《一元二次方程》课后拓展训练

九年级上册第21章拓展训练（一）一．选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2﹣＝2B．x（x﹣1）＝x2+1C．5x2﹣6y﹣2＝0D．x（x﹣1）＝02．若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠﹣1B．m＝﹣1C．m≥﹣1D．m≠03．关于一元二次方程x2﹣2x+4＝0根的情况描述正确的是（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定4．已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1x2为（）A．5B．﹣5C．﹣3D．35．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝1106．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③7．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝6008．定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．29．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是（）A．x1＝7，x2＝﹣4B．x1＝3，x2＝﹣8C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝410．从﹣2，﹣1，0，1，2，4，这六个数中，随机抽一个数、记为a，若数a使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣4）x+a2＝0有实数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的a的值的和是（）A．﹣2B．0C．1D．2二．填空题11．关于x的方程（m﹣3）x+mx+1＝0是一元二次方程，则m为．12．把一元二次方程（x+1）（3x﹣4）＝（2x+1）2化为一般式为，它的一次项系数是．13．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为．14．若关于x的一元二次方程（a+）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次项系数为0，则a的值为．15．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为．三．解答题16．试说明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．17．计算：（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x；（2）3x2﹣7x+4＝018．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12﹣2kx1﹣x2+2x1x2＝4，求k的值．19．某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．（1）每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？（2）要想平均每天赢利1000元，可能吗？请说明理由．20．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？参考答案一．选择题1．解：A．分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义，A项错误，B．整理得：﹣x＝1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，B项错误，C．含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，C项错误，D．符合一元二次方程的定义，D项正确，故选：D．2．解：∵关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，∴m+1≠0，即m≠﹣1，故选：A．3．解：x2﹣2x+4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×4＝4＞0，故方程有两个不相等的实数根．故选：C．4．解：根据题意得x1x2＝﹣3．故选：C．5．解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．6．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．故选：B．7．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．8．解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，∴△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，∴m＝4，∴a*b＝a（4﹣b），∵b*b＝a*a，∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，而a≠b，∴a+b﹣4＝0，即a+b＝4．故选：B．9．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，∴关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0，即a[﹣（x﹣m+2）]2+b＝0，a（﹣x﹣2+m）2+b＝0满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，解得x1＝﹣7，x2＝4，故选：D．10．解：方程x2﹣2（a﹣4）x+a2＝0有实数解，∴△＝4（a﹣4）2﹣4a2≥0，解得a≤2，∴满足条件的a的值为﹣2，﹣1，0，1，2．方程，解得y＝+2，∵y有整数解且y≠1，∴a＝0，2，4．综上所述，满足条件的a的值为0，2，符合条件的a的值的和是0+2＝2．故选：D．二．填空题11．解：由题意可知：m2﹣2m+1＝2，解得：m＝1±，∵m﹣3≠0，∴m≠3，∴m＝1±，故答案为：112．解：原方程化为：x2+5x+5＝0，∴一次项的系数为：5，故答案为：x2+5x+5＝0，5．13．解：依题意，得：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121．故答案为：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121．14．解：由题意得：﹣（4a2﹣1）＝0，且a+≠0，解得：a＝，故答案为：．15．解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴由根与系数的关系得：α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣4）＝12，故答案为：12．三．解答题16．解：∵a2﹣8a+20＝（a﹣4）2+4又∵（a﹣4）2≥0，∴a2﹣8a+20≠0，∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．17．解：（1）∵3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣；（2）∵3x2﹣7x+4＝0，∴（3x﹣4）（x﹣1）＝0，则3x﹣4＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝．18．解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．∴△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，解得k≤；（2）∵此方程有两个实数根x1，x2，∴﹣（2k﹣1）x1+k2＝0，x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，∴x12﹣2kx1＝﹣（x1+k2），∵x12﹣2kx1﹣x2+2x1x2＝4，∴﹣（x1+k2）﹣x2+2x1x2＝4，∴﹣2k+1﹣k2+2k2＝4，整理得，k2﹣2k﹣3＝0，解得：k1＝3，k2＝﹣1，∵k≤，∴k＝﹣1．19．解：（1）设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750，整理，得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15．∵尽快减少库存，∴x＝15．答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元．（2）不可能，理由如下：依题意，得：：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝1000，整理，得：x2﹣20x+200＝0．∵△＝（﹣20）2﹣4×1×200＝﹣400＜0，∴此方程无实数根，∴不可能盈利1000元．20．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，化简，得：x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．。

