“工具作图”和“尺规作图”

尺规作图方法尺规作图，是古代数学中一种重要的几何学方法，它是利用尺子和圆规进行的一种几何图形的绘制方法。

尺规作图方法在古希腊时期就已经被广泛运用，而且在欧几里得的《几何原本》中也有详细的介绍。

尺规作图方法的重要性不言而喻，它不仅在古代被广泛应用，而且在现代数学中也有着重要的地位。

下面我们就来详细了解一下尺规作图方法的相关知识。

首先，我们需要了解尺规作图的基本工具，即尺子和圆规。

尺子是用来测量长度的工具，而圆规则是用来画圆的工具。

利用这两种工具，我们可以进行各种几何图形的绘制。

在尺规作图中，我们需要遵循一些基本原则，比如只能使用尺子和圆规，不能使用其他工具，也不能进行测量。

这些原则的遵循是尺规作图方法得以实现的基础。

其次，我们需要了解尺规作图的基本步骤。

在进行尺规作图时，我们首先需要根据给定的条件，利用尺子和圆规进行一些基本的构图，比如画直线、画圆等。

然后，根据已经构图的基本图形，我们可以进行一些运算，比如加减乘除等，从而得到我们需要的几何图形。

尺规作图的基本步骤并不复杂，但需要我们严格遵循规则，才能得到准确的结果。

接着，我们需要了解尺规作图方法的应用范围。

尺规作图方法不仅可以用来绘制一些简单的几何图形，比如直线、圆等，还可以用来解决一些复杂的几何问题，比如三角形的平分线、三角形的内切圆等。

尺规作图方法在解决这些几何问题时，往往能够给出简洁而优美的解决方案，因此在数学研究和教学中得到了广泛的应用。

最后，我们需要了解尺规作图方法的现代意义。

尽管在现代数学中，我们已经有了更加先进的工具和方法，比如解析几何、向量几何等，但尺规作图方法仍然具有重要的意义。

尺规作图方法所展现的严密的逻辑推理和简洁的解决方案，对于培养学生的逻辑思维能力和创造力有着重要的作用。

因此，尺规作图方法在现代数学教学中仍然占据着重要的地位。

总之，尺规作图方法是古代数学中一种重要的几何学方法，它不仅在古代被广泛应用，而且在现代数学中也具有重要的意义。

中考几何“五种作图”的基本概念及技巧梳理汇总…数学大师尺规作图，是中考的高频考点，难度不大，但是细节却容易出错，大师整理了这些技巧给大家，这样，大家再也不用担心几何了！基本概念1.尺规作图：在几何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图．2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．3.五种常用的基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)平分已知角；(4)作线段的垂直平分线．(5)经过一点作已知直线的垂线4.掌握以下几何作图语句：(1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××；(2)连结两点×、×；或连结××；(3)在××上截取××=××；(4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）；(5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×；(6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；(7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××．5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如：(1)作线段××=××；(2)作∠×××=∠×××；(3)作××（射线）平分∠×××；(4)过点×作××⊥××，垂足为×；(5)作线段××的垂直平分线××．五种基本作图方法演示尺规作图的基本步骤和作图语言一、作线段等于已知线段已知：线段a求作：线段AB，使AB＝a作法：1、作射线AC2、在射线AC上截取AB＝a ，则线段AB就是所要求作的线段二、作角等于已知角已知：∠AOB求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.作法:(1)作射线O′A′.(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.(3)以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于点C′.(4)以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′.(5)过点D′作射线O′B′.∠A′O′B′就是所求作的角.三、作角的平分线已知：∠AOB,求作：∠AOB内部射线OC,使：∠AOC=∠BOC,作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．(2)分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．(3)作射线OC．OC就是所求作的射线．四、作线段的垂直平分线（中垂线）或中点已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线作法：(1)分别以A、B为圆心，以大于AB的一半为半径在AB两侧画弧，分别相交于E、F两点(2)经过E、F，作直线EF（作直线EF交AB于点O）直线EF就是所求作的垂直平分线（点O就是所求作的中点）五、过直线外一点作直线的垂线.（1）已知点在直线外已知：直线a、及直线a外一点A.(画出直线a、点A)求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A.作法：(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a于点C、D.(2)以点C为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧.(3)以点D为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B.(4)经过点A、B作直线AB.直线AB就是所画的垂线b.(如图)（2）已知点在直线上已知：直线a、及直线a上一点A.求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A.作法：(1)以A为圆心，任一线段的长为半径画弧，交a于C、B 两点(2)点C为圆心，以大于CB一半的长为半径画弧；(3)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点分别记为M、N(4)经过M、N，作直线MN直线MN就是所求作的垂线b常用的作图语言：（1）过点×、×作线段或射线、直线；（2）连结两点××；（3）在线段××或射线××上截取××＝××；（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；（6）延长××到点×，使××＝××。

