCE ，则BC ＝CE ＝5，即可求出△ACE 的面积．(1)证明：∵AB ∥DE ，∴∠BAC ＝∠D ，在△ABC 和△DCE 中，B DCE BACD AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCE （AAS ）；(2)解：由（1）得：△ABC ≌△DCE ，∴BC ＝CE ＝5，∴△ACE 的面积为12×12×5＝30．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知A B ∠=∠，AE BE =，点D 在AC 边上，12∠=∠，AE 和BD 相交于点O．(1)求证：AEC BED ≌△△；(2)若85AEC ∠=°，30AED ∠=︒，求△ADB 的度数．【答案】(1)见解析(2)55︒【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断AEC BED ∆≅∆；（2）根据85AEC ∠=°，30AED ∠=︒，求出155∠=︒，根据12,2ADB ∠=∠∠=∠，即可求出ADB ∠．(1)解：证明：AE ∵和BD 相交于点O ，AOD BOE ∴∠=∠．在AOD ∆和BOE ∆中，A B ∠=∠，2BEO ∴∠=∠．又12∠=∠，1BEO ∴∠=∠，AEC BED ∴∠=∠．在AEC ∆和BED ∆中，A B AE BE AEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AEC BED ASA ∴∆≅∆；(2)解：85AEC ∠=°，30AED ∠=︒，1853055AEC AED ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，12,2ADB ∠=∠∠=∠，155ADB ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．一、解答题1．（2022·四川成都·七年级期末）如图，AE ，AF 分别是ABC 和ABD △的高，BC BD=，AEAF =．求证：AC AD =．（每行都要写理由）【答案】证明见详解【分析】由角平分线的判定定理可知△ABE =△ABF ，根据SAS 可证明△ABC △△ABD ，由全等三角形的性质可得出结论．【详解】证明：△AE ，AF 分别是△ABC 和△ABD 的高，（已知）△AE △BC ，AF △BD ，（三角形高的定义）△AE =AF ，（已知）△△ABE =△ABF ，（角平分线的判定定理）在△ABC 和△ABD 中，AB AB ABC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABC △△ABD (SAS )，△AC =AD ．（全等三角形的对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形高的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，BF AC ⊥于F ，AD 与BF 交于点E ，5AD BD ==，3DC =，求AE 的长度．【答案】2【分析】先证△ADC △△BDE (ASA )，再由全等三角形的对应边相等得DE =DC =3，再根据AE =AD -DE 即可求解．【详解】解：△AD BC ⊥，BF AC ⊥△△ADC =△BDE =90°，△AFE =90°，又△△AEF =△BED ，△△CAD =△EBD在△ADC 与△BDE 中CAD EBD AD BDADC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ADC △△BDE (ASA )，△DC =DE ，又DC =3，△DE =3，又AD =5，△AE =AD -DE =5-3=2．故答案为：2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是理清题意进行合理推理．3．（2022·浙江丽水·八年级期中）如图，AC 和BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ．求证：(1)△AOB △△COD ．(2)AB DC ∥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意可知OA ＝OC ，△AOB ＝△COD ，OB ＝OD ，由SAS 即可证明△AOB △△COD ； （2）根据全等三角形的性质，可得△A ＝△C ，再根据内错角相等，两直线平行，即可证明AB △DC ． （1）证明：（1）在△AOB 与△COD 中OA OC AOB COD OB OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， △△AOB △△COD （SAS ）；（2）△△AOB △△COD ，△△A＝△C，△AB DC∥．【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质，平行线的判断，属于基础证明题，理解全等三角形的判断和性质是解题的关键．4．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，△D＝△C．(1)要使ABD BAC≌△△，只需添加一个条件是______．(2)根据（1）中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？