一元二次方程（拓展练习）一．选择题1．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣20192．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（）A．2018B．2020C．2022D．20243．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，694．方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．11B．16C．11或16D．不能确定5．一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝2+2，x2＝2﹣2D．x1＝2，x2＝﹣26．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（）A．24B．25C．26D．277．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝08．下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④9．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t＜D．t＞10．用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为（）A．3B．﹣3C．2D．二．填空题11．关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，那么m．12．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1+x2＝，x1x2＝，x12+x22＝．13．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为．14．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三．解答题16．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x2+3x﹣1＝017．解下列方程：（1）3x2+8x﹣3＝0（用配方法）（2）4x2+1＝4x（用公式法）（3）2（x﹣3）2＝x2﹣9（用因式分解法）（4）x2+5x﹣6＝0（用适当的方法）18．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？19．已知关于x的一元二次方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）有实数根．（1）求n的取值范围；（2）当n取最大值时，求方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）的根．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．。

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程拓展训练一．选择题1．已知方程x2﹣（k+1）x+3k＝0的一个根是2，则k为（）A．﹣2 B．﹣3 C．1 D．32．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A． B． C． D．3．设x1，x2是方程x2+10x﹣2＝0的两个根，则+的值是（）A．8 B．5 C．4 D．104．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＞q C．p＝q D．不能确定6．已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1x2为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．37．已知方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＜B．m＞C．m≤D．m≥8．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入4250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（）A．1500 （1+2x）＝4250 B．1500 （1+x）2＝4250C．1500+1500x+1500x2＝4250 D．1500+1500 （1+x）+1500 （1+x）2＝42509．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2011x2，S2＝x12+2011x22，…，S n＝x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（）A．0 B．2011 C．2010 D．201210．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2﹣24x+140＝0，则三角形周长为（）A．24 B．24或28 C．28 D．以上都不对二．填空题11．关于x的方程x2﹣x+c＝0的一个根是3，则c＝．12．若关于x的方程（m﹣1）x﹣x＝1是一元二次方程，则m＝．13．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为．14．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程．15．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．三．解答题16．解一元二次方程：（1）2x2﹣3x﹣1＝0；（2）x2﹣3x+2＝0．17．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？18．汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：a2+b2＝6a+12b﹣45，求△ABC的周长．答案一．选择题1．A．2．C．3．B．4．A．5．A．6．C．7．A．8．D．9．A．10．A．二．填空题（共5小题）11．﹣6．12．﹣1．13．3．14．x2﹣6x+6＝0．15． k＞﹣1．三．解答题（共5小题）16．解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．（2）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1；17．解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，依题意，得：x（28﹣2x）＝80，整理，得：x1＝4，x2＝10．当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．答：这个花圃的长为10米，宽为8米．18．解：（1）设年平均增长率为x，依题意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：年平均增长率为25%．（2）100×（1+25%）＝125（万辆）．答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆．19．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，即a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．20．解：a2+b2＝6a+12b﹣45，a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，则a﹣3＝0，b﹣6＝0，解得，a＝3，b＝6，∵△ABC为等腰三角形，∴三边长分别为3、6、6，∴△ABC的周长为3+6+6＝15．。

一元二次方程拓展训练列方程解决应用问题1．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折）2．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）3．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？4.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）（第7题）5．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？6.商场销售某种空调，每台进价为2500元，市场调查表明当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每台降低50元时，平均每天能多售出4台，要想使这种空调的销售利润平均每天达到5000元，请问：每台空调的定价应为多少元？7.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案供其选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修每平方米80元，试问：哪种方案更优惠？8.小明家有一块长m 8、宽m 6的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值．9. 如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm ，宽为15cm ，厚为1cm ，现有一张面积为875cm 2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度；（2）若有一张长为60cm ，宽为50cm 的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？10.某西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元／千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？11.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆．。

