尺规作图(画线段的垂直平分线)
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线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念:只用没有刻度的直尺和圆规进行作图,称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高,求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一:线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?例2、已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点. 求证:PA=PB.想一想:你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是,请你证明它。
这个定理的逆命题:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明:取AB的中点C,过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二:尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知:线段AB(如图). A B求作:线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了,那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗?如果能,请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗?如果交于一点,你能证明出来吗?例4、已知:在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点P,连接AP,BP,CP.求证:P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高,求作等腰三角形.已知:线段a、h求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三:三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知:△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的一条中线,AB的垂直平分线交AD于O求证:OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于:条理清晰,因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知,如图,在△ABC 中,OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ,过O 作DE ∥BC ,分别交AB 、AC于点D 、E ,若BD+CE =5,则线段DE 的长为 ( )A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示,有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示,△ABC 中,∠C=90°,DE 是AB的中垂线,AB=2AC ,BC=18cm ,则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中,∠A=60°,AB ,AC 两边的垂直平分线交于点O ,则∠BOC 的度数是 __________。
尺规作图做垂线的做法
用尺规做垂线的步骤如下:
1、用尺规作一条直线,在直线上任取两点A、B(A、B 不重合)。
2、分别以A、B两点为圆心,以大于AB长的一半为半径做两个等圆,得到两个交点C、D,且两个交点C、D到A、B等距(它们都是两个等圆的半径是相等的)。
3、连接这两个交点C和D两个交点的连线CD即为垂线(到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上这两点的连线为这条线段的垂直平分线,即垂直)。
尺规作图基本方法,以下是尺规作图中可用的基本方法,也称为作图公法,任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法:
1、通过两个已知点可作一直线。
2、已知圆心和半径可作一个圆。
3、若两已知直线相交,可求其交点。
4、若已知直线和一已知圆相交,可求其交点。
5、若两已知圆相交,可求其交点。
注意:要证明一条线为一个线段的垂直平分线,应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说,垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法:点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一:(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理:等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二:1、连接这两个交点。
原理:两点成一线。
等腰三角形的性质:1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形,有两个内角相等,那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中,如果两个角相等,即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1.如图,已知:在△ABC中,∠C=90°∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于D.求证:D在AB的垂直平分线上.分析:根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D在AB的垂直平分线上,只需证明BD=DA即可.证明:∵∠C=90,°∠A=30°(已知),∴∠ABC=60°(Rt△的两个锐角互余)又∵BD平分∠ABC(已知)∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD(等角对等边)∴D在AB的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).例2.如图,已知:在△AB C中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F。
冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》这一节,是在学生学习了直线、射线、线段的基础上,进一步研究线段的垂直平分线。
教材通过实例引入线段垂直平分线的概念,然后引导学生使用尺规作图的方法来证明线段的垂直平分线垂直平分线段。
教材注重培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力,让学生在实践中掌握知识。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了直线、射线、线段的基本知识,对尺规作图也有了一定的了解。
但是,学生对于线段垂直平分线的概念和性质可能还比较模糊,需要通过实际的操作和讲解来加深理解。
此外,学生在作图过程中可能存在操作不规范、作图方法不熟练的问题,需要在教学中加以指导和纠正。
三. 教学目标1.知识与技能目标:让学生掌握线段垂直平分线的概念和性质,能够使用尺规作图的方法证明线段的垂直平分线。
2.过程与方法目标:通过观察、操作、猜想、验证等活动,培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标:让学生体验数学的乐趣,培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.重点:线段垂直平分线的概念和性质,尺规作图的方法。
2.难点:如何引导学生通过尺规作图证明线段的垂直平分线。
五. 教学方法1.引导发现法:通过实例引入线段垂直平分线的概念,引导学生发现并总结线段垂直平分线的性质。
2.实践操作法:让学生亲自动手进行尺规作图,培养学生的动手操作能力。
3.合作交流法:学生分组进行作图实践,鼓励学生相互讨论、交流,共同解决问题。
六. 教学准备1.教具准备:尺规作图工具、多媒体设备。
2.教学素材:线段垂直平分线的实例、作图练习题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实例,引导学生观察线段的垂直平分线,让学生感受到线段垂直平分线的存在。
2.呈现(10分钟)呈现线段垂直平分线的定义和性质,让学生初步理解线段垂直平分线的概念。
用尺规作图作垂直平分线
当我们需要在一条线段的中点处作一条垂直平分线时,我们可以使用尺规作图
的技巧来实现这个目标。
以下是具体步骤。
制作线段的中垂线
首先,我们需要在这条线段的两端分别画两个圆。
然后,我们使用尺子测量线
段的长度,然后将这个长度的一半在圆周上量取出来,并连成一条线段。
我们用相同的方法将圆的另一个端点与线段相连。
这样,我们就得到了线段上的中垂线。
画出一个锐角三角形
接下来,我们需要画出一个锐角三角形。
这可以通过任意两条直线的相交来实现。
我们可以使用尺子测量已经画好的线段的一半,并在线段的两端分别画圆。
然后,我们各选取一个圆心,使得这两个圆相离一定距离,并连接圆的两个交点。
这样,我们就得到了三角形的两条边。
确定三角形的外接圆
接下来,我们需要确定三角形的外接圆。
外接圆是通过三角形三个顶点的圆心。
我们可以使用尺子分别测量三个顶点之间的线段,并将它们连接起来。
然后,我们可以测量两条对角线之间的距离,这将是外接圆的直径。
然后,我们以三角形任意一个顶点为圆心,用之前测量得到的直径画出外接圆。
画出垂直平分线
最后,我们需要确定外接圆的两个交点,并连接这两个交点与三角形的顶点。
这样,我们就得到了垂直平分线。
以上就是使用尺规作图的方法作垂直平分线的步骤。
通过这种方法,我们可以
非常精确地画出想要的图形。