【答案】(1)OA=OB（答案不唯一）；(2)△ABD与△BAC全等；说明见解析【分析】（1）根据题意，可以添加条件OA=OB即可；（2）先证明△AOD△△BOC（AAS），从而可得BD=AC，△OAB=△OBA，根据ASA证明△ABD△△BAC即可．（1）解：根据题意，可以添加一个条件：OA=OB，故答案为：OA=OB（答案不唯一）；（2）证明：在△AOD和△BOC中，D CDOA COBOA OB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOD△△BOC（AAS），△OD=OC，△OA=OB，△BD=AC，△OAB=△OBA，在△ABD和△BAC中，D CBD ACOBA OAB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABD△△BAC（ASA）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．（2022·山东青岛·七年级期末）已知：,OA OB OC OD==．(1)求证：OAD OBC ≅；(2)若85,25O C ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)45BED ∠=︒【分析】（1）直接利用SAS 定理即可得证；（2）先根据三角形的外角性质可得110DBE ∠=︒，再根据全等三角形的性质可得25D C ∠=∠=︒，然后根据三角形的内角和定理即可得．（1）证明：在OAD △和OBC 中，OA OB O O OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS OAD OBC ∴≅．（2）解：85,25O C ∠=︒∠=︒，110DBE O C ∴∠=∠+∠=︒，由（1）已证：OAD OBC ≅，25D C ∴∠=∠=︒，18045BED DBE D ∴∠=︒-∠-∠=︒．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．6．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，AB ∥CD ，AE ＝DF ，△AEB ＝△DFC ．(1)求证：△ABE △△DCF ．AB CDAB CD△()ABE DFE ASA≌故答案为：ABE≌△（2）解：△ABE DFE≌△△==4AB DF，BC＝5，CD＝6，(1)ABD△与ACE全等吗？请说明理由；，延长CE交线段的垂直平分线上，求∠全等，理由见解析90︒）由BAC∠在线段AC证明：BAC∠=BAC BAE CAE ∠=∠+∠ ，DAE BAE BAD ∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅；（2）解：点E 在线段AC 的垂直平分线上，AE CE ∴=，30CAE C ∴∠=∠=︒ ，90CAG ∴∠=︒ ，由（1）可得B C ∠=∠，BGF AGC ∠=∠ ，90BFC CAG ∴∠=∠=︒ ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是明确垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，AB AE ≠，38BAC DAE ∠=∠=︒．连接BD ，CE 交于点O ．(1)求证：BD CE =；(2)求BOC ∠的度数：(3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了AO ，并提出了下面结论：OA 平分∠BOE ．请给予证明．【答案】(1)见解析(2)38°(3)见解析【分析】（1）由“SAS ”可证△BAD ≅△CAE ，由全等角形的性质可得出BD ＝CE ；（2）由全等三角形的性质可得△ABD＝△ACE，由三角形外角性质可得出答案；（3）过点A作AG⊥BD于点G，AH⊥CE于点H，可证明AGB AHC≅△△（AAS），可得AG＝AH，由角平分线的性质可得OA平分∠BOE．（1）解：如图所示标注角度：△1238∠=∠=︒△12CAD CAD∠+∠=∠+∠即BAD CAE∠=∠在BAD和CAE中AB ACBAD CAEAD AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△BAD CAE≅△△（SAS）△BD CE=（2）解：△BAD CAE≅△△△34∠=∠设BD交AC于点F，则6∠是FAB和FOC的外角△613∠=∠+∠，654∠=∠+∠△51∠=∠△138∠=︒△538∠=︒即BOC∠的度数是38°（3）证明：过点A作AG BD⊥于G，AH CE⊥于H，则790∠=︒，890∠=︒△78∠=∠在AGB和AHC中(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：ΔACD△ΔEBD由（1）得△ACD△△EBD由（1）得△AOE △△BME ，△ODC △△NDB△△AOE=△BME ，△OCD=△NBD ，AO =BM△AO △BM ，OC △NB ，△△MBO =△BON ，△MOB =△NBO在△MOB 和△NBO 中MBO BON OB OB MOB NBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△MOB △△NBO (ASA )△MB =NO△AO=2OD【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．。

