最新人教版七年级下册数学课外拓展：立方根与平方根的故事

例析平方根和立方根的知识点知识点一：平方根的概念：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作x=±a ，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例181的平方根是( ).A .±9 B. ±3 C.9 D.3解:因为81=9,所以81的平方根就是9的平方根,即±9=±3,故选择B.注:应现将81化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作a ,0的算术平方根是0.例2若a<0,则a 2的算术平方根是( ).A.-aB.aC. ±aD. ±a解:当a<0时, a =|a|=-a,故选择A.例3一个数的算术平方根是a,则比这个数大5的数是( ).A.a+5B.a-5C. a 2+5D. a 2-5解: 一个数的算术平方根是a,则这个数是a 2,故比这个数大5的数是a 2+5,从而选择C. 知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根,它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数,即a ≥0.例4若m 的平方根是2a-3和a-12,求m 的值.解:由正数有两个平方根,它们互为相反数知,(2a-3)+(a-12)=0,解得a=5,所以m=(2a-3)2=72=49.例5若2a-3和a-12是m 的平方根,求的值.解析:本例与例4貌是一样,其实不然.因为“若m 的平方根是2a-3和a-12”，得知2a-3和a-12互为相反数，而“若2a-3和a-12是m 的平方根”，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时, a= -9.所以2a-3=-18-3=-21,所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时, a=5,所以2a-3=10-3=7,所以m=72.故m=441或=49.例6若(x-2)2+2-x =0,则x 2的平方根是多少?解:因为(x-2)2≥0,2-x ≥0,又(x-2)2+2-x =0,则x-2=0,的x=2,故22的平方根是±2.知识点四:立方根的概念及性质: 若x 2=a ，则x 叫做a 的立方根，记作x=3a .0的立方根是0,任何实数都有立方根,并且只有一个,同时立方根的符号与其本身符号相同.例7求42717的立方根. 解:因为42717=,2712535,271253=⎪⎭⎫ ⎝⎛所以3527125的立方根是. 知识点五:利用计算器求平方根、立方根等.例8（2005年陕西省实验区中考题）用计算器比较大小5(填“＞、＜、＝”).解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目,要注意按键顺序. 311=2.2240, 5=2.2361,故填＜.。

趣说平方根与立方根平方根和立方根犹如一对孪生的姐妹，就象平方与立方这对孪生兄弟一样，她们有着相注：根指数是2．平方根的老家是平方，在2x a=中，x就是a的平方根，记作方根，必须回到她的老家去，想一想什么样的数平方等于这个数？比如要问25的平方根是多少？那你就应先想一想：什么数的平方等于25？因为5±的平方都等于25，所以25的平方根是5±；完全平方数的平方根容易找得到，像1，4，9，16，…的平方根依次是±1，±2，±3，±4，…；而非完全平方数的平方根虽然很难找，但你根本就不须找，只须在它的，在帽子的前面系上一条领带“±”．比如2，3，5，6，…的平方根依次是±．立方根的娘家是立方，在3x a=中，x就是a方根，必须回到她的娘家去，在立方家族中打听一下什么数的立方等于这个数？比如问你125的立方根是多少？你只须打听一下哪家孩子（什么样数）的立方等于125？因为老五家的孩子5的立方等于125，所以125的立方根就是5；立方数的立方根容易找，象，，，，±±±±L±±±±L182764，，，，的立方根依次是1234顶帽子往这个数头上一戴就行了，比如234，，，．±±±L平方根与负数不共戴天，它们老死不相往来，在负数家族中寻找平方根简直就是痴心妄想，只有正数和0才有平方根．任何一个正数a的平方根都是两个形影不离的一对相反数———算术平方根．立方根与人和善，广交朋友，不论a是正数、负数还是0都有立方根，而且有唯一的立平方根与立方根虽然爱好不同，但有一点却是完全一样的，那就是0的平方根是0，立方根也是0，算术平方根还是0．不论是平方根还是立方根，在生活、生产中都离不开它们．例如，正方形的边长是面积的算术平方根，正方体的棱长是体积的立方根．。

第六章平方根与立方根班级：________ 姓名：______________【学习目标】1、知道平方根与立方根的概念，会用根号表示一个数的平方根或立方根2、知道开平方（开立方）与平方（立方）互为逆运算，会用开平方（开立方）运算求某些数的平方根方根）•3、体会一个数的立方根的唯一性，分清一个数的立方根与平方根的区别。

【学习重点】平方根、立方根的求法和应用。

【学习难点】平方根、立方根的应用，立方根与平方根的区别。

【知识要点】1、平方根的性质:（1）一个正数有____ 个平方根，它们（2）___________________ 0的平方根是；（3）_________ 没有平方根.2、立方根的性质：（1）正数的立方根是___________ ;（2）负数的立方根是___________ ;（3）______________________ 0的立方根是3、重要公式:［类型一】求一个数的平方根或立方根一、求下列各式的值A组：⑴苻= _______________ ，⑵- .荷= _____________________(4) 一、- 8 = _____________ (5) _ 1。