九年级上册第21章拓展训练一．选择题1．下列方程属于一元二次方程的是（）A．x2+y﹣2＝0B．x+y＝3C．x2+2x＝3D．x +＝52．方程9x2＝8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（）A．9x2，8x，2B．﹣9x2，﹣8x，﹣2C．9x2，﹣8x，﹣2D．9x2，﹣8x，23．一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，二次项系数为3，它的一次项系数和常数项分别是（）A．1、2B．﹣1、﹣2C．3、2D．0、﹣24．一元二次方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝0B．x1＝1，x2＝0C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝x2＝15．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．x（x+1）＝110B ．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝1106．已知（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，那么a2+b2的值是（）A．2B．﹣4C．2或﹣4D．不确定7．关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（）A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0第5页（共13页）8．一元二次方程y2+y＝0，配方后可化为（）A．（y +）2＝1B．（y ﹣）2＝1C．（y +）2＝D．（y ﹣）2＝9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≠0B．m ≤C．m ＜D．m ＞10．已知a≠b且a2﹣a＝6，b2﹣b＝6，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3二．填空题11．若2是方程x2﹣c＝0的一个根，则c 的值为．12．将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式为．13．某校棋艺社开展围棋比赛，共m位学生参赛．比赛为单循环制，所有参赛学生彼此恰好比赛一场，记分规则为：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，有所有参赛者的得分总和为76分且平局的场数不超过比赛场数的，则m ＝．14．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别为和．15．关于x的一元二次方程（2k+3）x2﹣x﹣＝0有实数根，则常数k的取值范围是．三．解答题16．解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；第5页（共13页）（2）x2+2x﹣1＝0．17．（1）解方程：2x2+5x+3＝0（2）某校为解决大班额问题，拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、86分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占50%，面试占10%，求该名教师的综合成绩？18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0．（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．（2）若m＝﹣1时，求的值．第5页（共13页）19．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0．（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为3，求m的值及另一个根．20．知识经验我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即：如果a•b＝0，那么a＝0，或b＝0．知识迁移第5页（共13页）I解方程：（x+1）（x+2）＝0．解：（x+1）（x+2）＝0．∴x+1＝0，或x+2＝0．∴x1＝1，或x2＝﹣2．Ⅱ解方程：x2+6x﹣7＝0．解：x2+6x﹣7＝0．∴x2+2×3x+32﹣32﹣7＝0．∴（x+3）2﹣16＝0∴（x+3）2﹣42＝0．∴（x+3+4）（x+3﹣4）＝0．∴（x+7）（x﹣1）＝0∴x+7＝0，或x﹣1＝0．∴x1＝﹣7，或x2＝1．理解应用（1）解方程：x2﹣10x﹣39＝0．拓展应用（2）如图，有一块长宽分别为80cm，60cm的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子．求所剪去的小正方形的边长．第5页（共13页）第5页（共13页）参考答案一．选择题1．解：A、该方程中含有2个未知数，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；B、该方程中含有未知数的项的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；C、该方程符合一元二次方程的定义，此选项符合题意；D、该方程中含有分式，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意．故选：C．2．解：方程整理得：9x2﹣8x﹣2＝0，则二次项、一次项、常数项分别为9x2，﹣8x，﹣2．故选：C．3．解：方程整理得：3x2﹣x﹣2＝0，则方程的一次项系数和常数项分别是﹣1，﹣2．故选：B．4．解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1．故选：B．第5页（共13页）5．解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．6．解：设a2+b2＝y，则原方程可化为：（y+2）y＝8，解得：y1＝﹣4，y2＝2，∵a2+b2＞0，∴a2+b2＝2．故选：A．7．解：由题意可知：|m|＝2，且m+2≠0，所以m＝±2且m≠﹣2．所以m＝2．故选：B．8．解：∵y2+y＝0，∴y2+y ＝，则y2+y +＝+，即（y +）2＝1，故选：A．9．解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，解得：m ≤，第5页（共13页）。

实际问题与一元二次方程拓展训练1.某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率. 工厂3月份和4月份的平均增长率为20%.2. 小明将勤工俭学挣得的100元钱，按一年定期存入“少儿银行”，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。

