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三重积分的概念和计算方法(2)

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三重积分

三重积分

∫∫∫ ( x2 + 5xy2 sin x2 + y2 )d x d y d z, 其中 Ω
Ω 由 z = 1 (x2 + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
解: I = ∫∫∫Ω x2 d x d y d z+ 5 ∫∫∫Ω xy2 sin x2 + y2 d x d y d z
利用对称性
∫∫ ∫ 记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z = z1(x, y)
y xD
dxd y 微元线密度≈ f (x, y, z) dxd y
1
例 1 化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
Ω
次积分，其中积分区域Ω为由曲面 z = x2 + 2 y2
Ω
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
∫∫∫Ω
f
(
x,
y,
z
)
d
v
=
∫b a
d
z
∫∫DZ
f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f (x, y, z)d v = Ω
b
dx
y2 (x) d y
a
y1( x)
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
z1( x, y)
z
1
o
1
x
y
1
例 3 化三重积分∫∫∫ y 1 − x2dxdydz为三次积分，其中 Ω
Ω 由曲面 y = − 1 − x2 − z2 ， x2 + z2 = 1， y = 1所围成.

第三节三重积分的概念与计算

第三节三重积分的概念与计算
过 z轴且平行 xoy平面的平面去截 ，得截面
Dz ，则三重积分的计算可化为先对
z
x，y 求二重积分，再对 z 求定积分， b
即
Dz
f(x, y,z)dxdydz
b
a
dz f(x,y,z)dxdy
第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )，求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 V i
x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只 ， 看 z的 将 作 函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
再计F算 (x,y)在闭区 Dx间 y上的二重积分
f(x ,y ,z )d vF (x ,y )d[z 2 (x ,y )f(x ,y ,z )d ] d z.
VVdxdydz
例 3 求由曲面 z x2 2 y2及z 2 x2所围成 的闭区域 的体积.
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域 x2y21,
故 {x (,y,z)|x22y2z2x2,(x,y) D x}y 其D x 中 y {x (,y)|x2y21 }
的体积 1dxdydz
Dxy
Dxy
1
1x
xdx2 (1x2y)dy

三重积分的概念和计算方法

三重积分的概念和计算方法

三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。

本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。

1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。

在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。

2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。

3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。

3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。

对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。

3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。

常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。

3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。

对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。

根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。

3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。

对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。

根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。

4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。

常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。

5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。

三重积分的概念与计算

三重积分的概念与计算
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称

z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz

0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,

由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,


则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性

三重积分

三重积分

21
I f ( x , y , z )dxdydz

c2 z
z
Dz
其中 {( x , y , z ) | c1 z c2 , ( x , y ) Dz }

先做二重积分，后做定积分
I=

c2
c1
dz f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
x 2016年10月27日星期 四
2
1
8 . 2016年10月27日星期
四
20
（2）“先二后一” 计算方法
I f ( x , y , z )dxdydz

c2
z
其中 {( x , y , z ) | c1 z c2 , ( x , y ) Dz }

z
Dz
先做二重积分，后做定积分
c1
0 y
x 2016年10月27日星期 四
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
6
2
y
x 27日星期 2016年10月 6 四
11
1. 化 I f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分， ：平面 y = 0, z = 0， 3x+y = 6, 3x+2y = 12 和 x+y+z = 6 所围成的区域
6 z
x+y+z=6
y2=x
y=0 o
D

0
2
x
I dxdy
z=0
2
2016年10月27x 日星期 四


D
π x 2 0

三重积分及其计算

三重积分及其计算

三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。

它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。

一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。

三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。

二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。

1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。

将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。

2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。

即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。

常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。

具体的变换公式可参考相关数学教材。

三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用。

1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。

三重积分

I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
z z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
Ω
I =∫∫ dxdy∫z ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
1
z2 ( x, y )
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
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例3. 计算三重积分
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
.
c2
c1
dz ∫∫ f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y

10.3三重积分


M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由

8-3(1)三重积分

1 ∫∫ dxdy = 2(1 − z )(1 − z ) D 1 1 1 2 . 原式= ∫ z ⋅ (1 − z ) dz = 0 2 24
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.

(完整版)10.3三重积分(新)

0
8
dz
2
2
d
0
4 r 2 rdr
2
8
r2 dz
2
336
另 解2
8
I dz
( x2 y2 )dxdy
2
Dz
8
2
dz d
2z r 3dr
2
0
0
336 24
4、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数
r，， 来确定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离， 为有向 线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自x 轴按逆时
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
例1. 计算三重积分 (x2 y2 z2) d xd yd z ,其中为
锥面 z x 2 y 2 与球面 x2 y 2 z 2 R2 所围立体.
0rR
解:
在球面坐标下
:
0
0
4
b
(
( y2 ( x)
z2( x, y) f ( x, y, z)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1( x)
z1( x, y)
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z 其中为 z
针方向转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M 在 xoy 面上的投
影，这样的三个数r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2.
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a dx y1 ( x ) dy z1 ( x , y )
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭 区域 的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
( 2) 若平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与 闭区域 的边界曲面 S 相交多于两点时，把 分若干个小区域来讨论 ．
Dz
Dz
Dz {( x , y ) |
x a
2 2

y b
2 2
1
z c
2 2
}
o
y
x
Dz {( x , y ) |
x a
2 2

y b
2 2
1
z c
2 2
}
因此，
dxdy
Dz
a (1
2
z c
2 2
)
b (1
2
z c
2 2
)
ab(1
z c
2 2
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。 ( 2) D向 y 轴投影，得到
z
z2
x1 ( y ) x x1 ( y ), D: c y d.

