第五章 分析力学3

• 对于稳定约束, 即
xi = xi(q)
不含t,
T = T2(q,q) 1 s T = aαβ(q,t)qαqβ 2 αβ xi xi aαβ = m i qα qβ i
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刚才证明过,
q q
α
T2
α
= 2T2
P27
{有势系,V不显含 q } L = T-V L T ∴ qα = qα = 2T α qα α qα
第五章 分析力学
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同理讨论AB上的质点。
（3）广义坐标 先q，后f，
O
∴
s=d=2.
（4）虚功 dW A = Fi A d xi ＝
y q C a mg A f D b B F mg
虽然每一个质点都受到重力， 但其总效果与总重力作用在重心相同 。 所以，求和只需要对C、D、B 3处的进行。 ＝mgd xC + mgd xD + Fd yB ＝ 0。
第五章 分析力学
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解题思路： 1 确定自由度 2 广义坐标 3 求动能，势能，拉氏量 4 列出Lagrange 方程 5 解方程，分析
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广义力：
1.定义
Qa = Fi A
xi qa
2.虚功
dw Q= dq
dV Qa = d qa
3. 有势系统
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6.广义动量积分
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(1) 可遗坐标（循环坐标）：如果在L函数中，只含有 某一广义坐标的微商，而不显含该广义坐标本身，则 此广义坐标称为可遗坐标。
d L L L q [dt( q qα)- q α - q qα]= 0 α
dL L L L α + = q qα + dt t α q α q
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d L dL L ( qα)+ =0 dt q dt t
理想约束：
δr Ni i = 0
∴
= 0 Fi - mi ri n (a) )δr = 0 (Fi - mi ri i
i=1 3n
虚功原 理
(a) x (Fi - mi i )δx i = 0
i=1
倒转有效力
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② 达朗贝尔原理： (对非完整约束也成立)
令d x ≠ 0 ， dq 、 df 、d y都为0。
∴ RX ＝－2mg，
类似的， RY ＝－F。 同样方法还可以算A点处的约束力。
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§5.3、拉格朗日方程（lembert ） ① 牛顿第二定律：
, F i = mi ri (i = 1, 2,...,n)
有势力系的拉格朗日方程
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4. 拉格朗日方程与牛顿运动方程等价
1 L = T - V = mi qi2 - V 2 i
取笛卡儿坐标系: x i = qi
∂L ∂L ∂V = == Fi ∂qα ∂x i ∂x i ∂L = mi x i ∂x i
(a) = 0, (i = 1,2, .,n) F i + Ri - mi ri ..
理想约束：
(a) ) d r = 0, ( Fi mi ri i
n i =1
达朗贝尔－拉格朗日方程
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2. 拉格朗日方程的基本形式（Lagrange方程）
L =0 qα
(2) 广义动量：体系的拉氏量或动能对广义坐标微商
的偏导数。
L T P = = α qa qa
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第五章 分析力学
(3) 广义动量积分：系统对于可遗坐标的广义动量为
常数。
d L L ( )-( )= 0 dt qa qa
L =0 qα
dpa d L ( )= =0 dt qa dt
∴ T = T2 =
P25
1 a αβ (q, t)q α qβ 2 αβ
T2是 q的二次齐次函数，可有关系

α
∂T2 q α = 2T2 ∂q α
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※欧勒齐次函数定理 如果函数
= ( x, y, z,...)
，则这个函数对每一个
自变量偏导与函数积之和，等于这个函数乘 以多少次幂n。（n为u函数中含有对x，y…求 导的最高幂次）
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3. 有势力系的拉氏方程
(a) Fi = -∇ iV, (i = 1,2,...,n)
(i = 1, 2,...,3n)
或者
F
(a) i
∂V =, ∂x i
有势力的广义力形式：
Qα ∂x i = Fi ∂q α i = -