这种存款的年利率为10%。

3.某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工成花生油50kg），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的一半，求：新品种花生亩产量的增长率.新品种花生亩产量的增长率是20%.4. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？每件衬衫降价15元时，平均每天获利最多.5. 制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使第二个月的销售利润达到原来的水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？该产品的成本价平均每月应降低10%.6. 巴中日报讯：今年我市粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x, 则可列方程为（）B7. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为________. 10％8. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．9. 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

一元二次方程1. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）A. 21503x x -+=B. 2134x x x +=C. 2110x x--= D. 2111x x =+- 2. 一元二次方程的一般形式是 （ ） A. ax 2＋bx ＋c ＝0B. ax 2＋bx ＋c (a ≠0)C. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)D. ax 2＋bx ＋c ＝0(b ≠0) 3. 若px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. p ＝1B. p ＞0C. p ≠0D. p 为任意实数4. 关于x 的一元二次方程（3－x ）（3＋x ）－2a （x ＋1）＝5a 的一次项系数为 （ ）A. 8aB. －8aC. 2aD. 7a －95. 若（m 2－4）x 2＋3x －5＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. m ≠2B. m ≠－2C. m ≠－2，或m ≠2D. m ≠－2，且m ≠26. 把方程x (x ＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 .7. 已知0是关于x 的方程（m ＋3）x 2－x ＋9－m 2＝0的根，则m ＝ .8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为8m 2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m ，根据题意得方程 . （不解）9. 若关于x 的方程kx 2＋3x ＋1＝0是一元二次方程，则k .10. 当m 时，方程（m －1）x 2－(2m －1)x ＋m ＝0是关于x 的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x 的一元二次方程.11.已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b --的值.12. 如图所示，有一个面积为120m 2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m ，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）13. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？参考答案1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. ]2. C3. C[提示：二次项系数不为0. ]4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为x 2＋2ax ＋7a －9＝0，其中一次项系数为2a . 故选C. ]5. D[提示：二次项系数m 2－4≠0. ]6. x 2＋x －2＝0 1[提示：∵x(x ＋1)＝2，∴x 2＋x －2＝0. ]7. ±3[提示：此题分两种两种考虑. 当m ＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m ＋3≠0时，方程化为一元二次方程. ] 8. 2182x =[提示：S 等腰直角三角形＝12⨯两腰乘积. ] 9. ≠0[提示：一元二次方程成立的条件为二次项系数不为0. ]10. ＝1 ≠1[提示：考查一元一次方程、一元二次方程成立的条件. ]11. 提示：本题综合考查一元二次方程解的概念和分式的化简及整体代入思想.解：把x ＝1代入一元二次方程ax 2＋bx －40＝0，得a ＋b －40＝0，∴2222a b a b -=-()()2()a b a b a b +-=- 4020.22a b +== 12. 解：设平行于墙的边长为x m ，则垂直于墙的边长为322x -m ，由题意得x ·322x -＝120，即x 2－32x ＋240＝0. 13. 解：能，根据题意得x 2＋3x ＋2＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，即x 2＋3x ＋2＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋c )，123,2,a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，∴解得11,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，。

21.3实际问题与一元二次方程1.生产一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次的降低率为（）A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%2.一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3 cm，长不变，它就变成正方形，则该矩形的面积是（）A. 43cm2 B.274cm2 C.9 cm2 D.27 cm23. 2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机.受金融危机的影响，某商品的原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（）A.200（1+a%）2＝148B. 200（1－a%）2＝148C. 200（1－2a%）＝148D. 200（1－a2%）＝1484.某工厂把500万元资金投入到新产品生产中，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获得利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增长了8%，如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设第一年的利润率为x，那么所列方程为 .5.菱形的两条对角线长之比为2∶5，且菱形的面积为20 cm2，那么这个菱形的周长为 .6.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了10份合同，则参加商品交易会的公司有家.7.一个凸多边形它共有14条对角线，则这个多边形为边形.8.有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，则每轮传染中平均1人传染了人.9.已知线段AB的长为2，点C是线段AB上一点，且AC2＝BC·AB，则线段AC的长为 .10.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的12，求新品种花生亩产量的增长率.参考答案1.D2.B3.B4.500（1+x）（x+8%）＝1126.57.78.6110.解：设新品种花生亩产量的增长率为x.根据题意，得200（1+x）·5%·1(1)1322x+=，整理，得x2+3x－0.64＝0，解得x1＝－3.2，x2＝0.2由于增长率不能是负数，所以x＝－3.2不符合题意，故舍去.所以x＝0.2＝20%.答：新品种花生亩产量的增长率为20%.。

