三年级举一反三 第30讲 用还原法解题

第1讲找规律一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。

如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。

按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。

寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。

善于发现数列的规律是填数的关键。

二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数。

（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）练习1：在括号内填上合适的数。

（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）练习2：按规律填数。

（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（）（3）1，2，5，13，34，（）（4）1，4，9，16，25，36，（）练习3：按规律填数。

（1）2，3，5，9，17，（），（）（2）2，4，10，28，82，（），（）（3）94，46，22，10，（），（）（4）2，3，7，18，47，（），（）【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

（1）（3）练习4（1）（3）【例题（1）（2）练习5（1）198，297，396，（），（）（2）（3）2一、知识要点把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。

三年级奥数举一反三第293031周年龄问题还原法解题假设法解题第二十九周年龄问题专题简析：年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两个人年龄的倍数关系却在不断地变化。

年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。

我们可以抓住差不变这个特点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。

例题1 三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？思路导航：由题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁正好是女儿年龄的4倍，女儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋3=13岁。

练习一1，四年前小林年龄是小丽的2倍，小林今年12岁，小丽今年多少岁？2，五年前爷爷年龄是孙子的7倍，孙子今年14岁，爷爷今年多少岁？3，儿子今年10岁，爸爸今年34岁。

几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？例题2 明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。

今年明明12岁，妈妈今年多少岁？思路导航：妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。

妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。

练习二1，玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的5倍。

今年爸爸40岁，玲玲今年多少岁？2，爷爷63岁时，他的年龄是小青的9倍。

今年小青12岁，爷爷今年多少岁？3，两年前妈妈年龄是儿子的5倍，儿子今年9岁，妈妈今年多少岁？例题3 女儿今年3岁，妈妈今年33岁。

几年后，妈妈的年龄是女儿的7倍？思路导航：女儿今年3岁，妈妈今年33岁，她们的年龄差是33－3=30岁。

她们年龄差不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的3倍，把女儿的年龄看作1份，妈妈的年龄就有7份，相差7－1=6份，6份是30岁，所以几年后女儿的年龄是30÷6=5岁。

也就是说，5－3=2年后，妈妈的年龄是女儿的7倍。

第三十周用还原法解题专题简析：“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。

解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。

解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。

同时，可利用线段图表格帮助理解题意。

例题1 一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。

思路导航：我们可以从最后的结果432出发倒着推想。

最后是乘8得432，如果不乘8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，应该是54－15=39；如果不减去24，那应该是39＋24=63。

因此，这个数是63。

练习一1，一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3。

这个数是几？2，一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。

3，一个数缩小2倍，再缩小2倍得80，求这个数。

例题2 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。

这段布原来长多少米？思路导航：根据题意，画出线段图。

？米8米余下的一半全长的一半从上面的线段图可以看出：剩下的8米和余下的一半同样多，那么原长的一半是：8×2=16米，原来长：16×2=32米。

练习二1，某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩10只西瓜。

原有西瓜多少只？2，某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。

甲、乙两地相距多少千米？3，有一箱苹果，第一次取出全部的一半多1个，第二次取出余下的一半多1个，箱里还剩下10个。

箱里原有多少个苹果？例题3 甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数同样多。

乙原来比丙多多少本？思路导航：因为乙给丙5本后，两人同样多，可知乙比丙多5×2=10本，而这10本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10－3=7本。

三年级奥数：还原法解题，逆向思维解题方法
还原法也叫倒推法,还原法解题的特征是必须从问題的结果入手,反用题目中的条件,最后求出原有的数量。

我们把能够使用还原原法解题的问题就叫做还原问题或倒推问题。

符号、线段图和图表是解还原问题的三种常用方法。

今天我们重点学习符号还原。

符号还原:用流程图表示某个数经过加、减、乘、除的变化过程,然后从结果入手倒推,倒推时符号相反。

下面我们就通过一些具体的例子来说明一下。

例题1
当我们在倒推的时候，需要注意原来那一步是加的，倒推就要变成减，原来是乘的就要变成除。

这种类型的题目，需要我们找准倒推的方式，有些小朋友经常容易漏掉推算的步骤，或者没有变符号，导致前功尽弃。

例题2
在画流程图的时候，遇到“一半”可以用除以2表示。

根据题目给出的最后结果3往前倒推，除以2的对应就是乘以2。

若题目中出现的是“一半多几”，则画图时要减掉这个多的，若出现“一半少几”，则画图时要加上这个少的。

下面我们用例题3来具体说明这样的问题。

例题3
当我们在画流程图时，要注意，多用的时要减去的，因为流程中的每下一步都是用过后剩下的数，同样的道理少用的要加上。

下面我们来看一些练习：
1、一个数加上3，乘以4，除以5，再减去6，结果是2，求这个数是多少？
2、一个数加上8，乘以8，除以8，结果还是8，这个数是多少？
3、一桶油，第一次用去全部的一半，第二次用去余下的一半，还剩12千克，求这桶油原来有多少千克？
答案请往下翻，（做完再看答案哦）。

