高线,中线,角平分线尺规作图

尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例）①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >21MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线.为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半径相等）根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）在△BMO 与△BNO 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线所以射线BO 是∠ABC 的角平分线相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例）①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ；②选一半径满足r >21AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ；③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）在△APQ 与△BPQ 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.◆过线外一点作直线的垂线尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例）①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N；②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q；③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.为何直线PQ是直线l的垂线？如图，根据作图步骤②知：NP=NQ，MP=MQ（等圆中半径相等）很显然△MPN≌△MQN（SSS）即△MPN与△MQN关于直线l对称而P、Q作为一组对应点，则PQ⊥l补充说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO相关性质与结论：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）注意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量；而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分。

中考冲刺第12天——三角形与尺规作图考点：1．了解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的外角；等腰(边)三角形的概念；全等图形的概念；尺规作图概念；了解五种基本作图的理由2．理解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的三边关系；等腰(边)三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定；理解并掌握角平分线的性质；3．会：作三角形的中线、角平分线、高线；证明三角形的内角和定理.识别全等图形；利用HL判定两个三角形全等；会用尺规作图完成五种基本作图；使用精练、准确的作图语言叙述画图过程；利用基本作图画三角形较简单的图形；利用基本作图画较简单的图形；会判定两个三角形全等4．掌握：三角形的内角和定理及其三边关系定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；5．能：利用三角形内（外）角和定理进行角的有关计算与证明；解决等腰三角形的有关计算；证明一个三角形是等腰（边）三角形；运用勾股定理及逆定理解决实际问题；利用角平分线的判定解决有关的实际问题题型：1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题考查,难度系数小,较简单,属于低档题2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质知识点：1．三角形的有关线段（1）三角形的中线、高线、角平分线、中位线都是线段,三角形的中位线性质可以证明“平行”关系、“线段相等”关系,三角形的中线特点可以证明面积相等.（2）三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．2．等腰三角形①等腰对等角、等角对等腰②等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°. ③等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ④等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a⑤等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°−2∠B ，∠B =∠C =1802A ∠ . 3．直角三角形（1）直角三角形的性质①直角三角形两锐角互余.②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.④两个内角互余的三角形是直角三角形.三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（2）勾股定理及逆定理直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2.如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.4. 全等三角形（1）全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题利用全等三角形的性质时,关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角． （2）三角形全等的判定定理：方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，还有直角三角形的HL 定理． （3）角平分线角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．5．尺规作图（1）尺规作图的步骤①已知:当作图是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件; ②求作:能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;③作法:能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大致相同,然后借助草图寻找作法.（2）与圆有关的尺规作图①过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；②作三角形的内切圆；③作圆的内接正方形和正六边形．真题：1．（四川中考）如图所示，直线EF //GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD ⊥EF 于点D ，如果∠A ＝20°，则∠ACG ＝（ ）A ．160°B ．110°C ．100°D ．70°2．（贵州中考）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）A ．9B ．17或22C ．17D ．223．（广西中考）观察下列作图痕迹，所作CD 为△ABC 的边AB 上的中线是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（辽宁中考）如图，ABC 中，60,40,//A B DE BC ︒︒∠=∠=，则AED ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．（四川中考）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到A BC ''△．此时恰好点C 在A C ''上，A B '交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．346．（济南中考）如图，在ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（ ）A ．52B ．3C ．4D ．57．（四川中考）已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（ ）A ．2B ． 2C ．D ．8．（青海中考）已知a ，b ，c 为ABC 的三边长．b ，c 满足2(2)30b c -+-=，且a 为方程|4|2x -=的解，则ABC 的形状为________三角形．9．（绥化中考）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，若2,8AB AC BC -==，则AB 的长是________． 10．（镇江中考）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．11．（葫芦岛中考）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．12．（眉山中考）如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若ABD △的周长为26，则DE 的长为________．13．（盘锦中考）如图，菱形ABCD 的边长为4，45A ︒∠=，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于,M N 两点，直线MN 交AD 于点E ，连接CE ，则CE 的长为____________． 14．（柳林中考）如图，已知OC 平分∠MON ，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，且OA ＝O B ． 求证：△AOC ≌△BO C ．15．（南京中考）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC ，∠B = ∠C ，求证：BD = CE ．16．（大连中考）如图，ABC 中，AB AC =，点,D E 在边BC 上，BD CE =．求证ADE AED ∠=∠．培训班内部题:1．（佛山一模）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA OB 、于点C D 、．分别以C D 、两点为圆心，CD 长为半径画弧，两段弧交于点P ，作射线OP ，连接PC PD 、，则POC △与POD 全等，其全等的判定依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA2．（邢台一模）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：已知：AOB ∠求作：A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：（1）如图，以点O 为圆心，m 为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，n 为半径画弧，交O A ''于点C '；（3）以点C '为圆心，p 为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D ；（4）过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．下列说法正确的是（ ）A ．0m p =>B ．0n p =>C ．102p n => D ．0m n => 3．（陕西模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．125B ．245C ．45D ．354．（上海）如图，点D 在等边三角形ABC 内部，AD =AE ，若△DAB ≌△EAC ，则需添加一个条件：_______．5．（四川一模）如图，在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，底边BC =AB 的垂直平分线交BC 于点E ，则ACE 的周长为__________．6．（陕西三模）如图，等边ABC 中，2AB =，点D 为BC 的中点，点E 在边AB 上，点F 在AC 的延长线上，且DE DF =，120EDF ∠=︒，过点D 作DG AC ⊥于点G ，若DG GF =，则BE CF +=______7．（广西二模）如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，D 为AB 边上一点． （1）求证：ACE BCD △≌△．（2）已知3AD =，6BD =，求ED 的长度．8．（江西一模）在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，动点D 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接DE ，F ，G 分别是DE ，CD 的中点，连接FG ．（特例感知）（1）如图1，当点D 是BC 的中点时，FG 与BD 的数量关系是______．FG 与直线BC 的位置关系是______．（猜想论证）（2）当点D 在线段BC 上且不是BC 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？①请在图2中补全图形；②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（拓展应用）（3）若AB AC ==BF 、CF ．当ACF 是等边三角形时，请直接写出BDF 的面积．专家押题：1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3BC =，5AB =，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（ ）A ．127B ．2C ．157D ．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB=3，AC=4，则CD=（）A．125B．95C．85D．753．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若AC=6，BC=8，则AD的长为（）A．5 B．7 C．D．25 44．观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB AC>的是（）A．①②B．②③C．①③D．③④5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BE＝DE，DC＝3，则AE的长为_____．6．如图，已知AB∥CD，∠BFC＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为_____．7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的点，∠EDF＝120°，设ADn DB=，（1）若1n =，则DE DF =__________；（2）若3DF AD DE DB+=，则n =__________． 8．如图，在正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作ABC 的高AM ；（2）在图2中，作ABC 的高AN ．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）9．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积123,,S S S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究：（1）如图2，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为直径，向外侧作半圆，则面积123,,S S S 之间的关系式为_____________；推广验证：（2）如图3，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作ABD △，,ACE BCF ，满足123,∠=∠=∠∠=∠=∠D E F ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用：（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105,90,2A E C ABC AB DE ∠=∠=∠=︒∠=︒==，点P 在AE上，30,ABP PE ∠=︒=ABCDE 的面积．。

