如何用尺规作图做垂线

尺规作图做垂线的做法
用尺规做垂线的步骤如下：
1、用尺规作一条直线，在直线上任取两点A、B（A、B 不重合）。

2、分别以A、B两点为圆心，以大于AB长的一半为半径做两个等圆，得到两个交点C、D，且两个交点C、D到A、B等距（它们都是两个等圆的半径是相等的）。

3、连接这两个交点C和D两个交点的连线CD即为垂线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上这两点的连线为这条线段的垂直平分线，即垂直）。

尺规作图基本方法，以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
1、通过两个已知点可作一直线。

2、已知圆心和半径可作一个圆。

3、若两已知直线相交，可求其交点。

4、若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

5、若两已知圆相交，可求其交点。

P
a
2、设计一个漂亮的图案。
①过P作PQ⊥a于Q，
a
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直 线互相平行”.
P
如，过P点作直线a的平行线。
解：作法， ①过P作PQ⊥a于Q，
a
Q
②过P作直线b⊥PQ于P，
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直 线互相平行”.
方法1：运用平行线的判定定理1.
如，过P点作直线a的平行线。
P
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，
且∠2=∠1的同位角，
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
方法1：运用平行线的判定定理1.
如，过P点作直线a的平行线。
P
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，
A’
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
5 教学活动
教学内容：(P32-33)
1、运用平行线判定方法来画平行线； 2、运用平移的方法来设计美丽的图案．
复习1：画一个等于已知角的角？
B
O

我们已熟悉尺规的四个基本作图：画 线段，画角．画角平分线、画线段的 垂线，那么利用尺规还能解决什么作 图问题呢？
画线段的垂直平分线；
如图，已知线段AB，画出它的垂直平 分线.
作法：(1)以点图A为2 4 .圆4 .7心，以大于AB一 半的长为半径画弧； (2)以点B为圆心，以同样的长为半径 画弧，两弧的交点记为C、D； (3)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
·
B
C
问题探讨
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村 庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P 到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工 人上下班的路程一样吗？
A
O
C. D.
B
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线，
DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。
求证：AD垂直平分EF
A
E F
B
D
C
你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便
于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
L
高速公路
生活中的数学
A
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
思考：
有时我们感觉两个平面图形是轴对称图形，如何验 证呢？不折叠图形，你能准确的作出轴对称图形的对称 轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们 只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。

2.什么叫做线段的垂直平分线？
经过Байду номын сангаас条线段的中点，并且垂直于这条线段
的直线 8分钟
二.互助探究
环节1----师友探究
1.画一条线段AB，尺规作出它的中垂线CD，垂 足为E。
2.在CD上任取一点P，连接PA、PB。 3.你发现PA与PB有什么数量关系？请说明 理由。 4.请用最精炼的语言总结这一规律 8分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一条线段AB；
2. 分别以A、B为圆心，以大于1/2的AB长为半径
作弧，两弧分别交于点C、D； 3.作直线CD. 4.猜想直线CD与线段AB的关系，并说明理由。 4分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一条线段AB； 为什么要大于1/2的AB？
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上环节1师友探究8分钟例1de分别是线段ab中垂线上的点求证
12.8尺规作图—线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
学习目标： 1.会用尺规作线段的垂直平分线，知道 作图的依据。 2.探索并证明线段垂直平分线的性质定理 和逆定理； 3.会简单应用性质。
2分钟
三.分层提高
环节1----师友探究
例2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于 E,交AC于D,若AC=12，BC=10，试求△BDC的周长
1.先将已知条件标在图上， 独立思考
2. 再师友交流（友说师听）
8分钟
三.分层提高
变式练习：
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，D是AB中点， DE⊥AB于D,交AC于点E,若△EBC的周长是16cm， 则BC=______ 学友讲给学师听，学师作补充