参考答案：1、7；2、0；3、48。

用还原法解题专题简析：“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。

解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。

解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。

同时，可利用线段图表格帮助理解题意。

例题1 一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。

思路导航：我们可以从最后的结果432出发倒着推想。

最后是乘8得432，如果不乘8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，应该是54－15=39；如果不减去24，那应该是39＋24=63。

因此，这个数是63。

练习一1，一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3。

这个数是几？2，一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。

3，一个数缩小2倍，再缩小2倍得80，求这个数。

例题2 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。

这段布原来长多少米？思路导航：根据题意，画出线段图。

？米8米余下的一半全长的一半从上面的线段图可以看出：剩下的8米和余下的一半同样多，那么原长的一半是：8×2=16米，原来长：16×2=32米。

练习二1，某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩10只西瓜。

原有西瓜多少只？2，某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。

甲、乙两地相距多少千米？3，有一箱苹果，第一次取出全部的一半多1个，第二次取出余下的一半多1个，箱里还剩下10个。

箱里原有多少个苹果？例题3 甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数同样多。

乙原来比丙多多少本？思路导航：因为乙给丙5本后，两人同样多，可知乙比丙多5×2=10本，而这10本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10－3=7本。

三年级还原问题→ 老师还原问题概述：本文档旨在介绍三年级还原问题，并提供教师还原问题的方法。

还原问题是一种让学生研究并解决具有多种可能答案的问题的教学方法。

问题描述：还原问题通过给出一组信息，让学生从中找出规律并推导出正确答案。

在三年级的数学教学中，还原问题特别重要，因为它鼓励学生进行创造性思考和推理。

还原问题的例子：假设有一道题目如下：小明有一些水果，其中一半是苹果，他给了小红三个水果，然后还剩下五个水果。

请问小明一共有多少水果？解决方法：老师可以采用以下步骤来引导学生解决这个问题：1. 学生首先需要理解题目的意思。

提醒学生题目中给出了一些信息，他们需要利用这些信息来找到答案。

2. 学生可以通过画图或使用物品来模拟问题，将问题具象化。

例如，他们可以使用纸牌或小球来表示水果。

3. 学生需要分析问题中给出的条件。

在这个例子中，学生需要理解"一半是苹果"、"给了小红三个水果"和"还剩下五个水果"这些条件。

4. 学生可以使用逻辑推理和数学运算来解决问题。

例如，在这个例子中，学生可以用代数方程式来表示问题，如：若总数为X，那么X/2-3=5。

5. 学生需要解方程求解X的值。

他们可以通过简单的代数运算来计算出X的值，从而得到答案。

还原问题的教学目的：通过引导学生解决还原问题，教师可以达到以下教学目的：1. 培养学生的观察力和分析能力，通过观察和分析问题中的信息，找出答案的线索。

2. 增强学生的创造性思维和推理能力，通过推理和逻辑思考找到问题的解决方法。

3. 培养学生的解决问题的能力，通过独立思考和尝试找到最终答案。

4. 提高学生的数学运算能力，通过应用数学知识解决还原问题。

总结：还原问题是一种激发学生思维和培养解决问题能力的教学方法。

通过引导学生使用观察、推理和运算的方法解决问题，教师可以帮助三年级学生提高数学素养和解决问题的能力。

第30讲：“还原”解题专题简析：“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几呢”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，这类问题我们通常把它叫做还原问题。