一元二次方程的解法1.一元二次方程2340x x +-=的解是 （ ）A.121,4x x ==-B.121,4x x =-=C.121,4x x =-=-D.121,4x x ==2.已知一元二次方程210x x --=，下列判断正确的是 （ ）A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定3.下列四个说法中，正确的是 （ ）A.一元二次方程2452x x ++=有实数根B.一元二次方程245x x ++=C.一元二次方程245x x ++=有实数根D.一元二次方程245(x x a a ++=≥1）有实数根4.一元二次方程2560x x -+=的两根分别是12,,x x 则12x x +等于 （ ）5.已知方程2520x x -+=的两个解分别为12,x x ，则1212x x x x +-的值为（ ）6.一元二次方程220x x +-=的两根之积是 （ ）B.-2C.17.一元二次方程2260x -=的解为 .8.方程240x x -=的解是9.方程2310x x -+=的解是 .10.如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是11.方程2210x x --=的两个实数根分别为12,x x ，则（12(1)(1)x x --= 12.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是13.若关于x 的方程230x mx -+=有实数根，则m 值可以为 （任意给出一个符合条件的值即可）14.已知12,x x 为方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++= 15.（1）解方程2660x x --=；（2）解方程22760x x -+=.16.已知11x =-是方程250x mx +-=的一个根，求m 的值及方程的另一根2.x参考答案［提示：原方程可化为(4)(1)0.x x +-=］［提示：24141(1)50.b ac -=-⨯⨯-=>］［提示：只有满足∆≥0，方程才有实数根.］［提示：方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根之和为b a-］ ［提示：易知12125,2x x x x +=•=，故原式＝5-2＝3.］［提示：方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根之积为c a .］7.12x x =［提示：由2260x -=得23x =.］8.120,4x x ==［提示：原方程可化为(4)0x x -=.］9.123322x x +==［提示：运用求根公式解方程.］ 10.1a <且0a ≠［提示：当a =0时，方程为一元二次方程，有一个实根，当0a ≠时，方程为一元二次方程，若440a ∆=->，即1a <,则方程有两个不等实根.］［提示：易知12122,1x x x x +==-，故121212(1)(1)()1121 2.x x x x x x --=-++=--+=-］12.m ≤54且m ≠1［提示：依题意得解得m ≤54且m ≠1】 13. 20［提示：答案不唯一，只要满足212m -≥0即可.］［提示：先用求根公式求出方程的根，再代入求值］15.解（1）1,6,6,a b c ==-=-224(6)41(6)600,b ac ∴-=--⨯⨯-=>12333x x x ∴===±=+=(2)2,7,6,a b c ==-=224(7)426494810,b ac ∴-=--⨯⨯=-=>(7)171,224x --±±∴==⨯123, 2.2x x ∴== 16.解：依题意得2(1)(1)50m -+-⨯-=，解得4,m =-当4m =-时，方程为2450x x --=，解得121,5x x =-=，所以方程的另一根25x =.14(1)m ∆=--≥0，m -1≠0，。