一、尺规作图1. 作一个角等于已知角的方法已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB.作法：1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′；4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB.2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB , B ′C ′=BC ，C ′A ′ =CA.作法：画一个△A ′B ′C ′ ，使A ′B ′=AB, A ′C ′=AC ，B ′C ′=BC ：（1）画B ′C ′=BC ；（2)分别以点B ′,C ′为圆心，线段AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A ′;(3)连接线段A ′B ′，A ′C ′.二、角的平分线导入：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看.角的平分线的画法O A B C D O′ A′B′ C′ D′图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就 是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？作已知角的平分线的方法.已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图).理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”．拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交．如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠AOB.角的平分线的性质 如图12.3-3，任意作一个角∠AOB ，作出 ∠AOB 的平分线OC.在OC 上任取一点P ，点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量 PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取 几个点试一试.12121214通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．要点精析：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE.例1、如图, ∠AOC=∠BOC，点 P 在OC 上，PD⊥OA, PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO ≌△PEO(AAS).∴PD=PE.例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB 的距离相等.2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE ⊥OB于E，DE交OC于点F.(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP ＝90°；③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.三、角平分线的判定角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等.交换上述已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)【例1】如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．证明角平分线的“两种方法”(1)定义法：应用角平分线的定义.(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.1、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是( ) A．点M B．点N C．点P D．点Q2、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝ S△PCD，则满足此条件的点P( )A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的平分线D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)三角形的角平分线如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等.三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.1 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 S △ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.3 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.角的平分线的性质与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．性质判定定理。