解答还原问题一般采用倒推法，简单说就是倒过来想。

解答还原问题，我们可以根据题意从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推，直到问题解决。

同时可利用线段图、表格来帮助我们理解题意。

【例题1】小芳问爷爷现在多大年纪。

爷爷说：“把我的年龄加上25再除以4，减去15后乘10，正好是100岁。

”爷爷现在多少岁？【习题一】1、小明问爷爷今年多大年纪。

爷爷说：“把我的年龄加上18，除以4，再减去20，然后用9乘，恰好是27岁。

”爷爷今年多少岁？2、牧童正在草地上放羊，一位旅行者问牧童：“你这群羊有多少只？”牧童回答：“把我的羊的只数除以6，乘3，加上2，再乘2，正好等于100。

请你算算我有多少只羊？”3、四年级的小红与小英正在玩扑克牌游戏。

小红手中的牌“J”代表11，“Q”代表12，“K”代表13，小红叫小英从她手中任意抽一张牌，把代表这张牌的数先减去6，再加上9，然后除以3，最后乘以2.小英按照小红说的依次计算，最后把得数10告诉了小红。

请问小英抽到的是哪张牌？【例题2】甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本连环画、乙给丙5本连环画后，三个人连环画的本数同样多。

原来乙比丙多多少本连环画？【习题二】1、小松、小明、小航各有玻璃球若干个。

如果小松给小明10个玻璃球、小明给小航6个玻璃球后，三人玻璃球的个数同样多。

小明原来比小航多多少个玻璃球？2、甲、乙、丙三个组各有一些图书。

如果甲组借给乙组13本图书后，乙组又送给丙组6本图书，这时三个组图书的本数同样多。

原来乙组和丙组哪个组的图书多？多几本？3、甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张。

如果甲给乙13张年历卡，乙给丙23张年历卡，丙给甲3张年历卡，那么他们每人各有30张年历卡。

还原问题一、知识要点一些应用题,如果从条件分析解答不太容易,但如果从题目所求的问题入手进行思考分析,利用已知条件一步步倒着推理,就比较容易解决问题,这种倒过来思考问题的方法,就就是还原法。

用还原法解题,关键就是从最后一步结果出发,依照题意顺次逐步向前推理,每一步运算都就是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘,同时列式时要注意运算顺序,并正确使用括号。

二、经典例题例1、某数加上5,乘以5,减去5,除以5,其结果等于5,这个数就是多少？皮皮鲁不想再做小孩子,想快快长大,这时出现了一位白胡子老爷爷,她说可以帮助皮皮鲁实现愿望,而皮皮鲁不太相信。

她就问老爷爷多大年纪了？例2、老爷爷回答她说:“我的岁数加上5,然后除以6,接着乘以7,最后减去5,不多不少刚好100岁。

”您能帮皮皮鲁算出老爷爷今年多少岁不?皮皮鲁终于如愿以藏长大了,来到一家百货公司上班,她负责销售电视机。

当她上了两天班之后,经理来巡视了。

例3、皮皮鲁第一天卖出总数的一半少6台,第二天卖出余下的一半多10台,这时还剩18台。

经理问她这批彩电原本一共有多少台？体验训练1一个数减24加上15,再乘以8得432。

求这个数。

例4、妈给家里买了一些水果,第一天她们一家三口吃了全部的一半,第二天又吃了剩下的一半,第三天吃了剩下的一半还多一个,这时只剩下2个桃子。

问:小明妈妈买了多少个桃子。

例5、做一道加法算式题时,由于粗心,将个位上的５瞧作９,把十位上的８瞧作３,结果所得的与就是123,正确的答案就是多少？例6、小红、小青都喜欢画片。

如果小红给小青11张画片,小青给皮皮鲁20张画片,皮皮鲁给小红5张画片,那么她们三人的画片张数同样多。

已知她们三人共用画片150张,她们三人原来各有画片多少张？*例7、三堆棋子共96枚,小华先从第一堆里拿出与第二堆棋子数相等的棋子放入第二堆;再从第二堆棋子数相等的棋子放入第二堆;再从第二堆中拿出与第三堆棋子数相等的棋子放入第三堆;最后又从第三堆拿出与第一堆棋子数相等的棋子放入第一堆,这时,三堆棋子数正好相等,问三堆棋子数原来各有多少枚？三、课后作业1、一个数加上3,乘以4,减去2,除以9,结果等于2,这个数就是多少？2、一根电线,第一次用去全长的一半,第二次再用去余下的一半,这时还剩6米,这根电线原来长多少米？3、妈妈去商店购物,买第一件商品时用去所带钱数的一半,买第二件商品用去余下钱数的一半,这时妈妈身上还剩120元,妈妈原来身上一共带有多少钱？4、小红在做一道减法算式时,将减数十位上的8瞧成3,个位上的0瞧成6,这样减出的差就是61,正确的差应就是多少？5、3只笼子里共养鸡18只,如果从第1只笼子里取4只放进第2只笼子里,再从第2只笼子里取3只放到第3只笼子里,最后从第3只笼子里取2只放回第一只笼子里,三只笼子里的鸡就一样多了,求3只笼子里原来各养鸡多少只？。

