尺规作图画线段的垂直平分线

线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指一条垂直于给定线段，并且将该线段平分为两段长度相等的线。

在几何学中，垂直平分线是一种常见的概念，具有重要的应用价值。

本文将探讨线段的垂直平分线的性质、构造方法以及其在实际生活中的应用。

一、线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线有一些重要的性质。

首先，垂直平分线与线段相交于线段的中点。

这是由于垂直平分线平分了线段，所以垂直平分线必定与线段的中点相交。

其次，线段的两侧到垂直平分线的距离相等。

这是因为垂直平分线将线段平分为两等分，所以线段的两侧到垂直平分线的距离必定相等。

这些性质使得垂直平分线在几何学中具有重要的地位和应用。

二、线段的垂直平分线的构造方法线段的垂直平分线可以通过多种方法进行构造。

以下介绍两种常见的构造方法。

1. 使用尺规作图法通过使用尺规作图法，可以准确地构造出线段的垂直平分线。

具体步骤如下：（1）以线段的两个端点为圆心，作一对同心圆；（2）以同一半径，分别从线段的两个端点处画弧，将两个圆交于两点；（3）以这两个交点为圆心，作两个同心圆；（4）连接两个圆的交点和线段的两个端点，即可得到线段的垂直平分线。

2. 使用数学计算方法通过使用数学计算方法，也可以得到线段的垂直平分线。

具体步骤如下：（1）使用坐标系表示线段的两个端点；（2）根据两个端点的坐标，计算出线段的中点；（3）根据两个端点的坐标，计算出线段的斜率；（4）根据斜率的倒数，计算出线段的垂直平分线的斜率；（5）使用中点和垂直平分线的斜率，可以确定垂直平分线的方程。

三、线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线在实际生活中有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，通过垂直平分线可以确定墙壁的位置，使得建筑物更加均衡美观。

在地图制作中，通过垂直平分线可以准确绘制出各个地理位置之间的距离和方位关系。

此外，垂直平分线还用于解决一些实际生活中的问题，如切割食物、划分地块等。

总结：线段的垂直平分线是几何学中的重要概念，具有重要的性质和应用。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧记方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。