尺规作图知识要点姓名 ⑧一、工具：直尺（不用刻度）、圆规；使用铅笔作图。

二、使用工具：直尺用于画直线、射线、连接线段；圆规用于画弧、圆。

三、交轨法找点：1.到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的弧上；2.到两点的距离相等的点在连结这两点的线段的中垂线上；3.到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；4.到一直线的距离等于定长的点在距离这条直线为定长的双轨平行线上；5.到两条平行线距离相等的点在距离这两条平行线相等的单轨平行线上。

四、五个基本作图：1. 作一条线段等于已知线段；基本作图语句：作线段AB=a 。

作法：（1）作射线AE ；（2）以A 为圆心，以a 为半径画弧交则线段AB 为所求作线段。

2. 作一个角等于已知角；基本作图语句：作∠A′O ′B ′=∠AOB。

作法：（1）作射线O′E ；（2）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于M,交OB 于N ；（3）以O ′为圆心，以OM 为半径画弧交射线 （4）以B ′为圆心，以MN 为半径画弧交前弧于 （5）作射线O ′A ′。

则∠A ′O ′B ′为所求作的角。

3. 平分已知角；基本作图语句：作OC 平分∠AOB 。

作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于E,OB 于F ； （2）分别以E 、F 为圆心，以大于21EF 相同长度为半径画弧，在∠AOB 内部相交于点C ；（3）作射线OC 。

则射线OC 为∠AOB 的平分线。

4.经过一点作已知直线的垂线；基本作图语句：过C 作CD ⊥AB 于D 。

作法：（1）以C 为圆心，适当长为半径画弧，交直线AB 于E 、F ； （2）分别以E 、F 为圆心，以大于21EF 为半径在另一侧画弧交于点M ； （3）过C 、M 作直线交AB 于D 。