北京十一学校初二数学培优讲义——一元二次方程班级____________姓名____________一、解法综合1．关于x 的方程02q px x 与02p qx x有一个公共根，则2qp 的值是____________．2．若方程0622kx x 的两个根为素数，则k____________．3．设a b c 、、为ΔABC 的三边，且两个方程：2220xax b和2220xcx b有一个公共根，证明ΔABC 一定是直角三角形．4．解方程：16252736x x x x x x x x .5．设x a yb是方程组223515x y ymx的解；x c yd是方程组223515350xyx my的解，求证：2222d cb a是与m 无关的定值．6．对于任意实数k ，方程22221240kxa kx kk b 总有一个根是1，试求实数a b ，的值及另一个根的范围．7．解方程：22323160x x 8．解方程：212322xx9．解方程：2222223211x x axbab x10．解方程：210abxa b x 11．解方程：222320xbx a ab b12．02)1(3122xx xx13．135322x x xx14．223152512x x xx 15．2451x x16．已知关于x 的方程0483222m mmx x ．（1）求证：当2m 时，原方程总有两实数根．（2）若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围．二、判别式的应用1．已知方程220xx m没有实数根（m 为实数），则关于x 的二次方程222212110xmx m x的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）无实数根（D ）无法确定2．已知方程220x x m 没有实数根，其中m 是实数．试判定方程2210xmx m m 有无实数根．3．已知常数a 为实数，讨论关于x 的方程22210a xa x a 的实数根的个数情况．4．关于x 的一元二次方程221204a xax有实根，其中a 是实数，求9999a x 的值．5．若方程2222134420x a x a ab b 有实根，求a b ，的值．6．△ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程22120xx m的两个根，求m 的取值范围．7．x y ，为实数，且满足221x yxx ，求y 的最大值和最小值．8．如果关于x 的方程22250mx m x m 没有实根，那么关于x 的方程25220m xm x m 的实根个数为（）（A ）2个（B ）1个（C ）0个（D ）不确定9．已知关于x 的方程222110m x m x m 有实数根，求m 的非负整数值．10．若关于x 的方程2230ax ax 有实数根，求a 的取值范围．三、根与系数的关系1．设12x x ，是方程0322mxx 的两个根且72821x x ，则m 为（）A ．1B ．2C ．-1D ．０2．若12x x ，是方程224(35)60x m x m的两根且2123x x ，则m 的值为（）A ．m =5B ．m =１C ．m =1或m =5D ．m =０3．已知21,x x 是方程20x px q 的两个根，且1(5)x ，2(5)x 是方程20xqx p 的两个根，则p q 的值为（）A ．-3B ．-4C ．3D ．44．关于x 的方程231504x xa的解的一个根是另一个根的平方，则实数a 的值是（）A 、25aB 、23aC 、2325或aD 、0a5．若方程0342m x x 的一个根大于2，另一个根小于2，则m 的取值范围是（）A 、1mB 、1mC 、1m D 、1m 6．若12x x ，是方程0352x x的两根，则以12x x ，2122x x 为两根的新方程为_______．7．关于x 的一元二次方程2251xx m有实根a 和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m 的取值范围．（答案151522m）8．关于x 的方程250x mx m 的两个实数根为α，β，2811570x m x m 的两个实数根为α，γ，求112的值．9．方程219981997199910xx 的大根为a ，方程2199819990xx 的小根为b ，求a b 的值．10．设方程24230xx 的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．11．已知α，β分别是方程210xx 的两个根，求5325的值．12．已知12x x 、是方程24440axaxa的两个实根．（1）是否能适当选取a 的值，使得122122x x x x 的值等于54？（2）求使222112x xx x 的值为整数的a的值（a 为整数）．13．设12x x 、是方程230x x 的两根，那么3212419xx 的值是（）（A ）-4（B ）8 （C ）6（D ）014．如果m n ，是两个不相等于的实数，且满足122m m ，122n n，那么代数式199944222nnm．15．已知2550p p ，25210qq 其中p q ，为不相等实数，求221qp的值．四、关于方程的整数根1．设m 为整数，且440m ，方程2222341480xm x mm 有两个整数根，则m =____________．2．已知关于x 的方程222238213150a x aa x aa （其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值．（答案135a 、、）3．已知关于x 的方程260xa x a的两根都是整数，求a 的值．（答案016a 、）4．已知k 为整数，且关于x 的方程221331180k xk x 有两个不相同的正整数根，求k 的值．6．已知a 是实数，且关于x 的方程x2-ax+a=0有两个实根u ，v ，求证：u2+v2≥2(u+v)例5 △ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程2x 2-12x+m=0 的两个根，求m 的取值范围．。