)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。

)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。

16.2线段的垂直平分线（三）—尺规作图教学设计说明一、内容和内容解析；本节课是冀教版义务教育课程标准教科书八年级上册第十六章《轴对称和中心对称》的第二节的第三课时，是在学习了线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理之后，探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线；在掌握了基本做法后，再来探究如何运用作线段的垂直平分线的方法过一个点作已知线段的垂线；并以作线段的垂直平分线为载体提高学生尺规作图的能力．因而探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线是本节课内容的核心所在．也是线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理学习的一种延续，是这两条定理的一种应用．其目的是加深对线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解；同时本节课探究作图的思维方式及作图的步骤和方法又是对下一节研究角平分线又是对下一节利用尺规作一个角的平分线的铺垫，起着承上启下的作用．是轴对称的重要组成部分．所以本节课的教学重点是探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线．二、目标和目标解析：1．让学生亲身经历用直尺和圆规作线段的垂直平分线和过一点作已知直线垂线的探究过程；使学生熟练掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；2．培养学生运用简练、准确的语言表达作图方法与步骤的能力；3．培养学生使用“执果索因”的方法探究问题的能力和发展学生的逻辑思维；在实际动手操作中体验几何探究的乐趣，培养学生科学的学习态度．三、教学问题诊断分析：学生在本节课之前已经学习了全等三角形的知识，在本章还学习了线段的垂直平分线性质定理及逆定理，已经具备了用尺规作线段的垂直平分线的理论基础；此前还学习了用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，学生已经具备了操作尺规的基本技能．尽管如此，由于学生不能根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理借助圆规找到符合条件的两个点（这两个点必须在已知线段的垂直平分线上），进而由两点确定一条直线，这将成为教与学中遇到的第一个障碍．在授课过程中需要教师帮助学生做好思维的准备，首先让学生回顾线段的垂直平分线性质定理及其逆定理和前面学习的基本尺规作图，同时还要给学生充分的思考和探究的时间．在学生充分思考和动手实践后，在小组内交流，不拘泥于单一简单的做法，引导学生尝试不同的做法，力求让学生理解用尺规作线段的垂直平分线的本质．在掌握了线段的垂直平分线的做法后，探究如何过一点作已知直线的垂线，学生很难推理出垂线产生的条件，即使学生想到将其转化为作线段的垂直平分线，但学生一时很难找到合适的线段，所以这个问题成为本节课教学中的第二个障碍，同时也是本节课的教学难点．教学过程中先让学生独立思考，动手实践后，发现一部分学生无法顺利突破难点，教师再给予及时的提示：已知点P一定在某条线段的垂直平分线上，而这条线段必然在已知直线l上，只要找到这条线段就可以很容易解决这个问题．如何找到这条线段呢？只要找到这条线段的两个端点即可．引导学生使用“执果索因”的方法探究，只要考虑到点P也在这条线段的垂直平分线上，所以点P到线段两个端点的距离相等，此题难点就此突破．四、教学支持条件分析：首先，在探究如何用尺规作线段的垂直平分线的教学过程中，需要给予学生足够的理论支持和构建典型的数学几何模型，所以教师借助多媒体帮助学生回顾线段的垂直平分线性质定理及逆定理，尤其是数学几何模型的出现，帮助学生理顺了数学思维，为学生寻找已知线段的垂直平分线确立了目标——线段的垂直平分线上的两个点，进而可由两点确定直线．其次，在探究出多种方法作线段的垂直平分线后，教师借助多媒体将三种不同的方法同时呈现在学生面前，学生潜意识里会对此进行比较，发现其中的数学规律，进而得到解决问题的实质——寻找符合条件的各个点．再次，在学生探究如何过一点作已知直线的垂线遇到困难时，教师又适时的借助多媒体在直线上呈现符合条件的不同线段，帮助学生更有效的进行数学思维，打开思路，为顺利突破本节课的难点起到了关键性的作用．最后，在回顾本节课主要内容时，又借助多媒体依次呈现典型的几何模型，帮助学生理顺本节课的数学知识和数学方法，发现其中的数学规律和必然联系．五、教学过程设计：（一）引入前面我们学习了线段的垂直平分线的性质定理和性质定理的逆定理．如果已知一条线段，你如何作出这条线段的垂直平分线呢？图1 图2 图3 前面我们利用直尺和圆规作出了一条线段等于已知线段，还作出了一个角等于已知角，现在我们能利用直尺和圆规作出线段的垂直平分线吗？（二）探究一已知：线段AB ．求作：线段AB 的垂直平分线．小组交流：1．你是怎么想的？2．你是怎么做的？3．你作图的理由是什么？给学生足够的时间去独立思考，动手操作．虽然大部分学生能作出线段AB 的垂直平分线，但方法单一，而且不能理解尺规作出线段的垂直平分线的实质．然后小组内交流，充分交流后利用实物投影展示不同的做法．通过不同做法的展示，让学生归纳推理相出其中的数学规律，发现问题的实质．推理思路：1．找到符合条件的两个点即可：两点确定一条直线；2．既然是线段垂直平分线上的点，必然满足到线段两端点的距离相等．作法一：如图1所示，（1）分别以点A 、B 为圆心，a （ a ＞12AB ）为半径在线段AB 的两侧画弧；分别交于点C 、D ；（2）连接CD ；直线CD 即为所求．作法二：如图2所示，（1）分别以点A、B为圆心，a（ a ＞12AB ）为半径在线段AB 的上方画弧；交于点M；再分别以点A、B为圆心，b（b ＞12AB，b≠a）为半径在线段AB的下方画弧，交于点N；（2）连接MN；直线MN即为所求．作法三：如图3所示，（1）分别以点A、B为圆心，a（ a ＞12AB）为半径在线段AB的上方画弧；交于点E；再分别以点A、B为圆心，b（b ＞12AB，b≠a）为半径在线段AB的上方画弧，交于点F；（2）连接EF；直线EF即为所求．从中任取一种画法，来解释一下为什么这条直线是线段AB的垂直平分线．如图4，第一种方法：从线段的垂直平分线定义的角度，利用三角形全等给予证明．第二种方法使用线段垂直平分线性质定理的逆定理给予证明．以上三种作图方法都是正确的，后两种得到的点采用半径不同，而第一种采用半径相同的作法，因此比较容易操作，以后，我们一般采用第一种方法做线段的垂直平分线．教师规范做法，并写出规范的作图语言．（三）探究二已知：直线l 和直线l 外一点P（或直线l 上一点P ）.求作：经过点P，且垂直于l 的直线.大部分学生思考后无法解决，然后进行小组内合作探究.图4在相当一部分学生仍旧不能解决时，教师给予适当的提示：点P一定在某条线段的垂直平分线上，而这条线段必然在直线l上，我们只要找到这条线段就可以很容易解决这个问题了．然后再让学生思考，合作交流探究．学生小组合作探究后，相当一部分学生得以解决，选择两位具有典型做法的学生上台板演，并讲解．点P在直线l外：经老师提示，因为点P在所求线段的垂直平分线上，所以点P到线段两个端点的距离相等，因此，以P为圆心适当长度为半径画弧，与直线l有两个交点C、D，线段CD就是我们要找的线段．然后再分别以C、D为圆心，以a（a ＞12 CD）为半径画弧，两弧交于点E，连接PE．PE就是我们要作的直线．点P在直线l上：以P为圆心，任意长为半径画弧，与直线l有两个交点C、D，线段C、D就是我们要找的线段．在按照作线段的垂直平分线的作法，很容易就找到了符合条件的直线．提升：无论点P的位置在哪儿，我们都找到了一条合适的线段，将此题转化为做线段的垂直平分线，进而作出了已知直线的垂线．拓展：利用作线段的垂直平分线的方法可以作出一个直角，如果给定边长还可以能作一个直角三角形．（四）实际应用为进一步打造“宜居河北”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．这里的尺规作图帮助我们找到了垂直平分线，还帮助我们找到了线段的中点．作垂直，找中点就是我们这种作法的重要作用．（五）回顾与反思通过这节课的学习，你有哪些收获和感悟呢？1．利用尺规作已知线段的垂直平分线；2．利用尺规作已知直线的垂线、作直角、直角三角形，以及找中点；3．尺规作图中直尺和圆规的基本作用．六、目标检测设计：为检测学生对本节课知识的掌握情况，在教学过程中我设计了两个问题．目标检测一：给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①此题从正反两个方面考察线段垂直平分线性质定理及逆定理，其目的是检验学生对这两条定理的的掌握情况，即对尺规作垂直平分线方法理论依据的考察．检验了学生对本课所学知识的掌握情况．目标检测二：已知：线段a,b求作：以线段a,b为相邻两边的长方形。

尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例）①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >21MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线.为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半径相等）根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）在△BMO 与△BNO 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线所以射线BO 是∠ABC 的角平分线相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例）①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ；②选一半径满足r >21AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ；③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）在△APQ 与△BPQ 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.◆过线外一点作直线的垂线尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例）①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N；②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q；③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.为何直线PQ是直线l的垂线？如图，根据作图步骤②知：NP=NQ，MP=MQ（等圆中半径相等）很显然△MPN≌△MQN（SSS）即△MPN与△MQN关于直线l对称而P、Q作为一组对应点，则PQ⊥l补充说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO相关性质与结论：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）注意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量；而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分。

八年级丨线段垂直平分线的经典题型解析要点一、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．线段垂直平分线的尺规作图求做线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线．要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例一、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离就想等，从而把三角形的边进行转移，求的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．答案】19；∵DE是AC的中垂线，∴AD＝DC，AE＝CE＝3∵△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝13∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19．类型二、线段的垂直平分线逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC 的垂直平分线．【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

用尺规作图作垂直平分线
当我们需要在一条线段的中点处作一条垂直平分线时，我们可以使用尺规作图
的技巧来实现这个目标。

以下是具体步骤。

制作线段的中垂线
首先，我们需要在这条线段的两端分别画两个圆。

然后，我们使用尺子测量线
段的长度，然后将这个长度的一半在圆周上量取出来，并连成一条线段。

我们用相同的方法将圆的另一个端点与线段相连。

这样，我们就得到了线段上的中垂线。

画出一个锐角三角形
接下来，我们需要画出一个锐角三角形。

这可以通过任意两条直线的相交来实现。

我们可以使用尺子测量已经画好的线段的一半，并在线段的两端分别画圆。

然后，我们各选取一个圆心，使得这两个圆相离一定距离，并连接圆的两个交点。

这样，我们就得到了三角形的两条边。

确定三角形的外接圆
接下来，我们需要确定三角形的外接圆。

外接圆是通过三角形三个顶点的圆心。

我们可以使用尺子分别测量三个顶点之间的线段，并将它们连接起来。

然后，我们可以测量两条对角线之间的距离，这将是外接圆的直径。

然后，我们以三角形任意一个顶点为圆心，用之前测量得到的直径画出外接圆。

画出垂直平分线
最后，我们需要确定外接圆的两个交点，并连接这两个交点与三角形的顶点。

这样，我们就得到了垂直平分线。

以上就是使用尺规作图的方法作垂直平分线的步骤。

通过这种方法，我们可以
非常精确地画出想要的图形。

课题 ：24.4.3 尺规作图（3）画垂线【教学目标】：1、使学生掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；2、继续训练学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤，认识它的正确性、合理性；3、培养学生探索问题、解决问题的方法，经历如何画线段的垂直平分线，体验利用画线段垂直平分线的方法为基础，画过一点作已知垂线的作图。

【重点难点】：1、重点：让学生掌握过一点作直线的垂线，作直线的垂直平分线的基本方法；2、难点：理解作图的理论依据。

【教学过程】：一、复习1、什么叫做尺规作图？（限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图） 2、用尺规作图（1）作线段，使它等于已知线段的长； （2）作角，使它等于已知角；①让学生在练习本上画任意长的线段和任意角。

②提问学生口述作法，教师在黑板上操作尺规画图，或教师口述作图步骤，让学生按老师的口述，操作尺规作图。

作线段：已知线段a ，作射线AC ，以A 为圆心，在AC 上截取A B a =，AB 就是所求作的；作角：已知A O B ∠，作射线''O A ，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、C 两点，以'O 为圆心，以OC 为半径作弧，交''O A 于'C ，以点'C 为圆心，以CD 长为半径作弧，交前弧于'D ，经过'D 作射线''O B ，'''A O B ∠就是所求的角。

3、什么垂直平分线？（过线段的中点，垂直这条线段的直线） 4、线段垂直平分线有哪些特征？（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）二、做一做如图，如图24.4.6，已知线段AB ，画出它的垂直平分线.提示：由线段垂直平分线的特征能否为你提供一些作图的依据。

若有学生懂得画，请他上台展示；若讨论没有结果的话，教师示范。