i=1
3n
∂V ∂x i ∂x i ∂q α
∂V(q, t) = ∂q α
代入拉氏方程
得：mx i = F, i
(i = 1,2,...,3n)
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拉氏方程的优越性：
① L＝T－V 为系统量，V为系统势能，
不必具体区分受力质点
②
1 T = mi v i2 i 2
为标量,vi为速率
③ 避免了约束力
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5.有关Lagrange方程的说明
例：右图，两个相同的
均匀刚性杆OA=AB=l， O、A为光滑的铰链。 质量都是m， F为外力；运动和外力都在 xy平面。 求平衡位置。 （1）理想约束？ 解： O、A光滑，杆刚性。 （2）稳定、完整约束？ 对所有质点，z＝0。
O
y q C a mg A f D b B F mg
x
对第a个质点， x 2 y 2 = Oa 2 , xa / xA = ya / yA , a a 由此可见，OA上的质点受到的约束都是稳定、完整的。
拉氏函数中有没有循环坐标及有多少个，都跟广 义坐标的选择有关。
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第五章 分析力学
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7.能量积分
(1)完整系统动能函数的表达式
xi =
3n
∂x i ∂x i qα + , (i = 1,2,...,3n) ∂t α=1 ∂qα
s
1 T = mi x i2 i=1 2 3n s ∂x i ∂x i 2 1 = mi ( qα + ) ∂t i=1 2 α=1 ∂q α
s s ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i 2 1 = mi ( q α qβ + 2 qα + 2 ) ∂t i=1 2 α,β=1 ∂q α ∂qβ α=1 ∂q α ∂t 3n
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3n s 3n ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi 1 s = ( mi )qα qβ + ( m i )α q 2 α , =1 i=1 ∂qα ∂qβ ∂qα ∂t β α =1 i=1
xi Qa = Fi . qa
A
势形式的拉氏方程中只含有拉氏量和广义坐标， 因此便于推广到其它领域。从这个意义上讲， 势形式的拉氏方程是更具有普遍性的形式。
（3） Lagrange量和初始条件已知，一个力学体系 的运动就完全清楚了。
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（4）在自然界，最基本的拉氏量只有很少几个， 如电磁、引力、强、弱作用等。
x xi = n i i
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(3)能量积分
L(q, t)= T(q, t)- V(q, q, q, t)
d L L ( )-( )= 0 dt q q
用qa 乘上式,得
α =1
qα[
s
d L L ( )-( )]= 0 dt qα qα
（5）拉氏量不是一个可观测量，我们只要求它 能给出正确的运动方程。 象势能V，L＝T－V 的形式不是唯一的，L’＝ T－V＋V0 一定能给出相同的运动方程。 事实上，把 L’＝ L＋du(q,t)/dt 代入拉氏方程， 给出的运动方程一定与L 的相同。u(q,t)是广义坐标和时 间的可2次微商的任意函数。
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T = T2 + T1 + T0 1 T2 = aα β(q,t)qα qβ 2α β T1 = bα qα
α
1 T0 = c 2
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(2) 稳定系统（变换方程不显含t）
若为稳定约束，即 x i = x i (q1,q2 ,...,qs ) 不 显含t，则：b = 0, c = 0 α
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x
（5）变换方程（只需要3个） xC ＝(l/2)sinq , xD ＝ lsinq (l/2) sinf , yB ＝ l ( cosq cosf) , （6）用虚功原理（第二种表述） d W A = Qq dq Qf df .
l Qq = mg cos q mgl cos q Fl sin q = 0, 2 l Qf = mg cos f Fl sin f = 0, 2
由达朗伯原理： (Fi(a) - mi i )δx i x
i=1 3n
=0

d ∂T ∂T [Q α - dt ( ∂q ) + ∂q ]δqα = 0 α α α
又因为 qα 都是独立的
d ∂T ∂T Qα ( )+ =0 dt ∂qα ∂qα
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第五章 分析力学
V(q,t)=V(x(q, t),t),即V(q,t) 不含广义速度
∴
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