3 = _________二、填空题13 =36 = 21623=7 = 34333=83= 51243=93= 72953=103= 1000（立12=62=112=216=256 22=72=122=217 =289 32=82=132=218 =324 42=92=142=219 =361 52=102=152=202=400(2) 7100 = _________ ；(5)± - 36==- _______ (6L(3) - - 8 =3：—27 = ____________(3) ± V52= _______ ,(6)伙-2 j = _______________4、平方表: 立方表: B组：A组：31、2的立方等于_____ ,8的立方根是_____ ; -3 = ________ ,-27的立方根是_______2、4的算术平方根是 ___________ ，平方根是______________________ ; 2是 ______ 的算术平方根.3、(-3)3的立方根是 ________ , (― ij的立方根是 _________ , 0的立方根是__________B组：1、要切一块面积为16平方厘米的正方形钢板，它的边长是_____________ .2、_____________________________________________ 若x是125的立方根，贝U x-7的值是.3、____________________________________________________ 、已知x的平方根是土5,则x+2的立方根是［类型二】利用平方根的性质求值C组：一个正—2a +1和a—4,求这个数.【类型三】开平方(开立方)及相关运算1、求下列各式中x的值：2 2 2A组：(1) x = 4; B 组：(2) 25 x = 36 C 组：(3) (2x —1) = 252、求下列各式中的x:3 3 j 3A组：(1) x = -8 ; B 组：(2) 2 x = 16 C组：(3) (x+3)+27=0课堂小测：得分：____________ A组：（50分）1、..（二2）2的计算结果是（）A.2B. —2C.2 或—2D.42、下列式子中，正确的是（）A. -5--..5B. —3.6= —0.6C. . （-13）2=13D. 36=± 63、一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（）•A. 1 B . _1 C . 0 D . -14、. 11的值在（）A. 1与2之间B.2 与3之间C . 3与4之间D.4 与5之间5、若，二］,则」的值为（）A. B. _ 二 C.4 D. ± 4B组：（30分）&下列运算正确的是（).A. 3-8 --8 B .二-8 二•. 8C. 丁-8 = -V8 D . ： -8 J -87、以下语句及写成式子正确的是（）A、7是49的算术平方根，即、49二-7B、7是（_7）2的算术平方根，即..匸7）2=7C、- 7是49的平方根，即49=7D - 7是49的平方根，即-49= 7C组：（20分）8、一个正数的平方根是2a—1与—a+2，则a = _______ ，这个正数是___________ :。

下册第六章实数内容简介本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算.通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题.虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，它不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备.教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.教学重点1.平方根和算术平方根的概念.2.立方根的概念与性质及求法.3.无理数和实数的概念.教学难点1.平方根与算术平方根的区别于联系.2.立方根的唯一性及负数立方根的意义.3.无理数和实数的理解.课时安排6.1平方根约3课时6.2立方根约2课时6.3实数约2课时小结约2课时机动约2课时6.1 平方根教学目标1.了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根.3.能用有理数估计一个无理数（平方根）的大致范围.教学重点平方根和算术平方根的概念.教学难点平方根和算术平方根的概念.课时安排3课时.教学过程第1课时教学内容算术平方根.一、情境导入 学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为 25 dm 2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 如果这块画布的面积是16 dm 2，这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念．二、新课教学学生思考后回答：边长应该取5 dm .教师：你是怎样算出画框的边长应取5 dm 呢？（学生思考并交流解法） 明确：这个问题相当于在等式x ＝25中求出正数x 的值．一般地，如果一个正数 x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式x 2＝a （x ≥0）中，规定x ＝a .2. 试一试：你能根据等式122＝124说出124的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．注意：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根.三、实例演练例1 求下列各数的算术平方根：（1）100； （2）6449； （3）0.000 1. 解：（1）因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即100＝10；（2）因为287⎪⎭⎫ ⎝⎛＝6449，所以6449的算术方根是87，即876449=； （3）因为0.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是 0.01，即0001.0＝下册0.01.四、探究能否用两个面积为1 dm2 的小正方形拼成一个面积为2 dm2 的大正方形？如上图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 dm2的大正方形．教师：同学们说得很好，还有其他的方法吗？（鼓励学生探究）学生思考，可以采用下列方法：把两个小正方形中的一个沿对角线剪成4部分，然后和另一个小正方形拼在一起，如下图.教师：说得好，你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为x dm，则x2＝2.由算术平方根的意义可知x＝2，所以大正方形的边长是2dm.五、课堂小结1.这节课学习了什么呢？2.算术平方根的具体意义是怎么样的？3.怎样求一个正数的算术平方根六、布置作业教材P47习题6.1第1、2、3题.第2课时教学内容夹值法及估计一个（无理）数的大小.一、情境导入我们已经知道正数x 满足x2＝a，则称x 是a 的算术平方根．当a 恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了；但当 a 不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？二、导入新课1.探究2有多大呢？让学生思考讨论并估计大概有多大.由直观可知大于1而小于2，那么是1点几呢？教材用夹值法来推算2的值，如此进行下去，可以得到2的更精确的近似值．事实上，2＝1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数．实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数．关于“无限不循环小数”，教师要向学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基础．2.提出问题你对正数a的算术平方根a的结果有怎样的认识呢？a的结果有两种情况：当a是完全平方数时，a是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数.3.实例演练例2 用计算器求下列各式的值：（1）3136；（2）2（精确到0.001）.注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值．例3 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？要注意学生是否弄清了题意，然后分析解题思路。