专题一三角形的高、中线与角平分线剖析一、三角形的高1.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。

如图，线段AD是BC边上的高。

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

2.表示：1.AD是△ABC的BC上的高线；2.AD⊥BC于D；3.∠ADB=∠ADC=90°。

3.三角形高的交点位置：锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

如下图所示。

图1 图2 图34.三角形的三条高的特性二、三角形的中线1.三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线。

2.表示：1.AD是△ABC的BC上的中线；2.BD=DC=12 BC.3.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

重心一定在三角形内。

三、三角形的角平分线1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。

2.表示：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线；2.∠1=∠2=12∠BAC.3.三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。

1．（2020·重庆南开中学期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AC 上，且:=1:3AE EC ，连接AD ，BE 交于点F ，若=40ABC S △，则=DCEF S 四边形（ ）.A ．14B ．15C ．18D ．202．（2020·重庆南开中学）如图，ABC ∆中，点D E F 、、分别在三边上，AD BE CF 、、交于一点,G E 是AC 的中点，2,6,4GDC GEC BD CD S S ∆∆===则ABC S ∆=（ ）A ．1785B ．1985C ．40D ．423．（2020·河南宛城期末）如图在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（ ）A ．BF CF =B ．12EAD B C ∠=∠-∠ C ．C BAD ∠=∠ D ．2ABC ABF S S =△△4．（2020·江苏海州期末）如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF=12EF，AD=13FD，BE=14DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是（）A．24.5 B．26 C．29.5 D．305．（2020·陕西渭滨期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC 的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝12S△ABC.其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2019·广东深圳外国语学校期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为( )A．6 B．9 C．18 D．367．（2020·江苏江阴·河塘中学月考）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝4EC，CD与AE相交于点F．若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（）A．24 B．25 C．30 D．328．（2020·长春市第四十七中学）如图，△ABC中，点D是AC边上的中点，点E是AB 边上的中点，若S∆ABC=12 ，则图中阴影部分的面积是（）A．6 B．4 C．3 D．29．（2020·江西南昌月考）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22 cm，AB 比AC长3 cm，则△ACD的周长为（）A．19 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm10．（2020·安徽安庆期中）如图，AE 是△ABC 的中线，D 是BE 上一点，若BE =5，DE =2，则CD 的长为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．411．（2019·湖北蔡甸）如图，若ABC ∆的三条角平分线AD 、BE 、CF 交于点G ，则与EGC ∠互余的角是( )A ．CGD ∠B ．FAG ∠C ．ECG ∠D ．FBG ∠12．（2019·四川宜宾期末）在直角三角形ABC 中，=90C ∠︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，AD 、BE 相交于点F ，过点D 作DG AB ∥，过点B作BG DG ⊥交DG 于点G .下列结论：①135AFB ∠=︒；②2BDG CBE ∠=∠；③BC 平分ABG ∠；④BEC FBG ∠=∠.其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2020·广东龙岗·龙岭初级中学期中）如图△ABC中，分别延长边AB、BC、CA，使得BD=AB，CE=2BC，AF=3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为________.14．（2019·四川绵阳月考）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD ＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为_____．15．（2019·山东牡丹期末）如图ABC中，AD是BC边上的中线，BE是ABC中AD 边上的中线，若ABC的面积是24，6AE ，则点B到ED的距离是___．16．（2019·广东佛山）如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝12 BC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC＝_____．17．（2020·江西全国月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，当P点在线段AD上运动时，∠E与∠B，∠ACB的数量关系为________18．（2020·江苏姜堰期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于E，若∠C=80°，∠B=40°则∠DAE的度数为______．19．（2020·江苏张家港期末）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，C G＝2B G，求△FC G的面积．20．（2020·江苏姜堰期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C=65°，∠B=35°，求∠DAE的度数；②若∠C-∠B=20°，则∠DAE= °．21．（2020·四川达川期末）如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线．（1）若AB比AC长4 cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm．（2）若△AMC的面积为12 cm2，则△ABC的面积为__________cm2．（3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程）22．（2019·昆明市官渡区第一中学月考）（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC 两个内角∠ABC、∠ACB的平分线．①若∠A＝70°，求∠BDC的度数．②∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．(直接写出答案)（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BEC的度数．23．（2019·江苏宜兴期中）如图①，AD 平分BAC ∠，AE ⊥BC ，∠B =450,∠C =730．