三年级奥数举一反三第293031周年龄问题还原法解题假设法解题第二十九周年龄问、例题1 三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？练习一1，四年前小林年龄是小丽的2倍，小林今年12岁，小丽今年多少岁？2，五年前爷爷年龄是孙子的7倍，孙子今年14岁，爷爷今年多少岁？3，儿子今年10岁，爸爸今年34岁。

几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？例题2 明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。

今年明明12岁，妈妈今年多少岁？练习二1，玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的5倍。

今年爸爸40岁，玲玲今年多少岁？2，爷爷63岁时，他的年龄是小青的9倍。

今年小青12岁，爷爷今年多少岁？3，两年前妈妈年龄是儿子的5倍，儿子今年9岁，妈妈今年多少岁？例题3 女儿今年3岁，妈妈今年33岁。

几年后，妈妈的年龄是女儿的7倍？练习三1，小明今年7岁，爷爷今年62岁。

几年前，爷爷的年龄是小明的12倍？2，儿子今年2岁，爸爸今年的年龄是儿子的16倍。

几年后，爸爸的年龄是儿子的7倍？3，妈妈今年26岁，是小玲年龄的13倍。

几年后，妈妈的年龄是小玲的7倍？例题4 4年前，妈妈的年龄是女儿的3倍，4年后，母女年龄和是56岁。

妈妈今年多少岁？练习四1，3年前，哥哥的年龄是弟弟的2倍。

3年后，哥弟俩的年龄和是30岁。

哥哥今年多少岁？2，5年前，小明的年龄是小红的3倍。

5年后，小明和小红年龄和是44岁。

今年小明多少岁？3，7年前，姐姐的年龄是妹妹的4倍。

7年后，姐妹俩的年龄和是48岁。

姐姐今年多少岁？例题5 明明今年12岁，强强今年7岁，当两人的年龄和是45岁时，两人各多少岁？练习五1，小红今年4岁，小平今年10岁，当两人的年龄和是30岁时，两人各多少岁？2，聪聪今年2岁，妈妈今年28岁。

当母子俩的年龄和是42岁时，两人各多少岁？3，兰兰今年12岁，婷婷今年14岁，当两人的年龄和是40岁时，两人各多少岁？第三十周用还原法解题例题1 一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。

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还原问题例1:小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。

小刚的奶奶今年多少岁？练习一1，在□里填上适当的数。

20×□÷8＋16=262，一个数的3倍加上6,再减去9，最后乘上2，结果得60。

这个数是多少？3,小红问王老师今年多大年纪,王老师说：“把我的年纪加上9，除以4,减去2，再乘上3，恰好是30岁。

”王老师今年多少岁？例2:某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台.这个商场原来有洗衣机多少台？练习二1，粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨.粮库原有大米多少吨？2，爸爸买了一些橘子,全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个,第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。

爸爸买了多少个橘子？3，某水果店卖菠萝,第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一外菠萝。

三次共卖得48元，求每个菠萝多少元?例3:小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。

如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。

这三个人原来各有故事书多少本？练习三1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。

还原法解题思维索引：1. 在解某些问题时，我们需要从最后的结果或条件出发，利用已知条件一步步地倒着分析，倒着推理，直到问题解决。

这种解决问题的方法叫做逆推法，或叫还原法。

2．还原法要充分利用逆运算，其规律是：原题是加，逆推为减；原题是减，逆推为加；原题是乘，逆推为除；原题是除，逆推为乘。

3．用还原法解题时应注意：（1）从最后的条件或结果出发，向前一步步推理，不可跳步；（2）正确使用逆运算；（3）注意运算顺序，列式时要根据题意正确使用括号。

例题精讲：例1：一个数加上5，乘以5，减去5，除以5，结果还是5，求这个数是多少？试一试：1、某数加上3，乘以3，减去3，再除以3，结果还是3，这个数是多少？2、张老师对张明说：“你这次单元考试数学的分数除以5，减去6，加上3，乘以4，正好是60。

”张明这次考试的成绩是多少分？细节决定成败，态度决定一切例2：在计算一道减法题时，某同学错把被减数个位上的6看成了8，把十位上的8看成了3，结果得到差为965，求正确的差是多少？试一试：1、大明做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的6错写成0，这样算的差是200，正确的差是多少？2、小涛在计算整数的加法时，错把一个加数个位上的数字6看成了9，把另一个加数十位上的8看成了5，结果得出和是686。