z1
( 3) 过点 ( x , y ) D 作直线,
o
c
d
y
( x, y)
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体 积元素.
三重积分的性质与二重积分的类似。 特别地， 被积函数 f ( x , y , z ) 1时，


dv 的体积.
二、三重积分的计算
直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图，闭区域 在 xoy
面上的投影为闭区域 D , S1 : S2 : z z1 ( x , y ), z z 2 ( x , y ),
( i 1, 2, , n ) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中
的 最大值 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极 限 为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上的三重积分，记为


f ( x , y , z )dv ,即
n
其中dv 叫做体积元素 .


f ( x , y , z )dv lim
F ( x, y)
z1 ( x , y )
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
是 x、y 的函数。
计算 F ( x , y ) 在闭区间 D 上的二重积分
z2 ( x , y ) F ( x , y )d f ( x , y , z )dz d . z1 ( x , y ) D D
三重积分化为三次积分的过程：
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。 ( 2) D向 x 轴投影，得到
a x b, D: y1 ( x ) y y2 ( x ).
z
z2

z1
a
b
o
( x, y)
D
y
( 3) 过点 ( x , y ) D 作直线,
得到 z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ).
a
b
z1
z
zz z1 ( x , y )
过点 ( x , y ) D 作直线,
从 z1 穿入，从 z2 穿出．
o
D
y
( x , y ) y y2 ( x )
x
y y1 ( x )
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )只看作 z 的函数，则
D : y1 ( x ) y y2 ( x ),
a x b,
y2 ( x ) z2 ( x , y )
得
f ( x , y , z )dz .


f ( x , y , z )dv
a dx y1 ( x ) dy z1 ( x , y )
b


f ( x , y , z )dv
x
a x b, 事实上， : y1 ( x ) y y2 ( x ), z ( x , y ) z z ( x , y ). 1 2


f ( x , y , z )dv
a dx y1 ( x ) dy z1 ( x , y )
b
y2 ( x )
0 i 1

f ( i , i , i )v i .
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面 来划分 ,
则 v i x j y k z l .
三重积记为


f ( x , y , z )dxdydz lim
0 i 1

n
f ( i , i , i )v i .
),
原式
4 3 abc . ab(1 ) z dz 2 c 15 c
c
z
2
2
例 5 利用对称性与函数的奇偶性计算三重积分
( x y z ) dxdydz
2

，其中 是由椭球面
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1 所成的空间闭区域.
z
Dz
o
y
x
提 示
1
1 x 2
z
1
x dxdydz

0 dx 0
1 . 48
dy
1 x 2 y
0
xdz
o

1
y
1 2
D
x
例2
化三重积分 I


f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，
2 2
其中积分区域 为由曲面 z x 2 y
z 2 x
2
及
所围成的闭区域.
因此， I
1 dx
1
1 x
2 2
1 x
dy
2 x
2
2 2
x 2 y
f ( x , y , z )dz .
截面法的一般步骤：
z (1) 把积分区域 向某轴（例如 轴）投影，得投影
区间[c1 , c2 ] ；
z (2) 对 z [c1 , c2 ] 用过 轴且平行 xoy 平面的平面去截
，得截面 Dz ;
Dz
z
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4) 最后计算单积分
c2
c1
F ( z )dz 即得三重积分值.
例3
计算积分 e

2
z
2
dxdydz
其中是由z x y 与z 1围成的闭区域。


f ( x , y , z )dv
a dy z1 ( y ) dz x1 ( y , z )
b
z2 ( y )
x2 ( y , z )
f ( x , y , z )dx.
例1
计算三重积分 xdxdydz，其中 为三个坐标

面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域.
x1
x2

a
b
o
( y, z )
D
z
( 3) 过点 ( y , z ) D yz 作直线,
得到
x1 ( y , z ) x x2 ( y , z ).
y
事实上，
x1 ( y , z ) x x1 ( y , z ), : a y b, z ( y ) z z ( y ). 1 2
2
例 4 计算三重积分 z dxdydz，其中 是由椭球

2
面
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1 所成的空间闭区域.
x a
2 2
解
: {( x , y , z ) | c z c ,
原式
c 2

y b
2 2
1
z c
z
2 2
}
c
z dz dxdy,
x2 ( y )
x1 ( y )
dx
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
x
(1) 向 yoz 面上投影，得到D yz。 ( 2) D yz向 y 轴投影，得到
z1 ( y ) z z1 ( y ), D: a y b.
D
得到 z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ).
x
x1 ( y ) x x1 ( y ), : c y d, z ( x , y ) z z ( x , y ). 1 2
事实上，


f ( x , y , z )dv
c
d
dy
解
z x2 2 y2 由 , 2 z 2 x
得交线投影区域 x y 1,
1 x 1 2 2 故 ： 1 x y 1 x , 2 2 2 x 2y z 2 x
2
2
1 x 1 2 2 故 ： 1 x y 1 x , 2 2 2 x 2y z 2 x
一、三重积分的定义