（1） 求DAE ∠的度数；（2） 如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE BC ⊥”，其它条件不变，求DFE ∠ 的度数；（3） 如图③，若把“AE ⊥BC ”变成“AE 平分BEC ∠”，其它条件不变，DAE ∠的大小是否变化，并请说明理由．24．（2020·江苏泰州市凤凰初级中学月考）如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD 的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：（1）MO=MB；（2）MN=CN﹣BM．专题二三角形内角和与外角和定理剖析【技巧解析】1.三角形内角和定理（1）三角形三个内角的和180°.（2）在三角形中，已知任意两个角的度数，可求出第3个角的度数；（3）已知三角形中三个内角关系，可利用三角形内角和等于180°，列方程求出各内角的度数.2.三角形外角性质（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形内角和的另一个推论：三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形外角和定理（1）在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和. （2）三角形外角和为360°.1．（2020·阳江市阳东区大八镇大八初级中学月考）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C =25°，则∠E等于（）A．60°B．25°C．35°D．45°2．（2020·浙江西湖期末）如图,直线l 1∥l 2,线段AB 交l 1,l 2于D ,B 两点,过点A 作AC ⊥AB ,交直线l 1于点C ,若∠1＝15︒,则∠2＝（ ）A ．95︒B ．105︒C ．115︒D ．125︒3．（2020·辽宁丹东期末）如图，//AB CD ，90ACB ︒∠=，CE AB ⊥，垂足为E ，图中与CAB ∠互余的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2020·全国）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°5．（2020·银川月考）如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C (∠C 除外)相等的角的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．（2020·山东芝罘期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AC上一点，且∠ADE＝∠B，则∠CDE的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°7．（2020·枣庄市市中区实验中学月考）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝( )A．45°B．54°C．56°D．66°8．（2020·四川省营山中学校期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于( )A．40°B．60°C．80°D．140°9．（2020·江苏东台月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A= 50°,∠D =10°，则∠P的度数为( )A．15°B．20°C．25°D．30°10．（2020·南通市八一中学）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB 于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（）A．36°B．39°C．38°D．40°11．（2019·四川江油期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．不能确定12．（2020·全国）如图，在ABC ∆中，A ABC CB =∠∠，BD 是ABC ∆内角ABC ∠的平分线，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，CD 是ABC ∆外角ACF ∠的平分线，以下结论不正确的是（ ）A ．//AD BCB ．2ACB ADB ∠=∠C ．90ADC ABD ∠=-∠ D ．BD 平分ADC ∠13．（2020·博兴县吕艺镇中学月考）如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，∠A =100°，则∠B G C =_________°．14．（2020·辽宁中山期末）如图，AE 平分,BAC BE AE ∠⊥于,//E ED AC ，,BAC a ∠=则BED ∠的度数为________________．(用含α的式子表示)15．（2020·福建新罗期末）一副三角尺如图摆放，D 是BC 延长线上一点，E 是AC 上一点，90B EDF ∠=∠=︒，30A ∠=︒，45F ∠=︒，若EF ∥BC ，则CED ∠等于_________度．16．（2020·江苏张家港期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝120°，∠B 与∠ADC 互为补角，点E 在BC 上，将△DCE 沿DE 翻折，得到△DC ′E ，若AB ∥C ′E ，DC ′平分∠ADE ，则∠A 的度数为______°．17．（2019·温州外国语学校期中）如图1，已知长方形坻带ABCD ，//AD CD ，//AD BC ．将纸带沿EF 折叠后，点B 、C 分别落在H 、G 的位置．再沿GF 折叠成图2．点A 、D 分别落在Q 、H 的位置，已知24108QHG GFH ∠=∠-︒，则∠=EFC _______．18．（2020·哈尔滨市第四十七中学期中）在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，Δ4BCE S =，则CE =__________．19．（2020·江苏工业园区期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，F G⊥AE，垂足为H，F G与AB相交于点G．（1）求∠A G F的度数；（2）求∠DAE的度数．20．（2020·福建惠安期末）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF 所在的直线交于点D．（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处．①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．21．（2020·江苏邳州期中）如图，△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高．（1）若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数；（2）若∠B＝m°，∠C＝n°，（m＜n），则∠DAE＝°（直接用m、n表示）．22．（2020·湖北武汉期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠BAC＝∠DAE，∠A G C＝2∠CAE．求∠CAE的度数；（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠A G C＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数．23．（2019·洛阳市第五十四中学月考）如图，在ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ．（1）若60ABC ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数． （2）若70C ∠=︒，求∠BOE 的度数．（3）若ABC α∠=，()C βαβ∠=<，则DAE =∠______用含α、β的式子表示)24．（2020·北京朝阳期末）线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接P A，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．（1）若点P在线段AD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AM与DN的位置关系，并证明；（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．专题三 角平分线的性质与判定强化1.