课题 经过一已知点作已知直线的垂线作已知线段的垂直平分线【学习目标】1．让学生学会利用直尺和圆规作已知直线的垂线；2．让学生学会利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线； 3．经历探索作图的过程，进一步体会成功的喜悦感．【学习重点】能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线．【学习难点】 能够利用直尺和圆规作已知直线的垂线．自学互研 生成能力知识模块一 以已知点作已知直线的垂线阅读教材P 88～P 89，完成下面的内容：范例：已知直线l 和l 上一点O ，利用尺规作l 的垂线，使它经过点O.已知：直线l 和l 上一点O.求作：CO ⊥l.作法：1.以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A 和点B ；2．分别以点A 和点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C ； 3．作直线CO.直线CO 就是所求的垂线．仿例：已知直线l 和l 外一点P ，利用尺规作l 的垂线，使它经过点P.作法：1.在直线l 与点P 的另一侧任取一点M ；2．以P 为圆心，以PM 为半径作弧交直线l 于A 、B 两点；3．分别以点A 和点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于Q ； 4．作直线PQ.则直线PQ 为直线l 的垂线．知识模块二 作已知线段的垂直平分线阅读教材P 89～P 90，完成下面的内容： 想要作出一条线段的垂直平分线，只要找到线段的垂直平分线上的任意两点即可． 范例：作线段AB 的垂直平分线．用尺规作图的作法如下：(1)分别以点__A 和点__B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和点D ；(2)过点C 、D 作直线__CD ，则直线__CD 就是线段AB 的垂直平分线．仿例：已知线段MN ，求作线段MN 的中点O.分析：线段的垂直平分线经过线段的中点．作法：作线段MN 的垂直平分线PQ ，交线段MN 于点O.点O 就是线段MN 的中点．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 以已知点作已知直线的垂线知识模块二 作已知线段的垂直平分线检测反馈 达成目标 【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

课题 ：24.4.3 尺规作图（3）画垂线【教学目标】：1、使学生掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；2、继续训练学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤，认识它的正确性、合理性；3、培养学生探索问题、解决问题的方法，经历如何画线段的垂直平分线，体验利用画线段垂直平分线的方法为基础，画过一点作已知垂线的作图。

【重点难点】：1、重点：让学生掌握过一点作直线的垂线，作直线的垂直平分线的基本方法；2、难点：理解作图的理论依据。

【教学过程】：一、复习1、什么叫做尺规作图？（限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图） 2、用尺规作图（1）作线段，使它等于已知线段的长； （2）作角，使它等于已知角；①让学生在练习本上画任意长的线段和任意角。

②提问学生口述作法，教师在黑板上操作尺规画图，或教师口述作图步骤，让学生按老师的口述，操作尺规作图。

作线段：已知线段a ，作射线AC ，以A 为圆心，在AC 上截取A B a =，AB 就是所求作的；作角：已知A O B ∠，作射线''O A ，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、C 两点，以'O 为圆心，以OC 为半径作弧，交''O A 于'C ，以点'C 为圆心，以CD 长为半径作弧，交前弧于'D ，经过'D 作射线''O B ，'''A O B ∠就是所求的角。

3、什么垂直平分线？（过线段的中点，垂直这条线段的直线） 4、线段垂直平分线有哪些特征？（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）二、做一做如图，如图24.4.6，已知线段AB ，画出它的垂直平分线.提示：由线段垂直平分线的特征能否为你提供一些作图的依据。