问正确答案是多少？例3：一桶油，第一次用去全部的一半，第二次用去6千克，还剩14千克，求这桶油原来重多少千克？1、修路队修一条路，第一天修了350米，第二天修了余下的一半，第三天修了200米，还剩100米没修，求这条路全长多少米？细节决定成败，态度决定一切例4：有一捆电线第一次用去全长的一半多10米，第2次用去余下的一半多10米，最后还剩20米，这捆电线原来有多少米？试一试：1、妈妈买来一些苹果，小刚第一天吃了一半多1个，第二天吃了余下的一半多1个，还剩1个妈妈买了多少苹果？细节决定成败，态度决定一切课后练习题1．某数先加上7，再乘7，然后减去7，最后除以7，结果还是得到7。

第30讲用还原法解题一、专题简析：“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。

解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。

解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。

同时，可利用线段图表格帮助理解题意。

二、精讲精练例1：一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。

练习一1、一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3。

这个数是几？2、一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。

例2：一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。

这段布原来长多少米？练习二1、某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩10只西瓜。

原有西瓜多少只？2、某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。

甲、乙两地相距多少千米？例3:甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数同样多。

乙原来比丙多多少本？练习三1、小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数同样多。

小松比小航多多少个？2、甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6本，这时三个组的图书本数同样多。

原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？例4：李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。

李奶奶原来有多少个鸡蛋？练习四1、竹篮内有若干个李子，取它的一半又1枚给第一人，再取余下的一半又2枚给第二人，还剩6枚。

竹篮内原有李子多少枚？2、王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多10元存入银行，又拿出余下的一半多5元买米、米，剩下80元买菜。

王叔叔拿工资多少元？例5：小红、小青、小宁都喜爱画片，如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。

第1讲找规律一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。

如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。

按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。

寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。

善于发现数列的规律是填数的关键。

二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数。

（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）练习1：在括号内填上合适的数。

（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）练习2：按规律填数。

（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（）（3）1，2，5，13，34，（）（4）1，4，9，16，25，36，（）练习3：按规律填数。

（1）2，3，5，9，17，（），（）（2）2，4，10，28，82，（），（）1 / 150（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ） 【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

（1）（3）练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。

第30讲：还原法解应用题知识梳理：有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。

所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。

典型例题：例1：一本文艺书，小明第一天看了全书的13 ，第二天看了余下的35，还剩下48页，这本书共有多少页？练 习：1、某班少先队员参加劳动，其中37 的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？2、一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38 ，第二天走了余下的23，第三天走了250千米到达乙地。

甲、乙两地间的路程是多少千米？例2：筑路队修一段路，第一天修了全长的15 又100米，第二天修了余下的27，还剩500米，这段公路全长多少米？练习：1、一堆煤，上午运走27 ，下午运的比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的13 又2公顷，第二天耕的比余下的12多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？例4：一群猴子吃筐里的桃子，第一天吃了总数的21还多2个，第二天吃了余下的31少1个，第三天吃了这时余下的41还多1个，这样还剩下20个没有吃完。

求筐里桃子的总数。

练 习：1、一批水泥要用汽车运输，第一次运走了全部的31少5吨，第二次运走了全部的41多4吨，还剩21吨，一共有多少吨？2、仓库里的水泥要全部运走．第一次运走了全部的21又21 吨，第二次运走了余下的31又31吨，第三次运走了第二次余下的41又41吨，第四次运走了第三次余下的51又51吨，第五次运走了最后剩下的19吨．这个仓库原来共有水泥多少吨？例3：有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13 给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？练 习：1、小华拿出自己的画片的15 给小强，小强再从自己现有的画片中拿出14给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？2、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出15 给乙后，乙又拿出14给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？例4：甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出14 到乙仓库后，又从乙仓库运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。

第1讲找规律一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。

如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。

按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。

寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。

善于发现数列的规律是填数的关键。

二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数。

（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）练习1：在括号内填上合适的数。

（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）练习2：按规律填数。

（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（）（3）1，2，5，13，34，（）（4）1，4，9，16，25，36，（）练习3：按规律填数。

（1）2，3，5，9，17，（），（）（2）2，4，10，28，82，（），（）（3）94，46，22，10，（），（）（4）2，3，7，18，47，（），（）【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

（1）（3）练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。

（1） （3）【例题5】按规律填数。