角的平分线的性质（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. （2）用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF .2.角的平分线的判定（1）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.（2）用符号语言表示角的平分线的判定若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB3.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E . （2）分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C . （3）画射线OC . 射线OC 即为所求.124.三角形角平分线的性质（1）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.（2）三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为，旁心为，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.1．（2020·南通市通州区平潮初级中学期中）如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，AD 平分∠BAC ，BA ：CA =2：3，AD 与BE 相交于点O ，若△OAE 的面积比△BOD 的面积大1，则△ABC 的面积是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．111P 234,,PPP2．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校月考）如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD=ED②∠A=∠BED③∠C=∠B④AC=EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是（）.A．①③B．②④C．①④D．②③3．（2020·吉林长春外国语学校月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC 的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为（）A．13 B．14 C．15 D．214．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）如图所示，12∠=∠，34∠=∠，则下列结论正确的有（ ）①AD 平分BAF ∠；②AF 平分BAC ∠；③AE 平分DAF ∠；④AF 平分DAC ∠；⑤AE 平分BAC ∠．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．（2020·辽宁北镇期末）如图，//AB CD ，BE 和CE 分别平分ABC ∠和BCD ∠，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若8AD ＝，则PE 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．46．（2020·陕西商州·期末）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，F G平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠A G F的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°7．（2020·辽宁凌海期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N 中在∠AOB的平分线上是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点8．（2020·云南昭通期末）如图，OP 平分AOB ∠，PD OA ⊥于点D ，点E 是射线OB 上的一个动点，若3PD =，则PE 的最小值（ ）A ．等于3B ．大于3C ．小于3D ．无法确定9．（2019·贵州遵义）如图，已知AEF DFE EH FH ∠=∠⊥,于点H ，EG 平分AEF ∠，平移EH 恰好到GF ，连接EG ，则下列结论：①//AB CD ；②EG HF =；③EH 平分BEF FH ∠，平分EFD ∠；④90GFH ∠=︒．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2020·贵州赫章期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于12P Q的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（）A．2 B．2.4 C．3 D．411．（2020·湖北襄城期末）若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线()A．互相垂直B．互相平行C．相交或平行D．不相等12．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2019·广西玉林期末）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O ，则::ABOBCOCAOSSS=_____．14．（2020·山东牡丹期末）如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，8BC cm =，则DE DB +=________．15．（2020·南京外国语学校期中）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．16．（2019·江苏高邮期中）如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC 于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于____．17．（2019·深圳实验学校中学部期中）如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=60°，D为△ABC外一点，DA平分∠BAC，且CBD=50°，则∠DCB的度数是_______.18．（2020·宜春市第三中学期末）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．19．（2020·山东日照期末）如图，点D为线段BC上的一点，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CE G=180°．（1）AD与EF平行吗，请说明理由：（2）若点H在FE的延长线上，且∠ED H=∠C，∠F=∠H，那么AD平分∠BAC吗，请说明理由．20．（2020·山东期末）如图所示，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，E G平分∠BEF，F G平分∠DFE，(1)若∠AEF＝50°，求∠EF G的度数．(2)判断E G与F G的位置关系，并说明理由．21．（2019·广东郁南期末）如图，直线AB 、CD 与MN 相交于M 、N ，∠1=105°，∠2=75°，E 、F 、O 分别在AB 、CD 、MN 上，OE OF ⊥．（1）求证：//AB CD ； （2）求34∠+∠的度数；（3）若分别在OE 、CD 上取点G 、H ，使得FO 平分CFG ∠，OE 平分AEH ∠，求证：//FG EH ．22．（2020·广西覃塘期末）如图，D ，E ，G 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，12180∠+∠=︒，3B ∠=∠．（1）请说明//DE BC 的理由；（2）若DE 平分ADC ∠，22B ∠=∠，判断CD 与EG 的位置关系，并说明理由．AB CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，23．（2019·广东中山期末）如图，已知//点P是射线EB上一点(与点E不重合)．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作N H⊥FM于点H．（1）若∠BEF=64°，求∠FN H的度数；（2）猜想∠BEF和∠FN H之间有怎样的数量关系，并加以证明．。