若有学生懂得画，请他上台展示；若讨论没有结果的话，教师示范。

尺规作图的基础技巧尺规作图是一种古老而精确的几何绘图方法，它使用尺子和圆规这两个基本工具来构建几何图形。

尺规作图的基础技巧是学习和掌握尺规的正确使用方法以及一些常见的几何构造。

一、尺规的正确使用方法1. 尺子的使用：尺子是尺规作图中最基本的工具之一。

在使用尺子时，应将尺子的一边对齐于所需的线段上，然后用铅笔或者细的钢笔在尺子的另一边划线。

为了保持准确性，应尽量保持尺子与纸张垂直，并避免在纸上滑动尺子。

2. 圆规的使用：圆规用于绘制圆和弧线。

在使用圆规时，应将圆规的一只脚固定在纸上，而另一只脚则可以转动。

通过调整圆规的脚的距离，可以绘制不同半径的圆。

要绘制一个圆，只需将圆规的一个脚放在圆心，然后用另一个脚绕着圆心画出圆周。

二、常见的几何构造1. 画平行线：要画一条平行于给定直线的线段，可以使用尺规作图中的平行线构造方法。

首先，在给定直线上选取一点作为起点，然后使用尺子在该点上划一小段线段。

接着，将圆规的一只脚放在起点上，另一只脚放在刚划的线段的一端，然后调整圆规的脚的距离，使其与起点之间的距离相等。

最后，在起点上使用圆规的另一只脚画出一条弧线，与刚划的线段相交于另一点。

连接这两个点，就得到了一条平行于给定直线的线段。

2. 作垂线：要作一条垂直于给定直线的线段，可以使用尺规作图中的垂线构造方法。

首先，在给定直线上选取一点作为起点，然后使用尺子在该点上划一小段线段。

接着，将圆规的一只脚放在起点上，另一只脚放在刚划的线段的一端，然后调整圆规的脚的距离，使其与起点之间的距离相等。

最后，在起点上使用圆规的另一只脚画出一条弧线，与刚划的线段相交于另一点。

连接这两个点，就得到了一条垂直于给定直线的线段。

3. 作等边三角形：要作一个等边三角形，可以使用尺规作图中的等边三角形构造方法。

首先，在纸上画一条线段作为底边。

然后，将圆规的一只脚放在底边的一个端点上，另一只脚放在底边上适当的位置。

调整圆规的脚的距离，使其与底边的长度相等。

B A
灌溉总渠
• 教学反思 • 本节课你掌握了哪些知识？ • 还有哪些疑惑？
练习
• 1、如图，过点P画∠O两边的
垂线.
(第 1 题 )
• 2、如图，画△ABC边 BC上的高.
（第 2题）
挑战自我 • 如图，已知线段a，h， • 求作：△ABC，使AB=AC，
且BC=a，高为h
h
a
生活离不开数学
• A、B是两个村庄，要从灌 溉总渠引两条水渠便于灌溉， 请你选择最佳方案.
复习 1、什么叫做尺规作图？ （限定用直尺和圆规来画图，称为尺 规作图） 2、用尺规作图 （1）作线段，使它等于已知线段的 长； （2）作角，使已知点作已知直线的垂线
•两种情况： •1、点在线上 •2、点在线外
试一试你的能力
1、如图，点C在直线上，试过 点C画出直线的垂线.
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学 讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直 线的垂线？
作法：
• （1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； • （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，
交于A、B两点； • （3）分别以A、B两点为圆心，以大于1 A B
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2
• （4）过C、D两点作直线CD. • 所以，直线CD就是所求作的.

13.4.4 经过一点作已知直线的垂线
一、学习目标确定的依据
（一）课程标准相关要求：
1、了解尺规作图中作图的道理，保留作图痕迹。

2、掌握用尺规，过一点作已知直线的垂线。

3、解决有关作图问题。

（二）教材分析：
过一点作已知直线的垂线是本节的重点，要求掌握
（三）中招考点
本节往往不以单个知识点出现在试卷上，它会以综合其他知识点以单项选择，填空题，大题的形式出现。