则直线CM 为所求作直线AB 的垂线。

5.作线段的垂直平分线。

基本作图语句：作MN ，使MN 垂直且平分AB 。

作法：（1）分别以A 、B 为圆心，大于21AB 为半径画弧相交于M 、N ；（2）过M 、N 作直线。

尺规作图是一种古老而神奇的工具，能够用简单的工具和技巧绘制出精确的几何图形。

在初中数学中，尺规作图是一个必修的内容，对于学生来说，掌握它是非常重要的。

本文将详细介绍尺规作图的基础知识、步骤和实践技巧。

一、什么是尺规作图？尺规作图，又称欧氏几何作图，是一种利用尺子和圆规进行的几何作图方法。

它的基本原理是：利用尺子测量长度，用圆规画出圆和弧，然后通过将这些线段和圆弧相交、平移、旋转等操作，得到所需的几何图形。

尺规作图是欧几里得几何的基础，也是很多复杂几何问题的解决方法之一。

二、尺规作图的基本步骤1. 给定图形尺规作图的第一步是给定一个几何图形，通常是已知几条线段或者角度的大小关系。

例如，给定一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为3cm和4cm，要求作出这个三角形。

2. 作出基础线段根据给定的条件，用尺子和圆规作出基础线段。

例如，在一个纸上画一条长度为3cm的线段AB，再画一条长度为4cm的线段AC，其中∠BAC为直角。

3. 作出辅助线段根据需要，作出一些辅助线段，以便通过相交、平移、旋转等操作得到所需的图形。

例如，可以在线段AB上取一点D，再以点C为圆心、AC为半径画一个圆，得到一个圆弧，将其与线段AB相交于点E，再连接线段AE和BE，就得到了一个直角三角形ABC。

三、尺规作图的实践技巧1. 细心测量尺规作图需要精确测量线段的长度和角度的大小，因此必须细心认真地进行测量，避免出现误差。

特别是在作大型图形时，必须使用长尺和精密测量工具，以确保准确性。

2. 多加练习尺规作图需要的是手眼协调能力和灵活性，这些技能需要通过不断地练习才能掌握。

建议初学者多做练习题，逐渐提高自己的技巧和速度。

3. 熟练运用尺规尺规作图需要灵活运用圆规和尺子，掌握不同的测量技巧和作图方法。

例如，可以利用圆规的不同刻度测量半径和角度，或者利用尺子的折叠功能作出垂线等。

四、总结归纳尺规作图是一种重要的几何工具，能够在解决复杂几何问题时提供有力的支持。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺号π(即当圆半径1规作图不能问题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形==.2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点.⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点.⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆.∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边为1的的长度自然就出来了.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.）⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形作法：⑴ 作线段12MD a =； ⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙；⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ，⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG .正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M .1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)；⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BC AB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． ⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点． 【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． 12ADC S AD h=△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD=△△． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD =．∴ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠， ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DEC FCE S S =△△．A CB 图1 ADB 图2C AD B 图3 C FE 图4设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△． ∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．E M （答案图1）E M （答案图2）。

知识点解读：尺规作图“尺规作图”问题是几何学习的重要内容之一，那么如何学好“用尺规作线段和角”呢？一、理解“尺规作图”的含义1、只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.显然，尺规作图的工具只能是直尺和圆规.其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆弧等.值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存有.2、基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，能够作两条线段或两个角的和或差.1、用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2、用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .三、理解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1、已知：当题目是文字语言表达时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2、求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3、作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在当前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就能够了，而且在很多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.四、典题精析例1 如图，已知线段a 和b （a>b ）.求作：线段c ，使c=a －b.解析：作法：（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取线段AB=a ；（3）在线段AB 上截取AC=b.则线段BC 就是所求作的线段.评注：用尺规作图，首先要弄明白所作的是什么图形，要作这个图形应从哪里入手.一些复杂的图形都是由简单的基本作图得到的.此题就是两次利用“作一条线段等于已知线段”.例2 如图，已知∠α和∠β（∠α>∠β），求作∠AOB ，使∠AOB =∠α－∠β.解析：作法：（1）作射线OA ；（2）以射线OA 为一边作∠AOC=∠α；（3）以O 为顶点，以射线OC 为一边，在∠AOC的内部作∠BOC=∠β.则∠AOB 就是所求作的角.评注：此题同样是两次使用基本图形——“作一个角等于已知角”.值得注意的是作∠BOC 时，应在∠AOC 的内部，为什么不在∠AOC 的外部呢？答案非M B αβ A O C βα- ab α β常明显是两角的和.。

“工具作图”和“尺规作图”“工具作图”和“尺规作图”研究几何问题，离不开图形。

为了画出符合一定条件的图形，要借助一定的绘图工具。

我们在小学和初中一年级学习了用刻度尺、量角器、三角板、圆规等多种工具画线段、角、平行线、垂线、正方形、长方形、圆等图形。

用这些绘图工具绘图叫做工具作图。

如果作图工具只允许用直尺和圆规来画图，就称为尺规作图(也称为几何作图)。

这里的直尺是没有刻度的。

在尺规使用上，还规定了以下三种使用方法，这就是几何作图的三个公法：1．通过两点可以引一条直线(或在两点间可以连结线段)；2．一线段可以任意延长；3．以定点为圆心、定长为半径可以作一个圆(或一段弧)。

几何作图就是以公法为依据、有限次使用直尺和圆规两种工具的作图方法。

既然作图工具有多种，为什么又要限制直尺和圆规这两种工具，而且对它们的使用又规定了严格的公法呢？这是因为几何图形的画法有一个历史发展的过程。

第一，历史上，几何一直被认为是理论推演的科学，它是在极少数几个公理的基础上推演出来的。

在推演过程中，常需要画出图形，特别是一些基本的图形。

上述的作图公法就是与公理相符的最基本的作图方法。

第二，古代人们认为画图工具本身都有误差，用它们作图不可靠。

初等几何研究的对象是直线、圆或由它们组合的图形，缺少这两种工具的任何一种就无法作图，所以只好限制这两种工具，而排除其他各种画图工具(尽管它们会给作图带来方便)，这个规定一直沿袭到现在。

正由于几何作图受到了工具和方法的限制，因此，几何作图中就出现一些无法解决的问题，这就是“几何作图不能问题”。

例如“三等分任意角”就是其中最著名的一个不能问题。

所谓“不能”，就是指利用直尺和圆规，严格按照作图公法是不能作出这个图形的。

几千年来直到今天，不知有多少人，花费了多少心血去研究这个问题，但都没有解决。

随着数学的发展，后来人们用高等代数的知识证明了它是一个不能的问题。

几何作图的基本作图，一般认为有以下六个，它们是一切几何作图的基础：1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过已知点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线；6．过已知直线外一点，作直线的平行线。