基本曲线角平分线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可按照以下方式进行撰写：概述：基本曲线角平分线是数学中一个重要的概念，它在几何学、代数学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。

基本曲线指的是曲线当中最基本的类型，例如直线、圆、椭圆等等。

而角平分线则是将一个角分成两个相等的角的线段，它在解决几何问题、构造图形和计算角度等方面发挥着关键作用。

文章结构：本文将围绕基本曲线角平分线展开讨论，主要包括两个要点：第一个要点是基本曲线角平分线的定义和性质，我们将介绍其数学表达式、几何特征以及相关公式的推导；第二个要点是基本曲线角平分线的应用，我们将探讨它在几何问题求解中的具体应用实例，并介绍一些计算机图形学中的应用。

目的：本文的目的是帮助读者加深对基本曲线角平分线的理解与应用。

通过详细阐述其概念、定义、性质以及具体应用示例，希望能够提供读者对于该概念的全面认识，并激发读者进一步探索与应用基本曲线角平分线的兴趣。

通过以上内容的阐述，读者将能够全面了解基本曲线角平分线的概念及其应用领域，为后续的论述和实例引入做好准备。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：2. 文章结构本文将在引言部分对基本曲线角平分线进行概述，并说明文章的目的。

接下来的正文部分将涵盖两个要点，分别介绍基本曲线角平分线的定义、性质和求解方法。

最后的结论部分将对文章的要点进行总结，并展望基本曲线角平分线在未来的应用前景。

2.1 第一个要点在这一部分，我们将详细介绍基本曲线角平分线的定义和基本性质。

首先，我们将阐述什么是基本曲线角平分线，以及为什么它在数学和几何中起着重要的角色。

接着，我们将介绍基本曲线角平分线的性质，如其对称性、平行性等。

此外，我们还将探讨一些实例和应用，以帮助读者更好地理解和应用基本曲线角平分线。

2.2 第二个要点在这一部分，我们将分享基本曲线角平分线的求解方法和计算技巧。

我们将介绍几种常见的求解方法，包括使用几何方法和代数方法。

学过程设计教探究二：角的平分线的性质实验：1.让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.2.分别过P点向OA、OB边作垂线PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。

3.测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系。

，并试着说明理由。

归纳角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

应用：如图，ABC中，D为BC中点，且AD恰好平分∠BAC。

求证：AB=AC三、课堂训练1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，假设∠1=∠2，求证OB=OC.2.如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD四、小结归纳1.用尺规作图法作出角的角平分线的方法；2.角的平分线的性质；3.角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

学生做练习。

学生画图，教师巡视指导。

观察、讨论PD与PE的数量系。

学生通过三角形全等，说明PD=PE。

教师引导学生归纳出角的平分线的性质。

教师引导，学生思考并解题，写出证明过程。

学生充分讨论，综合运用所学知识解决问题。

学生小结本节所学的知识点及知识点的应用。

线的方法。

通过学生实验得到结论，重视知识的发生开展过程。

使学生明确角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

稳固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。

从总体上把握学知识。

五、作业设计1.教材习题11.3第2、4小题；2.补充作业：①如图，AB ∥CD ，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，求AB 、CD 间的距离.②如图，在△ABC 中∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6㎝，那么△DEB 的周长为_________㎝。

EDBCA②思考题：：如图，任意ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线。

求证：BD ∶DC =AB ∶AC〔提示：可参照例题［点拨］，利用面积证明〕课题 11.3 角的平分线的性质一、角的平分线的作法： 作角的角平分线 例题分析 二、角的平分线的性质：教 学 反 思年级八年级课题13.1 平方根〔2〕课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．了解有的正数的算术平方根开不尽方；2．了解无限不循环小数特点；3．会用计算器算术求平方根；4．会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.过程方法通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，开展学生的形象思维和抽象思维；探究2的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想，并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.情感态度认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情.教学重点初步感受无理数，能进行比较教学难点探究2大小教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长.二、探究新知1.拼法：按以下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.2．问题：①拼成的大正方形的边长是多少？②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示为2，那么2是多大呢？2的大小：∵12=1,22=4，∴1<2<4；∵22=2.25，∴1.4<2<1.5；∵22=2.0164，∴1.41<2<1.42；∵22=2.002225，∴1.414<2<1.415；……教师提出问题，组织学生动手拼剪.教师参与学生活动，适当帮助指导学生完成拼图活动，并及时肯定学生各种割、拼的方法.教师设计并向学生提出问题，组织学生思考，交流，并引导学生尝试总结归纳，估算出2的大小，理解无限不循环小数的特点.调动学生思维的积极性，通过拼图活动，经历发现无理数的过程.通过形的研究来感受无理数的存在.从而对数的认识进一步加深，为实现从有理数到实数的过渡作好铺垫.教师设计问题，逐层深入，对学生进行启发引导，通过对2的大小估计，再次从数的角度来感受无理数的存在性.培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受从两端无限逼近的数学思想.如此进行下去，可以得到2的更精确地近似值.事实上，2=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？得到：小数位数无限且小数局部不循环的小数叫无限不循环小数.像7,5,3,2这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数. 4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出()用计算器计算，并将计算结果填在表中. 0625.0 625.025.6 5.62 625 6250 观察上表，你发现什么了吗？(1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？ (2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？(3)直接写出：_____625000;_____62500==. 得到：被开方数增大(或减小)，那么算术平方根也增大(或减小)；被开方数的小数点向左〔右〕移动两位，它的算术平方根的小数点也相应的向左〔右〕移动一位.用一块面积为400cm 2的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片， 使它的长宽之比为3：2？分析：大正方形的面积为400 cm 2， 可求出其边长为400=20cm ；要裁出面积为300cm 2的长方形纸片，并使其长宽之比为3：2，通过列方程可求得长和宽须分别为cm cm 502,503，用计算器求得1.750≈，所以3.21503≈，而21.3>20,即要裁出的长方形的长大于正方形的边长，故不能裁出.如果不使用计算器，因为21493503=>>20,所以不能裁出.不用计算器，估计一个整数的算术平方根的技巧：将这个整数a 拆成两个整数m 、n 的积，那么a 的算术平方根必在m 、n 之间，m 、n 越接近，估值越精确.如，24的算术平方根在4、6之间；56的算术平方根在7、8之间，这种方法虽然简便，但对有的数只能估计一个粗略范围，如50的算术平方根只能估计在5、10之间。