（四）学情分析：
学生刚刚接触尺规作图，在学习时，要结合学生熟悉的尺规问题，通过观察和分析尺规作图中掌握用尺规过一点作已知直线的垂线的作图方法，领会其思想方法。

二、学习目标：
1.掌握基本作图:经过一点作已知直线的垂线，并能利用其解决有关作图问题。

2.能按步骤写出作法。

三、评价任务：
1、掌握作图尺规：过一点作已知直线的垂线
2、能按步骤写出做法。

3解决尺规作图的相关问题
教学反思：
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要到玻璃店去配一块完全一样玻璃，最省事的办法是 （ ）。 A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①和②去
③ ② ①
2.特殊值排除法 例3、已知：a＜b，则下列各式中正确的是（ ）。 A、a＜—b B、a-3＞b-8 C、a2＜b2 D、-3a＞-3b
3、逐步排除法 例4、能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（ A、AB=CD、∠B=∠D B、∠A=∠B、∠C=∠D C、AB∥CD、AD=BC D、AD∥BC、AD=BC
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
点拨 （A）对抛物线来讲a<0，对直线来讲a>0矛盾．
D
（B）∵当x=0时，一次函数的y与二次函数的y都等于c
∴两图象应交于y轴上同一点．
∴（B）错，应在（C）（D）中选一个
（D）答案对二次函数来讲a>0，对一次函数来讲a<0，
∴矛盾，故选（C）．
1.结论排除法： 例2、如图：某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在
• 尺规作图（3） （画垂线）
复习
1、什么叫做尺规作图？
（限定用直尺和圆规来画图，称为 尺规作图）
2、用尺规作图
（1）作线段，使它等于已知线段 的长；
（2）作角，使它等于已知角；
• 什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
• 线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
交于A、B两点； • （3）分别以A、B两点为圆心，以大于1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 • （4）过C、D两点作直线CD。 • 所以，直线CD就是所求作的。

用尺规作图作垂直平分线
当我们需要在一条线段的中点处作一条垂直平分线时，我们可以使用尺规作图
的技巧来实现这个目标。

以下是具体步骤。

制作线段的中垂线
首先，我们需要在这条线段的两端分别画两个圆。

然后，我们使用尺子测量线
段的长度，然后将这个长度的一半在圆周上量取出来，并连成一条线段。

我们用相同的方法将圆的另一个端点与线段相连。

这样，我们就得到了线段上的中垂线。

画出一个锐角三角形
接下来，我们需要画出一个锐角三角形。

这可以通过任意两条直线的相交来实现。

我们可以使用尺子测量已经画好的线段的一半，并在线段的两端分别画圆。

然后，我们各选取一个圆心，使得这两个圆相离一定距离，并连接圆的两个交点。

这样，我们就得到了三角形的两条边。

确定三角形的外接圆
接下来，我们需要确定三角形的外接圆。

外接圆是通过三角形三个顶点的圆心。

我们可以使用尺子分别测量三个顶点之间的线段，并将它们连接起来。

然后，我们可以测量两条对角线之间的距离，这将是外接圆的直径。

然后，我们以三角形任意一个顶点为圆心，用之前测量得到的直径画出外接圆。

画出垂直平分线
最后，我们需要确定外接圆的两个交点，并连接这两个交点与三角形的顶点。

这样，我们就得到了垂直平分线。

以上就是使用尺规作图的方法作垂直平分线的步骤。

通过这种方法，我们可以
非常精确地画出想要的图形。

已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
试一试你的能力
1、如图，点C在直线上，试过 点C画出直线的垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学 讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直 线的垂线？
作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧；
B A
灌 溉 总 渠
教学反思

本节课你长为半径画弧，
交于A、B两点； 1 （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 AB 2 长为半径画弧，两弧相交于D点； （4）过C、D两点作直线CD。 所以，直线CD就是所求作的。
练 习

1、如图，过点P画∠O两边的 垂线.
(第 1 题)
2、如图，画△ABC边
BC上的高.
（第 2 题）
挑战自我
如图，已知线段a，h，
求作：△ABC，使AB=AC，
且BC=a，高为h
h
a
动手实践

AB、AC分别是菱形 ABCD的一条边和对角线， 请你用尺规把这个菱形补 充完整。
C
A
B
生活离不开数学

A、B是两个村庄，要从灌 溉总渠引两条水渠便于灌溉， 请你选择最佳方案。
尺规作图（3）
（画垂线）
复习 1、什么叫做尺规作图？ （限定用直尺和圆规来画图，称为 尺规作图） 2、用尺规作图 （1）作线段，使它等于已知线段 的长； （2）作角，使它等于已知角；
什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线） 线段垂直平分线有哪些特征？ （线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）