教学过程一、课堂导入已知：如图，B、E、F、C四点共线，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求证：OA=OD．问题：大家对上面这道题目如何解答呢？大家觉得全等三角形这一章哪部分内容最那学，可能你会说全等三角形的证明，对，的确是；如果再具体一点的话，应该是如何作辅助线、构造全等三角形吧，OK，那么对于这类问题我该如何入手呢？这就是今天我们这堂课所要重点解决的问题。

二、复习预习（一）全等三角形的概念性质1.全等三角形的基本概念:(1)全等形的定义: 能够完全重合的两个图形叫做全等形。

(2)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。

重合的角叫做对应角。

(3)全等三角形的表示方法：△ABC ≌△A’B’C2.全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等。

（二）在运用全等三角形的基本性质时，其关键是找对应边，对应角，找对应边和对应角通常有以下几种方法：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；③有公共边的，公共边是对应边；④有公共角的，公共角是对应角；⑤有对顶角的，对顶角是对应角；⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。

（三）全等三角形的判定1. 全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等(SSS);2. 全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);3. 全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);4. 全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);5. 全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

（四）证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

题目：三角形三个角平分线的交点的定理在数学中，三角形是一个基础且重要的图形，而三角形内部的一些点和线也有着很多有趣的性质和定理。

其中，三角形的三个角平分线的交点的定理就是其中之一。

在本文中，我们将会深入探讨这个定理，并从不同的角度进行全面的评估和分析。

1. 定理概述我们来看看三角形三个角平分线的交点的定理是什么。

这个定理指出，三角形的三个内角平分线的交点构成一个等腰三角形，并且该等腰三角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。

这个定理在三角形的平面几何中有着重要的地位，也是许多相关问题的重要基础。

2. 定理证明接下来，我们将着重从证明的角度来探讨这个定理。

我们可以利用角平分线的定义和性质，结合几何作图的方法，来逐步证明三个角平分线的交点构成一个等腰三角形。

我们可以借助三角形内接角和外接角的关系，来证明该等腰三角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。

通过这样的证明过程，我们不仅能够理解定理的几何意义，同时也能够加深对相关几何知识的理解和掌握。

3. 定理应用定理的应用是评价其重要性的重要标准之一。

在实际的数学问题和解题过程中，三角形三个角平分线的交点的定理也经常被运用到各种证明和推论中。

在证明三角形内部一些角度的关系时，可以利用该定理来简化证明过程，减少求解步骤。

又在圆心几何中，该定理也是解决相关问题的常用工具之一。

我们可以说，定理的应用不仅体现了其在数学理论中的地位，同时也反映了其在实际问题中的实用性。

4. 个人观点我想共享一下我对这个定理的个人观点和理解。

在我看来，这个定理不仅是一个理论性的结果，更是一种几何思维的体现。

通过对这个定理的研究和应用，我们可以培养自己的几何直觉和推理能力，从而更好地理解和解决复杂的几何问题。

定理的证明过程也展现了数学推理和逻辑推演的魅力，使我们更加深入地理解数学的美丽和深刻。

总结回顾在本文中，我们全面探讨了三角形三个角平分线的交点的定理，从定理的概述、证明、应用，到个人观点和理解，多角度地展现了这个定理的重要性和价值。