解：图略．
9．【中考·河池】如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交 BF于C.
(1)尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于 D(保留作图痕迹，不写作法)； 解：如图．
(2)在(1)的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．
解：(答案不唯一)BA＝BC.证明如下： ∵AE∥BF，∴∠EAC＝∠BCA. ∵AC平分∠BAE， ∴∠EAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC，∴BA＝BC.
7．【教材改编题】如图，求作已知锐角的余角．
【点拨】先用尺规作出一个 直角(已知直线的垂线)，再 在直角内部作已知角，余下 的角就是已知角的余角． 解：略．
8．【教材改编题】如图，已知点P和直线l，求作点P关 于直线l的对称点P′.
【点拨】(1)过点P作直线l的垂 线，垂足为点O；(2)在线段 PO的延长线上截取OP′＝OP， 则点P′就是所要求作的点．
10．【中考·青岛】用圆规、直尺作图，不写作法，但要 保留作图痕迹．
如图，已知线段c，直线l及l外一点A. 求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜
边AB＝c.
解：如图，Rt△ABC即为段b，h，求作等腰三 角形ABC，使AC＝b，底边BC上的高AD＝h.
下列结论不一定正确的是( C ) A．CD⊥l B．点A，B关于直线CD对称 C．点C，D关于直线l对称 D．CD平分∠ACB
3．如图所示的作图痕迹是( B ) A．线段的垂直平分线 B．过一点作已知直线的垂线 C．一个角的平分线 D．作一个角等于已知角
4．【中考·漳州】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边 上的高的是( B )
性质
6．如图，已知Rt△ABC，求作斜边BC上的高．
【点拨】先以点 A 为圆心，大于点 A 到 BC 的距离为半径画弧， 弧与 BC 有两个交点 D，E，再分别以 D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于一点 F，最后连结 AF，与 BC 交于 点 M，则 AM 即为所求作的高．

圆规作垂线的方法嘿，咱今儿个就来唠唠圆规作垂线这档子事儿！圆规，那可是咱数学作图的好帮手啊！你想想，它就像个神奇的小精灵，能帮咱干好多事儿呢。

要想用圆规作垂线，咱得先找个点。

就好比你要去一个陌生的地方，总得先知道出发点在哪儿吧。

然后呢，把圆规的一只脚放在这个点上，这就像给圆规安了个家。

接着，咱就可以让圆规大展身手啦！用圆规画出一个圆来，这个圆就像是一个小小的领地。

哎呀，这圆规画圆的时候，那感觉就像是在跳一场优美的舞蹈，转呀转的。

画好圆之后，可别着急，好戏还在后头呢！在圆上随便找两个点，这两个点就像两个小伙伴，它们要一起帮咱完成作垂线的大任务。

然后呢，把这两个点连接起来，嘿，这不就有了一条弦嘛！这条弦就像是一座小桥，连接着圆上的两个点。

接下来才是关键步骤哦！用圆规分别以这两个点为圆心，以大于这条弦一半的长度为半径画弧。

你说这像不像在玩拼图游戏呀？画着画着，就会有惊喜出现。

你瞧，这两条弧是不是相交啦？没错，它们相交的那个点就是咱要找的垂线的垂足啦！就好像是经过千辛万苦终于找到了宝藏一样让人兴奋。

再把这个垂足和原来的那个点连接起来，哇塞，一条笔直的垂线就出现啦！这不就像是在一片混沌中突然出现了一条光明大道嘛。

你说这圆规是不是很神奇呀？它小小的身体里居然蕴含着这么大的能量。

咱平时学习数学可不能死记硬背呀，得像这样动手去尝试，去发现其中的乐趣。

作垂线这事儿，其实就跟咱生活中的好多事情一样。

有时候看起来很难，但是只要咱找到方法，一步一步来，总能成功的。

就像爬一座高山，虽然过程很辛苦，但当你站在山顶俯瞰的时候，那种成就感真是无与伦比呀！所以呀，咱可别小瞧了这圆规作垂线的方法，说不定它能给咱带来很多意想不到的收获呢！咱可得好好琢磨琢磨，把这方法掌握得牢牢的，以后遇到什么作图问题都不怕啦！。